Интегрирование заменой переменной. II. Метод подстановки (интегрирование заменой переменной)
Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула преобразования дифференциалов. Примеры интегрирования. Примеры линейных подстановок.
Метод замены переменной
С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.
Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x , переходим к другой переменной, которую обозначим как t . При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x(t) , или t = t(x) . Например, x = ln t , x = sin t , t = 2 x + 1 , и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t , чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.
Основная формула замены переменной
Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f(x) и дифференциала dx : . Пусть мы переходим к новой переменной t , выбрав некоторое соотношение x = x(t) . Тогда мы должны выразить функцию f(x) и дифференциал dx через переменную t .
Чтобы выразить подынтегральную функцию f(x) через переменную t , нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x(t) .
Преобразование дифференциала выполняется так:
.
То есть дифференциал dx
равен произведению производной x
по t
на дифференциал dt
.
Тогда
.
На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t(x)
.
Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде
,
где t′(x)
- это производная t
по x
,
то
.
Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.
(1)
,
где x
- это функция от t
.
(2)
,
где t
- это функция от x
.
Важное замечание
В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x . Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое либо выражение.
В качестве примера рассмотрим табличный интеграл
.
Здесь x
можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:
;
;
.
В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x
,
дифференциал преобразуется следующим образом:
.
Тогда
.
В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что
.
После чего интеграл сводится к табличному.
.
Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2)
. Положим t = x 2
+ x
.
Тогда
;
;
.
Примеры интегрирования заменой переменной
1)
Вычислим интеграл
.
Замечаем, что (sin
x)′ = cos
x
.
Тогда
.
Здесь мы применили подстановку t = sin
x
.
2)
Вычислим интеграл
.
Замечаем, что .
Тогда
.
Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg
x
.
3)
Проинтегрируем
.
Замечаем, что .
Тогда
.
Здесь, при интегрировании, произведена замена переменной t = x 2 + 1
.
Линейные подстановки
Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида
t = ax + b
,
где a
и b
- постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением
.
Примеры интегрирования линейными подстановками
A)
Вычислить интеграл
.
Решение.
.
B)
Найти интеграл
.
Решение.
Воспользуемся свойствами показательной функции .
.
ln 2
- это постоянная. Вычисляем интеграл.
.
C)
Вычислить интеграл
.
Решение.
Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.
.
Вычисляем интеграл.
.
D)
Найти интеграл
.
Решение.
Преобразуем многочлен под корнем.
.
Интегрируем, применяя метод замены переменной .
.
Ранее мы получили формулу
.
Отсюда
.
Подставив это выражение, получим окончательный ответ.
Непосредственное интегрирование
Основные формулы интегрирования
1. С – константа | 1*. | |
2. , n ≠ –1 | ||
3. +С | ||
4. | ||
5. | ||
6. | ||
7. | ||
8. | ||
9. | ||
10. | ||
11. | ||
12. | ||
13. | ||
14. |
Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием .
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Это наиболее распространенный метод интегрирования сложной функции, состоящий в преобразовании интеграла с помощью перехода к другой переменной интегрирования.
Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки. Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной удаётся свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берётся непосредственно.
Для интегрирования методом подстановки используют схему решения:
2) найти дифференциал от обеих частей замены;
3) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);
4) найти полученный табличный интеграл;
5) выполнить обратную замену.
Найдите интегралы:
Пример 1 . Подстановка: cosx=t, -sinxdx = dt,
Решение:
Пример 2. ∫e -x3 x 2 dx Подстановка: -x 3 =t, -3x 2 dx=dt, Решение: ∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C
Пример 3. Подстановка: 1+sinx=t , cosxdx=dt ,
Решение: .
РАЗДЕЛ 1.5. Определенный интеграл, методы его вычисления.
п.1 Понятие определенного интеграла
Задача. Найти приращение функции, первообразной для функции f(x) , при переходе аргумента x от значения a к значению b .
Решение . Положим, что интегрированием найдено: ∫ (x)dx = F(x)+C.
Тогда F(x)+C 1 , где С 1 - любое данное число, будет одной из первообразных функций для данной функции f(x) . Найдем её приращение при переходе аргумента от значения a к значению b . Получим:
x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)
Как видим, в выражении приращения первообразной функции F(x)+C 1 отсутствует постоянная величина C 1 . А так как под C 1 подразумевалось любое данное число, то полученный результат приводит к следующему заключению: при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b все функции F(x)+C , первообразные для данной функции f(x) , имеют одно и то же приращение, равное F(b)-F(a) .
Это приращение принято называть определенным интегралом и обозначать символом: и читается: интеграл от а до b от функции f(x) по dх или, короче, интеграл от а до b от f(х)dх.
