Телевизор 

Алгоритм: понятие, свойства, структура и виды. Замечание о методах, алгоритмах и программах

В ЧЕМ РАЗНИЦА МЕЖДУ МЕТОДОМ И АЛГОРИТМОМ?

Метод - это совокупность действий, а алгоритм - конкретная последо­вательность действий.

1. Алгоритм более подробен, чем метод. Иллюстрация алгоритма - блок-схема, а иллюстрация метода - устройство, компоненты которого рабо­тают одновременно.

2. Один и тот же метод могут реализовывать несколько алгоритмов. И чем сложнее метод, тем больше возможно реализаций в виде алгоритмов.

3. По описанию алгоритма можно понять метод, но описание метода даст более полное представление об идеях, реализованных в алгоритме.

4. В методе ошибок быть не может. Но с другой стороны, ошибочным мо­жет быть выбор метода. На тех же данных может всегда давать лучший результат другой метод, преимущество которого может казаться не оче­видным на первый взгляд. Ошибочным может быть и выбор алгоритма.

5. Разные алгоритмы, реализующие один и тот же метод, могут давать со­вершенно разные результаты! Покажем это на примере.

ПРИМЕР, ПОКАЗЫВАЮЩИЙ НЕЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ АЛГОРИТМОВ МЕТОДА

Метод содержит процедуру Z, поворачивающую двумерное изображение на заданный угол А и добавляющую яркость точкам изображения на вели­чину В, зависящую от расстояния до заданной точки С: В=В(х-хо, у-уо) "Выделенная" точка С может лежать как внутри, так и снаружи границ изо­бражения, это дела не меняет. При повороте она получает новые координа­ты: х 0 , у\.

Очевидно, что возможны два алгоритма: ■ сначала развернуть на заданный угол, затем добавить яркость; » сначала добавить яркость, затем развернуть.

Результаты работы этих двух алгоритмов могут незначительно отличать­ся из-за округления результатов вычисления расстояний: D=((x-xo) 2 + (у-Уо) 2) 1/2 , a D , =((x , -x > o) 2 +(y"-y"o) 2) 1/2 > и в общем случае эти расстояния до и после поворота D и D" не равны.

При извлечении квадратного корня возникают иррациональные числа, т. е. бесконечные дроби. Поэтому, какова бы ни была точность арифме-

тики - 16 знаков или 1024, все равно D и D" придется округлять после кака^ го-то знака, отбрасывая остальные знаки. Увеличение точности приведет лишь к уменьшению вероятности того, что после округления D и D" будут неравны.

Если на основании результата работы процедуры поворота с добавлени­ем яркости вычисляется критерий и в соответствии с его величиной выбира­ется один из нескольких вариантов дальнейших действий, то результаты ра­боты двух алгоритмов могут отличаться уже не "совсем чуть-чуть", а кар*. динально.

Например, критерий имеет вид T new <3-T 0 i d ", где T 0 | d - суммарная яркость изображения до процедуры Z, a T new - после нее. И если в первом алгоритме Ты/Tnew = 0.3333 , а во втором 0.3334, то после проверки критерия выпол­нятся разные ветви алгоритма. Результат неэквивалентности алгоритмов будет хорошо заметен.

Даже если никакого критерия нет, ошибка может накапливаться посте­пенно, на каждом шаге некоторого цикла.

Таким образом, два алгоритма, реализующих один и тот же метод, могут иногда давать совершенно разные результаты.

Реализация алгоритма - программа

Программа - это реализация, "воплощение" алгоритма на одном из языков программирования. Таким образом, общая схема написания программы сжатия (кодека, т. е. компрессора и декомпрессора), равно как и любой про­граммы вообще, следующая:

1) постановка задачи;

2) выбор метода;

3) создание алгоритма;

4) написание программы;

5) тестирование, оптимизация и настройка.

В этой книге описаны именно методы, но для их иллюстрации приводятся конкретные алгоритмы для одного процессора, иллюстрируемые текстами на языке программирования Си.

Сегодня мы дадим ответ на вопрос о том, что такое алгоритм.

Зачастую алгоритмом принято называть набор инструкций, которые описывают необходимые действия (а также порядок их выполнения) с целью решения поставленной задачи. В наше время алгоритмы используются не только в инженерном деле и в науке, но и в других сферах жизни.

Что называется алгоритмом

Понятие алгоритма является довольно древним и относится к одному из главных, а также базовых понятий в математике. Термин происходит от латинского написания имени известного восточного математика 787-850 годов Мухаммеда аль-Хорезми - Algorithmi. Этот ученный был первым, кто сформулировал точные правила для записи натуральных чисел, а также правила для подведения отсчётов в столбик. Довольно интересным фактом является и то, что, несмотря на древние корни, само понятие было точно сформулировано лишь в начале ХХ века. Ныне алгоритм является основной составляющей современного бизнеса, любого учебного процесса или же исследования. Именно поэтому каждому современному человеку просто необходимо точно знать, что означает алгоритм.

Алгоритм – зачастую точные сформулированные указания, порядок определенных действий, которые должны обеспечить достижение поставленной цели.

