Динамическое программирование. Задача оптимального распределения ресурсов. Задачи динамического программирования
Краткая теория
Динамическое программирование (иначе - динамическое планирование) - это метод нахождения оптимальных решений в задачах с многошаговой (многоэтапной) структурой. Многие экономические процессы расчленяются на шаги естественным образом. Это все процессы планирования и управления, развиваемые во времени. Естественным шагом в них может быть год, квартал, месяц, декада, неделя, день и т. д. Однако метод динамического программирования может использоваться при решении задач, где время вообще не фигурирует; разделение на шаги в таких задачах вводится искусственно. Поэтому «динамика» задач динамического программирования заключается в методе решения.
В экономической практике встречается несколько типов задач, которые по постановке или способу решения относятся к задачам динамического программирования. Это задачи оптимального перспективного и текущего планирования во времени. Их решают либо путем составления комплекса взаимосвязанных статических моделей для каждого периода, либо путем составления единой динамической задачи оптимального программирования с применением многошаговой процедуры принятия решений. К задачам динамического программирования следует отнести задачи многошагового нахождения оптимума при размещении производительных сил, а также оптимального быстродействия.
Типичные особенности многошаговых задач.
1. Рассматривается система, состояние которой на каждом шаге определяется вектором . Дальнейшее изменение ее состояния зависит только от данного состояния и не зависит от того, каким путем система пришла в него. Такие процессы называются процессами без последействия.
2. На каждом шаге выбирается одно решение , под действием которого система переходит из предыдущего состояния в новое . Это новое состояние является функцией состояния на начало интервала и принятого в начале интервала решения т. е.
3. Действие на каждом шаге связано с определенным выигрышем (доходом, прибылью) или потерей (издержками), которые зависят от состояния на начало шага (этапа) и принятого решения.
4. На векторы состояния и управления могут быть наложены ограничения, объединение которых составляет область допустимых решений .
5. Требуется найти такое допустимое управление для каждого шага , чтобы получить экстремальное значение функции цели за все шагов.
Любую многошаговую задачу можно решать по-разному. Во-первых, можно считать неизвестными величинами щ и находить экстремум целевой функции одним из существующих методов оптимизации, т. е. искать сразу все элементы решения на всех шагах. Отметим, что этот путь не всегда приводит к цели, особенно когда целевая функция задана в виде таблиц или число переменных очень велико. Второй путь основан на идее проведения оптимизации поэтапно. Поэтапность отнюдь не предполагает изолированности в оптимизации этапов. Наоборот, управление на каждом шаге выбирается с учетом всех его последствий. Обычно второй способ оптимизации оказывается проще, чем первый, особенно при большом числе шагов. Идея постепенной, пошаговой оптимизации составляет суть метода динамического программирования. Оптимизация одного шага, как правило, проще оптимизации всего процесса в целом. Лучше много раз решать сравнительно простую задачу, чем один раз - сложную.
С первого взгляда идея может показаться тривиальной: если трудно оптимизировать сложную задачу, то следует разбить ее на ряд более простых. На каждом шаге оптимизируется задача малого размера, что уже нетрудно. При этом принцип динамического программирования вовсе не предполагает, что каждый шаг оптимизируется изолированно, независимо от других. Напротив, пошаговое управление должно выбираться с учетом всех его последствий.
Можно сформулировать следующие принципы, лежащие в основе динамического программирования: принцип оптимальности и принцип погружения.
Оптимальное управление на каждом шаге определяется состоянием системы на начало этого шага и целью управления. Или в развернутой форме: оптимальная стратегия обладает таким свойством, что, каковы бы ни были начальное состояние и начальные решения, последующие решения должны приниматься исходя из оптимальной стратегии с учетом состояния, вытекающего из первого решения. Этот принцип имеет довольно простую математическую интерпретацию, выражающуюся в составлении определенных рекуррентных соотношений (функциональных уравнений Р. Беллмана).
Природа задачи, допускающей использование метода динамического программирования не меняется при изменении количества шагов , т. е. форма такой задачи инвариантна относительно . В этом смысле всякий конкретный процесс с заданным числом шагов оказывается как бы погруженным в семейство подобных ему процессов и может рассматриваться с позиции более широкого класса задач.
Реализация названных принципов дает гарантию того, что решение, принимаемое на очередном шаге, окажется наилучшим относительно всего процесса в целом, а не узких интересов данного этапа. Последовательность пошаговых решений приводит к решению исходной -шаговой задачи.
Дадим математическую формулировку принципа оптимальности для задач с аддитивным критерием оптимальности (сепарабельная функция цели). Для простоты будем считать, что начальное и конечное состояния системы заданы. Обозначим через значение функции цели на первом этапе при начальном состоянии системы и при управлении , через -соответствующее значение функции цели только на втором этапе, …., через - на этапе, …, через - на -м этапе. Очевидно, что
Надо найти оптимальное управление такое, что доставляет экстремум целевой функции при ограничениях .
Для решения этой задачи погружаем ее в семейство подобных. Введем обозначения. Пусть - соответственно области определения для подобных задач на последнем этапе, двух последних и т.д.; - область определения исходной задачи. Обозначим через
соответственно условно-оптимальные значения функции цели на последнем этапе, двух последних и т.д., на последних и т.д., на всех этапах.
