Эталоны решения типовых задач

Задача №1. Построить график функции у=х 3 -3х.

При построении графиков функций удобно действовать по следующей схеме:

1. найти область определения функции;

2. установить, обладает ли функция симметрий (исследовать функцию на четность);

3. исследовать функцию на непрерывность, периодичность;

4. рассмотреть поведение функции в окрестностях точек разрыва;

5. определить поведение функции в бесконечности;

6. найти точки пересечения графика функции с осями координат, если это возможно (хотя бы приближенно);

7. найти интервалы возрастания, убывания и точки экстремума функции;

8. определить точки перегиба;

9. определить интервалы выпуклости и вогнутности;

10. составить сводную таблицу и построить график.

В ходе построения графика по мере необходимости можно получить допольнительно ряд значений функции при некоторых частных значениях аргумента х , т.е. еще ряд точек графика. Разумеется, в процессе исследования функции не обязательно строго придерживаться приведенной схемы, иногда даже удобно изменить порядок действий.

Решение.

1. Функция определена при всех

2. На концах интервала lim (x 3 -3x)=-¥; lim (x 3 -3x)=+¥,

x® -¥ x®+¥

3. Определим интервалы возрастания и убывания функции. Функция возрастает на интервале, если f ¢ (x)>0 . В данном случае f ¢ (x)=3х 2 -3>0, если х 2 >1 или |х|>1 . Следовательно, функция у=х 2 -3х возрастает на интервалах и Функция убывает на интервале, если f ¢ (x)<0: 3х 2 -3<0, откуда х 2 <1, или -1<х<1. Следовательно, функция у=х 3 -3х убывает на интервале ]-1, 1[.

4. Определим критические точки и исследуем их характер. Из условия (x)=3x 2 -3=0 найдем критические точки: х 1 =-1, х 2 =1. Определим знак первой призводной в окрестностях точек х 1 =-1, х 2 =1. Для точки х 1 =-1 имеем , f ¢ (x)=3·0 2 -3<0. Так как знак производной при переходе через критическую точку х=-1 изменился с плюса на минус, то х=-1 это точка максимума. Максимум функции f(-1)=(-1) 3 -3(-1)=2 (точка А на рис. 4 ). Для точки х 2 =1 имеем , . Так как знак производной при переходе через критическую точку изменился с минуса на плюс, то х=1 это точка минимума . Минимум функции (точка В на рис. 4) .

5. Определим точку перегиба: . Ордината точки перегиба f(0)=0 3 -3·0=0 (точка О на рис. 4 ).

6. Определим интервалы выпуклости и вогнутности. Кривая выпукла при условии , откуда х<0. Следовательно, кривая выпукла на интервале . Кривая вогнута при условии , откуда х>0. Следовательно, кривая вогнута на интервале .

7. Найдем точки пересечения кривой с осью Ох. Из системы уравнений находим точки пересечения:

0); О (0; 0), 0).

8. Сведем результаты исследования в таблицу:

х	-1
f(x)			-2
		-3
	-6
Характер точки	Максимум	Перегиб	Минимум

9. Строим график функции у=х 3 -3х

Рис 4. График функции у=х 3 -3х.

Задача 2. Установить, при каком процентом содержании у кислорода в газовой смеси скорость окисления азота будет максимальной, если уравнение кинетики имеет вид =k(100x 2 -x 3), где k -постоянная, х -концентрация окиси азота и х+у=100.

Решение. Найдем производную функции и приравняем ее нулю: =k(200х-3х 2)=0, откуда критические точки х 1 =0, х 2 =200/3. Исследуем точку х 1 =0: В точке х 1 =0 функция имеет минимум. Исследуем точку х 2 =200/3: Следовательно, х 2 =200/3 – точка максимума функции , и поэтому у 2 =100-200/3=33,3. Скорость окисления будет максимальной в том случае, когда в смеси будет содержаться 33,3% кислорода.