Что такое свойства алгоритмов

Но стоит помнить, что не каждую последовательность действий можно назвать алгоритмом. Последовательность является алгоритмом, только если она обладает определенными свойствами. Перечислим их:

  1. Одним из важнейших свойств является дискретность. Ее мы рассмотрим чуточку ниже.
  2. Не менее важной является определенность. Согласно данному свойству каждая команда должна быть однозначной и наводить исполнителя на конкретное действие.
  3. Стоит помнить и о понятности алгоритма. В алгоритме должны использоваться только необходимые команды, которые относятся к поставленной задаче.
  4. Важным свойством является и результативность (также часто называют конечностью) алгоритма. Свойство «результативность» указывает на то, что в алгоритме имеется определенное, ранее указанное число шагов, выполнение которых приведет к выполнению поставленной задачи.
  5. Также любой алгоритм должен обязательно обладать и таким свойством, как массовость. Если алгоритм обеспечивает выполнение всех задач определенного типа, то он обладает свойством массовости.

Что такое алгоритм в информатике

Все ученные сходится в утверждении о том, что понятие алгоритма является фундаментальным в современной информатике. При создании программного обеспечения первым пунктом всегда стоит создание алгоритма.

Алгоритм, записанный на формальном языке, принято называть программой. Очень часто понятие алгоритма тесно связывается с процессом его записи в программу. Именно поэтому термин алгоритма и программы зачастую считают синонимами

Как создать алгоритм

Для того, чтобы создать эффективный и качественный алгоритм, следует соблюдать несколько правил:

  1. Алгоритм обязательно должен писаться на формальном и ясном языке. Неоднозначность или же неясность указаний недопустима.
  2. При составлении алгоритма нужно обязательно учесть и то, для кого он составляется. Исполнитель должен понимать все пункты алгоритма и иметь возможность претворить их в жизнь.
  3. Желательно делать алгоритм кратким, точным и ясным.

Что такое линейный алгоритм

Среди всех алгоритмов различают линейные и нелинейные. Алгоритм считается линейным, если в нем соблюдается постоянный порядок действий на протяжении всего процесса выполнения.

В информатике язык программирования, с помощью которого описывается алгоритм, принято называть оператором. Выделяют простые и структурные операторы. Простые операторы описывают только одно действие.

Именно простые операторы наиболее часто используются в линейных алгоритмах.

Свойство дискретности алгоритма и ее значение

Ранее мы упоминали, что любой алгоритм обладает таким свойством, как дискретность. Теперь давайте рассмотрим понятие дискретности более подробно.

Часто дискретность заменяют таким термином, как прерывность и раздельность алгоритма. По сути все три термина обозначают одно и то же, а именно – последовательное (поочередное) выполнение всех команд алгоритма. При соблюдении дискретности каждое действие выполняется только после завершения предыдущего, а выполнение всех поставленных пунктов приводит к ранее указанному конечному результату (к полному решению задачи).

Теперь мы рассмотрели основные термины и понятия, которые относятся к нашей сегодняшней теме. Наверняка для вас теперь не проблема ответить на вопрос о том, что является алгоритмом. Полученные знания еще не раз пригодятся как в вашей профессиональной сфере, так и в повседневной жизни. Уточнить детали или же найти ответ на возникший вопрос вы как всегда можете с помощью удобной системы комментариев ниже.

ПОНЯТИЕ АЛГОРИТМА. СВОЙСТВА АЛГОРИТМА. ВИДЫ АЛГОРИТМОВ. СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ

Алгоритмом называется точное и понятное предписаниe исполнителю совершить последовательность действий, направленных на решение поставленной задачи. Слово «алгоритм» происходит от имени математика Аль Хорезми, который сформулировал правила выполнения арифметических действий. Первоначально под алгоритмом понимали только правила выполнения четырех арифметических действий над числами. В дальнейшем это понятие стали использовать вообще для обозначения последовательности действий, приводящих к решению любой поставленной задачи. Говоря об алгоритме вычислительного процесса, необходимо понимать, что объектами, к которым применялся алгоритм, являются данные. Алгоритм решения вычислительной задачи представляет собой совокупность правил преобразования исходных данных в результатные.

Основными свойствами алгоритма являются:

  1. детерминированность (определенность). Предполагает получение однозначного результата вычислительного процecca при заданных исходных данных. Благодаря этому свойству процесс выполнения алгоритма носит механический характер;
  2. результативность. Указывает на наличие таких исходных данных, для которых реализуемый по заданному алгоритму вычислительный процесс должен через конечное число шагов остановиться и выдать искомый результат;
  3. массовость. Это свойство предполагает, что алгоритм должен быть пригоден для решения всех задач данного типа;
  4. дискретность. Означает расчлененность определяемого алгоритмом вычислительного процесса на отдельные этапы, возможность выполнения которых исполнителем (компьютером) не вызывает сомнений.

Алгоритм должен быть формализован по некоторым правилам посредством конкретных изобразительных средств. К ним относятся следующие способы записи алгоритмов: словесный, формульно-словесный, графический, язык операторных схем, алгоритмический язык.

Наибольшее распространение благодаря своей наглядности получил графический (блок-схемный) способ записи алгоритмов.