Начинаем с последнего этапа. Пусть - возможные состояния системы на начало -го этапа. Находим:
Для двух последних этапов получаем:
Аналогично:
…………………….
…………………….
Выражение (5) представляет собой математическую запись принципа оптимальности. Выражение (4) - общая форма записи условно-оптимального значения функции цели для оставшихся этапов. Выражения (1)-(5) называются функциональными уравнениями Беллмана. Отчетливо просматривается их рекуррентный (возвратный) характер, т.е. для нахождения оптимального управления на шагах нужно знать условно-оптимальное управление на предшествующих этапах и т.д. Поэтому функциональные уравнения часто называются рекуррентными (возвратными) соотношениями Беллмана.
Пример решения задачи
Условие задачи
Производственное объединение выделяет четырем входящим в него предприятиям кредит в сумме 100 млн.ден.ед. для расширения производства и увеличения выпуска продукции. По каждому предприятию известен возможный прирост выпуска продукции (в денежном выражении) в зависимости от выделенной ему суммы . Для упрощения вычислений выделяемые суммы кратны 20 млн.ден.ед. При этом предполагаем, что прирост продукции на предприятии не зависит от суммы средств, вложенных в другие предприятия, а общий прирост выпуска в производственном объединении равен сумме приростов, полученных на каждом предприятии объединения.
Требуется найти оптимальное решение распределения кредита между предприятиями, чтобы общий прирост выпуска продукции на производственном объединении был максимальным.
| Выделяемые средства , млн.ден.ед. | Предприятие | №1 | №2 | №3 | №4 | Прирост выпуска продукции на предприятиях млн.ден.ед. | 20 | 10 | 12 | 11 | 16 | 40 | 31 | 24 | 36 | 37 | 60 | 42 | 36 | 45 | 46 | 80 | 62 | 52 | 60 | 63 | 100 | 76 | 74 | 77 | 80 |
Решение задачи
Если сроки со сдачей контрольной работы поджимают, на сайте всегда можно заказать cрочное решение задач по методам оптимальных решений .
Динамическое программирование представляет собой многоэтапный поиск оптимального решения. Оптимизация многошагового процесса базируется на принципе оптимальности Р. Беллмана.
Вычисления в динамическом программировании выполняются рекуррентно - оптимальное решение одной подзадачи используется в качестве исходных данных для поиска оптимального решения следующей подзадачи. Решив последнюю подзадачу, мы получим оптимальное решение исходной задачи.
| Выделяемые средства | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 20 | 10 | 12 | 11 | 16 | 40 | 31 | 24 | 36 | 37 | 60 | 42 | 36 | 45 | 46 | 80 | 62 | 52 | 60 | 63 | 100 | 76 | 74 | 77 | 80 |
Шаг 1
В соответствии с вычислительной схемой динамического программирования рассмотрим сначала случай , т.е. предположим, что все имеющиеся средства выделяются на реконструкцию и модернизацию одного предприятия. Обозначим через максимально возможный дополнительный доход на этом предприятии, соответствующий выделенной сумме . Каждому значению отвечает вполне определенное (единственное) значение дополнительного дохода, поэтому можно записать, что:
Шаг 2
Пусть теперь , т.е. средства распределяются между двумя предприятиями. Если второму предприятию выделена сумма , то дополнительный доход на нем составит . Оставшиеся другому предприятию средства в зависимости от величины (а значит, и ) позволят увеличить дополнительный доход до максимально возможного значения . При этом условии общий дополнительный доход на двух предприятиях:
Шаг 3
Пусть теперь , т.е. средства распределяются между тремя предприятиями. Если третьему предприятию выделена сумма , то дополнительный доход на нем составит . Оставшиеся средства в зависимости от величины (а значит, и ) позволят увеличить дополнительный доход до максимально возможного значения . При этом условии общий дополнительный доход на трех предприятиях:
Шаг 4
Пусть теперь , т.е. средства распределяются между четырьмя предприятиями. Если четвертому предприятию выделена сумма , то дополнительный доход на нем составит . Оставшиеся средства в зависимости от величины (а значит, и ) позволят увеличить дополнительный доход до максимально возможного значения . При этом условии общий дополнительный доход на четырех предприятиях:
Ответ
Оптимальный план распределения между 4 предприятиями 100 единиц ресурса:
| 0 | 20 | 40 | 40 |
При этом суммарный прирост продукции достигнет максимальной величины, равной 85.
Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.
Все вопросы по стоимости можете задать прямо в чат, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.
Примеры близких по теме задач
Основная модель управления запасами
На примере решения задачи рассмотрена основная модель управления запасами (модель Уилсона). Вычислены такие показатели модели как оптимальный размер партии заказа, годовые затраты на хранение, интервал между поставками и точка размещения заказа.
Задача квадратичного программирования
Приведен образец решения задачи квадратичного выпуклого программирования графическим методом.
Игры в смешанных стратегиях
Содержит изложенные в краткой и доступной форме теоретические сведения о матричной игре без седловой точки и способе сведения такой задачи к задаче линейного программирования, для отыскания ее решения в смешанных стратегиях. Приведен пример решения задачи.
