Что такое определитель n го порядка. Определители n-го порядка; миноры и алгебраические дополнения. Свойства и вычисление определителей n-го порядка
Основываясь на понятиях определителей второго и третьего порядков, можно аналогично ввести понятие определителя порядка n . Определители порядка выше третьего вычисляются, как правило, с использованием свойств определителей, сформулированных в п. 1.3., которые справедливы для определителей любого порядка.
Используя свойство определителей номер 9 0 введем определение определителя 4-го порядка:
Пример 2. Вычислить, используя подходящее разложение.
Аналогично вводится понятие определителя 5-го, 6-го и т.д. порядка. Значит определитель порядка n:
.
Все свойства определителей 2-го и 3-го порядков, рассмотренные раннее, справедливы и для определителей n-го порядка.
Рассмотрим основные методы вычисления определителей n -го порядка.
Замечание: прежде чем применять этот метод, полезно, используя основные свойства определителей, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки или столбца. (Метод эффективного понижения порядка)
Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании определителя, когда все его элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. В этом случае определитель равен произведению элементов его главной диагонали.
Пример 3. Вычислить, приведением к треугольному виду.
Пример 4. Вычислить, используя метод эффективного понижения порядка
.
Решение: по свойству 4 0 определителей из первой строки вынесем множитель 10, а затем будем последовательно умножать вторую строку на 2, на 2, на 1 и складывать соответственно с первой, с третьей и четвертой строками (свойство 8 0).
.
Полученный определитель можно разложить по элементам первого столбца. Он будет сведен к определителю третьего порядка, который вычисляется по правилу Саррюса (треугольника).
Пример 5. Вычислить определитель, приведением к треугольному виду.
.
Пример 3. Вычислить, используя рекуррентные соотношения.
.
.
Лекция 4. Обратная матрица. Ранг матрицы.
1. Понятие обратной матрицы
Определение 1. Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной, если ее определитель |A | ≠ 0. В случае, когда | A | = 0, матрица А называется вырожденной.
Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие обратной матрицы А -1 .
Определение 2 . Матрица А -1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицыА, если А -1 А = АА -1 = Е, где Е – единичная матрица порядка n .
Определение 3
.
Матрица
называетсяприсоединенной,
ее элементами являются алгебраические
дополнения
транспонированной матрицы
.
Алгоритм вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
,
где
.
Проверяем правильность вычисления А -1 А = АА -1 = Е. (Е – единичная матрица)
Матрицы А и А -1 взаимообратные. Если | A | = 0, то обратная матрица не существует.
Пример
1.
Дана
матрица А. Убедиться, что она невырожденная,
и найти обратную матрицу
.
Решение:
.
Следовательно матрица невырожденная.
Найдем обратную матрицу. Составим алгебраические дополнения элементов матрицы А.
Получаем
.
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.
Определение 7. Определителем матрицы А (определителем n-го порядка) называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. При этом произведение берётся со знаком «+», если подстановка из индексов входящих в него элементов чётная, и со знаком «-» в противном случае.
Обозначение определителя: |А | = .
Например, при n = 6 произведение а 21 а 13 а 62 а 34 а 46 а 55
является членом определителя, так как в него входит точно по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца. Подстановка, составленная из его индексов будет 
. В ней 4-е инверсии в верхней строке и 2-е инверсии – в нижней. Общее число инверсий равно 6, т.е. подстановка чётная. Следовательно, данное произведение входит в разложение определителя со знаком «+».
Произведение а 21 а 13 а 62 а 34 а 46 а 15 не является членом определителя, так как в него входят два элемента из первой строки.
Свойства определителей.
1 0 . При транспонировании определитель не меняется (напомним, что транспонирование матрицы и определителя означает перемену строк и столбцов местами).
Действительно, если (-1) к является членом определителя, то все a 1 , a 2 , … , a n различны и к – число инверсий в перестановке (a 1 , a 2 , … , a n). При транспонировании номера строк станут номерами столбцов и наоборот. Следовательно, в произведении все множители будут из разных столбцов и строк, т.е. это произведение будет входить в транспонированный определитель. Знак его будет определяться числом инверсий в подстановке 
. Но это число, очевидно равно к. Итак, (-1) к будет членом транспонированного определителя. Так как мы брали любой член данного определителя, а число членов в данном и транспонированном определителях одинаково, то отсюда и следует их равенство. Из доказанного свойства следует, что всё, что будет доказано для строк определителя, будет верно и для его столбцов.
2 0 . Если все элементы строки (или столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
Это следует из того, что по одному элементу указанной строки (или столбца) будет входить в каждый член определителя.