Блок-схемой называется графическое изображение логической структуры алгоритма, в котором каждый этап процесса обработки информации представляется в виде геометрических символов (блоков), имеющих определенную конфигурацию в зависимости от характера выполняемых операций. Перечень символов, их наименование, отображаемые ими функции, форма и размеры определяются ГОСТами.

При всем многообразии алгоритмов решения задач в них можно выделить три основных вида вычислительных процессов:

  • линейный;
  • ветвящийся;
  • циклический.

Линейным называется такой вычислительный процесс, при котором все этапы решения задачи выполняются в естественном порядке следования записи этих этапов.

Ветвящимся называется такой вычислительный процесс, в котором выбор направления обработки информации зависит от исходных или промежуточных данных (от результатов проверки выполнения какого-либо логического условия).

Циклом называется многократно повторяемый участок вычислений. Вычислительный процесс, содержащий один или несколько циклов, называется циклическим . По количеству выполнения циклы делятся на циклы с определенным (заранее заданным) числом повторений и циклы с неопределенным числом повторений. Количество повторений последних зависит от соблюдения некоторого условия, задающего необходимость выполнения цикла. При этом условие может проверяться в начале цикла - тогда речь идет о цикле с предусловием, или в конце - тогда это цикл с постусловием.

Слово «алгоритм» происходит от имени великого среднеазиатского ученого 8–9 вв. Аль-Хорезми (Хорезм – историческая область на территории современного Узбекистана). Из математических работ Аль-Хорезми до нас дошли только две – алгебраическая (от названия этой книги родилось слово алгебра) и арифметическая. Вторая книга долгое время считалась потерянной, но в 1857 в библиотеке Кембриджского университета был найден ее перевод на латинский язык. В ней описаны четыре правила арифметических действий, практически те же, что используются и сейчас. Первые строки этой книги были переведены так: «Сказал Алгоритми. Воздадим должную хвалу Богу, нашему вождю и защитнику». Так имя Аль-Хорезми перешло в Алгоритми, откуда и появилось слово алгоритм. Термин алгоритм употреблялся для обозначения четырех арифметических операций, именно в таком значении он и вошел в некоторые европейские языки. Например, в авторитетном словаре английского языка Webster"s New World Dictionary , изданном в 1957, слово алгоритм снабжено пометкой «устаревшее» и объясняется как выполнение арифметических действий с помощью арабских цифр.

Слово «алгоритм» вновь стало употребительным с появлением электронных вычислительных машин для обозначения совокупности действий, составляющих некоторый процесс. Здесь подразумевается не только процесс решения некоторой математической задачи, но и кулинарный рецепт и инструкция по использованию стиральной машины, и многие другие последовательные правила, не имеющие отношения к математике, – все эти правила являются алгоритмами. Слово «алгоритм» в наши дни известно каждому, оно настолько уверенно шагнуло в разговорную речь, что сейчас нередко на страницах газет, в выступлениях политиков встречаются выражения «алгоритм поведения», «алгоритм успеха» и т.д.

Проблема определения понятия «алгоритм».

На протяжении многих веков понятие алгоритма связывалось с числами и относительно простыми действиями над ними, да и сама математика была, по большей части, наукой о вычислениях, наукой прикладной. Чаще всего алгоритмы представлялись в виде математических формул. Порядок элементарных шагов алгоритма задавался расстановкой скобок, а сами шаги заключались в выполнении арифметических операций и операций отношения (проверки равенства, неравенства и т.д.). Часто вычисления были громоздкими, а вычисления вручную – трудоемкими, но суть самого вычислительного процесса оставалась очевидной. У математиков не возникала потребность в осознании и строгом определении понятия алгоритма, в его обобщении. Но с развитием математики появлялись новые объекты, которыми приходилось оперировать: векторы, графы, матрицы, множества и др. Как определить для них однозначность или как установить конечность алгоритма, какие шаги считать элементарными? В 1920-х задача точного определения понятия алгоритма стала одной из центральных проблем математики. В то время существовало две точки зрения на математические проблемы:

Все проблемы алгоритмически разрешимы, но для некоторых алгоритм еще не найден, поскольку еще не развиты соответствующие разделы математики.

Есть проблемы, для которых алгоритм вообще не может существовать.

Идея о существовании алгоритмически неразрешимых проблем оказалась верной, но для того, чтобы ее обосновать, необходимо было дать точное определение алгоритма. Попытки выработать такое определение привели к возникновению теории алгоритмов, в которую вошли труды многих известных математиков – К.Гедель , К.Черч, С.Клини, А.Тьюринг , Э.Пост, А.Марков, А.Колмогоров и многие другие.

Точное определение понятия алгоритма дало возможность доказать алгоритмическую неразрешимость многих математических проблем.

Появление первых проектов вычислительных машин стимулировало исследование возможностей практического применения алгоритмов, использование которых, ввиду их трудоемкости, было ранее недоступно. Дальнейший процесс развития вычислительной техники определил развитие теоретических и прикладных аспектов изучения алгоритмов.

Понятие «алгоритма».