РЕФЕРАТ
Введение
Динамическое программирование - метод оптимизации, приспособленный к операциям, в которых процесс принятия решения может быть разбит на этапы (шаги). Такие операции называются многошаговыми.
Начало развития динамического программирования относится к 50-м годам ХХ в. и связано с именем Ричарда Эрнеста Беллмана.
Если модели линейного программирования можно использовать в экономике для принятия крупномасштабных плановых решений в сложных ситуациях, то модели динамического программирования применяются при решении задач значительно меньшего масштаба:
üпри разработке правил управления запасами;
üпри распределении инвестиционных ресурсов между альтернативными проектами;
üпри составлении календарных планов текущего и капитального ремонта сложного оборудования и его замены и т.п.
1. Общая постановка задачи динамического программирования
динамический беллман уравнение программирование
Рассматривается управляемый процесс, например, процесс распределения средств между предприятиями, использования ресурсов в течение ряда лет, замены оборудования и т.п. В результате управления система (объект управления) S переводится из начального состояния s0 в состояние sn. Пусть, управление можно разбить на n шагов, т.е. решение принимается последовательно на каждом шаге, а управление, переводящее систему S из начального состояния в конечное, представляет собой совокупность n пошаговых управленческих решений.
Обозначим через Xk управленческое решение на k-м шаге (k=1, 2, …, n). Переменные Xk удовлетворяют некоторым ограничениям и в этом смысле называются допустимыми (Xk может быть числом, точкой в n-мерном пространстве или качественным признаком).
Пусть X=(X1, X2, …, Xn) - управление, переводящее систему S из состояния s0 в состояние sn. Обозначим через sk состояние системы (характеризуемое определенным набором параметров и конкретных их значений) после k-го шага управления. Причем состояние системы sk в конце k-го шага зависит только от предшествующего состояния sk-1 и управленческого решения на k-ом шаге Xk (т.е. не зависит напрямую от предшествующих состояний и управленческих решений). Данное требование называется «отсутствием последствия» и может быть выражено следующими уравнениями состояний:
Таким образом, получаем последовательность состояний s0, s1, …, sk-1, sk, …, sn-1, sn. Тогда n-шаговый управленческий процесс схематично можно изобразить следующим образом:
Пусть показатель эффективности k-го шага выражается некоторой функцией:
а эффективность всего рассматриваемого многошагового процесса следующей аддитивной функцией:
Тогда задача пошаговой оптимизации (задача динамического программирования) формулируется следующим образом: определить такое допустимое управление Х, переводящее систему S из состояния s0 в состояние sn, при котором целевая функция Z принимает наибольшее (наименьшее) значение.
Задача динамического программирования обладает следующими особенностями:
Задача оптимизации интерпретируется как n-шаговый процесс управления.
Целевая функция равна сумме целевых функций каждого шага.
Выбор управления на k-ом шаге зависит только от состояния системы к этому шагу, не влияет на предшествующие шаги (отсутствие обратной связи).
Состояние sk после k-го шага управления зависит только от предшествующего состояния sk-1 и управления Xk («отсутствие последствия»).
На каждом шаге управление Xk зависит от конечного числа управляющих переменных, а состояние sk - от конечного числа параметров.
2. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана
Принцип оптимальности впервые был сформулирован Ричардом Эрнестом Беллманом в 1953 г. (в трактовке Е.С. Вентцель):
Каково бы ни было состояние системы в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление таким образом, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный.
Р.Э. Беллманом были сформулированы и условия, при которых принцип верен. Основное требование - процесс управления должен быть без обратной связи, т.е. управление на данном шаге не должно оказывать влияния на предшествующие шаги.
Рассмотрим общую задачу динамического программирования, приведенную выше. На каждом шаге кроме последнего для любого состояния системы sk-1 управленческое решение Xk необходимо выбирать «с оглядкой», так как этот выбор влияет на последующее состояние системы sk.
На последнем шаге исходя из состояния системы sn-1 управленческое решение Xn можно планировать локально-оптимально, т.е. исходя только из соображений этого шага.
Рассмотрим последний n-й шаг:
sn-1 - состояние системы к началу n-го шага;
sn - конечное состояние системы;
Xn - управление на n-ом шаге;
fn(sn-1, Xn) - целевая функция (выигрыш) n-го шага.
Согласно принципу оптимальности, Xn нужно выбирать таким образом, чтобы для любых состояний системы sn-1 получить оптимум целевой функции на этом шаге.
Обозначим через оптимум (для определенности примем максимум) целевой функции - показатель эффективности n-го шага при условии, что к началу последнего шага система S была в произвольном состоянии sn-1, а на последнем шаге управление было оптимальным.
называют условным максимумом целевой функции на n-ом шаге, и определяют по следующей формуле:
Максимизация ведется по всем допустимым управлениям Xn.
Решение Xn, при котором достигается, также зависит от sn-1 и называется условным оптимальным решением на n-ом шаге. Обозначим его через.
Решив одномерную задачу локальной оптимизации по уравнению (5), определим для всех возможных состояний sn-1 две функции и.
