Триколор 

Абстрактные типы данных. Алгоритмы и структуры данных

Последнее обновление: 04.08.2018

Кроме обычных классов в C# есть абстрактные классы . Абстрактный класс похож на обычный класс. Он также может иметь переменные, методы, конструкторы, свойства. Единственное, что при определении абстрактных классов используется ключевое слово abstract :

Abstract class Human { public int Length { get; set; } public double Weight { get; set; } }

Но главное отличие состоит в том, что мы не можем использовать конструктор абстрактного класса для создания его объекта. Например, следующим образом:

Human h = new Human();

Зачем нужны абстрактные классы? Допустим, в нашей программе для банковского сектора мы можем определить две основных сущности: клиента банка и сотрудника банка. Каждая из этих сущностей будет отличаться, например, для сотрудника надо определить его должность, а для клиента - сумму на счете. Соответственно клиент и сотрудник будут составлять отдельные классы Client и Employee. В то же время обе этих сущности могут иметь что-то общее, например, имя и фамилию, какую-то другую общую функциональность. И эту общую функциональность лучше вынести в какой-то отдельный класс, например, Person, который описывает человека. То есть классы Employee (сотрудник) и Client (клиент банка) будут производными от класса Person. И так как все объекты в нашей системе будут представлять либо сотрудника банка, либо клиента, то напрямую мы от класса Person создавать объекты не будем. Поэтому имеет смысл сделать его абстрактным:

Abstract class Person { public string Name { get; set; } public Person(string name) { Name = name; } public void Display() { Console.WriteLine(Name); } } class Client: Person { public int Sum { get; set; } // сумма на счету public Client(string name, int sum) : base(name) { Sum = sum; } } class Employee: Person { public string Position { get; set; } // должность public Employee(string name, string position) : base(name) { Position = position; } }

Затем мы сможем использовать эти классы:

Client client = new Client("Tom", 500); Employee employee = new Employee ("Bob", "Apple"); client.Display(); employee.Display();

Или даже так:

Person client = new Client("Tom", 500); Person employee = new Employee ("Bob", "Операционист");

Но мы НЕ можем создать объект Person, используя конструктор класса Person:

Person person = new Person ("Bill");

Однако несмотря на то, что напрямую мы не можем вызвать конструктор класса Person для создания объекта, тем не менее конструктор в абстрактных классах то же может играть важную роль, в частности, инициализировать некоторые общие для производных классов переменные и свойства, как в случае со свойством Name. И хотя в примере выше конструктор класса Person не вызывается, тем не менее производные классы Client и Employee могут обращаться к нему.

Абстрактные члены классов

Кроме обычных свойств и методов абстрактный класс может иметь абстрактные члены классов, которые определяются с помощью ключевого слова abstract и не имеют никакого функционала. В частности, абстрактными могут быть:

  • Свойства

    Индексаторы

Абстрактные члены классов не должны иметь модификатор private. При этом производный класс обязан переопределить и реализовать все абстрактные методы и свойства, которые имеются в базовом абстрактном классе. При переопределении в производном классе такой метод или свойство также объявляются с модификатором override (как и при обычном переопределении виртуальных методов и свойств). Также следует учесть, что если класс имеет хотя бы одный абстрактный метод (или абстрактные свойство, индексатор, событие), то этот класс должен быть определен как абстрактный .

Абстрактные члены также, как и виртуальные, являются частью полиморфного интерфейса. Но если в случае с виртуальными методами мы говорим, что класс-наследник наследует реализацию, то в случае с абстрактными методами наследуется интерфейс, представленный этими абстрактными методами.

Абстрактные методы

Например, сделаем в примере выше метод Display абстрактным:

Abstract class Person { public string Name { get; set; } public Person(string name) { Name = name; } public abstract void Display(); } class Client: Person { public int Sum { get; set; } // сумма на счету public Client(string name, int sum) : base(name) { Sum = sum; } public override void Display() { Console.WriteLine($"{Name} имеет счет на сумму {Sum}"); } } class Employee: Person { public string Position { get; set; } // должность public Employee(string name, string position) : base(name) { Position = position; } public override void Display() { Console.WriteLine($"{Position} {Name}"); } }

Абстрактные свойства

Следует отметить использование абстрактных свойств. Их определение похоже на определение автосвойств. Например:

Abstract class Person { public abstract string Name { get; set; } } class Client: Person { private string name; public override string Name { get { return "Mr/Ms. " + name; } set { name = value; } } } class Employee: Person { public override string Name { get; set; } }

В классе Person определено абстрактное свойство Name. Оно похоже на автосвойство, но это не автосвойство. Так как данное свойство не должно иметь реализацию, то оно имеет только пустые блоки get и set. В производных классах мы можем переопределить это свойство, сделав его полноценным свойством (как в классе Client), либо же сделав его автоматическим (как в классе Employee).