В повседневной жизни каждый человек сталкивается с необходимостью решения задач самой разной сложности. Некоторые из них трудны и требуют длительных размышлений для поиска решений (а иногда его так и не удается найти), другие же, напротив, столь просты и привычны, что решаются автоматически. При этом выполнение даже самой простой задачи осуществляется в несколько последовательных этапов (шагов). В виде последовательности шагов можно описать процесс решения многих задач, известных из школьного курса математики: приведение дробей к общему знаменателю, решение системы линейных уравнений путем последовательного исключения неизвестных, построение треугольника по трем сторонам с помощью циркуля и линейки и т.д. Такая последовательность шагов в решении задачи называется алгоритмом. Каждое отдельное действие – это шаг алгоритма. Последовательность шагов алгоритма строго фиксирована, т.е. шаги должны быть упорядоченными. Правда, существуют параллельные алгоритмы, для которых это требование не соблюдается.

Понятие алгоритма близко к другим понятиям, таким, как метод (метод Гаусса решения систем линейных уравнений), способ (способ построения треугольника по трем сторонам с помощью циркуля и линейки). Можно сформулировать основные особенности именно алгоритмов.

Наличие исходных данных и некоторого результата.

Алгоритм – это точно определенная инструкция, последовательно применяя которую к исходным данным, можно получить решение задачи. Для каждого алгоритма есть некоторое множество объектов, допустимых в качестве исходных данных. Например, в алгоритме деления вещественных чисел делимое может быть любым, а делитель не может быть равен нулю.

Массовость, т.е. возможность применять многократно один и тот же алгоритм. Алгоритм служит, как правило, для решения не одной конкретной задачи, а некоторого класса задач. Так алгоритм сложения применим к любой паре натуральных чисел.

Детерминированность.

При применении алгоритма к одним и тем же исходным данным должен получаться всегда один и тот же результат, поэтому, например, процесс преобразования информации, в котором участвует бросание монеты, не является детерминированным и не может быть назван алгоритмом.

Результативность.

Выполнение алгоритма должно обязательно приводить к его завершению. В то же время можно привести примеры формально бесконечных алгоритмов, широко применяемых на практике. Например, алгоритм работы системы сбора метеорологических данных состоит в непрерывном повторении последовательности действий («измерить температуру воздуха», «определить атмосферное давление»), выполняемых с определенной частотой (через минуту, час) во все время существования данной системы.

Определенность.

На каждом шаге алгоритма у исполнителя должно быть достаточно информации, чтобы его выполнить. Кроме того, исполнителю нужно четко знать, каким образом он выполняется. Шаги инструкции должны быть достаточно простыми, элементарными, а исполнитель должен однозначно понимать смысл каждого шага последовательности действий, составляющих алгоритм (при вычислении площади прямоугольника любому исполнителю нужно уметь умножать и трактовать знак «x » именно как умножение). Поэтому вопрос о выборе формы представления алгоритма очень важен. Фактически речь идет о том, на каком языке записан алгоритм.

Формы представления алгоритмов.

Для записи алгоритмов необходим некоторый язык, при этом очень важно, какой именно язык выбран. Записывать алгоритмы на русском языке (или любом другом естественном языке) громоздко и неудобно.

Например, описание алгоритма Евклида нахождения НОД (наибольшего общего делителя) двух целых положительных чисел может быть представлено в виде трех шагов. Шаг 1: Разделить m на n . Пусть p – остаток от деления.

Шаг 2: Если p равно нулю, то n и есть исходный НОД.

Шаг 3: Если p не равно нулю, то сделаем m равным n , а n равным p . Вернуться к шагу 1.

Приведенная здесь запись алгоритма нахождения НОД очень упрощенная. Запись, данная Евклидом, представляет собой страницу текста, причем последовательность действий существенно сложней.

Одним из распространенных способов записи алгоритмов является запись на языке блок-схем. Запись представляет собой набор элементов (блоков), соединенных стрелками. Каждый элемент – это «шаг» алгоритма. Элементы блок-схемы делятся на два вида. Элементы, содержащие инструкцию выполнения какого-либо действия, обозначают прямоугольниками, а элементы, содержащие проверку условия – ромбами. Из прямоугольников всегда выходит только одна стрелка (входить может несколько), а из ромбов – две (одна из них помечается словом «да», другая – словом «нет», они показывают, соответственно, выполнено или нет проверяемое условие).

На рисунке представлена блок-схема алгоритма нахождения НОД:

Построение блок-схем из элементов всего лишь нескольких типов дает возможность преобразовать их в компьютерные программы и позволяет формализовать этот процесс.

Формализация понятия алгоритмов. Теория алгоритмов.

