Телевизор 

Аналитические и имитационные модели. Имитационное моделирование

Иерархические системы

Иерархический принцип построения модели как одно из определений структурной сложности. Иерархический и составной характер построения системы.

Вертикальная соподчиняемость.

Право вмешательства. Обязательность действий вышестоящих подсистем.

Страты - уровни описания или обстрагирования. Система представляется комплексом моделей - технологические, информационные и т.п. со своими наборами переменных.

Слои - уровни сложности принемаемого решения:

1. срочное решение;

2. неопределенность или неоднозначность выбора.

Разбитие сложной проблемы на более простые: слой выбора способа действия, слой адаптации, слой самоорганизации.

Многоэшелонные системы. Состоит из четко выраженных подсистем, некоторые из них являются принимающими решения иерархия подсистем и принятия решений.

Декомпозиция на подсистемы - функционально-целевой принцип, декомпозиция по принципу сильных связей.

Метод имитационного моделирования позволяет решать задачи анализа больших систем, включая задачи оценки вариантов структуры системы, эффективности различных алгоритмов управления системой, влияния изменения различных параметров системы и др.

Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование при анализе и синтезе позволяет объединить достоинства и одного, и другого методов. При построении комбинированных моделей проводится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы и для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных строятся имитационные.

65. Ситуационное моделирование

Имитационное моделирование (ситуационное моделирование) - метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику.

Имитационное моделирование - это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью, с достаточной точностью описывающей реальную систему, с которой проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией (имитация - это постижение сути явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте).

Имитационное моделирование - это частный случай математического моделирования. Существует класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические модели, либо не разработаны методы решения полученной модели. В этом случае аналитическая модель заменяется имитатором или имитационной моделью.

Имитационным моделированием иногда называют получение частных численных решений сформулированной задачи на основе аналитических решений или с помощью численных методов .

Имитационная модель - логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.

Существует два подхода к построению модели: «аналитическое» и «имитационное» моделирование.

Аналитическое моделирование основано на косвенном описании моделируемого объекта с помощью набора математических формул. При этом предполагается использование математической модели реального объекта в форме алгебраических, дифференциальных, интегральных, и других уравнений, связывающих выходные переменные с входными. Вводится система ограничений. Обычно предполагается наличие однозначной вычислительной процедуры получения точного решения уравнений. Язык аналитического описания содержит следующие основные группы семантических элементов: критерий, неизвестные, данные, математические операции, ограничения. Наиболее существенно то, что аналитическая модель, вообще говоря, не является структурно подобной объекту моделирования. Под структурным подобием тут понимается однозначное соответствие элементов и связей модели элементам и связям моделируемого объекта. К аналитическим моделям относятся модели, построенные на основе аппарата математического программирования, корреляционного, регрессионного анализа.

Аналитическая модель всегда представляет собой формальную конструкцию, которую можно проанализировать и разрешить математическими средствами. Так если используется аппарат математического программирования, то модель состоит из целевой функции и системы ограничений на переменные. Целевая функция, как правило, выражает ту характеристику системы, которую требуется вычислить или оптимизировать. В частности это может быть производительность системы. Переменные выражают варьируемые технические характеристики системы, ограничения – их допустимые предельные значения. Процесс (в определённом выше смысле), происходящий на объекте, может и не иметь прямого аналога в аналитической модели. Аналитические модели являются эффективным средством для решения задач оптимизации или вычисления характеристик различного рода систем, в том числе информационных, производственных и др. Однако в ряде практических задач применение аналитических моделей затруднительно из-за их большой размерности.

Имитационное моделирование основано на прямом описании моделируемого объекта. Существенной характеристикой таких моделей является структурное подобие объекта и модели. Это значит, что каждому существенному с точки зрения решаемой задачи элементу объекта ставится в соответствие элемент модели. При этом описываются законы функционирования каждого элемента объекта и связи между ними. Работа с имитационной моделью заключается в проведении имитационного эксперимента. Процесс, протекающий в модели в ходе эксперимента, подобен процессу в реальном объекте. Поэтому исследование объекта по его имитационной модели сводится к изучению характеристик процесса, протекающего в ходе эксперимента.

Для формального представления реальной системы при имитационном моделировании обычно используется схема с дискретными событиями. При этом процесс функционирования системы во времени отождествляется с последовательностью событий, возникающих в системе в соответствии с закономерностями её функционирования. В формальное понятие «события» вкладывается конкретное смысловое содержание, определяемое целями моделирования.

Ценным качеством имитации является возможность управлять масштабом времени. Динамический процесс в имитационной модели протекает в так называемом системном времени. Системное время имитирует реальное время. При этом пересчет системного времени в модели можно выполнять двумя способами: первый заключается в «движении» по времени с некоторым постоянным шагом t, второй – в движении по времени от события к событию. При этом допускается, что в промежутках времени между событиями изменений в модели не происходит.

Основное назначение имитационного моделирования состоит в следующем:

    выделить основные, существенные переменные, оценить степень влияния их изменения на исследуемые параметры системы, а также определить «узкие» места, т.е. технологические, организационные или управленческие, наиболее существенно влияющие на показатель функционирования системы;

    изучить воздействие различных организационных, управленческих и технико-экономических изменений на показатель функционирования системы;

    оценить различные варианты технических решений, стратегий управления при поиске оптимальной структуры системы.

По способу описания динамики поведения может быть избрана соответствующая схема построения имитационной модели. Модель может быть описана посредством событий, работ (активностей), процессов и транзактов.

Событие представляет собой причину мгновенного изменения состояния некоторого элемента системы или состояния системы в целом. Обычно события подразделяют на события следования, т.е. события, которые управляют инициализацией процессов или отдельных работ внутри процесса, и события изменения состояний системы или ее элементов.

На основе событий целесообразно строить модель с целью изучения причинно-следственных связей, присущих системе.

Если исследователя интересует не только логика смены состояний, но и временные характеристики ее работы, механизм событий служит основой для представления в модели работ, процессов, транзактов.

Работа – это единичное действие системы по обработке входных данных (информационные данные, материальные ресурсы). Каждая из работ характеризуется временем выполнения и потребляемыми ресурсами. С помощью моделей, описыва5емых в терминах работ, могут решаться задачи по оценке качества распределения ресурсов системы, ее производительности, надежности. Процесс – логически связанный набор работ.

Статическими характеристиками процесса (работы) являются длительность, результат, потребляемые ресурсы, условия запуска (активизации), условия остановки (прерывания). Динамической характеристикой процесса (работы) является его состояние (например, активен или находится в системном ожидании). При описании системы в терминах работ и процессов используются оба вида событий.