Отказ от реализации абстрактных членов

Производный класс обязан реализовать все абстрактные члены базового класса. Однако мы можем отказаться от реализации, но в этом случае производный класс также должен быть определен как абстрактный:

Abstract class Person { public abstract string Name { get; set; } } abstract class Manager: Person { }

Пример абстрактного класса

Xрестоматийным примером является система геометрических фигур. В реальности не существует геометрической фигуры как таковой. Есть круг, прямоугольник, квадрат, но просто фигуры нет. Однако же и круг, и прямоугольник имеют что-то общее и являются фигурами:

// абстрактный класс фигуры abstract class Figure { // абстрактный метод для получения периметра public abstract float Perimeter(); // абстрактный метод для получения площади public abstract float Area(); } // производный класс прямоугольника class Rectangle: Figure { public float Width { get; set; } public float Height { get; set; } public Rectangle(float width, float height) { this.Width = width; this.Height = height; } // переопределение получения периметра public override float Perimeter() { return Width * 2 + Height * 2; } // переопрелеление получения площади public override float Area() { return Width * Height; } }

Язык С++ позволяет создавать типы данных, которые ведут себя аналогично базовым типам языка Си. Такие типы обычно называют абстрактными типами данных (АТД).
Для реализации АТД в языке Си используются структуры. Но использование данных структурного типа значительно ограничено по сравнению с использованием базовых типов данных. Например, структурные данные нельзя использовать как операнды в различных операциях (сложение, вычитание). Для манипуляции с подобными данными надо писать набор функций, выполняющих различные действия, и вместо операций вызывать эти функции.

Кроме того, элементы структуры никак не защищены от случайной модификации. То есть любая функция (даже не из набора средств манипуляции структурными данными) может обратиться к элементу структуры. Это противоречит одному из основных принципов объектно-ориентированного программирования - инкапсуляции данных: никакие другие функции, кроме специальных функций манипуляции этим типом данных, не должны иметь доступ к элементам данных.

Рассмотрим реализацию понятия даты с использованием struct для того, чтобы определить представление даты date и множества функций для работы с переменными этого типа:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

#include
struct date
{
int month; // месяц
int day; // день
int year; // год
};
void set_date(date* f, int d, int m, int y)
{
f->day = d;
f->month = m;
f->year = y;
}
void print_date(date* f)
{
printf("%d.%d.%d" , f->day, f->month, f->year);
}
int main()
{
date today;
set_date(&today, 2, 4, 2014);
print_date(&today);
getchar();
return 0;
}


Результат выполнения

Никакой явной связи между функциями и типом данных в этом примере нет. Для вызова любой из описанных функций требуется в качестве аргумента передать указатель на экземпляр структуры.

Такую связь можно установить, описав функции как члены структуры. Эти функции могут действовать на данные, содержащие в самой структуре.
По умолчанию при объявлении структуры ее данные и функции являются общими, то есть у объектов типа структура нет ни инкапсуляции, ни защиты данных:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

#include
struct date
{
int month; // месяц
int day; // день
int year; // год
void set_date(int d, int m, int y)
{
day = d; month = m; year = y;
}
void print_date(void );
};
void date::print_date(void )
{
printf("%d.%d.%d" , day, month, year);
}
int main()
{
date today;
today.set_date(2, 4, 2014);
today.print_date();
getchar();
return 0;
}

Функции-члены и данные-члены

Функции, описанные в теле абстрактного типа данных, представляют собой функции-члены или методы и могут вызываться только для специальной переменной соответствующего типа с использованием стандартного синтаксиса для доступа к данным-членам или полям структуры.

Определение функций-членов может осуществляться двумя способами:

  • описание функции непосредственно при описании структуры;
  • описание функции вне структуры.

Функции-члены, которые определены внутри структуры, являются неявно встроенными (). Как правило, только короткие, часто используемые функции-члены, должны определяться внутри структуры:

void set(int m, int d, int y) {month = m; day = d; year = y;};



Поскольку разные структуры могут иметь функции-члены с одинаковыми именами, при определении функции члена необходимо указывать имя структуры, связывая их с помощью оператора разрешения контекста (двойное двоеточие)::
тип АТД::имя(список аргументов) {
тело функции-члена; }
  • тип — тип возвращаемого значения функции-члена
  • АТД — имя абстрактного типа данных (имя структуры или класса)
  • имя — имя функции-члена

void date::print_date(void )
{ printf("%d.%d.%d" ,day, month, year);}

В функции-члене имена членов могут использоваться без явной ссылки на объект. В этом случае имя относится к члену того объекта, для которого функция была вызвана.

Функции-члены, одной и той же структуры могут быть полиморфными, то есть перегруженными.

Права доступа

Концепция структуры в языке С++ (в отличие от Си) позволяет членам структуры быть общими, частными или защищенными:

  • public – общие;
  • private – частные;
  • protected – защищенные.

Использование ключевого слова protected связано с понятием наследования .

Использование ключевого слова private ограничивает доступ к членам, которые следуют за этой конструкцией. Члены private могут использоваться только несколькими категориями функций, в привилегии которых входит доступ к этим членам. В основном это функции-члены той же структуры.
Ключевое слово public образует интерфейс к объекту структуры.

Стандартным является размещение член-данных в частной области (private ), а части функций-членов – в общей части (public ) абстрактного типа данных. В этом случае закрытая (private ) часть определяет данные объекта и служебные функции, а функции-члены общей части реализуют методы работы с объектом.

Изменим структуру date так, чтобы скрыть представление данных (инкапсуляция данных):

1
2
3
4
5
6
7
8

struct date
{
private :
int month, day, year;
public :
void set(int , int , int );
void print();
};

Разработка абстрактных моделей для данных и способов обработки этих данных является важнейшим компонентом в процессе решения задач с помощью компьютера. Примеры этого мы видим и на низком уровне в повседневном программировании (например, при использовании массивов и связных списков, рассмотренных в ), и на высоком уровне при решении прикладных задач (как при решении задачи связности с помощью леса объединение-поиск в "Введение"). В настоящей лекции рассматриваются абстрактные типы данных ( abstract data type , в дальнейшем АТД), позволяющие создавать программы с использованием высокоуровневых абстракций. Абстрактные типы данных позволяют отделять абстрактные (концептуальные) преобразования, которые программы выполняют над данными, от любого конкретного представления структуры данных и любой конкретной реализации алгоритма.