Приведенное определение алгоритма нельзя считать представленным в привычном математическом смысле. Математические определения фигур, чисел, уравнений, неравенств и многих других объектов очень четки. Каждый математически определенный объект можно сравнить с другим объектом, соответствующим тому же определению. Например, прямоугольник можно сравнить с другим прямоугольником по площади или по длине периметра. Возможность сравнения математически определенных объектов – важный момент математического изучения этих объектов. Данное определение алгоритма не позволяет сравнивать какие-либо две таким образом определенные инструкции. Можно, например, сравнить два алгоритма решения системы уравнений и выбрать более подходящий в данном случае, но невозможно сравнить алгоритм перехода через улицу с алгоритмом извлечения квадратного корня. С этой целью нужно формализовать понятие алгоритма, т.е. отвлечься от существа решаемой данным алгоритмом задачи, и выделить свойства различных алгоритмов, привлекая к рассмотрению только его форму записи. Задача нахождения единообразной формы записи алгоритмов, решающих различные задачи, является одной из основных задач теории алгоритмов. В теории алгоритмов предполагается, что каждый шаг алгоритма таков, что его может выполнить достаточно простое устройство (машина), Желательно, чтобы это устройство было универсальным, т.е. чтобы на нем можно было выполнять любой алгоритм. Механизм работы машины должен быть максимально простым по логической структуре, но настолько точным, чтобы эта структура могла служить предметом математического исследования. Впервые это было сделано американским математиком Эмилем Постом в 1936 (машина Поста) еще до создания современных вычислительных машин и (практически одновременно) английским математиком Аланом Тьюрингом (машина Тьюринга).

История конечных автоматов: машина Поста и машина Тьюринга.

Машина Поста – абстрактная вычислительная машина, предложенная Постом (Emil L.Post), которая отличается от машины Тьюринга большей простотой. Обе машины «эквивалентны» и были созданы для уточнения понятия «алгоритм».

В 1935 американский математик Пост опубликовал в «Журнале символической логики» статью Финитные комбинаторные процессы, формулировка 1 . В этой статье и появившейся одновременно в Трудах Лондонского математического общества статье английского математика Тьюринга О вычислимых числах с приложением к проблеме решения были даны первые уточнения понятия «алгоритм». Важность идей Поста состоит в том, что был предложен простейший способ преобразования информации, именно он построил алгоритмическую систему (алгоритмическая система Поста). Пост доказал, что его система обладает алгоритмической полнотой. В 1967 профессор В.Успенский пересказал эти статьи с новых позиций. Он ввел термин «машина Поста». Машина Поста – абстрактная машина, которая работает по алгоритмам, разработанным человеком, она решает следующую проблему: если для решения задачи можно построить машину Поста, то она алгоритмически разрешима. В 1970 машина Поста была разработана в металле в Симферопольском университете. Машина Тьюринга была построена в металле в 1973 в Малой Крымской Академии Наук.

Абстрактная машина Поста представляет собой бесконечную ленту, разделенную на одинаковые клетки, каждая из которых может быть либо пустой, либо заполненной меткой «V». У машины есть головка, которая может перемещаться вдоль ленты на одну клетку вправо или влево, наносить в клетку ленты метку, если этой метки там ранее не было, стирать метку, если она была, либо проверять наличие в клетке метки. Информация о заполненных метками клетках ленты характеризует состояние ленты, которое может меняться в процессе работы машины. В каждый момент времени головка находится над одной из клеток ленты и, как говорят, обозревает ее. Информация о местоположения головки вместе с состоянием ленты характеризует состояние машины Поста. Работа машины Поста заключается в том, что головка передвигается вдоль ленты (на одну клетку за один шаг) влево или вправо, наносит или стирает метки, а также распознает, есть ли метка в клетке в соответствии с заданной программой, состоящей из отдельных команд.

Машина Тьюринга состоит из счетной ленты (разделенной на ячейки и ограниченной слева, но не справа), читающей и пишущей головки, лентопротяжного механизма и операционного исполнительного устройства, которое может находиться в одном из дискретных состояний q 0, q 1, …, qs , принадлежащих некоторой конечной совокупности (алфавиту внутренних состояний), при этом q 0 называется начальным состоянием. Читающая и пишущая головка может читать буквы рабочего алфавита A = {a 0, a 1, …, at }, стирать их и печатать. Каждая ячейка ленты в каждый момент времени занята буквой из множества А . Чаще всего встречается буква а 0 – «пробел». Головка находится в каждый момент времени над некоторой ячейкой ленты – текущей рабочей ячейкой. Лентопротяжный механизм может перемещать ленту так, что головка оказывается над соседней ячейкой ленты, при этом возможна ситуация выхода за левый край ленты, которая является аварийной (недопустимой), или машинного останова, когда машина выполняет предписание об остановке.

Современный взгляд на алгоритмизацию.

Теория алгоритмов строит и изучает конкретные модели алгоритмов. С развитием вычислительной техники и теории программирования возрастает необходимость построения новых экономичных алгоритмов, изменяются способы их построения, способы записи алгоритмов на языке, понятном исполнителю. Особый тип исполнителя алгоритмов – компьютер, поэтому необходимо создавать специальные средства, позволяющие, с одной стороны, разработчику в удобном виде записывать алгоритмы, а с другой – дающие компьютеру возможность понимать написанное. Такими средствами являются языки программирования или алгоритмические языки.