Транзакт – это некоторое сообщение (заявка на обслуживание), которое поступает извне на вход системы и подлежит обработке. Прохождение тразакта по системе можно в некоторых случаях рассматривать как последовательную активизацию процессов, реализующих его обработку (обслуживание заявки).

При имитационном моделировании используемая математическая модель воспроизводит логику («алгоритм») функционирования исследуемой системы во времени при различных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды. Это наблюдение поведения модели системы под влиянием входных воздействий.

Очевидно, в одних случаях более предпочтительным является аналитическое моделирование, в других – имитационное (или сочетания того и другого). Выбор использования одного из подходов зависит от целей моделирования и от класса моделируемого явления.

5.1. Разработка имитационных моделей сложных систем

5.1.1. Имитационное моделирование

Одним из наиболее важных и полезных орудий анализа структуры сложных процессов и систем стало имитационное моделирование. Имитировать, согласно словарю Вебстера, значит "вообразить, постичь суть явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте". По существу, каждая модель или представление вещи есть форма имитации. Имитационное моделирование является весьма широким и недостаточно четко определенным понятием, имеющим очень большое значение для лиц, ответственных за проектирование и функционирование систем. Рискуя заслужить обвинение в чрезмерном самомнении, мы воздержимся от анализа различных определений другими авторами и остановимся на своем собственном. Имитационное моделирование есть процесс конструирования модели реальной системы и постановки экспериментов на этой модели с целью либо понять поведение системы, либо оценить (в рамках ограничений, накладываемых некоторым критерием или совокупностью критериев) различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы. Таким образом, процесс имитационного моделирования мы понимаем как процесс, включающий и конструирование модели, и аналитическое применение модели для изучения некоторой проблемы. Под моделью реальной системы мы понимаем представление группы объектов или идей в некоторой форме, отличной от их реального воплощения; отсюда термин "реальный" используется в смысле "существующий или способный принять одну из форм существования". Следовательно, системы, существующие еще только на бумаге или находящиеся в стадии планирования, могут моделироваться так же, как и действующие системы.

Поэтому имитационное моделирование является экспериментальной и прикладной методологией, имеющей целью:

· описать поведение системы;

· построить теории и гипотезы, которые могут объяснить наблюдаемое поведение;

· использовать эти теории для предсказания будущего поведения системы, т. е. тех воздействий, которые могут быть вызваны изменениями в системе или изменениями способов ее функционирования.

В отличие от большинства технических методов, которые могут быть классифицированы в соответствии с научными дисциплинами, в которые они уходят своими корнями (например, с физикой или химией), имитационное моделирование применимо в любой отрасли науки.

5.1.2. Функции моделей

Идея представления некоторого объекта, системы или понятия при помощи модели носит столь общий характер, что дать полную классификацию функций модели затруднительно. Различают пять узаконенных и ставших привычными случаев применения моделей в качестве:


1) средства осмысления действительности;

2) средства общения;

3) средства обучения и тренажа;

4) инструмента прогнозирования;

5) средства постановки экспериментов.

Модель может служить для достижения одной из двух основных целей: либо описательной, если модель служит для объяснения и (или) лучшего понимания объекта, либо предписывающей, когда модель позволяет предсказать и (или) воспроизвести характеристики объекта, определяющие его поведение. Модель предписывающего типа обычно является и описательной, но не наоборот. Это означает, что предписывающая модель почти всегда является описательной по отношению к моделируемому объекту, но описательная модель не всегда полезна для целей планирования и проектирования. Вероятно, в этом кроется одна из причин, почему экономические модели (в которых обнаруживается тенденция к описательности) оказали небольшое воздействие на управление экономическими системами и мало применялись в качестве вспомогательного средства управления на высшем уровне, в то время как модели исследования операций, по общему признанию, оказали значительное воздействие на эти сферы.

5.1.3. Классификация моделей

Модели вообще и имитационные модели в частности можно классифицировать различными способами. К сожалению, ни один из них не является полностью удовлетворительным, хотя каждый служит определенной цели. Укажем некоторые типовые группы моделей, которые могут быть положены в основу системы классификации:

· статические (например, поперечный разрез объекта) и динамические (временные ряды);

· детерминистские и стохастические;

· дискретные и непрерывные;

· натурные, аналоговые и символические.

Имитационные модели можно представить в виде непрерывного спектра, простирающегося от точных моделей или макетов реальных объектов до совершенно абстрактных математических моделей (рис. 4).

При моделировании сложной системы исследователь обычно вынужден использовать совокупность нескольких моделей из числа разновидностей, упомянутых выше. Любая система или подсистема может быть представлена различными способами, которые значительно отличаются друг от друга по сложности и детализации. В большинстве случаев в результате системных исследований появляются несколько различных моделей одной и той же системы. Но обычно по мере того, как исследователь глубже анализирует и лучше понимает проблему, простые модели заменяются все более сложными.

Рис. 4. Классификация моделей

5.1.4. Достоинства и недостатки имитационного моделирования

Все имитационные модели представляют собой модели типа «черного ящика». Поэтому для получения необходимой информации или результатов необходимо осуществлять "прогон" имитационных моделей, а не "решать" их. Имитационные модели не способны формировать свое собственное решение в том виде, в каком это имеет место в аналитических моделях, а могут лишь служить в качестве средства для анализа поведения системы в условиях, которые определяются экспериментатором. Более того, имитационное моделирование является только одним из нескольких имеющихся в распоряжении системного аналитика важнейших методов решения проблем. Поскольку необходимо и желательно приспосабливать средство или метод к решению задачи, а не наоборот, то возникает естественный вопрос: в каких случаях имитационное моделирование полезно?

Мы определили имитационное моделирование как экспериментирование с моделью реальной системы. Необходимость решения задач путем экспериментирования становится очевидной, когда возникает потребность получить о системе специфическую информацию, которую нельзя найти в известных источниках. Известно, что непосредственное экспериментирование на реальной системе устраняет много затруднений, если необходимо обеспечить соответствие между моделью и реальными условиями; однако недостатки такого экспериментирования иногда весьма значительны, поскольку:

1. Оно может нарушить установленный порядок работы фирмы.

2. Если составной частью системы являются люди, то на результаты экспериментов может повлиять так называемый хауторнский эффект, проявляющийся в том, что люди, чувствуя, что за ними наблюдают, могут изменить свое поведение.