Задача 2 . Реакция организма на введенный лекарственный препарат может выражаться в понижении температуры, повышении давления и т.д. Степень реакции зависит от назначенной дозы лекарства. Пусть х обозначает дозу назначенного лекарственного препарата, а степень реакции описывается функцией у=f(x)=x 2 (a-x), где а -положительная постоянная. При каком значении х реакция максимальна?

Решение. Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:откуда критические точки х 1 =0, х 2 =2а/3.

Значение х 1 =0 указывает на то, что в организм лекарство не вводилось. Исследуем точку х 2 =2а/3: Следовательно, в точке х 2 =2а/3 функция имеет максимум. Таким образом, х=2а/3 – это доза, которая вызывает максимальную реакцию.

Ранее мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Производная имеет многочисленные применения: это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; она помогает решать задачи на оптимизацию.

Но наряду с задачей о нахождении скорости по известному закону движения встречается и обратная задача - задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.

Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) - искомый закон движения. Известно, что s"(t) = v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s = s(t), производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \). В самом деле
\(s"(t) = \left(\frac{gt^2}{2} \right)" = \frac{g}{2}(t^2)" = \frac{g}{2} \cdot 2t = gt \)
Ответ: \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \)

Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \). На самом деле задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида \(s(t) = \frac{gt^2}{2} + C \), где C - произвольная константа, может служить законом движения, поскольку \(\left(\frac{gt^2}{2} +C \right)" = gt \)

Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например при t = 0. Если, скажем, s(0) = s 0 , то из равенства s(t) = (gt 2)/2 + C получаем: s(0) = 0 + С, т. е. C = s 0 . Теперь закон движения определен однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения, например: возведение в квадрат (х 2) и извлечение квадратного корня (\(\sqrt{x} \)), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д. Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием , а обратную операцию, т. е. процесс нахождения функции по заданной производной, - интегрированием .

Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию у" = f"(x). Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у" = f"(x), первичный образ, или первообразная.

Определение. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для \(x \in X \) выполняется равенство F"(x) = f(x)

На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).

Приведем примеры.
1) Функция у = х 2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для любого х справедливо равенство (x 2)" = 2х
2) Функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 , поскольку для любого х справедливо равенство (x 3)" = 3х 2
3) Функция у = sin(x) является первообразной для функции y = cos(x), поскольку для любого x справедливо равенство (sin(x))" = cos(x)

При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.

Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 2. Если F(x) - первообразная для f(x), то kF(x) - первообразная для kf(x).

Теорема 1. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x), то первообразной для функции у = f(kx + m) служит функция \(y=\frac{1}{k}F(kx+m) \)

Теорема 2. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x) на промежутке X, то у функции у = f(x) бесконечно много первообразных, и все они имеют вид y = F(x) + C.

Методы интегрирования

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл \(\textstyle \int F(x)dx \). Сделаем подстановку \(x= \varphi(t) \) где \(\varphi(t) \) - функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Интегрирование выражений вида \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.
Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям - применение следующей формулы для интегрирования:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
или:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \text{tg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\text{ctg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \text{arcsin} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg} x +C $$ $$ \int \text{ch} x dx = \text{sh} x +C $$ $$ \int \text{sh} x dx = \text{ch} x +C $$