Рассмотрим двухшаговую задачу: присоединим к n-му шагу (n-1) - й.
Для любых состояний sn-2, произвольных управленческих решений Xn-1 и оптимальном управлении на n-ом шаге значение целевой функции на двух последних шагах вычисляется по формуле:
Согласно принципу оптимальности Беллмана для любых sn-2 решение нужно выбирать так, чтобы оно вместе с оптимальным управлением на последнем (n-ом) шаге приводило бы к оптимуму целевой функции на двух последних шагах. Следовательно, необходимо отыскать оптимум выражения (6) по всем допустимым управленческим решениям Xn-1:
Называют условным максимумом целевой функции при оптимальном управлении на двух последних шагах. Необходимо отметить, что выражение в фигурных скобках в формуле (6), зависит только от sn-2 и Xn-1, так как sn-1 можно найти из уравнения состояний (1) при:
Соответствующее управление Xn-1 на (n-1) - ом шаге обозначается через и называют условным оптимальным управлением на (n-1) - ом.
Аналогично определяются условные оптимумы целевой функции при оптимальном управлении на (n-k+1) шагах, начиная с k-го до конца, при условии, что к началу k-го шага система находилась в состоянии sk-1:
Управление Xk на k-ом шаге, при котором достигается максимум по (8), обозначается и называется условным оптимальным управлением на k-ом шаге.
Уравнения (5) и (8) называют рекуррентными уравнения Беллмана (обратная схема). Процесс решения данных уравнений называют условной оптимизацией.
В результате условной оптимизации получаются две последовательности:
, …, - условные максимумы целевой функции на последнем, двух последних, …, на n шагах;
, …, - условные оптимальные управления на n-ом, (n-1) - ом, …, на 1-ом шагах.
Используя данные последовательности, можно найти решение задачи динамического программирования при данных n и s0:
В результате получаем оптимальное решение задачи динамического программирования: .
Аналогично рассуждая, можно выстроить и прямую схему условной оптимизации:
Оптимальное решение задачи в данном случае находится по следующей схеме:
Таким образом, построение модели динамического программирования и решение задачи на ее основе в общем виде можно представить в виде следующих этапов:
Выбирают способ деления процесса управления на шаги.
Определяют параметры состояния sk и переменные управления Xk на каждом шаге, записывают уравнения состояний.
3. Вводят целевые функции k-ого шага и суммарную целевую функцию, а также условные оптимумы и условное оптимальное управление на k-ом шаге ().
Записывают в соответствии с обратной или прямой схемой рекуррентные уравнения Беллмана и после выполнения условной оптимизации получают две последовательности: {} и {}.
Определяют оптимальное значение целевой функции и оптимальное решение.
3. Задача распределения ресурсов
Имеется определенное количество ресурсов s0, которое необходимо распределить между n хозяйствующими субъектами на текущую деятельность в течение рассматриваемого периода (месяц, квартал, полугодие, год и т.д.) с целью получения совокупной максимальной прибыли. Размеры вложений ресурсов xi (;) в деятельность каждого хозяйствующего субъекта кратны некоторой величине h. Известно, что каждый хозяйствующий субъект в зависимости от объема используемых средств xi за рассматриваемый период приносит прибыль в размере fi(xi) (не зависит от вложения ресурсов в другие хозяйствующие субъекты).
Представим процесс распределения ресурсов между хозяйствующими субъектами как n-шаговый процесс управления (номер шага совпадает с условным номером хозяйствующего субъекта). Пусть sk () - параметр состояния, т.е. количество свободных средств после k-го шага для распределения между оставшимися (n - k) хозяйствующими субъектами. Тогда уравнения состояний можно записать в следующем виде:
Введем в рассмотрение функцию - условно оптимальная совокупная прибыль, полученная от k-го, (k+1) - го, …, n-го хозяйствующих субъектов, если между ними оптимальным образом распределялись ресурсы в объеме sk-1 (). Множество возможных управленческих решений относительно размера распределяемых ресурсов на k-ом шаге можно представить следующим образом: .
Тогда рекуррентные уравнения Р.Э. Беллмана (обратная схема) будут иметь вид:
Пример. Имеется определенное количество ресурсов s0=100, которое необходимо распределить между n=4 хозяйствующими субъектами на текущую деятельность в течение рассматриваемого периода (месяц) с целью получения совокупной максимальной прибыли. Размеры вложений ресурсов xi (;) в деятельность каждого хозяйствующего субъекта кратны величине h=20 и заданы вектором Q. Известно, что каждый хозяйствующий субъект в зависимости от объема используемых средств xi за рассматриваемый период приносит прибыль в размере fi(xi) () (не зависит от вложения ресурсов в другие хозяйствующие субъекты):
Необходимо определить, какой объем ресурсов нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.
Решение. Составим рекуррентные уравнения Беллмана (обратную схему):
Определим условные максимумы в соответствии с (13), результаты расчетов представлены в таблице 1.