3. Может оказаться сложным поддержание одних и тех же рабочих условий при каждом повторении эксперимента или в течение всего времени проведения серии экспериментов.

4. Для получения одной и той же величины выборки (и, следовательно, статистической значимости результатов экспериментирования) могут потребоваться чрезмерные затраты времени и средств.

5. При экспериментировании с реальными системами может оказаться невозможным исследование множества альтернативных вариантов.

По этим причинам исследователь должен рассмотреть целесообразность применения имитационного моделирования при наличии любого из следующих условий:

1. Не существует законченной математической постановки данной задачи либо еще не разработаны аналитические методы решения сформулированной математической модели. К этой категории относятся многие модели массового обслуживания, связанные с рассмотрением очередей.

2. Аналитические методы имеются, но математические процедуры столь сложны и трудоемки, что имитационное моделирование дает более простой способ решения задачи.

3. Аналитические решения существуют, но их реализация невозможна вследствие недостаточной математической подготовки имеющегося персонала. В этом случае следует сопоставить затраты на проектирование, испытания и работу на имитационной модели с затратами, связанными с приглашением специалистов со стороны.

4. Кроме оценки определенных параметров желательно осуществить на имитационной модели наблюдение за ходом процесса в течение определенного периода.

5. Имитационное моделирование может оказаться единственной возможностью вследствие трудностей постановки экспериментов и наблюдений явлений в реальных условиях; соответствующим примером может служить изучение поведения космических кораблей в условиях межпланетных полетов.

6. Для долговременного действия систем или процессов может понадобиться сжатие временной шкалы. Имитационное моделирование дает возможность полностью контролировать время изучаемого процесса, поскольку явление может быть замедлено или ускорено по желанию. К этой категории относятся, например, исследования проблем упадка городов.

Можно ли вообще, опираясь на имитационное моделирование, получить результаты также и наиболее эффективным способом? Ответ нередко будет отрицательным и по следующим причинам:

1. Разработка хорошей имитационной модели часто обходится дорого и требует много времени, а также наличия высокоодаренных специалистов, которых в данной фирме может и не оказаться. Для создания хорошей модели внутрифирменного планирования может потребоваться от 3 до 11 лет.

2. Может показаться, что имитационная модель отражает реальное положение вещей, хотя в действительности это не так. Если этого не учитывать, то некоторые свойственные имитации особенности могут привести к неверному решению.

3. Имитационная модель в принципе не точна, и мы не в состоянии измерить степень этой неточности. Это затруднение может быть преодолено лишь частично путем анализа чувствительности модели к изменению определенных параметров.

4. Результаты, которые дает имитационная модель, обычно являются численными, а их точность определяется количеством знаков после запятой, выбираемым экспериментатором. В связи с этим возникает опасность "обожествления чисел", т. е. приписывания им большей значимости, чем они на самом деле имеют.

5.1.5. Структура имитационных моделей

Прежде чем начать разработку модели, необходимо понять, что собой представляют структурные элементы, из которых она строится. Хотя математическая или физическая структура модели может быть очень сложной, основы ее построения весьма просты. В самом общем виде структуру модели мы можем представить математически в виде

где Е - результат действия системы; x i - переменные и параметры, которыми мы можем управлять; y i - переменные и параметры, которыми мы управлять не можем; f - функциональная зависимость между x i и y i , которая определяет величину Е .

Столь явное и чрезмерное упрощение полезно лишь тем, что оно показывает зависимость функционирования системы как от контролируемых нами, так и от неконтролируемых переменных. Почти каждая модель представляет собой, вообще говоря, некоторую комбинацию таких составляющих, как

Компоненты,

Переменные,

Параметры,

Функциональные зависимости,

Ограничения,

Целевые функции.

Под компонентами мы понимаем составные части, которые при соответствующем объединении образуют систему. Иногда мы считаем компонентами также элементы системы или её подсистему.

Система определяется как группа или совокупность объектов, объединенных некоторой формой регулярного взаимодействия или взаимозависимости для выполнения заданной функции. Компоненты суть объекты, образующие изучаемую систему.

Параметры суть величины, которые оператор, работающий на модели, может выбирать произвольно, в отличие от переменных, которые могут принимать только значения, определяемые видом данной функции. Смотря на это под другим углом зрения, мы можем сказать, что параметры, после того как они установлены, являются постоянными величинами, не подлежащими изменению.

В модели системы мы различаем переменные двух видов - экзогенные и эндогенные. Экзогенные переменные называются также входными; это значит, что они порождают вне системы или являются результатом воздействия внешних причин. Эндогенными переменными называются переменные, возникающие в системе или в результате воздействия внутренних причин. Мы также называем эндогенные переменные переменными состояния (когда они характеризуют состояние или условия, имеющие место в системе) либо выходными переменными (когда речь идет о выходах системы). Статистики иногда называют экзогенные переменные независимыми, а эндогенные зависимыми.

Функциональные зависимости описывают поведение переменных и параметров в пределах компонента или выражают соотношения между компонентами системы. Эти отношения, или операционные характеристики, по своей природе являются либо детерминистскими, либо стохастическими. Детерминистские соотношения - это тождества или определения, которые устанавливают зависимость между определенными переменными или параметрами в тех случаях, когда процесс на выходе системы однозначно определяется заданной информацией на входе. В отличие от этого стохастические соотношения представляют собой такие зависимости, которые при заданной входной информации дают на выходе неопределенный результат. Оба типа соотношений обычно выражаются в форме математического уравнения, которое устанавливает зависимость между эндогенными переменными (переменными состояния) и экзогенными переменными. Обычно эти соотношения можно строить лишь на основе гипотез или выводить с помощью статистического или математического анализа. Ограничения представляют собой устанавливаемые пределы изменений значений переменных или ограничивающие условия распределения и расходования тех или иных средств (энергии, запасов и т.п.). Они могут вводиться либо разработчиком (искусственные ограничения), либо самой системой вследствие присущих ей свойств (естественные ограничения). Примерами искусственных ограничений могут быть заданные максимальный и минимальный уровни занятости рабочих или установления максимальная сумма денежных средств, ассигнуемых на капиталовложения. В физической системе такого типа, как ракета, искусственными ограничением может быть заданный минимальный радиус действия или максимально допустимый вес. Большинство технических требований к системам представляет собой набор искусственных ограничений. Естественные ограничения обусловлены самой природой системы. Например, нельзя продать больше изделий, чем система может изготовить, и никто не может сконструировать систему, нарушающую законы природы. Таким образом, ограничения одного типа обусловлены неизменными законами природы, в то время как ограничения другого типа, будучи делом рук человеческих, могут подвергаться изменению. Исследователю он должен постоянно оценивать принесенные человеком ограничения, с тем чтобы ослабить или усилить их по мере необходимости. Целевая функция, или функция критерия,- это точное отображение целей или задач системы и необходимых правил оценки их выполнения. Различают два типа целей: сохранение и приобретение. Цели сохранения связаны с сохранением или поддержанием каких-либо ресурсов (временных, энергетических, творческих и т. д.) или состояний (комфорта, безопасности, уровня занятости и т. д.). Цели приобретения связаны с приобретением новых ресурсов (прибыли, персонала, заказчиков и т. п.) или достижением определенных состояний, к которым стремится организация или руководитель (захват части рынка, достижение состояния устрашения и т.п.). Выражение для целевой функции должно быть однозначным определением целей и задач, с которыми должны соразмеряться принимаемые решения. Цитированный выше словарь Вебстера определяет понятие «критерий» как «мерило оценки, правило или вид проверки, при помощи которых составляется правильное суждение о чем-либо». Это четкое и однозначное определение критерия очень важно по двум причинам. Во-первых, оно оказывает громадное влияние на процесс создания модели и манипулирования с ней. Во-вторых, неправильное определение критерия обычно ведет к неправильным заключениям. Функция критерия (целевая функция) обычно является органической составной частью модели, и весь процесс манипулирования с моделью направлен на оптимизацию или удовлетворение заданного критерия.

