Что означает дробь не имеет смысла. Когда алгебраическая дробь имеет смысл? Основные понятия

Основные понятия
Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

На данном уроке рассматривается понятие алгебраической дроби. С дробями человек встречается в самых простых жизненных ситуациях: когда необходимо разделить некий объект на несколько частей, например, разрезать торт поровну на десять человек. Очевидно, что каждому достанется почасти торта. В указанном случае мы сталкиваемся с понятием числовой дроби, однако возможна ситуация, когда объект делится на неизвестное количество частей, например, на x. В таком случае возникает понятие дробного выражения. С целыми выражениями (не содержащими деление на выражения с переменными) и их свойствами вы уже познакомились в 7 классе. Далее мы рассмотрим понятие рациональной дроби, а также допустимых значений переменных.

Рациональные выражения делятся на целые и дробные выражения .

Определение. Рациональная дробь - дробное выражение вида , где - многочлены. - числитель, - знаменатель.

Примеры рациональных выражений: - дробные выражения; - целые выражения. В первом выражении, к примеру, в роли числителя выступает , а знаменателя - .

Значение алгебраической дроби , как и любого алгебраического выражения , зависит от численного значения тех переменных, которые в него входят. В частности, в первом примере значение дроби зависит от значений переменных и , а во втором только от значения переменной .

Рассмотрим первую типовую задачу: вычисление значения рациональной дроби при различных значениях входящих в нее переменных.

Пример 1. Вычислить значение дроби при а) , б) , в)

Решение. Подставим значения переменных в указанную дробь: а) , б) , в) - не существует (т. к. на ноль делить нельзя).

Ответ: а) 3; б) 1; в) не существует.

Как видим, возникает две типовые задачи для любой дроби: 1) вычисление дроби, 2) нахождение допустимых и недопустимых значений буквенных переменных.

Определение. Допустимые значения переменных - значения переменных, при которых выражение имеет смысл. Множество всех допустимых значений переменных называется ОДЗ или область определения .

Значение буквенных переменных может оказаться недопустимым, если знаменатель дроби при этих значениях равен нулю. Во всех остальных случаях значение переменных являются допустимыми, т. к. дробь можно вычислить.

Пример 2.

Решение. Чтобы данное выражение имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель дроби не равнялся нулю. Таким образом, недопустимыми будут только те значения переменной, при которых знаменатель будет равняться нулю. Знаменатель дроби , поэтому решим линейное уравнение:

Следовательно, при значении переменной дробь не имеет смысла.

Ответ: -5.

Из решения примера вытекает правило нахождения недопустимых значений переменных - знаменатель дроби приравнивается к нулю и находятся корни соответствующего уравнения.

Рассмотрим несколько аналогичных примеров.

Пример 3. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь.

Решение. .

Ответ. .

Пример 4. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .

Решение. .

Встречаются и другие формулировки данной задачи - найти область определения или область допустимых значений выражения (ОДЗ) . Это означает - найти все допустимые значения переменных. В нашем примере - это все значения, кроме . Область определения удобно изображать на числовой оси.

Для этого на ней выколем точку , как это указано на рисунке:

Рис. 1

Таким образом, областью определения дроби будут все числа, кроме 3.

Ответ. .

Пример 5. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .

Решение. .

Изобразим полученное решение на числовой оси:

Рис. 2

Ответ. .

Пример 6.

Решение. . Мы получили равенство двух переменных, приведем числовые примеры: или и т. д.

Изобразим это решение на графике в декартовой системе координат:

Рис. 3. График функции

Координаты любой точки, лежащей на данном графике, не входят в область допустимых значений дроби.

Ответ. .

В рассмотренных примерах мы сталкивались с ситуацией, когда возникало деление на ноль. Теперь рассмотрим случай, когда возникает более интересная ситуация с делением типа .

Пример 7. Установить, при каких значениях переменных не имеет смысла дробь .

Решение. .

Получается, что дробь не имеет смысла при . Но можно возразить, что это не так, потому что: .

Может показаться, что если конечное выражение равно 8 при , то и исходное тоже возможно вычислить, а, следовательно, имеет смысл при . Однако, если подставить в исходное выражение, то получим - не имеет смысла.

Ответ. .

Чтобы подробнее разобраться с этим примером, решим следующую задачу: при каких значениях указанная дробь равна нулю?

Напомню некоторые сведения, касающиеся алгебраических дробей, а также их допустимых значений.

Так как речь идет об алгебраических дробях, можно добавить: знаменатель не равен нулю при каждом допустимом значении переменных.

Одинаковый смысл имеют типы заданий:

Чтобы выполнить любое из данных заданий, нужно найти множество допустимых значений переменных, для этого исключить недопустимые.
Мы приравниваем к 0 знаменатель дроби (знак равенства часто перечеркивают), решаем полученное уравнение (обычно со знаком перечеркнутого равенства), корни его исключаем из множества значений переменных (перечеркнутые значения переменных - это и есть исключенные корни из множества значений переменных).
Таким образом, в ответе запишутся все значения переменных, за исключением найденных.
Пример:

В представленной картинке даны алгебраические дроби.