Число а называется нижним пределом интегрирования, число b - верхним ; отрезок а ≤ x ≤ b – отрезком интегрирования. Предполагается при этом, что подынтегральная функция f(x) непрерывна при всех значениях x , удовлетворяющих условиям: a x b
Определение. Приращение первообразных функций F(x)+C при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b , равное разности F(b)-F(a) , называется определенным интегралом и обозначается символом: так, что если ∫ (x)dx = F(x)+C, то = F(b)-F(a) - данное равенство называется формулой Ньютона - Лейбница.
п.2 Основные свойства определённого интеграла
Все свойства сформулированы в предложении, что рассматриваемые функции интегрируемы в соответствующих промежутках.
п. 3 Непосредственное вычисление определенного интеграла
Для вычисления определённого интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона – Лейбница
т.е. определённый интеграл равен разности значений любой первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:
1) найти неопределенный интеграл от данной функции;
2) в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний предел интеграла;
3) из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела.
Пример 1: Вычислить интеграл:
Пример 2: Вычислить интеграл:
п.4 Вычисление определенного интеграла методом подстановки
Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в следующем:
1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной;
2) найти новые пределы определенного интеграла;
3) найти дифференциал от обеих частей замены;
4) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл); 5) вычислить полученный определенный интеграл.
Пример 1: Вычислить интеграл:
Подстановка: 1+cosx=t, -sinxdx = dt,
РАЗДЕЛ 1.6. Геометрический смысл определенного интеграла.
Площадь криволинейной трапеции:
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x).
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.
Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная функция у = ƒ(х) ≥ 0. Найдем площадь этой трапеции.
Площадь фигуры, ограниченной осью 0x , двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции у = ƒ(х) (рисунок), определяется по формуле:
В этом заключается геометрический смысл определённого интеграла.
Пример 1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х 2 .+2, у=0, х= -2, х=1.
Решение: Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение у=0 задает ось Ох).
Ответ:S = 9 ед 2
Пример 2: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у= - е х, х=1 и координатными осями.
Решение: Выполним чертеж.
Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью Ох
, то её площадь можно найти по формуле:
Внимание! Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.
РАЗДЕЛ 1.7 . Применение определенного интеграла
п.1 Вычисление объема тела вращения
Если криволинейная трапеция прилежит к оси Оx, а прямые у=a, у=b и график функции у= F(x) (Рис.1), тогда объем тела вращения определяется по формуле, содержащей интеграл.
Объем тела вращения равен:
Пример:
Найти объём тела, ограниченного поверхностью вращения линии вокруг оси Ох при 0≤ х ≤4.
Решение: V
ед 3 . Ответ:ед 3 .
РАЗДЕЛ 3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
п.1 Понятие о дифференциальном уравнении
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее функцию от совокупности переменных и их производных.
Общий вид такого уравнения =0, где F- известная функция своих аргументов, заданная в фиксированной области; х - независимая переменная(переменная, по которой дифференцируется);у - зависимая переменная (та, от которой берутся производные и та, которую надо определить); - производная зависимой переменной у по независимой переменной х.
п.2 Основные понятия дифференциального уравнения
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.
Например:
Уравнение второго порядка, - уравнение первого порядка.
Всякая функция, связывающая переменные и обращающая дифференциальное уравнение в верное равенство, называется решением дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция от и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество по .
Общее решение, записанное в неявном виде =0, называется общим интегралом.
Частным решением уравнения =0 называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении - фиксированное число.
Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения n-го порядка (n= 1,2,3,…), удовлетворяющего начальным условиям вида
называется задачей Коши.
п.3 Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде можно переписать в виде . Если . Интегрируем: .
Чтобы решить уравнение такого вида надо:
1. Разделить переменные;
2. Интегрируя уравнение с разделенными переменными, найти общее решение данного уравнения;
3. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы).
Пример 1. Решить уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее условию y=4 при x=-2.
Решение: Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим общее решение уравнения: . Для получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представим в виде C/2. Имеем или - общее решение. Подставив в общее решение значения y=4 и x=-2, получим 16=4+С, откуда С=12.
Итак, частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид
Пример 2. Найдите частное решение уравнения, еслипри.
Решение: , , , , , общее решение.
Подставляем значения х и у в частное решение: , , частное решение.
Пример 3. Найдите общее решение уравнения. Решение: , , , - общее решение.
п.4 Дифференциальные уравнения порядка выше первого
Уравнение вида или решается двукратным интегрированием: , , откуда . Проинтегрировав эту функцию, получим новую функцию от f(x), которую обозначим через F(x). Таким образом, ; . Интегрируем еще раз: или у=Ф(х) . Получили общее решение уравнения, содержащее две произвольные постоянные и .
Пример 1. Решить уравнение .
Решение: , , ,
Пример 2. Решить уравнение . Решение: , , .
РАЗДЕЛ 3.2. Числовой ряд, его члены
Определение 1. Числовым рядом называется выражение вида ++…++…, (1)
где , , …, , …- числа, принадлежащие некоторой определенной числовой системе.