3 0 . Если все элементы какой-нибудь строки определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
Действительно, если все элементы к-ой строки имеют общий множитель l, то их можно записать в виде . Любой член определителя будет иметь вид (-1) s 
. Следовательно, из всех членов определителя можно вынести множитель l.
4 0 . Если две строки определителя поменять местами, то определитель сменит знак.
Действительно, если (-1) к любой член данного определителя, то в новом определителе номера строк р и q поменяются местами, а номера столбцов останутся прежними. Следовательно, в новом определителе это же самое произведение будет входить в виде (-1) s . Так как в номерах строк произошла одна транспозиция, а номера столбцов не изменились, то к и s имеют противоположные чётности. Итак, все члены данного определителя изменили знак, следовательно, и сам определитель изменил знак.
5 0 . Если две строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Действительно, пусть все элементы к-ой строки равны соответствующим элементам р-ой строки, умноженным на l, т.е. |А
| = 
= 
= 0.
6 0 . Если в определителе все элементы к-ой строки есть суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых все строки, кроме к-ой, такие же как и в данном определителе. На месте элементов к-ой строки одного из них стоят первые слагаемые элементов к-ой строки данного определителя, а на месте элементов к-ой строки второго – вторые их слагаемые.
Пусть элементы к-ой строки будут + с к1 , + с к2 , …. , + с кn . Тогда любой член определителя будет иметь вид
(-1) s = (-1) s 
+ (-1) s 
.
Собрав все первые слагаемые, мы получим определитель, отличающийся от данного только к-ой строкой. На месте к-ой строки будут стоять , , …. , . Собрав все вторые слагаемые, получим определитель тоже отличающийся от данного только к-ой строкой. В к-ой строке будут стоять с к1 , с к2 , …. , с кn .
7 0 . Если к одной строке определителя прибавить другую его строку, все элементы которой умножены на одно и то же число, то определитель не изменится.
Это свойство является следствием двух предыдущих.
Если в определителе |А | вычеркнуть к-ую строку и р-ый столбец, то останется определитель (n–1)-го порядка. Он называется минором, дополнительным для элемента и обозначается М кр . Число (-1) к+р ×М кр называется алгебраическим дополнением для элемента и обозначается А кр .
8 0 . Дополнительный минор и алгебраическое дополнение не зависит от того, какой элемент стоит в к-ой строке и р-ом столбце определителя.
Лемма 1
D = 
. (8)
Доказательство.
Если а 11
= 0, то равенство (8) очевидно. Пусть а 11
¹ 0. Так как в каждый член определителя входит точно один элемент из первой строки, то ненулевыми членами определителя могут быть только те, в которые входит а 11
. Все они имеют вид 
, где g к и к пробегают значения от 2 до n
. Знак этого члена в определителе D определяется чётностью подстановки s = 
.Таким образом D есть алгебраическая сумма слагаемых вида со знаками, определяемыми подстановкой s. Если в этой сумме вынести за скобки а 11
, то получим, что D = а 11 × S
, где S
есть алгебраическая сумма слагаемых вида , знак которых определяется подстановкой s. Этих слагаемых, очевидно, (n
– 1)!. Но подстановка s и подстановка 
имеют одинаковую чётность. Следовательно, S
= М
11 . Так как А 11 =
(-1) 1+1 ×М
11 = М
11 , то D = а 11 ×А 11
.
Лемма 2.
D = 
(9)
Доказательство. В определителе D переставим р-ую строку последовательно с каждой предыдущей. При этом р-ая строка займёт место первой строки, но минор, дополнительный к элементу а рк не изменится. Всего будет сделано (р – 1) перестановка строк. Если новый определитель обозначить D 1 , то D = (-1) р-1 ×D. В определителе D 1 переставим к -ый столбец последовательно с каждым предыдущим столбцом, при этом будет сделано (к – 1) перестановка столбцов и минор, дополнительный к а рк , не изменится. Получится определитель
D 2 = 
. Очевидно, D 2 = (-1) р-1 ×D 1 = (-1) р+к-2 ×D = (-1) р+к ×D. По лемме 1, D 2 = а рк ×М
рк. Отсюда D = а рк ×
(-1) р+к × М
рк = а рк ×А рк.
Теорема 3. Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки на их алгебраические дополнения, т.е. D = а к1 А к1 + а к2 ×А к2 +…+а kn ×А kn (10).
Доказательство.
Пусть D = . Элементы к-ой строки запишем в виде а к1 =а л1
+ 0 + …+ 0, а к2
= 0 + а к2
+ 0 + … + 0, … , а
= 0 + 0 + …+ 0 + а
. Используя свойство 6 0 , получим, что D = 
= = а к1 А к1
+ а к2 А к2 +
… + а А
(использовали лемму 2).