Все вычислительные системы основаны на уровнях абстракции: определенные физические свойства кремния и других материалов позволяют принять абстрактную модель бита, который может принимать двоичные значения 0-1; затем на динамических свойствах значений определенного набора битов строится абстрактная модель машины; далее, на основе принципа работы машины под управлением программы на машинном языке строится абстрактная модель языка программирования; и, наконец, строится абстрактное понятие алгоритма, реализуемое в виде программы на языке C++. Абстрактные типы данных дают возможность продолжать этот процесс дальше и разрабатывать абстрактные механизмы для определенных вычислительных задач на более высоком уровне, чем это обеспечивается системой C++, разрабатывать абстрактные механизмы , ориентированные на конкретные приложения и подходящие для решения задач в многочисленных прикладных областях, а также создавать абстрактные механизмы более высокого уровня, в которых используются эти базовые конструкции. Абстрактные типы данных предоставляют в наше распоряжение расширяемый до бесконечности набор инструментальных средств для решения все новых и новых задач.

С одной стороны, применение абстрактных конструкций освобождает от забот по их детальной реализации; с другой стороны, когда производительность программы важна, необходимо знать затраты на выполнение базовых операций. Мы используем множество базовых абстракций, встроенных в аппаратные средства компьютера и служащих основой для машинных инструкций; реализуем другие абстракции в программном обеспечении; и используем дополнительные абстракции, предоставляемые написанным ранее системным программным обеспечением. Абстрактные конструкции высокого уровня часто создаются на основе более простых конструкций. На всех уровнях действует один и тот же основной принцип: необходимо найти наиболее важные операции в программах и наиболее важные характеристики данных, а затем точно определить те и другие на абстрактном уровне и разработать эффективные конкретные механизмы для их реализации. В настоящей лекции мы рассмотрим множество примеров применения этого принципа.

Для разработки нового уровня абстракции потребуется (1) определить абстрактные объекты, с которыми необходимо манипулировать, и операции , которые должны выполняться над ними; (2) представить данные в некоторой структуре данных и реализовать операции ; (3) и (самое главное) обеспечить, чтобы эти объекты было удобно использовать для решения прикладных задач. Эти пункты применимы и к простым типам данных, так что базовые механизмы для поддержки типов данных, которые были рассмотрены в "Элементарные структуры данных" , можно адаптировать для наших целей. Однако язык C++ предлагает важное расширение механизма структур, называемое классом ( class ). Классы исключительно полезны при создании уровней абстракции и поэтому рассматриваются в качестве основного инструмента, который используется для этой цели в оставшейся части книги.

Определение 4.1. Абстрактный тип данных (АТД) - это тип данных (набор значений и совокупность операций для этих значений), доступ к которому осуществляется только через интерфейс. Программу, которая использует АТД, будем называть клиентом, а программу, содержащую спецификацию этого типа данных - реализацией.

Именно слово только делает тип данных абстрактным: в случае АТД клиентские программы не имеют доступа к значениям данных никаким другим способом, кроме операций, описанных в интерфейсе. Представление этих данных и функции, реализующие эти операции , находятся в реализации и полностью отделены интерфейсом от клиента. Мы говорим, что интерфейс является непрозрачным: клиент не может видеть реализацию через интерфейс .

В программах на языке C++ это различие обычно проводится немного четче, так как проще всего создать интерфейс , включив в него представление данных , но указав, что клиентским программам не разрешен прямой доступ к данным. Другими словами, разработчики клиентских программ могут знать представление данных , но никоим образом не могут его использовать.

В качестве примера рассмотрим интерфейс типа данных для точек ( программа 3.3) из раздела 3.1 "Элементарные структуры данных" . В этом интерфейсе явно объявляется, что точки представлены как структуры, состоящие из пары чисел с плавающей точкой, обозначаемых x и у. Подобное применение типов данных является обычным в больших системах программного обеспечения: мы разрабатываем набор соглашений о представлении данных (а также определяем ряд связанных с ними операций) и делаем эти правила доступными через интерфейс , чтобы ими могли пользоваться клиентские программы, входящие в состав большой системы. Тип данных обеспечивает согласованность всех частей системы с представлением основных общесистемных структур данных. Какой бы хорошей такая стратегия ни была, она имеет один изъян: если необходимо изменить представление данных , то потребуется изменить и все клиентские программы. Программа 3.3 снова дает нам простой пример: одна из причин разработки этого типа данных - удобство работы клиентских программ с точками, и мы ожидаем, что в случае необходимости у клиентов будет доступ к отдельным координатам точки. Но мы не можем перейти к другому представлению данных (скажем, к полярным координатам, или трехмерным координатам, или даже к другим типам данных для отдельных координат) без изменения всех клиентских программ.

В отличие от этого, программа 4.1 содержит реализацию абстрактного типа данных, соответствующего типу данных из программы 3.3, но с использованием класса языка C++, в котором сразу определены как данные, так и связанные с ними операции . Программа 4.2 является клиентской программой, работающей с этим типом данных. Эти две программы выполняют те же самые вычисления, что и программы 3.3 и 3.8. Они иллюстрируют ряд основных свойств классов, которые мы сейчас рассмотрим.

Когда мы пишем в программе определение наподобие int i, мы указываем системе зарезервировать область памяти для данных (встроенного) типа int , к которой можно обращаться по имени i. В языке C++ для подобных сущностей имеется термин объект . При записи в программе такого определения, как POINT p, говорят, что создается объект класса POINT , к которому можно обращаться по имени p. В нашем примере каждый объект содержит два элемента данных, с именами x и у. Как и в случае структур, к ним можно обращаться по именам вроде p.y.