5.1.6.Структурный синтез систем

Сходство модели с объектом, который она отображает, называется степенью изоморфизма. Для того чтобы быть изоморфной (т. е. идентичной или сходной по форме), модель должна удовлетворять двум условиям.

Во-первых, должно существовать взаимно однозначное соответствие между элементами модели и элементами представляемого объекта. Во-вторых, должны быть сохранены точные соотношения или взаимодействия между элементами. Степень изоморфизма модели относительна, и большинство моделей скорее гомоморфны, чем изоморфны. Под гомоморфизмом мы понимаем сходство по форме при различии основных структур, причем имеет место лишь поверхностное подобие между различными группами элементов модели и объекта. Гомоморфные модели являются результатом процессов упрощения и абстракции.

Ученый, изучающий проблемы управления, для построения полезных моделей также прибегает к упрощению. Он предполагает, что его переменные либо детерминированы (чрезвычайно упрощенная трактовка реальности), либо подчиняются законам случайных событий, описываемым известными вероятностными функциями распределений, таких, как нормальное, пуассоновское, экспоненциальное и т. д. Он также зачастую предполагает, что зависимости между переменными носят линейный характер, зная, что такое допущение не совсем правомерно. Это часто бывает необходимым и оправданным, если требуется построить модели, поддающиеся математическому описанию. Другим аспектом анализа является абстракция - понятие, которое в отличие от упрощения не так легко объяснить и осмыслить. Абстракция содержит или сосредоточивает в себе существенные качества или черты поведения объекта (вещи), но не обязательно в той же форме и столь детально, как это имеет место в оригинале. Большинство моделей - это абстракции в том смысле, что они стремятся представить качества и поведение моделируемого объекта в форме или способом, отличающимися от их действительной реализации. Так, в схеме организации работ мы пытаемся в абстрактной форме отразить трудовые взаимоотношения между различными группами работающих или отдельными членами таких групп. То обстоятельство, что подобная схема только поверхностно отображает реальные взаимоотношения, не умаляет ее полезности для определенных целей.

После того как мы проанализировали и промоделировали части или элементы системы, мы приступаем к их объединению в единое целое. Иными словами, мы можем путем синтеза относительно простых частей сконструировать некоторое приближение к сложной реальной ситуации. Здесь важно предусмотреть два момента. Во-первых, используемые для синтеза части должны быть выбраны корректно, и, во-вторых, должно быть корректно предсказано их взаимодействие (это будет подробно рассмотрено ниже, когда мы коснемся вопросов установления и проверки соответствия модели реальному объекту). Если все это выполнено должным образом, то эти процессы анализа, абстракции, упрощения и синтеза в итоге приведут к созданию модели, которая аппроксимирует поведение изучаемой реальной системы. Необходимо помнить, однако, что модель является только приближением (аппроксимацией), а поэтому не будет себя вести в точности, как реальный объект. Мы оптимизируем модель, но не реальную систему. Вопрос о том, существует ли действительно взаимосвязь между характеристиками нашей модели и реальностью, зависит от того, насколько правильно и разумно мы провели наши процессы анализа, абстракции, упрощения и синтеза.

5.1.7. Искусство моделирования

Искусство моделирования состоит в способности анализировать проблему, выделять из нее путем абстракции ее существенные черты, выбирать и должным образом модифицировать основные предположения, характеризующие систему, а затем отрабатывать и совершенствовать модель до тех пор, пока она не станет давать полезные для практики результаты. При моделировании следует учитывать следующие правила:

Разложить общую задачу исследования системы на ряд более простых задач,

Четко сформулировать цели,

Подыскать аналогии,

Рассмотреть специальный численный пример, соответствующий данной задаче,

Выбрать определенные обозначения,

Записать очевидные соотношения,

Если полученная модель поддается математическому описанию, расширить ее. В противном случае упростить.

Вообще говоря, упростить модель можно, выполнив одну из перечисленных ниже операций (в то время как для расширения модели требуется как раз обратное):

Превратить переменные величины в константы;

Исключить некоторые переменные или объединить их;

Предположить линейную зависимость между исследуемыми величинами;

Ввести более жесткие предположения и ограничения;

Наложить на систему более жесткие граничные условия.

5.1.8. Требования к хорошей модели

Мы определили имитацию как процесс создания модели реальной системы и проведения с этой моделью экспериментов с целью осмысления поведения системы или оценки различных стратегий, которые могут использоваться при управлении системой. Это определение подсказывает ряд существенных черт, которыми должна обладать хорошая имитационная модель, и устанавливает границы ее использования. Согласно этому определению, модель должна быть 1) связана с функционированием системы, 2) ориентирована на решение проблем реального мира и 3) построена так, чтобы служить подспорьем тем, кто управляет системами, или по крайней мере тем, кого интересует их поведение.

Всегда следует помнить о потребителе информации, которую позволяет получить наша модель. Нельзя оправдать разработку имитационной модели, если ее в конечном счете нельзя использовать или если она не приносит пользу лицу, принимающему решения.