Таблица 1. Расчет условных оптимумов
sk-1xkskk=3k=2k=1123456789101112000000000000200200+20=20 22 200+22=22 2200+22=22 22020022+0=22 17+0=1714+0=14400400+33=33 42 200+42=42 4200+42=42 420202022+20=42 17+22=3914+22=3640021+0=2120+0=2026+0=26600600+46=46 55 200+55=55 59 20 0+59=59 590204022+33=5517+42=59 14+42=56402021+20=4120+22=4226+22=4860037+0=3732+0=3235+0=35800800+30=30 68 200+68=68 72 200+72=72 73 20206022+46=6817+55=7214+59=73 404021+33=5420+42=6426+42=68602037+20=5732+22=5435+22=5780067+0=6761+0=6152+0=5210001000+42=42 87 800+87=87 8700+87=87 870208022+30=5217+68=8514+72=86406021+46=6720+55=7526+59=85604037+33=7032+42=7435+42=77802067+20=87 61+22=8352+22=74100058+0=5872+0=7261+0=61По результатам условной оптимизации определим оптимальное распределение ресурсов:
Таким образом, оптимальное распределение ресурсов:
которое обеспечит наибольшую прибыль в размере 87 усл. ден. ед.
Ответ: оптимальное распределение ресурсов: , которое обеспечивает наибольшую прибыль в 87 усл. ден. ед.
Вывод
Динамическое программирование - это область математического программирования, включающая совокупность приемов и средств для нахождения оптимального решения, а также оптимизации каждого шага в системе и выработке стратегии управления, то есть процесс управления можно представить, как многошаговый процесс. Динамическое программирование, используя поэтапное планирование, позволяет не только упростить решение задачи, но и решить те из них, которым нельзя применить методы математического анализа. Упрощение решения достигается за счет значительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того, чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапного планирования предполагает многократное решение относительно простых задач. Планируя поэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т.е. при принятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель. Однако динамическое программирование имеет и свои недостатки. В отличие от линейного программирования, в котором симплексный метод является универсальным, в динамическом программировании такого метода не существует. Каждая задача имеет свои трудности, и в каждом случае необходимо найти наиболее подходящую методику решения. Недостаток динамического программирования заключается также в трудоемкости решения многомерных задач. Задача динамического программирования должна удовлетворять два условия. Первое условие обычно называют условием отсутствия последействия, а второе - условием аддитивности целевой функции задачи. На практике встречаются такие задачи планирования, в которых заметную роль играют случайные факторы, влияющие как на состояние системы, так и на выигрыш. Существует разница между детерминированной и стохастической задачами динамического программирования. В детерминированной задаче оптимальное управление является единственным и указывается заранее как жесткая программа действий. В стохастической задаче оптимальное управление является случайным и выбирается в ходе самого процесса в зависимости от случайно сложившейся ситуации. В детерминированной схеме, проходя процесс по этапам от конца к началу, тоже находится на каждом этапе целый ряд условных оптимальных управлений, но из всех этих управлений, в конечном счете осуществлялось только одно. В стохастической схеме это не так. Каждое из условных оптимальных управлений может оказаться фактически осуществленным, если предшествующий ход случайного процесса приведет систему в соответствующее состояние. Принцип оптимальности является основой поэтапного решения задач динамического программирования. Типичными представителями экономических задач динамического программирования являются так называемые задачи производства и хранения, задачи распределения капиталовложений, задачи календарного производственного планирования и другие. Задачи динамического программирования применяются в планировании деятельности предприятия с учетом изменения потребности в продукции во времени. В оптимальном распределении ресурсов между предприятиями в направлении или во времени. Описание характеристик динамического программирования и типов задач, которые могут быть сформулированы в его рамках, по необходимости должно быть очень общим и несколько неопределенным, так как существует необозримое множество различных задач, укладывающихся в схему динамического программирования. Только изучение большого числа примеров дает отчетливое понимание структуры динамического программирования.
Список литературы
- Экономико-математические модели и методы. Линейное программирование: Учебное пособие для студентов экономических специальностей / Составители: Смирнов Ю.Н., Шибанова Е.В., Набережные Челны: Изд-во КамПИ, 2004, 81 с.
- Исследование операций в экономике: Учебн. пособие для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2000. - 407 с.
- Кузнецов А.В. и др. Высшая математика: Мат. программирование: Учеб./А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Холод; Под общ. ред. А.В. Кузнецова. - Мн.: Высш. шк., 1994. - 286 с.: ил.
Репетиторство
Нужна помощь по изучению какой-либы темы?
Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку
с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.
План урока
Учебная дисциплина МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
Тема урока Решение различных практических задач ДП с применением математических методов.
Цели урока
Развить навык решения задач динамического программирования.
Развитие качества ума, внимания, умений учебного труда студентов.
Воспитание дисциплинированности, целеустремленности студентов.
Оснащение урока конспект лекций, В.П.Агальцов «Математические методы в программировании».
Ход урока:
Организационный момент:
проверка отсутствующих, заполнение журнала.
Актуализация опорных знаний : ответы на контрольные вопросы
Какие задачи называются многошаговыми?
При помощи какого математического аппарата решаются многошаговые задачи?
Что такое оптимальное управление u*?
Каков алгоритм метода последовательных приближений в два круга?
Приведите примеры задач оптимального распределения ресурсов.