Элементы данных x и у называются данными-членами класса. В классе могут быть также определены функции-члены, которые реализуют операции , связанные с этим типом данных. Например, класс , определенный в программе 4.1, имеет две функции-члена с именами POINT и distance .

Клиентские программы, такие как программа 4.2, могут вызывать функции-члены, связанные с объектом, указывая их имена точно так же, как и имена данных, находящихся в какой-нибудь структуре struct. Например, выражение p.distance(q) вычисляет расстояние между точками p и q (такое же расстояние должен возвращать и вызов q.distance(p) ). Функция POINT() - первая функция в программе 4.1 - является особой функцией-членом, называемой конструктором: у нее такое же имя, как и у класса, и она вызывается тогда, когда требуется создать объект этого класса.

Программа 4.1. Реализация класса POINT (точка)

В этом классе определен тип данных , который состоит из набора значений, представляющих собой "пары чисел с плавающей точкой" (предполагается, что они интерпретируются как точки на декартовой плоскости), а также две функции-члена, определенные для всех экземпляров класса POINT : функция POINT() , которая является конструктором, инициализирующим координаты случайными значениями от 0 до 1, и функция distance(POINT) , вычисляющая расстояние до другой точки. Представление данных является приватным ( private ), и обращаться к нему или модифицировать его могут только функции-члены. Сами функции-члены являются общедоступными ( public ) и доступны для любого клиента. Код можно сохранить, например, в файле с именем POINT .cxx.

#include class POINT { private: float x, у; public: POINT() { x = 1.0*rand()/RAND_MAX; у = 1.0*rand()/RAND_MAX; } float distance(POINT a) { float dx = x-a.x, dy = y-a.y; return sqrt(dx*dx + dy*dy); } };

Программа 4.2. Программа-клиент для класса POINT (нахождение ближайшей точки)

Эта версия программы 3.8 является клиентом, который использует АТД POINT , определенный в программе 4.3. Операция new создает массив объектов POINT (вызывая конструктор POINT () для инициализации каждого объекта случайными значениями координат). Выражение a[i].distance(a[j]) вызывает для объекта a[i] функцию-член distance с аргументом a[j] .

#include #include #include "POINT.cxx" int main(int argc, char *argv) { float d = atof(argv); int i, cnt = 0, N = atoi(argv); POINT *a = new POINT[N]; for (i = 0; i < N; i++) for (int j = i+1; j < N; j++) if (a[i].distance(a[j]) < d) cnt+ + ; cout << cnt << " пар в радиусе " << d << endl; }

Определение POINT p в программе-клиенте приводит к выделению области памяти под новый объект и затем (с помощью функции POINT() ) к присвоению каждому из двух его элементов данных случайного значения в диапазоне от 0 до 1.

Этот стиль программирования, который иногда называется объектно-ориентированным программированием, полностью поддерживается конструкцией class языка C++. Класс можно считать расширением понятия структуры, где не только объединяются данные, но и определяются операции с этими данными. Может существовать много разных объектов, принадлежащих одному классу, но все они подобны в том, что их данные-члены могут принимать один и тот же набор значений, и с этими данными-чле-нами может выполняться одна и та же совокупность операций - в общем, это экземпляры одного и того же типа данных. В объектно-ориентированном программировании объекты предназначены для обработки своих данных-членов (в отличие от использования независимых функций для обработки данных, хранимых в объектах).

Мы рассматриваем описанный выше пример небольшого класса просто чтобы познакомиться с основными чертами классов; поэтому он далеко не полон. В реальном коде для класса точки у нас будет намного больше операций. Например, в программе 4.1 отсутствуют даже операции , позволяющие узнавать значения координат x и y . Как мы увидим, добавление этих и других операций - довольно простая задача. В части 5 мы более подробно рассмотрим классы для точки и других геометрических абстракций, например, линий и многоугольников.

В языке C++ (но не в С) у структур также могут быть связанные с ними функции. Ключевое различие между классами и структурами связано с доступом к информации, который характеризуется ключевыми словами

Абстрактным принято называть тип данных, в явном виде не имеющийся в языке программирования, в этом смысле это понятие относительное - тип данных, отсутствующий в одном языке программирования, может присутствовать в другом.

Абстрактный тип данных (АТД) определяется независимо от способа его реализации:

§ множеством возможных значений этого типа,

§ и набором операций со значениями этого типа.

Использование АТД может быть ограничено этапом разработки программного обеспечения, но для его явного использования в программе надо иметь его реализацию на основе уже имеющихся (и ранее реализованных) типов данных в языке программирования:

§ способ представления значений этого типа,

§ и реализацию операций со значениями этого типа.

АТД не является предопределенным в языке программирования, и даже более того – операции конструирования таких типов, предопределенные в языке, перекладывают на разработчика-программиста вопрос о способе представления значений такого типа и реализации операций со значениями этого типа. А потому, для таких типов данных вопрос о выборе определений и способов реализации операций вида конструктор (значений и хранилищ данных) такого типа, селектор и модификатор компонентов (значений и хранилищ данных) такого типа возлагается на разработчика-программиста.

В концепции АТД особый статус имеют понятия интерфейс , открытый пользователю, и реализация , скрытая от него. Особая роль этих понятий в концепции АТД связана с основополагающим положением о независимости понятия АТД от способа его реализации.