Анна Чугайнова

Одним из фундаментальных понятий в информатике является понятие алгоритма. Происхождение самого термина «алгоритм» связано с математикой. Это слово происходит от Algorithmi - латинского написания имени Мухаммеда аль-Хорезми (787 - 850) выдающегося математика средневекового Востока. В своей книге "Об индийском счете" он сформулировал правила записи натуральных чисел с помощью арабских цифр и правила действий над ними столбиком. В дальнейшем алгоритмом стали называть точное предписание, определяющее последовательность действий, обеспечивающую получение требуемого результата из исходных данных. Алгоритм может быть предназначен для выполнения его человеком или автоматическим устройством. Создание алгоритма, пусть даже самого простого, - процесс творческий. Он доступен исключительно живым существам, а долгое время считалось, что только человеку. В XII в. был выполнен латинский перевод его математического трактата, из которого европейцы узнали о десятичной позиционной системе счисления и правилах арифметики многозначных чисел. Именно эти правила в то время называли алгоритмами.

Данное выше определение алгоритма нельзя считать строгим - не вполне ясно, что такое «точное предписание» или «последовательность действий, обеспечивающая получение требуемого результата». Поэтому обычно формулируют несколько общих свойств алгоритмов, позволяющих отличать алгоритмы от других инструкций.

Такими свойствами являются:

· Дискретность (прерывность, раздельность) - алгоритм должен представлять процесс решения задачи как последовательное выполнение простых (или ранее определенных) шагов. Каждое действие, предусмотренное алгоритмом, исполняется только после того, как закончилось исполнение предыдущего.

· Определенность - каждое правило алгоритма должно быть четким, однозначным и не оставлять места для произвола. Благодаря этому свойству выполнение алгоритма носит механический характер и не требует никаких дополнительных указаний или сведений о решаемой задаче.

· Результативность (конечность) - алгоритм должен приводить к решению задачи за конечное число шагов.

· Массовость - алгоритм решения задачи разрабатывается в общем виде, то есть, он должен быть применим для некоторого класса задач, различающихся только исходными данными. При этом исходные данные могут выбираться из некоторой области, которая называется областью применимости алгоритма.

На основании этих свойств иногда дается определение алгоритма, например: “Алгоритм - это последовательность математических, логических или вместе взятых операций, отличающихся детерменированностью, массовостью, направленностью и приводящая к решению всех задач данного класса за конечное число шагов”. Такая трактовка понятия “алгоритм” является неполной и неточной. Во-первых, неверно связывать алгоритм с решением какой-либо задачи. Алгоритм вообще может не решать никакой задачи. Во-вторых, понятие “массовость” относится не к алгоритмам как к таковым, а к математическим методам в целом. Решение поставленных практикой задач математическими методами основано на абстрагировании - мы выделяем ряд существенных признаков, характерных для некоторого круга явлений, и строим на основании этих признаков математическую модель, отбрасывая несущественные признаки каждого конкретного явления. В этом смысле любая математическая модель обладает свойством массовости. Если в рамках построенной модели мы решаем задачу и решение представляем в виде алгоритма, то решение будет “массовым” благодаря природе математических методов, а не благодаря “массовости” алгоритма.

Разъясняя понятие алгоритма, часто приводят примеры “бытовых алгоритмов”: вскипятить воду, открыть дверь ключом, перейти улицу и т. д.: рецепты приготовления какого-либо лекарства или кулинарные рецепты являются алгоритмами. Но для того, чтобы приготовить лекарство по рецепту, необходимо знать фармакологию, а для приготовления блюда по кулинарному рецепту нужно уметь варить. Между тем исполнение алгоритма - это бездумное, автоматическое выполнение предписаний, которое в принципе не требует никаких знаний. Если бы кулинарные рецепты представляли собой алгоритмы, то у нас просто не было бы такой специальности - повар.

Правила выполнения арифметических операций или геометрических построений представляют собой алгоритмы. При этом остается без ответа вопрос, чем же отличается понятие алгоритма от таких понятий, как “метод”, “способ”, “правило”. Можно даже встретить утверждение, что слова “алгоритм”, “способ”, “правило” выражают одно и то же (т.е. являются синонимами), хотя такое утверждение, очевидно, противоречит “свойствам алгоритма”.

Само выражение “свойства алгоритма” некорректно. Свойствами обладают объективно существующие реальности. Можно говорить, например, о свойствах какого-либо вещества. Алгоритм - искусственная конструкция, которую мы сооружаем для достижения своих целей. Чтобы алгоритм выполнил свое предназначение, его необходимо строить по определенным правилам. Поэтому нужно говорить не о свойствах алгоритма, а о правилах построения алгоритма, или о требованиях, предъявляемых к алгоритму.

Первое правило - при построении алгоритма прежде всего необходимо задать множество объектов, с которыми будет работать алгоритм. Формализованное (закодированное) представление этих объектов носит название данных. Алгоритм приступает к работе с некоторым набором данных, которые называются входными, и в результате своей работы выдает данные, которые называются выходными. Таким образом, алгоритм преобразует входные данные в выходные.

Это правило позволяет сразу отделить алгоритмы от “методов” и “способов”. Пока мы не имеем формализованных входных данных, мы не можем построить алгоритм.

Второе правило - для работы алгоритма требуется память. В памяти размещаются входные данные, с которыми алгоритм начинает работать, промежуточные данные и выходные данные, которые являются результатом работы алгоритма. Память является дискретной, т.е. состоящей из отдельных ячеек. Поименованная ячейка памяти носит название переменной. В теории алгоритмов размеры памяти не ограничиваются, т. е. считается, что мы можем предоставить алгоритму любой необходимый для работы объем памяти.