Приведем критерии, которым должна удовлетворять хорошая модель. Модель должна быть:

Простой и понятной пользователю,

Целенаправленной,

Надежной в смысле гарантии от абсурдных ответов,

Удобной в управлении и обращении, т. е. общение с ней должно быть легким,

Полной с точки зрения возможностей решения главных задач,

Адаптивной, позволяющей легко переходить к другим модификациям или обновлять данные,

Допускающей постепенные изменения в том смысле, что, будучи вначале простой, она может во взаимодействии с пользователем становиться все более сложной.

5.1.9. Процесс имитации

Исходя из того, что имитация должна применяться для исследования реальных систем, можно выделить следующие этапы этого процесса (рис. 5):

1. Определение системы - установление границ, ограничений и измерителей эффективности системы, подлежащей изучению.

2. Формулирование модели - переход от реальной системы к некоторой логической схеме (абстрагирование).

3. Подготовка данных - отбор данных, необходимых для построения модели, и представление их в соответствующей форме.

4. Трансляция модели - описание модели на языке, приемлемом для используемой ЭВМ.

5. Оценка адекватности - повышение до приемлемого уровня степени уверенности, с которой можно судить относительно корректности выводов о реальной системе, полученных на основании обращения к модели.

Рис. 5. Этапы имитационного моделирования


6. Стратегическое планирование - планирование эксперимента, который должен дать необходимую информацию.

7. Тактическое планирование - определение способа проведения каждой серии испытаний, предусмотренных планом эксперимента.

8. Экспериментирование - процесс осуществления имитации с целью получения желаемых данных и анализа чувствительности.

9. Интерпретация - построение выводов по данным, полученным путем имитации.

10. Реализация - практическое использование модели и (или) результатов моделирования.

11. Документирование - регистрация хода осуществления проекта и его результатов, а также документирование процесса создания и использования модели.

5.1.10. Проверка модели

Такого процесса, как «испытание» правильности модели, не существует. Вместо этого экспериментатор в ходе разработки должен провести серию проверок, с тем, чтобы укрепить свое доверие к модели. Для этого могут быть использованы проверки трех видов. Применяя первую из них, мы должны убедиться, что модель верна, так сказать, в первом приближении. Например, следует поставить такой вопрос: не будет ли модель давать абсурдные ответы, если ее параметры будут принимать предельные значения? Мы должны также убедиться в том, что результаты, которые мы получаем, по-видимому, имеют смысл. Последнее может быть выполнено для моделей существующих систем методом, предложенным Тьюрингом . Он состоит в том, что людей, непосредственно связанных с работой реальной системы, просят сравнить результаты, полученные имитирующим устройством, с данными, получаемыми на выходе реальной системы. Для того чтобы такая проверка была несколько более строгой в научном отношении, мы можем предложить экспертам указать на различия между несколькими выборками имитированных данных и аналогичными выборками, полученными в реальной системе.

Второй метод оценки адекватности модели состоит в проверке исходных предположений, третий - в проверке преобразований информации от входа к выходу. Последние два метода могут привести к необходимости использовать статистические выборки для оценки средних значений и дисперсий, дисперсионный анализ, регрессионный анализ, факторный анализ, спектральный анализ, автокорреляцию, метод проверки с помощью критерия «хи-квадрат» и непараметрические проверки. Поскольку каждый из этих статистических методов основан на некоторых допущениях, то при использовании каждого из них возникают вопросы, связанные с оценкой адекватности. Некоторые статистические испытания требуют меньшего количества допущений, чем другие, но, в общем, эффективность проверки убывает по мере того, как исходные ограничения ослабляются.

Оценку имитационной модели можно производить тремя способами:

1) верификацией, используя которую экспериментатор хочет убедиться, что модель ведет себя так, как было задумано;

2) оценкой адекватности - проверкой соответствия между поведением модели и поведением реальной системы;

3) проблемным анализом - формулированием статистически значимых выводов на основе данных, полученных путем машинного моделирования.

5.2. Языки имитационного моделирования

Каждое исследование включает сбор данных, под которым обычно понимают получение каких-то численных характеристик. Но это только одна сторона сбора данных. Системного аналитика должны интересовать входные и выходные данные изучаемой системы, а также информация о различных компонентах системы, взаимозависимостях и соотношениях между ними. Поэтому он заинтересован в сборе как количественных, так и качественных данных; он должен решить, какие из них необходимы, насколько они соответствуют поставленной задаче и как собрать всю эту информацию. Учебники обычно сообщают студенту нужную для решения задачи информацию без ссылок на то, как она была собрана и оценена. Но когда такой студент впервые сталкивается с реальной задачей и при этом сам должен определить, какие данные ему нужны и как их отобрать, то с подобной задачей он справиться не может.

Создавая стохастическую имитационную модель, всегда приходится решать, следует ли в модели использовать имеющиеся эмпирические данные непосредственно или целесообразно использовать теоретико-вероятностные или частотные распределения. Этот выбор имеет фундаментальное значение по трем причинам. Во-первых, использование необработанных эмпирических данных означает, что, как бы вы ни старались, вы можете имитировать только прошлое. Использование данных за один год отобразит работу системы за этот год и не обязательно скажет нам что-либо об ожидаемых особенностях работы системы в будущем. При этом возможными будут считаться только те события, которые уже происходили. Одно дело предполагать, что данное распределение в своей основной форме будет неизменным во времени, и совсем иное дело считать, что характерные особенности данного года будут всегда повторяться. Во-вторых, в общем случае применение теоретических частотных или вероятностных распределений с учетом требований к машинному времени и памяти более эффективно, чем использование табличных данных для получения случайных вариационных рядов, необходимых в работе с моделью. В-третьих, крайне желательно и даже, пожалуй, обязательно, чтобы аналитик-разработчик модели определил ее чувствительность к изменению вида используемых вероятностных распределений и значений параметров. Иными словами, крайне важны испытания модели на чувствительность конечных результатов к изменению исходных данных. Таким образом, решения относительно пригодности данных для использования, их достоверности, формы представления, степени соответствия теоретическим распределениям и прошлым результатам функционирования системы - все это в сильной степени влияет на успех эксперимента по имитационному моделированию и не является плодом чисто теоретических умозаключений.