Изучение нового материала:
Классические задачи динамического программирования
Задача о наибольшей общей подпоследовательности: даны две последовательности, требуется найти самую длинную общую подпоследовательность.
Задача поиска наибольшей увеличивающейся подпоследовательности: дана последовательность, требуется найти самую длинную возрастающую подпоследовательность.
Задача о редакционном расстоянии (расстояние Левенштейна): даны две строки, требуется найти минимальное количество стираний, замен и добавлений символов, преобразующих одну строку в другую.
Задача о вычислении чисел Фибоначчи
Задача о порядке перемножения матриц: даны матрицы, …, требуется минимизировать количество скалярных операций для их перемножения.
Задача о выборе траектории
Задача последовательного принятия решения
Задача об использовании рабочей силы
Задача управления запасами
Задача о ранце: из неограниченного множества предметов со свойствами «стоимость» и «вес» требуется отобрать некое число предметов таким образом, чтобы получить максимальную суммарную стоимость при ограниченном суммарном весе.
Алгоритм Флойда - Уоршелла: найти кратчайшие расстояния между всеми вершинами взвешенного ориентированного графа.
Алгоритм Беллмана - Форда: найти кратчайший путь во взвешенном графе между двумя заданными вершинами.
Максимальное независимое множество вершин в дереве: дано дерево, найти максимальное множество вершин, никакие две из которых не связаны ребром.
Пример: Оптимальное распределение ресурсов
Капитал 40 млн.руб. инвестор должен вложить в четыре инвестиционных проекта так, чтобы получить максимальный доход. Доходность проектов дана в таблице (вложения кратны 8 млн. руб.)
u
Прибыль от внедрения
f4 (u )
f3 (u )
f2 (u )
f1 (u )
55
39
120
115
10 0
120
135
134
14 0
145
158
147
Решение:
Это задача динамического программирования. Решение состоит из двух этапов. На первом этапе (от конца к началу) ищем условное оптимальное решение, на втором (от начала к концу) – ищем оптимальное решение задачи.
1 этап.
Распределяем капитал между четырьмя проектами и считаем получаемую прибыль L (i ), i = 8,16,24,32,40.
1 шаг : Денежные средства вкладываются в четвертый проект.
L (8)=55
L (16)=58
L (24)=90
L (32)=100
L (40)=140
2 шаг : Денежные средства вкладываются в четвертый и третий проекты.
u
Прибыль от внедрения
1 шаг
f3 (u )
55
39
10 0
120
14 0
145
3 шаг : Денежные средства вкладываются в четвертый, третий (2 шаг) и второй проекты.
u
Прибыль от внедрения
2 шаг
f 2(u )
94
108
120
135
135
175
158
175
134
214
147
2 этап:
На четвертом шаге выбираем максимальное из полученных значений прибыли L (40)=214.
И возвращаясь в обратном порядке от таблицы к таблице (от 4 шага к 1) выбираем такие значения доходов, при которых и получено значение 214.
Максимальный доход 214 млн. руб. от вложенных средств может быть получен при следующем распределении средств:
1 проект – 0 млн. руб.
2 проект – 24 млн. руб.
3 проект – 8 млн. руб.
4 проект – 8 млн. руб.
Закрепление нового материала:
5. Подведение итогов урока: выводы, оценки, домашнее задание:
(2) п.5.1
Ср12: формирование и усвоение содержания теоретического материала
Подпись преподавателя
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задача распределения ресурсов методом динамического программирования
Для расширения производственных мощностей трех предприятий А, В и С выделяется некоторое количество единиц дополнительной электроэнергии в объеме х 0 =8 единиц. Электроэнергия может выделяться в виде 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 единиц. Вкладывая в развитие i-того предприятия х i единиц электроэнергии можно получить доход у i единиц на предприятии. Существуют разные варианты х i (к) выделения дополнительной электроэнергии. Они приносят доход у i (к), к=1,n. Возможные варианты развития предприятий приведены в табл.1. Суммарный доход по всем предприятиям должен быть максимальным, т.е у=? у i (к)>max
Табл. 1. Варианты развития предприятий
|
Вариант к |
Предриятие А |
Предприятие В |
Предприятие С |
||||
Математическая постановка задачи:
у=? у i (к)> max
?х i (к)?х 0
Решение:
Начнем рассмотрение процедуры решения поставленной задачи с последнего (3 шага) этапа (Табл.2), на котором инвестиции выделяются предприятию С. Условно-оптимальное управление на третьем этапе ищется как решение уравнения
g C (S 2)=max k f c , x C (k)?S 2 , k=1,2,3,4
Табл. 2. Условно-оптимальные решения(шаг 3)
|
Состояние |
Управление |
|||||||
Имеется четыре возможности вложения средств - четыре шаговых управления х С (1)=0ед., х С (2)=1ед., х С (3)=2ед., х С (4)=3ед. и девять теоретически возможных состояний системы S 2 , предшествующих выделению средств предприятию С, - объемы не распределенных к 3-му этапу инвестиций: 0,1,2,3,4,5,6,7,8.