В современных «практических языках программирования» для конструирования АТД обычно используется предопределенная операция конструирования типов class , которая дает разработчику-программисту не только средства группировки данных и операций (с этими данными) в единое целое, но и средства инкапсуляции, наследования и полиморфизма для управления способами конструирования и доступа к таким данным. Отметим, что класс описывает одну возможную реализацию АТД, отображение класса в АТД выражается функцией абстракции, но обратное отношение, обычно, не является функциональным, реализаций одного и того же АТД может быть несколько.



В исследованиях по абстрактным типам данных уже на раннем этапе была осознана важная роль понятия «параметризация типа ». Действительно, например АТД «Стек» не зависит от типа элементов стека, но реализовать этот АТД указанием на «элементы какого-то одинакового типа» невозможно. В язык программирования Ada соответствующие средства конструирования параметризованных типов данных были включены изначально, а в современных «практических языках программирования» какие средства появились только со времен появления разработки по STL-библиотеке . На сегодня понятие «обобщенное программирование» занимает значимое положение в практическом программировании благодаря включению в «практические языки программирования» средств конструирования параметризованных типов данных (шаблоны, template , generic) .

Всё вышесказанное означает, что с методологической и теоретической точки зрения необходимо более детальное точное определение понятия «абстрактный тип данных». В теории понятие «абстрактный тип данных» обычно определяется как многосортная (многоосновная) алгебраическая система , в которой дополнительно к множеству возможных значений (носителю) и набору операций над такими значениями выделены понятия:

§ Сорт и сигнатура – эти понятия позволяют расклассифицировать и элементы носителя и операции с ними по их типам (для операций - по типам их аргументов и возвращаемого значения).

§ Предикаты – отношения на элементах носителя. Это позволяет определять область возможных значений наложением ограничений (требований) на допустимые значения, а также в естественной трактовке работать с произвольными логическими выражениями, не принуждая интерпретировать их как функции принадлежности для множеств или как многозначные операции.

На такой основе можно рассматривать абстрактные типы данных с единой целостной логико-алгебраической точки зрения, включая вопросы о конструкторах (типов и значений), селекторах и модификаторах свойств для объектов такого типа .

Понятия «структура данных» и «абстрактный тип данных» в чем-то очень близкие. Можно конечно считать, что эти понятия - просто два взгляда на одно и то же. Способ представления значений АТД всегда основан на некоторой структуре данных, менее или более сложной, и реализация операций с такими значениями естественно зависит от этой выбранной структуры данных. С другой стороны, заинтересовавшую нас структуру данных при большом желании мы всегда можем оформить как АТД.

Но все же мы будем различать эти два понятия, учитывая:

§ Абстрактный тип данных - подразумевает определенный уровень абстрагирования с целью фиксации прикладного (предметно-ориентированного) типа данных безотносительно к способам его реализации, и возможно включения этого типа данных в прикладную библиотеку, ну хотя бы для конкретной разработки конкретной программной системы. АТД может иметь несколько альтернативных реализаций, основанных на различных структурах данных.

§ Структура данных - скорее некоторая схема организации данных и управления ими, которая предполагает соответствующие конкретизации при ее использовании в конкретных ситуациях при решении конкретных задач.

К абстрактным типам данных прежде всего естественно относятся математические базовые алгебраические системы – последовательности, множества, отношения и отображения (функциональные отношения, функции) . Но в программировании на переднем плане не исследование общих свойств этих математических понятий, а возможности их использования в разработке моделей решения задач предметной области, алгоритмов решения этих задач и эффективной реализации разработанных алгоритмов. А потому в программировании в виде АТД обычно оформляются с одной стороны ограниченные варианты этих базовых алгебраических систем, а с другой стороны расширенные специализированными наборами операций, представляющими прагматический интерес с точки зрения области применения.

2.1. Последовательность (Sequence).

Бесконечная (конечная) последовательность формально определяется как функция, областью определения которой является множество положительных целых чисел: f(i)= , . Во многих случаях индексирование последовательности более удобно начинать с нуля; тогда областью определения / будет множество целых неотрицательных чисел. Аналогично определим конечную последовательность или список как функцию, областью определения которой является множество {1, 2, ..., }.

Концепция последовательности, в которой элементы следуют друг за другом, в программировании является фундаментальной. Последовательность встречается в построковом выводе кода компьютерной программы, где порядок команд определяет выполняемые программой действия. Последовательность сетевых пакетов составляет сообщение электронной почты, поскольку сообщение будет иметь смысл только при приеме пакетов в той же последовательности, в которой они отправлены. Последовательности представляют такие важные отношения между объектами, как «следующий» и «предыдущий». Кроме того, последовательности зачастую используются для реализации других структур данных, то есть они представляют собой блоки, на которых базируется проектирование таких структур.

¨ Множество возможных значений – конечные последовательности элементов одинакового типа.

¨ Набор операций:

§ Вставить элемент в последовательность.

§ Удалить элемент из последовательности.

§ Посмотреть – функция, возвращающая значение элемента последовательности.

Разновидности этого вида АТД различаются способом доступа к элементам последовательности и ограничениями на место вставки и удаления элементов.

Для АТД этого вида стек (stack) , очередь (queue) и дек (deque от Double Ended Queue - двусторонняя очередь) характерно разрушающее чтение , т.к. доступ к элементам (для всех трех операций) ограничен одним из концов последовательности и операцию «посмотреть другой элемент» можно выполнить, только удалив мешающие этому элементы. Для АТД вектор(array, vector),файл (file) и линейный список (linear list) ограничения на доступ обеспечивают неразрушающее чтение , поэтому особое значение имеет (производная) операция просмотра последовательности .