В школьной “теории алгоритмов” эти два правила не рассматриваются. В то же время практическая работа с алгоритмами (программирование) начинается именно с реализации этих правил. В языках программирования распределение памяти осуществляется декларативными операторами (операторами описания переменных). В языке Бейсик не все переменные описываются, обычно описываются только массивы. Но все равно при запуске программы транслятор языка анализирует все идентификаторы в тексте программы и отводит память под соответствующие переменные.

Третье правило - дискретность. Алгоритм строится из отдельных шагов (действий, операций, команд). Множество шагов, из которых составлен алгоритм, конечно.

Четвертое правило - детерменированность. После каждого шага необходимо указывать, какой шаг выполняется следующим, либо давать команду остановки.

Пятое правило - сходимость (результативность). Алгоритм должен завершать работу после конечного числа шагов. При этом необходимо указать, что считать результатом работы алгоритма.

Итак, алгоритм - неопределяемое понятие теории алгоритмов. Алгоритм каждому определенному набору входных данных ставит в соответствие некоторый набор выходных данных, т. е. вычисляет (реализует) функцию. При рассмотрении конкретных вопросов в теории алгоритмов всегда имеется в виду какая-то конкретная модель алгоритма.

Любая работа на компьютере - это есть обработка информации. Работу компьютера можно схематически изобразить следующим образом:

“Информация” слева и “информация” справа - это разные информации. Компьютер воспринимает информацию извне и в качестве результата своей работы выдает новую информацию. Информация, с которой работает компьютер, носит название “данные”.

Компьютер преобразует информацию по определенным правилам. Эти правила (операции, команды) заранее занесены в память компьютера. В совокупности эти правила преобразования информации называются алгоритмом. Данные, которые поступают в компьютер, называются входными данными. Результат работы компьютера - выходные данные. Таким образом, алгоритм преобразует входные данные в выходные:


Теперь можно поставить вопрос: а может ли человек обрабатывать информацию? Конечно, может. В качестве примера можно привести обычный школьный урок: учитель задает вопрос (входные данные), ученик отвечает (выходные данные). Самый простой пример: учитель дает задание - умножить 6 на 3 и результат написать на доске. Здесь числа 6 и 3 - входные данные, операция умножения - алгоритм, результат умножения - выходные данные:


Вывод: решение математических задач - частный случай преобразования информации. Компьютер (по-английски означает вычислитель, на русском языке - ЭВМ, электронная вычислительная машина) был создан как раз для выполнения математических расчетов.

При решении любой математической задачи мы составляем алгоритм решения. Но прежде мы сами и выполняли этот алгоритм, то есть доводили решение до ответа. Теперь же мы будем только писать, что нужно сделать, но вычисления проводить не будем. Вычислять будет компьютер. Наш алгоритм будет представлять собой набор указаний (команд) компьютеру.

Когда мы вычисляем какую-либо величину, мы записываем результат на бумаге. Компьютер записывает результат своей работы в память в виде переменной. Поэтому каждая команда алгоритма должна включать указание, в какую переменную записывается результат.

Трактовка работы алгоритма как преобразования входных данных в выходные естественным образом подводит нас к рассмотрению понятия “постановка задачи”. Для того чтобы составить алгоритм решения задачи, необходимо из условия выделить те величины, которые будут входными данными и четко сформулировать, какие именно величины требуется найти. Другими словами, условие задачи требуется сформулировать в виде “Дано... Требуется” - это и есть постановка задачи.

Алгоритм применительно к вычислительной машине - точное предписание, т.е. набор операций и правил их чередования, при помощи которого, начиная с некоторых исходных данных, можно решить любую задачу фиксированного типа.

Виды алгоритмов как логико-математических средств отражают указанные компоненты человеческой деятельности и тенденции, а сами алгоритмы в зависимости от цели, начальных условий задачи, путей ее решения, определения действий исполнителя подразделяются следующим образом:

· Механические алгоритмы , или иначе детерминированные, жесткие (например, алгоритм работы машины, двигателя и т.п.);

· Гибкие алгоритмы , например стохастические, т.е. вероятностные и эвристические.

Механический алгоритм задает определенные действия, обозначая их в единственной и достоверной последовательности, обеспечивая тем самым однозначный требуемый или искомый результат, если выполняются те условия процесса, задачи, для которых разработан алгоритм.

· Вероятностный (стохастический) алгоритм дает программу решения задачи несколькими путями или способами, приводящими к вероятному достижению результата.

· Эвристический алгоритм (от греческого слова “эврика”) - это такой алгоритм, в котором достижение конечного результата программы действий однозначно не предопределено, так же как не обозначена вся последовательность действий, не выявлены все действия исполнителя. К эвристическим алгоритмам относят, например, инструкции и предписания. В этих алгоритмах используются универсальные логические процедуры и способы принятия решений, основанные на аналогиях, ассоциациях и прошлом опыте решения схожих задач.

· Линейный алгоритм - набор команд (указаний), выполняемых последовательно во времени друг за другом.