Предположим, что система находилась в состоянии S 2 =2.Тогда, для шагового управления х С (2)=1 доход у С (2) будет равен 3ед. (Табл.3), а шаговое управление х С (3)=2 будет оптимальным для этого состояния, дающим условно-максимальный выигрыш g c (S 2)=5. Если система находилась в состоянии S 2 =3, то допустимы все шаговые управления х С (1)=0ед., х С (2)=1ед., х С (3)=2ед., х С (4)=3ед., а оптимальным будет управление х С (4)=3, которое обеспечивает условно максимальный выигрыш g c (S 2)=6.
Табл.3 динамический программирование распределение инвестиция
Аналогично заполняются все возможные состояния предшествующие 3-му этапу. Оптимальные значения показателей выделены в таблицах жирным шрифтом.
Далее таким же образом рассматривается второй этап (Табл.4), состоящий в выделении инвестиций предприятию А. На втором этапе общий выигрыш складывается из выигрышей, получаемых на третьем и втором этапах, и задается соотношением:
g А (S 1)=max k f А +g c ], x А (k)?S 1 , k=1,2,3,4
Так, для состояния S 1 =3 с шаговым управление х A (2)=1 получаем:
g А (S 1)=max k f А +g c ]
Max k 4+g c =4+5=9, где находим из таблицы 1, а g c из таблицы 3. Аналогично заполняются все состояния.
Табл. 4. Условно-оптимальные решения(шаг 2)
|
Состояние |
f А +g c |
Управление |
||||||
Здесь возникают ситуации, при которых оптимальное решение будет не единственным, Так в состояние S 1 =3 условно оптимальными будут шаговые управления х A (2)=1 и х A (3)=2, дающие один и тот же выигрыш g A (S 1)=9
Табл. 5. Безусловно-оптимальные решения (шаг 1)
На первом этапе (Табл.5)-выделение инвестиций предприятию В - есть только одно предшествующее состояние системы, соответствующее начальному состоянию S 0 =8. Безусловно оптимальный выигрыш определяется выражением:
у * = g В (S 0)= max k {f А +g А } x в (k)?S 0 =x 0 , k=1,2,3,4,5
Безусловно-оптимальные управления, обеспечивающие максимальный доход могут быть разными.
Схема нахождения всех оптимальных вариантов распределения инвестиций между предприятиями (Табл.6) представлена на рисунке 1.
Табл. 6. Оптимальные распределения инвестиций.
Рисунок 1. Схема оптимального распределения инвестиций между предприятиями
Вывод: рассмотрев задачу распределения ресурсов методом динамического программирования выявили два варианта оптимального распределения ресурсов.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Общая характеристика и экономические показатели деятельности трех исследуемых предприятий. Решение задачи планирования производства, а также распределения инвестиций методом линейного и динамического программирования. Сравнительный анализ результатов.
курсовая работа , добавлен 25.04.2015
Многошаговые процессы в динамических задачах. Принцип оптимальности и рекуррентные соотношения. Метод динамического программирования. Задачи оптимального распределения средств на расширение производства и планирования производственной программы.
курсовая работа , добавлен 30.12.2010
Метод динамического программирования и его основные этапы. Оптимальная стратегия замены оборудования. Минимизация затрат на строительство и эксплуатацию предприятий. Оптимальное распределение ресурсов в ООО "СТРОЙКРОВЛЯ" и инвестиций ПКТ "Химволокно".
курсовая работа , добавлен 08.01.2015
Математическая модель планирования производства. Составление оптимального плана производственной деятельности предприятия методом линейного программирования. Нахождение оптимального способа распределения денежных ресурсов в течение планируемого периода.
дипломная работа , добавлен 07.08.2013
Расчет стоимости перевозок методом минимальных затрат. Нахождение условного оптимального равенства в процессе динамического программирования. Линейное алгебраическое уравнение Колмогорова для среднего времени безотказной работы резервированной системы.
курсовая работа , добавлен 14.01.2011
Графический метод решения задачи оптимизации производственных процессов. Применение симплекс-алгоритма для решения экономической оптимизированной задачи управления производством. Метод динамического программирования для выбора оптимального профиля пути.
контрольная работа , добавлен 15.10.2010
Оптимальный план распределения денежных средств между предприятиями. Разработка плана для каждого предприятия, при котором прибыль от вложенных денежных средств примет наибольшее значение. Использование методов линейного и динамического программирования.
курсовая работа , добавлен 16.12.2013
Характерные черты задач линейного программирования. Общая постановка задачи планирования производства. Построение математической модели распределения ресурсов фирмы. Анализ чувствительности оптимального решения. Составление отчета по устойчивости.
презентация , добавлен 02.12.2014
Нахождение оптимального портфеля ценных бумаг. Обзор методов решения поставленной задачи. Построение математической модели. Задача конусного программирования. Зависимость вектора распределения начального капитала от одного из начальных параметров.
дипломная работа , добавлен 11.02.2017
Модель динамического программирования. Принцип оптимальности и уравнение Беллмана. Описание процесса моделирования и построения вычислительной схемы динамического программирования. Задача о минимизации затрат на строительство и эксплуатацию предприятий.
Динамическое программирование (ДП) – это метод нахождения оптимальных решений в задачах с многошаговой (многоэтапной) структурой.