В конечном счете, перед разработчиком модели возникает проблема ее описания на языке, приемлемом для используемой ЭВМ. Быстрый переход к машинному моделированию привел к развитию большого числа специализированных языков программирования, предназначенных для этой цели. На практике, однако, каждый из большинства предложенных языков ориентирован только на ограниченный набор машин. Имитационные модели обычно имеют очень сложную логическую структуру, характеризующуюся множеством взаимосвязей между элементами системы, причем многие из этих взаимосвязей претерпевают в ходе выполнения программы динамические изменения. Эта ситуация побудила исследователей разработать языки программирования для облегчения проблемы трансляции. Поэтому языки имитационного моделирования типа GPSS, Симскрипт, Симула, Динамо и им подобные являются языками более высокого уровня, чем универсальные языки типа Фортран, Алгол и Бэйсик. Требуемая модель может быть описана с помощью любого универсального языка, тем не менее какой-либо из специальных языков имитационного моделирования может обладать теми или иными преимуществами при определенных характеристиках модели. Основные отличия языков имитационного моделирования друг от друга определяются:

1) способом организации учета времени происходящих действий;

2) правилами присвоения имен структурным элементам;

3) способом проверки условий, при которые реализуются действия;

4) видом статистических испытаний, которые возможны при наличии данных;

5) степенью трудности изменения структуры модели.

Хотя некоторые из специальных языков имитационного моделирования обладают очень нужными и полезными свойствами, выбор того пли иного языка, как это ни печально, чаще всего определяется типом имеющейся машины и теми языками, которые известны исследователю. И если существует выбор, то правильность его, по-видимому, зависит от того, в какой степени исследователь владеет методами имитационного моделирования. В некоторых случаях простой язык, который легко понять и изучить, может оказаться более ценным, чем любой из более «богатых» языков, пользоваться которым труднее вследствие присущих ему особенностей.

5.3. Способы представления множества проектных решений

Различают три основных вида формального описания объектов проектирования: функциональное, конструкторское или морфологическое и информационное. Иногда к этим видам относят технологическое описание, которое является реализацией результатов конструкторского проектирования и включает описание методов и средств изготовления объектов. Но сегодняшняя практика такова, что в структуре автоматизированного производства обычно в отдельную от САПР структурную единицу выделяется АСУТП, поэтому технологический аспект описания объектов будем считать прерогативой этого направления автоматизации.

Функциональное описание дает характеристику назначения объекта проектирования через его эксплуатационные функции: принципы действия, свойства и способности, обеспечивающие выполнение поставленных целей проектирования . Например, если цель - создание нового летательного аппарата, то главной его функцией будет - летать. Эту функцию можно реализовать, если объект проектирования будет способен развивать такие обеспечивающие функции, как подъемную силу для преодоления силы тяжести, тяговые усилия для преодоления сопротивления движению со стороны атмосферы, управление силами и моментами сил в полете для осуществления маневров и т.д. Для выполнения обеспечивающих функций летательный аппарат должен иметь соответствующие устройства: крылья для создания подъемной силы; силовые установки (двигатели) для создания тяговых усилий; рули для управления маневрами. Таким образом, за функциональным описанием естественным образом возникает потребность в структурировании объекта проектирования - разделении его на такие части, которые предназначены для выполнение обеспечивающих функций. Результат структурирования может быть изображен в виде графа - иерархического дерева, дающего представление о взаимодействии составных частей объекта проектирования. В результате структурирования объект проектирования становится сложной системой, то есть целостным единством взаимосвязанных частей - подсистем, агрегатов: узлов, конструктивных элементов. Каждая часть системы имеет собственное целевое и функциональное назначение, принцип действия, конструктивное устройство и вместе с тем через согласованную систему целей и обеспечивающих функций участвует в образовании единого целого - создаваемого объекта.Описание структур, геометрических форм объекта и его составных частей называют морфологическим или конструкторским описанием.

В общем случае конструкторское описание сводится к совокупностям вида

где W - множество элементов, R - множество связей, С - множество структур (агрегатов, узлов, подсистем).

Функциональное описание произвольного элемента структуры дает проектировщику сведения:

Об основных эксплуатационных функциях элемента, которые называются его выходными характеристиками или фазовыми координатами;

О зависимостях, связывающих выходные характеристики с определяющими их факторами: проектными или управляющими параметрами элемента, влияниями внешней среды;

О критериях оценки функциональных качеств элемента, который в общем должен соответствовать критериям качества соответствующих целей проектирования,

О ресурсных и иных ограничениях на организацию функционирования элемента.

Формализуется функциональное описание в виде математической модели (ММ). ММ - система математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств) и отношений между ними, позволяющая количественно оценить свойства проектируемого объекта. Надо отметить, что ММ отражает не все свойства проектируемого объекта, а лишь те, которые позволяют оценить выполнение технических требований.

Обобщенная ММ функционального описания элемента структуры или системы в целом может быть представлена в виде функциональной зависимости:

Y = F(X, Q), (1)

где Y - вектор выходных характеристик (параметров), X - вектор проектных и управляющих параметров, а также воздействий на элемент со стороны взаимодействующих элементов, иначе говоря Х - это вектор внутренних параметров, Q - вектор воздействий на элемент внешних факторов, иначе вектор внешних параметров, F - вектор-функция, отражающая влияние внутренних и внешних параметров на выходные.

Как было упомянуто выше, модель вида (1) дает проектировщику сведения о выходных параметрах объекта проектирования и о связи выходных параметров с определяющими эти параметры факторами.

В общем случае X и Q, в свою очередь, являются функциональными зависимостями от времени t и пространственных координат S = (x, y, z). Вектор Х включает совокупность параметров и характеристик, называемых проектными, которые обосновывает и назначает проектировщик исходя из критериев качества объекта с учетом ограничений.

Зависимость (1) объективно существует, однако это не значит, что она известна проектировщику и может быть представлена в таком явном относительно Y виде. Как правило, зависимость (1) удается получить только для очень простых объектов. Типичной является ситуация, когда математическое описание процессов в проектируемом объекте задается моделью в форме системы уравнений, в которой фигурирует вектор фазовых переменных:

где L - некоторый оператор, Z - вектор независимых переменных, в общем случае включающий время и пространственные координаты, (Z) - вектор функция, V - вектор фазовых переменных.

Фазовые переменные характеризуют физическое или информационное состояние объекта, а их изменения во времени выражают переходные процессы в объекте. Примерами фазовых переменных являются силы и скорости в механических системах, давление и расходы в гидравлических и пневматических системах, токи и напряжения - в электрических.

Исходное описание проектируемых объектов часто представляют собой ТЗ на проектирование. В этих описаниях фигурируют величины, называемые техническими требованиями к выходным параметрам Y. Технические требования образуют вектор ТТ = (ТТ , ТТ , ... ТТ ), где величины ТТ представляют границы измерения выходных параметров Y и связаны между собой соотношениями:

Односторонние ограничения Y < ТТ , Y > ТТ ,

Двусторонние ограничения . (3)

Соотношение (3) называется условием работоспособности. Оно является количественным выражением ресурсных и эксплуатационных ограничений на функционирование элементов системы, ее узлов или объекта проектирования в целом.