Теорема 4. Сумма произведений элементов одной строкиопределителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.
Доказательство.
Пусть D = 
. По предыдущей теореме
D = . Если взять , то в определителе Dбудет две одинаковые строки, т.е. D будет равен нулю. Следовательно, 0 = , если р ¹ к.
Замечание. Теоремы 3 и 4 будут верны, если в их формулировках слово «строка» заменить на слово «столбец».
Способ вычисления определителя n-го порядка.
Для вычисления определителя n -го порядка достаточно в какой-нибудь строке (или столбце) получить как можно больше нулей, используя свойство 7 0 , а потом использовать теорему 3. При этом вычисление определителя n-го порядка сведётся к вычислению определителя (n – 1)-го порядка.
Пример.
Вычислите определитель D = 
.
Решение.
Получим нули во второй строке. Для этого второй столбец
1) умножим на (-2) и прибавим к первому столбцу; 2) прибавим к третьему столбцу; 3) умножим на (-4) и прибавим к четвёртому столбцу. Получим, что D = 
. Разложим полученный определитель по элементам второй строки. При этом произведения всех элементов этой строки на их алгебраические дополнения, кроме элемента 1, равны нулю. Для того, чтобы получить алгебраическое дополнение для элемента 1, нужно вычеркнуть те строку и столбец, где этот элемент стоит, т.е. вторую строку и второй столбец. Знак алгебраического дополнения определяет (-1) 2+2 = (-1) 4 = +1. Итак, D = + . Получили определитель 3-го порядка. Этот определитель можно вычислить, используя диагонали и треугольники, но можно свести к определителю второго порядка. Умножим первый столбец
1) на (-4) и прибавим ко второму столбцу, 2) умножим его на 2 и прибавим к третьему столбцу. Получим, что
D = 
. Следовательно, D = (-1) 2+1 . Используя свойство 7 0 , прибавим к первому столбцу второй, получим D = - 
= -3×(23 – 40) = 51.
Некоторые определители (например, такие, в которых стоят «большие» миноры, целиком состоящие из нулей) удобно разлагать по нескольким строкам. Это позволяет делать теорема Лапласа. Пусть в определителе D выделен минор М s-го порядка, элементы которого стоят на строках с номерами к 1 ,к 2 ,…,к s и на столбцах с номерами р 1 ,р 2 ,…,р s . Вычеркнем строки и столбцы с указанными номерами. После этого останется определитель (n – s )-го порядка. Его называют минором М 1 , дополнительным к минору М. Если s = к 1 +…+ к s + р 1 +…+р s , то
алгебраическим дополнением к минору М называется А = (-1) s ×М 1 .
Теорема 5 (теорема Лапласа). Пусть в определителе n -го порядка выделены к строк (или столбцов). Определитель равен сумме произведений всех миноров, стоящих на выделенных строках, на их алгебраические дополнения.
Доказательство
(разложение по элементам i -й строки);
(разложение по элементам j -го столбца).
Убедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере определителя матрицы третьего порядка. Разложим его вначале по элементам первой строки
Что совпадает с определением определителя матрицы третьего порядка.
Теорема 6 (теорема Крамера).
Если в системе линейных уравнений число неизвестных равно числу уравнений и определитель D системы отличен от нуля, то система имеет решение и только одно. Это решение получается по формулам 
, где каждое D к получается из D заменой к-го столбца столбцом свободных членов.
Доказательство.
Пусть дана система 
и D ¹ 0. Умножим первое уравнение на А 1к,
второе – на А 2к, … ,n-
ое уравнение – на А nк
и все уравнения сложим. Получим
+… ... + + … + =
Используя теоремы 3 и 4, получим х 1
×0 + … + х к
×D + … + х n
×0 = D к
, где D к
= 
(к-ый столбец в определителе D заменён столбцом свободных членов уравнений данной системы). Отсюда = для всех к
= 1, 2, …, n
.
Для более точного и сложного определения и для того, чтобы говорить об определителях порядка больше третьего, потребуется вспомнить еще кое-что. Нас интересует термин подстановка, даже не столько определение, сколько способ её вычисление.
Для подстановки принята запись:
, т.е. пары чисел, записанные в столбик, причем так, что верхние числа идут последовательно (вообще говоря, столбцы можно менять местами).