· Разветвляющийся алгоритм - алгоритм, содержащий хотя бы одно условие, в результате проверки которого ЭВМ обеспечивает переход на один из двух возможных шагов.

· Циклический алгоритм - алгоритм, предусматривающий многократное повторение одного и того же действия (одних и тех же операций) над новыми исходными данными. К циклическим алгоритмам сводится большинство методов вычислений, перебора вариантов.

Цикл программы - последовательность команд (серия, тело цикла), которая может выполняться многократно (для новых исходных данных) до удовлетворения некоторого условия.

Вспомогательный (подчиненный) алгоритм (процедура) - алгоритм, ранее разработанный и целиком используемый при алгоритмизации конкретной задачи. В некоторых случаях при наличии одинаковых последовательностей указаний (команд) для различных данных с целью сокращения записи также выделяют вспомогательный алгоритм.

На всех этапах подготовки к алгоритмизации задачи широко используется структурное представление алгоритма.

Структурная (блок-, граф-) схема алгоритма - графическое изображение алгоритма в виде схемы связанных между собой с помощью стрелок (линий перехода) блоков - графических символов, каждый из которых соответствует одному шагу алгоритма. Внутри блока дается описание соответствующего действия.

Графическое изображение алгоритма широко используется перед программированием задачи вследствие его наглядности, т.к. зрительное восприятие обычно облегчает процесс написания программы, ее корректировки при возможных ошибках, осмысливание процесса обработки информации.

Можно встретить даже такое утверждение: “Внешне алгоритм представляет собой схему - набор прямоугольников и других символов, внутри которых записывается, что вычисляется, что вводится в машину и что выдается на печать и другие средства отображения информации “. Здесь форма представления алгоритма смешивается с самим алгоритмом.

Принцип программирования “сверху вниз” требует, чтобы блок-схема поэтапно конкретизировалась и каждый блок “расписывался” до элементарных операций. Но такой подход можно осуществить при решении несложных задач. При решении сколько-нибудь серьезной задачи блок-схема “расползется” до такой степени, что ее невозможно будет охватить одним взглядом.

Блок-схемы алгоритмов удобно использовать для объяснения работы уже готового алгоритма, при этом в качестве блоков берутся действительно блоки алгоритма, работа которых не требует пояснений. Блок-схема алгоритма должна служить для упрощения изображения алгоритма, а не для усложнения.

При решении задач на компьютере необходимо не столько умение составлять алгоритмы, сколько знание методов решения задач (как и вообще в математике). Поэтому изучать нужно не программирование как таковое (и не алгоритмизацию), а методы решения математических задач на компьютере. Задачи следует классифицировать не по типам данных, как это обычно делается (задачи на массивы, на символьные переменные и т. д.), а по разделу “Требуется”.

В информатике процесс решения задачи распределяется между двумя субъектами: программистом и компьютером. Программист составляет алгоритм (программу), компьютер его исполняет. В традиционной математике такого разделения нет, задачу решает один человек, который составляет алгоритм решения задачи и сам выполняет его. Сущность алгоритмизации не в том, что решение задачи представляется в виде набора элементарных операций, а в том, что процесс решения задачи разбивается на два этапа: творческий (программирование) и не творческий (выполнение программы). И выполняют эти этапы разные субъекты - программист и исполнитель

В учебниках по информатике обычно пишут, что исполнителем алгоритма может быть и человек. На самом деле алгоритмы для людей никто не составляет (не будем забывать, что не всякий набор дискретных операций является алгоритмом). Человек в принципе не может действовать по алгоритму. Выполнение алгоритма - это автоматическое, бездумное выполнение операций. Человек всегда действует осмысленно. Для того чтобы человек мог выполнять какой-то набор операций, ему нужно объяснить, как это делается. Любую работу человек сможет выполнять только тогда, когда он понимает, как она выполняется.

Вот в этом - “объяснение и понимание” - и кроется различие между понятиями “алгоритм” и “способ”, “метод”, “правило”. Правила выполнения арифметических операций - это именно правила (или способы), а не алгоритмы. Конечно, эти правила можно изложить в виде алгоритмов, но толку от этого не будет. Для того чтобы человек смог считать по правилам арифметики, его нужно научить. А если есть процесс обучения, значит, мы имеем дело не с алгоритмом, а с методом.

При составлении алгоритма программист никому ничего не объясняет, а исполнитель не пытается ничего понять. Алгоритм размещается в памяти компьютера, который извлекает команды по одной и исполняет их. Человек действует по-другому. Чтобы решить задачу, человеку требуется держать в памяти метод решения задачи в целом, а воплощает этот метод каждый по-своему.

Очень ярко эта особенность человеческой психологии - неалгоритмичность мышления - проявилась в методическом пособии А. Г. Гейна и В. Ф. Шолоховича. В пособии излагаются решения задач из известного учебника. Решения задач должны быть представлены в виде алгоритмов. Однако авторы пособия понимают, что если просто написать алгоритм решения задачи, то разобраться в самом решении будет трудно. Поэтому они сначала приводят “нечеткое изложение алгоритма” (т. е. объясняют решение задачи), а затем пишут сам алгоритм.