Приведем
общую постановку задачи ДП. Рассматривается
управляемый процесс (распределение
средств между предприятиями, использование
ресурсов в течение ряда лет и т.п.). В
результате управления система (объект
управления) переводится из начального
состояния
в состояние
.
Предположим, что управление можно
разбить на
шагов. На каждом шаге выбирается одно
из множества допустимых управлений
,
переводящее систему в одно из состояний
множества
.
Элементы множества
и
определяются из условий конкретной
задачи. Последовательность состояний
системы можно изобразить в виде графа
состояний, представленного на рис. 3.1.
На
каждом шаге n
достигается эффект
.
Предположим, что общий эффект является
суммой эффектов, достигнутых на каждом
шаге. Тогда задача ДП формулируется
так: определить такое допустимое
управление
,
переводящее систему из состояния
в состояние
,
при котором функция цели
принимает наибольшее (наименьшее)
значение, т.е.
Решение задач методом ДП осуществляется на основе принципа оптимальности, который был сформулирован американским ученым Р.Беллманом: каково бы ни было состояние системы в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный.
Обозначим
через
условно-оптимальное значение целевой
функции на интервале от шагаn
до последнего
-го
шага включительно, при условии, что
передn
-ым
шагом система находилась в одном из
состояний множества
,
а наn
-ом
шаге было выбрано такое управление из
множества
,
которое обеспечило целевой функции
условно-оптимальное значение, тогда
условно-оптимальное значение целевой
функции в интервале от (n
+1
)-го
до
-го
шага включительно.
В принятых обозначениях принцип оптимальности Беллмана можно записать в математической форме следующим образом
Равенство (3.1) называется основным функциональным уравнением динамического программирования. Для каждой конкретной задачи уравнение имеет особый вид.
Вычислительная процедура метода ДП распадается на два этапа: условную и безусловную оптимизацию.
На этапе условной оптимизации в соответствии с функциональным уравнением определяются оптимальные управления для всех возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего.
На
этапе безусловной
оптимизации
шаги рассматриваются, начиная с первого.
Поскольку исходное состояние
известно, выбирается оптимальное
управление из множества
.
Выбранное оптимальное управление
приводит систему во вполне определенное
состояние
.
Благодаря тому, что исходное состояние
в начале второго шага известно, становится
возможным выбрать оптимальное управление
на втором шаге
и т.д. Таким образом, строится цепь
взаимосвязанных решений безусловной
оптимизации.
3.1. Задача оптимального распределения ресурсов
Пусть
на реконструкцию и модернизацию основного
производства объединению выделяется
некоторый объем материальных ресурсов
Х
.
Имеется N
предприятий, между которыми нужно
распределить данный ресурс. Обозначим
через
прибыль, которому приносит народному
хозяйству выделениеj
-му
предприятию
единиц ресурса. Предполагается, что
размер прибыли зависит как от выделенного
количества ресурса, так и от предприятия.
Причем прибыль, получаемая предприятиями
измеряется в одних и тех же единицах и
общая прибыль объединения состоит из
прибылей отдельных предприятий.
Необходимо найти оптимальный план
распределения ресурсов между предприятиями,
при котором общая прибыль объединения
будет максимальной.
Поставленную задачу нужно рассмотреть как многошаговую.
На
этапе условной оптимизации будем
рассматривать эффективность вложения
средств на одном (например, на первом
предприятии), на двух предприятиях
вместе (на первом и втором), на трех
предприятиях вместе (на первом, втором
и третьем) и т.д., и наконец, на всех N
предприятиях вместе. Задача состоит в
определении наибольшего значения
функции
при условии, что
.
Воспользуемся
рекуррентным соотношением Беллмана
(3.1), которое для данной задачи приводит
к следующим функциональным уравнениям
при
:
Здесь
функция
определяет максимальную прибыль первого
предприятия при выделении емуx
единиц ресурса, функция
определяет максимальную прибыль первого
и второго предприятий вместе при
выделении имx
единиц ресурса, функция
определяет максимальную прибыль первого,
второго и третьего предприятий вместе
при выделении имx
единиц ресурса и т.д., и наконец, функция
определяет максимальную прибыль всех
предприятий вместе при выделении имx
единиц ресурса.
На этапе безусловной оптимизации определяется оптимальный план распределения ресурсов между предприятиями.
Пример 3.1.
Для
увеличения объемов выпуска пользующейся
повышенным спросом продукции четырем
предприятиям производственного
объединения выделены средства в размере
50 млн. руб. Каждому из предприятий может
быть выделено: 0, 10, 20, 30, 40 или 50 млн. руб.
При этом ежегодный прирост выпуска
продукции каждым из предприятий
в зависимости от капиталовложений
известен и приведен в табл. 3.1.
Таблица 3.1
|
Объем выделенных средств x (млн. руб.) |
Ежегодный прирост выпуска продукции (млн. руб.), в зависимости от объема выделенных средств |
|||
|
|
|
|
|
|
Найти оптимальный план распределения средств между предприятиями, обеспечивающий максимальный ежегодный прирост выпуска продукции производственным объединением.