Ограничения на доступ к элементам последовательности естественно отражаются на семантике основных операций. Последовательный доступ основан на понятии текущая позиция и допускает доступ (перемещение, навигацию) к одному (или к обоим) из концов последовательности и к соседней позиции (слева, справа или к обеим) относительно текущей. Место применения основных операций в этом случае обычно привязывается к текущей позиции. Прямой (позиционный, произвольный) доступ основан на глобальном понятии позиция элемента в последовательности и обеспечивает непосредственный доступ к элементу, если известна его позиция. Например, в АТД динамический вектор (dynamic array, vector) , позиция – это индекс элемента. Но в других реализациях других видов последовательностей идентификатор позиции может быть реализован иначе.

Понятия «номер» и «позиция» элемента – близкие, но могут не совпадать:

§ Номер - это собственно порядковый номер элемента в последовательности. Но порядковый номер элемента изменяется в результате выполнения операций вставки и удаления предшествующих элементов, это создает ряд неудобств в идентификации элементов последовательности.

§ Позиция - аналогична порядковому номеру в том смысле, что для элемента в заданной позиции позволяет говорить о предшествующем и следующем элементе последовательности (и их позиции). Но значение позиции элемента не изменяется в результате выполнения операций вставки и удаления предшествующих элементов, поэтому значение позиции элемента можно сохранить и использовать для доступа к этому элементу в будущем. Например, в реализации последовательности связным списком понятие «позиция» может быть представлено указателем на элемент, а в других реализациях может быть представлено идентификатором другого вида, специально поддерживаемым реализацией.

Для АТД «Последовательность» представляют интерес дополнительные операции вида: сцепить две последовательности, расцепить на две последовательности. Например, в АТД строка(string) такого вида операции фактически являются основными.

Для различных видов АТД «Последовательность» достижима различающаяся эффективность реализации различных операций. Например, если реализация предлагает эффективный прямой доступ к элементам последовательности, то скорее всего – время выполнения операции вставки в середине последовательности оставляет желать лучшего. Различные виды (и реализации) АТД «Последовательность» выдвигают программисту различные предложения и по составу операций и по эффективности их реализации. А потому в практике программирования обычно больший интерес представляют не столько универсальные варианты этого (как и других) АТД, а скорее специализированные, и программист должен проводить соответствующий выбор с учетом их использования в решении задач предметной области.

2.2. Множество (Set).

¨ Множество возможных значений – конечные множества элементов одинакового типа.

¨ Набор операций:

§ Вставить элемент во множество.

§ Удалить элемент из множества.

§ Принадлежать – функция, возвращающая значение true, если элемент принадлежит множеству.

Для такого фундаментального понятия классической математики представляется естественным расширить набор операций до типового классического. Но по ряду причин прагматического характера в программировании такое АТД общего (универсального) вида представляет ограниченный интерес. Например, включение операции объединения пересекающихся множеств, при реализации требует удаления элементов пересечения. Это может значительно усложнить реализацию этой операции. С другой стороны наличие дубликатов может быть некритичным с позиции решаемой задачи, в этом случае АТД представляют собой мультимножества. Фундаментальное значение понятия множества, конечно, проявляется наличием богатого набора специализированных расширений этого базового АТД «Множество», которые широко используются в практике программирования, как благодаря мощной выразительной силе этого инструментария в разработке модели задач и алгоритмов их решения, так и благодаря наличию эффективных методов реализации этих АТД.

Специализированные расширения АТД «Множество» рассматриваются в различных направлениях:

§ Близким к понятию «множество» является понятие «набор». Набор (Bag, MultiSet) – также как и множество является семейством элементов, безотносительно к тому задано ли на элементах отношение порядка, но элементы в наборе могут повторяться по значению. Вообще говоря, набор можно представить множеством, например, элементы которого являются парами [значение элемента, количество вхождений в набор].

§ В практических приложениях часто элементы множеств идентифицируются, т.е. элемент является парой [ключ элемента, собственно значение элемента], АТД «Словарь» - пример такого специализированного расширения АТД «Множество». Предпочтительный случай, когда ключ элемента – уникальный , т.е. множество не может содержать двух элементов с одинаковым ключом. Но возможно, что используемый ключ неуникальный, т.е. неоднозначно идентифицирущий собственно значение элемента. Вообще говоря, множество (и набор) с неуникальным ключом можно представить множеством с уникальным ключом, усложнив тип значения элемента, например, рассматривая в качестве значения элемента множество значений предыдущего типа (с одинаковым ключом).

§ Естественным представляется задание на множестве отношения порядка, частичного или линейного, АТД «Очередь с приоритетом» - пример такого специализированного расширения АТД «Множество». Аналогично в предметной области решаемой задачи могут представлять интерес и другие отношения на множестве .

§ Фундаментальное положение в математике занимает понятие отношение эквивалентности и соответственно – понятие разбиение множества на классы эквивалентности. Естественно, что это понятие широко используется и в практических разработках моделей решения задач предметных областей. АТД «Семейство непересекающихся множеств» (Disjoint Sets, Partitions, Разбиения) - пример соответствующего специализированного расширения АТД «Множество».

Для специализированных расширений АТД «Множество» естественно соответствующим образом уточняются вышеотмеченные операции и появляются свои новые операции, представляющие интерес.

2.3. Словарь (Dictionary, Map), другое название – ассоциативный массив .

¨ Множество возможных значений – конечные множества элементов одинакового типа, вида , где Key – уникальный ключ элемента, Value - собственно значение.

¨ Набор операций:

§ Вставить элемент (с ключом) во множество.

§ Удалить элемент (заданный ключом) из множества.