Если в знаменателе дан многочлен, который ни при каких значениях переменных не обращается в нуль, то дробь будет иметь смысл на всей числовой прямой, т.е. на множестве действительных чисел (см. 2-й пример на картинке ниже), если в задаче дополнительно не указывается другое конкретное множество значений переменных, на котором задана дробь, например, рациональных чисел.
Пример.
Алгебраическая дробь имеет смысл только в случае неравенства своего знаменателя нулю. Ведь делить на ноль, как известно, нельзя.
При необходимости определить для дроби те значения, когда она смысл имеет, надо записать значение числового ряда за исключеним тех чисел, которы получаются при решении уравнения при приравнивании знаменателя нулю.
По моему дробь имеет смысл всегда, за исключением случая, когда в знаменателе стоит ноль, так как мы помним, что на ноль делить нельзя. Другое дело в высшей математике, там и но ноль делят, получая математические пределы и т.д.
Также мне кажется, что алгебраическая дробь, или написание числа в виде дроби, не имеет смысла, если числитель равен знаменателю. В таком случае можно написать выражение гораздо проще. К примеру, вместо 1/1 лучше написать просто 1.
Ну, а по правилам, главное чтобы снизу дроби не был 0.
Проще было бы ответить на вопрос: когда она не имеет смысла? Тогда бы мы ответили, что тогда, когда знаменатель в дроби равен нулю. Ведь на ноль делить нельзя, как мы помним еще со школы, ибо он все обращает в ноль.
На ваш же вопрос можно ответить таким образом: когда в знаменателе не ноль (будь-то положительные числа, будь-то отрицательные), дробь существует и несет при этом определенный смысл.
При любом значении числа дробь имеет смысл,кроме одного случая, если только знаменатель не равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
Дробь не имеет смысла если знаменатель равен нулю.
Как то так помню со школы.
Алгебраическая дробь имеет смысл только тогда, когда е знаменатель не равен нулю. В противном случае, когда знаменатель равен нулю, алгебраическая дробь не имеет смысла, так как делить на ноль нельзя.
Говоря о дробях важно понимать, что используя знак дроби (то есть черту), мы подразумеваем процесс деления. А так как нам всем известно, что деление на ноль проводить нельзя согласно правил, то можно точно сказать, что алгебраическая дробь имеет смысл в том случае, когда значение е знаменателя отлично от нуля.
Дробь имеет смысл при условии, что ее знаменатель отличен от нуля. В школьной математике важно, чтобы и числитель был строго больше минус бесконечности и строго меньше плюс бесконечности, иначе даже при ненулевом знаменателе дробь все так же скатится в бесконечность.
Одним из основных свойств алгебраических дробей, знакомых еще математикам античности, является запрет деления на 0. Когда в знаменатели дроби возникает это пустое число дробь теряет смысл. В школьной программе часто можно встретить разнообразные задания, в которых спрашивается когда выражение или дробь не имеет смысла, при каком значении переменной Х. При этом знаменатель дроби представлен неким выражением, например 8х-4 или х+5. Для нахождения ответа таких заданий знаменатель приравнивается к нули и решается как уравнение. Удовлетворяющие этому уравнению значения Х делают дробь не имеющей смысла. В данных примерах дробь с любым числителем не имеет смысла если в первом примере Х= 0.5, а во втором Х=-5.
Насколько мне известно, алгебраическая дробь не имеет смысла, когда е знаменатель равняется нулю, поскольку на него делить нельзя. Таким образом, во всех остальных случаях алгебраическая дробь имеет смысл, и е можно смело использовать для различных расчтов.

Рациональные выражения делятся на целые и дробные выражения .

Определение. Рациональная дробь - дробное выражение вида , где - многочлены. - числитель, - знаменатель.

Пример 1. Вычислить значение дроби при а) , б) , в)

Ответ: а) 3; б) 1; в) не существует.

Пример 2.

Следовательно, при значении переменной дробь не имеет смысла.

Ответ: -5.

Рассмотрим несколько аналогичных примеров.

Пример 3. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь.

Решение. .

Ответ. .

Пример 4. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .

Решение. .

Для этого на ней выколем точку , как это указано на рисунке:

Рис. 1

Таким образом, областью определения дроби будут все числа, кроме 3.

Ответ. .

Пример 5. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .

Решение. .

Изобразим полученное решение на числовой оси:

Рис. 2

Ответ. .

Пример 6.

Решение. . Мы получили равенство двух переменных, приведем числовые примеры: или и т. д.

Изобразим это решение на графике в декартовой системе координат:

Рис. 3. График функции

Координаты любой точки, лежащей на данном графике, не входят в область допустимых значений дроби.

Ответ. .

Пример 7. Установить, при каких значениях переменных не имеет смысла дробь .

Решение. .

Получается, что дробь не имеет смысла при . Но можно возразить, что это не так, потому что: .

Ответ. .