Качество функционирования объекта или его элементов оценивают критериями качества, каковыми может быть точность, быстродействие и другие полезные свойства функционирования. Для количественной оценки этих качеств вводятся так называемые векторные функционалы качества вида

где К - заданная вектор-функция. Численное значение I должно соответствовать критериям качества, заявленным в целях проектирования, то есть должно выполняться условие

где - область допустимых значений I, описываемая ограничениями (3).

Поскольку в общем случае модели (1) и (2) допускают неединственные решения, возникает возможность для постановки и решения задачи оптимизации проектирования объектов, обладающих наилучшими в том или ином смысле свойствами при выполнении целевых заданий и ограничений (3). Как правило, эта задача сводится к отысканию зависимостей Х и F или Z и V, доставляющих экстремум функционалу (4) при соблюдении всех ограничений проблемы.

Задачи функционального и конструкторского описаний объектов проектирования связаны с использованием и переработкой значительных потоков информации. В связи с этим необходима и информационная характеристика (информационное описание) объекта проектирования.

Под информацией об объекте проектирования понимают всевозможные сведения, сообщения, документы, сигналы, подлежащие приему, обработке, хранению и передаче в интересах целостного описания его устройства и функционирования. При этом понимается, что сведения - в общем смысле это все, чем могут быть дополнены наши знания и предположения об объекте проектирования, сообщения - упорядоченные, наборы символов, служащие для выражения информации; документы - материальные носители сообщений в виде схем, эскизов, чертежей, справок, таблиц; сигналы - физические явления и процессы, служащие для приема, хранения обработки и передачи информации.

Информационное описание дает представление обо всех видах информации и отношениях между ними. По своей структуре оно похоже на иерархическое описание целей функций и структуры объекта проектирования. Наиболее полное выражение информационное описание находит в завершенном проекте.


Имитационное моделирование используется в тех случаях, когда др. способы невозможны.

К имитационным моделям прибегают тогда, когда объект моделирования настолько сложен, что адекватно описать его поведение математическими уравнениями невозможно или затруднительно.

Им. моделирование позволяет разлагать большие модели на части, которые можно моделировать по отдельности, создав др. более сложные модели.

Основные различия аналитических и имитационных моделей

Ан. модели – ур-я или системы ур-й, записанные в виде алгебраич., интегральн., конечно-разностных, диф. и др. соотношений и лог. условий.

Им. модели – вместо аналитического описания взаимосвязей между входами и выходами исследуемой системы строят алгоритм, отображение, последовательность развития процессов внутри исследуемого объекта, а затем «проигрывают» поведение объекта на ПК.

Им. модель в отличие от аналитической представляют не законченную систему уравнений, а развернутую схему с детально описанной структурой и поведением изучаемого объекта.

Ан. модели Им. модели
Виды моделирования по отношению ко времени динамическое/статическое динамическое
Форма записи модели ур-я, системы ур-й алгоритмы функционир. об.
Формализация и построение модели трудны более легки
Способы решения модели алгоритмы оптимизации эвристический анализ, эксперимен-ый анализ
Кол-во испытаний для решения одно много
Решения точное значение вероятностные хар-ки
Нахождение оптимального решения в случае построения модели гарантировано не гарантировано
Исследование сложности системы затруднено возможно
Применимость на практике ограниченная не ограниченная
Степень близости модели к изучаемому объекту сильно упрощена макс. приближена
Класс изуч. объектов сужен расширен

Особенности имитационных моделей:

1) при создании имитационной модели законы функционирования м.б. неизвестны (достаточно знать алгоритмы функционирования частей системы и связи между ними)

2) в имитационной модели связи между параметрами и харка-ми системы задаются, а значение исследуемых характеристик определяется в ходе имитационного эксперимента на ЭВМ.

Условия применения имитационных моделей – широкий класс систем практически любой сложности.

Достоинства им. моделирования:

1)Часто единственный метод исследования сложных систем

2)Им. модель дает возможность исследовать сложные системы на различных уровнях детализации.

3)Появляется возможность исследования динамики взаимодействия элементов системы



4)Имеется возможность оценки характеристик системы в нужный момент времени.

5)Существует достаточно много инструментальных средств

Недостатки им. моделирования:

1) Дороговизна

2)Меньшая степень общности результатов, не позволяет выявлять закономерности функционирования

3)Не существует надежных методов оценки адекватности

Составные части им. модели:

Компоненты – составные части, которые при соответствующем объединении образуют систему.

Параметры – определенные условия, в которых функционирует система. (не изменяются в процессе моделирования)

Переменные:

1)Экзогенные – входные переменные, порождаются вне системы или являются результатом воздействия внешних причин.

2)Эндогенные – переменные, возникающие в системе (состояния, выходы)

Функциональные зависимости – зависимости, которые описывают взаимодействие между переменными, а также компонентами системы.(детерминированные, стохастические)

Ограничения – пределы изменения значений переменных (искусственные, вводятся разработчиком или естественные, определяются законами среды)

Целевые функции – точки отображения целей или задач системы и необходимых правил оценки их выполнения. (цели сохранения и приобретения)

Метод имитационного моделирования заключается в имитации программными средствами процесса функционирования системы по известным алгоритмам, лог. и аналит. зависимостям, формализующим внешние воздействия, элементы системы и связи между ними.

Аналитические модели (англ. analytical models) - один из классов математического моделирования, широко используемый в экологии. При построении таких моделей исследователь сознательно отказывается от детального описания экосистемы, оставляя лишь наиболее существенные, с его точки зрения, компоненты и связи между ними, и использует достаточно малое число правдоподобных гипотез о характере взаимодействия компонентов и структуры экосистемы. Аналитические модели служат, в основном, целям выявления, математического описания, анализа и объяснения свойств или наблюдаемых феноменов, присущих максимально широкому кругу экосистем. Так, например, широко известная модель конкуренции Лотки-Вольтерра позволяет указать условия взаимного сосуществования видов в рамках различных сообществ.

Одной из основных задач системной динамики является оценка устойчивости экосистем и описание качественных перестроек их поведения под воздействием внешних факторов. Наиболее адекватным математическим аппаратом построения и анализа таких аналитических моделей служит качественная теория дифференциальных уравнений и теория бифуркаций. Особую роль играют стохастические модели потенциальной эффективности экосистем Б.С. Флейшмана.