§ Найти элемент – функция, возвращающая по ключу значение элемента или «пустое» значение, если элемента с таким ключом нет во множестве.

АТД «Словарь» - это специализированный вариант понятия (хранимое) отображение (ключей в значения), широко используемый в практическом программировании. Но для некоторых предметных областей возможно более удобным окажется оформление АТД «Отображение» (Mapping) , более близкое классическому математическому определению .

2.4. Очередь с приоритетом (Priority queue).

¨ Множество возможных значений – конечные множества элементов одинакового типа. На множествах (возможных значениях) задано отношение линейного порядка, которое трактуется как сравнение элементов по приоритетности. Уровень приоритета может быть выделен как составная часть значения элемента или вычислим заданной функцией от значения элемента.

Отметим, что такое множество возможных значений можно трактовать и как множество последовательностей (с перечислением её элементов в заданном линейном порядке).

¨ Набор операций:

§ Вставить элемент в (линейно упорядоченное) множество.

§ Удалить минимальный элемент из множества.

§ Найти минимальный – функция, возвращающая значение минимального элемента во множестве.

Рассматриваются также (существенные) вариации этого АТД с дополнительными операциями:

§ Расцепить очередь на две по заданному значению (приоритету) элемента – на очередь элементов с меньшим приоритетом и очередь остальных.

§ Сцепить две очереди, у одной из которых все элементы имеют приоритет больший, чем у всех элементов другой очереди в одну очередь с приоритетом без сохранения исходных сцепляемых очередей.

§ Объединить два непересекающихся упорядоченных множества (слить две такие очереди) в одно упорядоченное множество (одну очередь с приоритетом), также без сохранения исходных объединяемых.

§ Уменьшить значение (приоритет) заданного элемента.

§ Удалить (произвольно) заданный элемент из множества.

2.5. Непересекающиеся множества (Disjoint Sets, Partitions, Разбиения) .

¨ Множество возможных значений – конечные множества (семейства) непересекающихся конечных множеств. Элементы семейства идентифицированы, т.е. каждое множество из семейства имеет (уникальное) имя.

¨ Набор операций:

§ Объединить(А,В) – операция вида А:= А È В без сохранения исходных объединяемых множеств (а значит новое значение семейства останется семейством непересекающихся множеств, причем их количество уменьшится).

§ Найти множество – функция, возвращающая для заданного х имя такого множества Х в семействе, что х Î Х.

2.6. Деревья, графы и отношения общего вида.

В дискретной математике особое внимание уделяется (конечным) отношениям вида - дерево, граф и сеть (мультиграф, гиперграф), имеющим определенно выраженную геометрическую трактовку:

¨ Граф – (конечное) бинарное отношение (симметричное – в случае неориентированных графов), E Í V 2 , где V – множество вершин, а E – множество ребер графа.

В дискретной математике обычно E определяется не как множество, а как набор ребер графа, это позволяет рассматривать графы, в которых пару вершин может связывать несколько ребер (например, как-то по-разному помеченных).

¨ Дерево – это бинарное отношение (строгого) частичного порядка, дополнительно удовлетворяющее требованиям (иерархичности, древесности):

§ из того, что х<у,z следует, что у и z сравнимы, т.е. либо у£z либо z£у (х<у трактуется как: х встречается раньше у в пути к корню дерева, х – потомок, у - предок);

§ во множестве V (вершин дерева) существует наибольший элемент (корень дерева).

Деревья можно различать, если порядок сыновей (хотя бы для одной) вершины дерева различен. Упорядоченное дерево – дерево, в котором для каждой вершины задан порядок на множестве дочерних вершин, т.е. детей можно определить как первый, второй и т.д.

¨ Сеть – это отношение общего вида, которое можно трактовать как обобщение – E Í VÈV 2 È...V k , а можно – как отношение (E Í V k) с множеством элементов V, имеющим «пустой» (фиктивный) элемент.

Эти понятия, конечно, широко используются при разработке моделей задач предметных областей. Но также как и в случае множеств по ряду причин прагматического характера в программировании такое АТД общего (универсального) вида представляет ограниченный интерес. Точнее, разнообразные виды представления деревьев, графов и сетей, конечно, широко используются в практике программирования. Но совмещение их с универсальным набором операций и оформление такого универсального АТД представляется полезным только в простых ситуациях.

Фундаментальная роль деревьев и графов проявляется скорее в контексте прикладной задачи при выборе структур данных для эффективной реализации выбранных АТД и алгоритма решения задачи в целом. Но в таком контексте и их способ представления, и набор операций с этими деревьями, графами и сетями, естественно специализирован в соответствии с конкретным контекстом.

1.2. Абстрактные типы данных

Большинство понятий, введенных в предыдущем разделе, обычно излагаются в начальном курсе программирования и должны быть вам знакомы. Новыми могут быть только абстрактные типы данных, поэтому сначала обсудим их роль в процессе разработки программ. Прежде всего сравним абстрактный тип данных с таким знакомым понятием, как процедура.

Процедуру, неотъемлемый инструмент программирования, можно рассматривать как обобщенное понятие оператора. В отличие от ограниченных по своим возможностям встроенных операторов языка программирования (сложения, умножения и т.п.), с помощью процедур программист может создавать собственные операторы и применять их к операндам различных типов, не только базовым. Примером такой процедуры-оператора может служить стандартная подпрограмма перемножения матриц.