Практическая работа Исследование функций и построение графиков. Общая схема построения графиков функций. 1. Найти область определения функции. 2. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической. 3. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений). 4. Найти асимптоты графика функции. 5. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы. 6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба. 7. Построить график, используя полученные результаты исследования. Пример 1. Построить график функции у  х 3  6 х 2  9 х  3 . Решение. 1. Так как функция задана в виде многочлена, то она определена на всей числовой прямой, т.е. D(y)=R. 2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной, так как подставив вместо х (-х) получаем,что первое и третье слагаемые поменяли свой знак, а второе и четвертое остались без изменения, то есть y( x)  ( x) 3  6( x) 2  9( x)  3   x 3  6 x 2  9 x  3 . Кроме того, она не периодическая, так как не является тригонометрической функцией. 3. Найдем точку пересечения графика с осью Оу: полагая х=0, имеем у  0 3  6  0 2  9  0  3  3 . Точки пересечения графика с осью Ох в данном случае найти затруднительно. 4. Так как функция определена на всей числовой прямой, то график функции не имеет асимптот. 5. Найдем производную функции: у   3х 2  12 х  9 . Найдем критические точки, т.е. 3х 2  12 х  9  0 , получим х=1 и х=3. Эти точки делят область определения на три промежутка:    х  1 , 1  х  3 , 3  х   . В промежутках    х  1 и 3  х   у   0 , т.е. функция возрастает, а в промежутке 1  х  3 у   0 , т.е. функция убывает. При переходе через точку х=1 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х=3 производная меняет знак с минуса на плюс. Значит, у max  у (1)  13  6  12  9  1  3  1 , у min  у(3)  33  6  32  9  3  3  3 . 6. Найдем вторую производную: у   6  х  12 . Приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение, получим 6х-12=0, х=2. Точка х=2 делит область определения функции на два промежутка    х  2 и 2  х  . В первом из них у   0 , а во втором у   0 , т.е. в промежутке    х  2 кривая выпукла вверх, а в промежутке 2  х   выпукла вниз. Таким образом, получаем точку перегиба (2;-1). 7. Используя полученные данные, строим искомый график. Пример 2. х2 Построить график функции у  . х3 Решение. 1. Найдем область определения функции – это все числа кроме 3, так как знаменатель при 3 будет равен нулю. 2.Данная функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. 3. При х=0 получим у=0, т.е. график проходит через начало координат. x2   . 4. Прямая х=3 является вертикальной асимптотой графика, так как lim x 3  0 x  3 Далее найдем наклонную асимптоту у=кх+в. Сначала найдем к= lim x  f (x) x2  lim  1 , потом x  x(x  3) x  x2  3x в= lim  f (x)  kx  lim   x  lim  3. x  x  x  3   x x  3 Следовательно, можно записать уравнение наклонной асимптоты графика у=х+3. 5. Найдем производную функции: (х 2)  (х  3)  х 2  (х  3) 2 х(х  3)  х 2 2 х 2  6 х  х 2 х 2  6 х у     . (х  3) 2 (х  3) 2 (х  3) 2 (х  3) 2 Найдем точки в которых производная у  обращается в нуль или терпит разрыв, т.е. х 2  6 х  0 , х(х  6)  0 , х  0 или х  6 и терпит разрыв при х=3. Этими точками числовая прямая делится на четыре промежутка:    х  0 , 0  х  3 , 3  х  6 , 6  х  . Определим знак производной в каждом из них. Очевидно, что у   0 на промежутках    х  0 и 6  х   , т.е. в этих промежутках функция возрастает. А на промежутках 0  х  3 и 3  х  6 у   0 , т.е. в этих промежутках функция убывает. При переходе через точку х=0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е. это точка максимума. При переходе через точку х=6 производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. это точка минимума. Найдем значение функции в найденных точках, получим 02 62 36 у max  у (0)   0 , у min  у (6)    12 . 03 63 3 6. Найдем вторую производную: (х 2  6 х)  (х  3) 2  (х 2  6 х)  ((х  3) 2) (2 х  6)  (х  3) 2  (х 2  6 х)  2(х  3) 18 у     4 4 (х  3) (х  3) (х  3) 3 Вторая производная в нуль нигде не обращается и терпит разрыв при х=3. В промежутке    х  3 у   0 , т.е. в этом промежутке кривая выпукла вверх. А в промежутке 3  х   имеем у   0 , т.е. в этом промежутке кривая выпукла вниз. Точек перегиба нет. 7. На основании полученных данных строим график функции. Задания для самостоятельного решения. Исследуйте следующие функции и постройте их графики: х2 х3 3 2 1. у  х  6 х  9 х  8 5. у  8. у  2 х4 х 1 2 х х3  4 2. у  2 х 3  3х 2  12 х  1 6. у  9. у  х2 х2 х3 3. у  х 3  6 х 2  16 7. у  2 х 4 4. у  2 х 3  3х 2  12 х  10