Подстановки бывают четными и нечетными. Для того, чтобы выяснить, является данная подстановка четной или нечетной, нужно обратить внимание на вторую строку, а точнее на порядок чисел в ней. Необходимо подсчитать количество пар чисел во второй строке, таких, что число, стоящее левее, больше числа, стоящего правее (). Если количество таких пар нечетно, то и подстановка называется нечетной, и, соответственно, если количество таких пар четно, то и подстановка называется четной.
Пример:
1)
4 стоит левее 3, левее 1, левее 2 — это уже три «неправильные» пары.
3 стоит левее 1 и 2 – еще две пары.
Итого 5 пар, т.е. это нечетная подстановка.
2)
Заметим, что числа в первой строке расположены не по порядку. Выполним перестановку столбцов.
Рассмотрим числа второго ряда.
3 стоит левее 2 и 1 – две пары,
2 стоит левее 1 – одна пара,
5 стоит левее 4 и 1 – две пары,
4 стоит левее1 – одна пара.
Итого 6 пар – подстановка четная.
Определение 2 (для студентов математических специальностей, раскрывающее всю суть определяемого понятия):
Определителем n-го порядка, соответствующим матрице
,
называется алгебраическая сумма слагаемых, составленная следующим образом: слагаемыми служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем слагаемое берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае.
Замечание:
Объясним это определение на примере определителя третьего порядка, для которого уже известна формула вычисления.
.
1) «алгебраическая сумма слагаемых» — . И да, действительно, здесь шесть слагаемых.
2) «слагаемыми служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца» — рассмотрим например слагаемое . Его первый множитель взят из второй строки, второй – из первой, а третий из третьей. То же самое и со столбцами – первым множитель из первого столбца, второй из третьего, а последний из второго.
3) «причем слагаемое берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае» — рассмотрим для примера слагаемые (со знаком плюс) и (со знаком минус).
Составим перестановки так, что в первой строке будут номера строк сомножителей, а во второй – номера столбцов.
Для слагаемого : (первый столбец – индекс первого сомножителя и т.д.)
Для слагаемого : .
Определим четность этих перестановок:
а) — элементы в первой строке стоят по порядку. Во второй строке не по порядку стоят пары:
2 левее 1 – одна пара,
3 левее 1 – одна пара.
Итого две пары, т.е. количество пар четно, значит перестановка четная, а значит, слагаемое должно входить в сумму со знаком плюс (как оно и есть на самом деле).
б) — элементы в первой строке стоят по порядку. Во второй строке не по порядку стоят пары:
2 левее 1 – одна пара.
Итого, количество пар чисел, стоящих так, что большее левее меньшего – 1 шт., т.е. нечетно, а значит и перестановка называется нечетной, и соответствующее слагаемое должно входить в сумму со знаком минус (да, это так).
Пример
(«Сборник задач по алгебре» под ред. А.И. Кострикина, №1001):
Выяснить, какие из следующих произведений входят в развернутое выражение определителей соответствующих порядков и с какими знаками.
а) 
Обратим внимание на часть определния «по одному из каждой строки и каждого столбца». Все первые индексы сомножителей различны от 1 до 6(1, 2, 3, 4, 5, 6). Все вторые индексы сомножителей различны от 1 до 6 (3, 2, 1, 4, 5, 6).
Вывод – это произведение входит в развернутое выражение определителя 6-го порядка.
3 левее 2, 1 – две пары,
2 левее 1 – одна пара,
6 левее 5, 4 – две пары,
5 левее 4 – одна пара.
Итого 6 пар, т.е. перестановка четная и слагаемое входит в развернутую запись определителя со знаком «плюс».
б)
Все первые индексы сомножителей различны от 1 до 5(3, 1, 5, 4, 2). Все вторые индексы сомножителей различны от 1 до 5 (1, 3, 2, 5, 4).
Вывод – это произведение входит в развернутое выражение определителя 5-го порядка.
Определим знак этого слагаемого, для этого составим перестановку из индексов сомножителей:
Переставим столбцы так, чтобы числа в первой строке шли по порядку от меньшего к большему.
3 левее 1, 2 – две пары.
4 левее 1, 2 – две пары,
5 левее 2 – одна пара.
Итого 5 пар, т.е. перестановка нечетная и слагаемое входит в развернутую запись определителя со знаком «минус».
в) 
— обратим внимание на первый и шестой сомножители: и . Они оба взяты из 4-го столбца, а значит, это произведение не может входить в развернутое выражение определителя 7-го порядка.
называют
определителем (детерминантом) второго
порядка
и
обозначают .
, 
.
, 
.
третьего порядка
называют число, равное │А│=а11а22а33+а12а23а31+а21а13а32‑а13а22а31‑а21а12а33‑а32а23а11
«+» «-»
(n–1)n + nn-1.