При моделировании экосистем возникает также необходимость в исследовании диссипативных структур, энтропийных характеристик и процессов самоорганизации. А.Дж. Вильсоном излагается общая теория энтропийных моделей многокомпонентных экосистем, где взаимодействия на микроуровне описываются статистикой Больцмана. Г. Шустер приводит примеры моделей динамики популяций в открытых системах, полученные на основе теории стохастического поведения динамических диссипативных структур. Работа Дж. Николиса относится к области синергетики и исследует процессы самоорганизации открытых иерархических экосистем в ходе диссипации новой информации.

В качестве примера аналитической модели гидробиологических процессов "цветения водохранилищ" укажем на работы С.В. Крестина и Г.С. Розенберга, где в рамках взаимодействий систем конкуренции видов и "хищник - жертва" дано возможное объяснение феномена вспышек численности сине-зеленых водорослей и более сложного процесса "волны цветения" по профилю водохранилища.

Имитационные модели (англ. simulation models) - один из основных классов математического моделирования. Целью построения имитаций является максимальное приближение модели к конкретному (чаще всего уникальному) экологическому объекту и достижение максимальной точности его описания. Имитационные модели претендуют на выполнение как объяснительных, так и прогнозных функций, хотя выполнение первых для больших и сложных имитаций проблематично (для удачных имитационных моделей можно говорить лишь о косвенном подтверждении непротиворечивости положенных в их основу гипотез).

Имитационные модели реализуются на ЭВМ с использованием блочного принципа, позволяющего всю моделируемую систему разбить на ряд подсистем, связанных между собой незначительным числом обобщенных взаимодействий и допускающих самостоятельное моделирование с использованием своего собственного математического аппарата (в частности, для подсистем, механизм функционирования которых неизвестен, возможно построение регрессионных или самоорганизующихся моделей). Такой подход позволяет также достаточно просто конструировать, путем замены отдельных блоков, новые имитационные модели. Если имитационные модели реализуются без блочного принципа, можно говорить о квазиимитационном моделировании. Имитации, в которых все коэффициенты определены по результатам экспериментов над конкретной экосистемой, называются портретными моделями.

Методы построения имитационных моделей чаще всего основываются на классических принципах системной динамики Дж. Форрестера. Создание имитационных моделей сопряжено с большими затратами. Так, модель ELM (злаковниковой экосистемы, используемой под пастбище) строилась 7 лет с годовым бюджетом программы в 1,5 млн. долл. около 100 научными сотрудниками из более 30 научных учреждений США, Австралии и Канады (Розенберг).

Построение имитационной модели может служить организующим началом любого серьезного экологического исследования. Хотя частная экосистема реки или озера и является элементарной ячейкой биосферы, ее математическая модель описывается системами уравнений того же порядка сложности, что и вся биосфера в целом, поскольку требует учета такого же большого количества переменных и параметров, описывающих функционирование отдельных подсистем и элементов (только на ином масштабном уровне). Поэтому исследователи ищут разумный компромисс: при составлении моделей многие параметры берутся агрегировано, допускаются разного рода аппроксимации и гипотезы, многие коэффициенты принимаются "по аналогии" с другими объектами и т.д. Поскольку среди допущений и предположений трудно выбрать наилучшее, снижается точность и познавательная ценность моделей, а, следовательно, их практическая применимость.

В настоящее время можно отметить два направления развития имитационного моделирования, где предлагаются достаточно конструктивные методы компенсации априорной неопределенности, проистекающей от нестационарного и стохастического характера экологических систем. Первое направление оформилось в виде методики решения задач идентификации и верификации как последовательного процесса определения и уточнения численных значений коэффициентов модели. Второе направление связано со стратегией поиска скрытых закономерностей моделируемой системы и интеграции их в модель.

Приведем краткий обзор развития моделей этого класса, воспользовавшись материалами Л.Я. Ащепковой.

Попытки моделирования динамики популяций предпринимаются давно. Модель конкуренции (уравнения Лотки-Вольтера, 1925-26 гг.) - классический пример аналитической модели, позволяющей объяснить и проанализировать возможные исходы межвидовой конкуренции. Однако, если модели типа "хищник-жертва" в частных случаях обнаруживали совпадение с данными натурных наблюдений, то значительно хуже обстояло дело с взаимодействием организмов и окружающей среды. Сначала появились частные модели взаимодействия биоты с такими отдельными факторами, как солнечная радиация, температура, потом - модели взаимодействия организмов с абстрактными "ресурсами".

На примере модели динамики планктона Северного моря, Дж. Стил, используя простые представления о трофических цепях, описал модели комбинирования различных гипотез о пищевом поведении, оставляя минимум внимания особенностям пространственного распределения организмов. Дж. Дюбо для того же Северного моря фокусировал внимание на причинах формирования пространственной неоднородности, учитывая два фактора: трофические отношения между фито- и зоопланктоном и скорость перемещения потоков воды в процессе диффузии.

Одной из первых математических моделей водных экосистем, в основе которых лежал энергетический принцип, была модель, созданная Г.Г. Винбергом и С.А. Анисимовым. В.В. Меншуткин и А.А. Умнов развили идеи Г.Г. Винберга, введя в рассмотрение цикл биогенных элементов. Модель экосистемы в каждый момент времени определялась следующим набором переменных: концентрации фито- и зоопланктона, рыб-плантофагов, бактерий и растворенного в воде органического вещества, а внешними факторами явились солнечная энергия, кислородно-углекислотный обмен с атмосферой и поступление аллохтонных веществ. Выходными параметрами модели были вылов рыбы, отложение в ил и вынос органических и неорганических ингредиентов, а также рассеянная энергия как результат трат на обмен.

Первые модели Винберга-Анисимова и Меншуткина-Умнова рассматривали экосистему в ее стационарном состоянии при постоянстве температуры среды и без учета сезонной динамики. Переменный характер внешней среды был учтен А.А. Умновым в модели озерной пелагической системы, а впоследствии - для небольшой экосистемы участка Днепра. В последней модели, записанной в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, автор самым подробным образом отразил процессы питания, отмирания, метаболизма роста и т.д.

В дальнейшем модели этой школы развивались в направлении более глубокого описания жизненных процессов, а именно, их зависимости от условий среды и учету пространственных распределений в экосистеме, отражающих как их вертикальную, так и горизонтальную неоднородность.

Значительный опыт создания имитационной модели водоема большой сложности был накоплен в процессе создания портретной модели экосистемы Азовского моря.