Другим преимуществом процедур (кроме способности создавать новые операторы) является возможность использования их для инкапсулирования частей алгоритма путем помещения в отдельный раздел программы всех операторов, отвечающих за определенный аспект функционирования программы. Пример инкапсуляции: использование одной процедуры для чтения входных данных любого типа и проверки их корректности. Преимущество инкапсуляции заключается в том, что мы знаем, какие инкапсулированные операторы необходимо изменить в случае возникновения проблем в функционировании программы. Например, если необходимо организовать проверку входных данных на положительность значений, следует изменить только несколько строк кода, и мы точно знаем, где эти строки находятся.

Определение абстрактного типа данных

Мы определяем абстрактный тип данных (АТД) как математическую модель с совокупностью операторов, определенных в рамках этой модели. Простым примером АТД могут служить множества целых чисел с операторами объединения, пересечения и разности множеств. В модели АТД операторы могут иметь операндами не только данные, определенные АТД, но и данные других типов: стандартных типов языка программирования или определенных в других АТД. Результат действия оператора также может иметь тип, отличный от определенных в данной модели АТД. Но мы предполагаем, что по крайней мене один операнд или результат любого оператора имеет тип данных, определенный в рассматриваемой модели АТД.

Две характерные особенности процедур - обобщение и инкапсуляция, - о которых говорилось выше, отлично характеризуют абстрактные типы данных. АТД можно рассматривать как обобщение простых типов данных (целых и действительных чисел и т.д.), точно так же, как процедура является обобщением простых операторов (+,- и т.д.). АТД инкапсулирует типы данных в том смысле, что определение типа и все операторы, выполняемые над данными этого типа, помещаются в один раздел программы. Если необходимо изменить реализацию АТД, мы знаем, где найти и что изменить в одном небольшом разделе программы, и можем быть уверенными, что это не приведет к ошибкам где-либо в программе при работе с этим типом данных. Более того, вне раздела с определением операторов АТД мы можем рассматривать типы АТД как первичные типы, так как объявление типов формально не связано с их реализацией. Но в этом случае могут возникнуть сложности, так как некоторые операторы могут инициироваться для более одного АТД и ссылки на эти операторы должны быть в разделах нескольких АТД.

Для иллюстрации основных идей, приводящих к созданию АТД, рассмотрим процедуру greedy из предыдущего раздела (листинг 1.3), которая использует простые операторы над данными абстрактного типа LIST (список целых чисел). Эти операторы должны выполнить над переменной newclr типа LIST следующие действия.

1. Сделать список пустым.

2. Выбрать первый элемент списка и, если список пустой, возвратить значение null.

3. Выбрать следующий элемент списка и возвратить значение null, если следующего элемента нет.

4. Вставить целое число в список.

Возможно применение различных структур данных, с помощью которых можно эффективно выполнить описанные действия. (Подробно структуры данных будут рассмотрены в теме 2.) Если в листинге 1.3 заменить соответствующие операторы выражениями

MAKENULL(newcJr);

w:= FIRST(newcJr);

w:= NEXT(newcfr);

INSERT(v, newclr);

то будет понятен один из основных аспектов (и преимуществ) абстрактных типов данных. Можно реализовать тип данных любым способом, а программы, использующие объекты этого типа, не зависят от способа реализации типа - за это отвечают процедуры, реализующие операторы для этого типа данных.

Вернемся к абстрактному типу данных GRAPH (Граф). Для объектов этого типа необходимы операторы, которые выполняют следующие действия.

1. Выбирают первую незакрашенную вершину.

2. Проверяют, существует ли ребро между двумя вершинами.

3. Помечают вершину цветом.

4. Выбирают следующую незакрашенную вершину.

Очевидно, что вне поля зрения процедуры greedy остаются и другие операторы, такие как вставка вершин и ребер в граф или помечающие все вершины графа как незакрашенные. Различные структуры данных, поддерживающие этот тип данных, будут рассмотрены в темах 6 и 7.

Необходимо особо подчеркнуть, что количество операторов, применяемых к объектам данной математической модели, не ограничено. Каждый набор операторов определяет отдельный АТД. Вот примеры операторов, которые можно определить для абстрактного типа данных SET (Множество).

1. MAKENULL(A), Эта процедура делает множество А пустым множеством.

2. UNION(A, В, С). Эта процедура имеет два "входных" аргумента, множества А и В, и присваивает объединение этих множеств "выходному" аргументу - множеству С.

3. SIZE(A). Эта функция имеет аргумент-множество А и возвращает объект целого типа, равный количеству элементов множества А. Термин реализация АТД подразумевает следующее: перевод в операторы языка программирования объявлений, определяющие переменные этого абстрактного типа данных, плюс процедуры для каждого оператора, выполняемого над объектами АТД. Реализация зависит от структуры данных, представляющих АТД. Каждая структура данных строится на основе базовых типов данных применяемого языка программирования, используя доступные в этом языке средства структурирования данных. Структуры массивов и записей - два важных средства структурирования данных, возможных в языке Pascal. Например, одной из возможных реализаций переменной S типа SET может служить массив, содержащий элементы множества S.

Одной из основных причин определения двух различных АТД в рамках одной модели является то, что над объектами этих АТД необходимо выполнять различные действия, т.е. определять операторы разных типов. В этом конспекте рассматривается только несколько основных математических моделей, таких как теория множеств и теория графов, но при различных реализациях на основе этих моделей определенных АТД будут строиться различные наборы операторов.

В идеале желательно писать программы на языке, базовых типов данных и операторов которого достаточно для реализации АТД. С этой точки зрения язык Pascal не очень подходящий язык для реализации различных АТД, но, с другой стороны, трудно найти иной язык программирования, в котором можно было бы так непосредственно декларировать АТД. Дополнительную информацию о таких языках программирования см. в библиографических примечаниях в конце темы.