Так, можно говорить о действительных рядах, для которых R, о комплексных рядах, для которых C, i = 1, 2, …, n, …
На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом , где я объяснил в доступной форме, что такое интеграл и подробно разобрал базовые примеры для начинающих.
Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:
– Подведение функции под знак дифференциала
;
– Собственно замена переменной
.
По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному.
Начнем с более простого случая.
Подведение функции под знак дифференциала
На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений
мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил:
То есть, раскрыть дифференциал – это формально почти то же самое, что найти производную.
Пример 1
Выполнить проверку.
Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?
Подводим функцию под знак дифференциала:
Раскрывая дифференциал, легко проверить, что:
Фактически и – это запись одного и того же.
Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: ? Почему так, а не иначе?
Формула (и все другие табличные формулы) справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной , но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ ( – в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ .
Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: «Мне надо решить интеграл . Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу . Но у меня сложный аргумент и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу , тогда . Но в исходном интеграле множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо ее домножить на ». В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:
Теперь можно пользоваться табличной формулой :
Готово
Единственное отличие, у нас не буква «икс», а сложное выражение .
Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции . По сути дела подведение функции под знак дифференциала и – это два взаимно обратных правила .
Пример 2
Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: .
Подводим функцию под знак дифференциала:
Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на .
Далее используем табличную формулу :
Проверка:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
Пример 3
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Пример 4
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:
В конце данного параграфа хотелось бы еще остановиться на «халявном» случае, когда в линейной функции переменная входит с единичным коэффициентом, например:
Строго говоря, решение должно выглядеть так:
Как видите, подведение функции под знак дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что . Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку интеграла в таблице вообще-то нет.
Метод замены переменной в неопределенном интеграле
Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.
Пример 5
Найти неопределенный интеграл.
В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.
Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой
.
В данном случае напрашивается:
Вторая по популярности буква для замены – это буква .
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.
Итак:
Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от
.
Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.
Так как , то
После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко:
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :
В итоге:
Таким образом:
А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица интегралов , естественно, справедлива и для переменной ).
В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .
Готово.
Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:
“
Проведем замену:
“
Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.
При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.
Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.
А теперь самое время вспомнить первый способ решения:
В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче .
Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.
Пример 6
Найти неопределенный интеграл.
Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)
Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл .
Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:
Другое дело, что такое решение очевидно далеко не для всех студентов. Кроме того, уже в этом примере использование метода подведения функции под знак дифференциала значительно повышает риск запутаться в решении .
Пример 7
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Пример 8
Найти неопределенный интеграл.
Замена:
Осталось выяснить, во что превратится
Хорошо, мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?!
Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: мы выразим из той же замены !
Пример 9
Найти неопределенный интеграл.
Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
Пример 10
Найти неопределенный интеграл.
Наверняка некоторые обратили внимание, что в моей справочной таблице нет правила замены переменной. Сделано это сознательно. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде.
Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функция и её производная : (функции , могут быть и не в произведении)
В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.
В рассматриваемом примере замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за знаменатель, то велики шансы, что числитель превратится во что-нибудь хорошее.
Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл, который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле x=ц(t), откуда dx=ц"(t)dt.
Теорема. Пусть функция x=ц(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х - множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула:
Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u(x) и v(x) - две дифференцируемые функции переменной х. Тогда:
d(uv)=udv+vdu. - (3)
Интегрируя обе части равенства (3), получаем:
Но так как, то:
Соотношение (4) называется формулой интегрирования по частям. С помощью этой формулы отыскание интеграла. Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4) более прост для вычисления, нежели исходный.
В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С, так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.
Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.
I. Интегралы вида, (P n (x) - многочлен степени n, k - некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u=P n (x) и применить формулу (4) n раз.
II. Интегралы вида, (Pn(x) - многочлен степени n относительно х). Их можно найти по частым, принимая за u функцию, являющуюся множителем при P n (x).
А способы приведения интегралов к табличным мы Вам перечислили:
метод замены переменной;
метод интегирования по частям;
Метод непосредственного интегрирования
способы представления неопределенных интегралов через табличные для интегралов от рациональных дробей;
методы представления неопределенных интегралов через табличные интегралы для интегралов от иррациональных выражений;
способы выражения неопределенных интегралов через табличные для интегралов от тригонометрических функций.
Неопределенный интеграл степенной функции
Неопределенный интеграл експоненты показательной функции
А вот неопределенный интеграл логарифма не является табличным интегралом, вместо него табличной является формула:
Неопределенные интегралы тригонометрических функций: Интегралы синуса косинуса и тангенса
Неопределенные интегралы с обратными тригонометрическими функциями
Приведение к табличному виду или метод непосредственного интегрирования . С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов.
Пример
Задание. Найти интеграл
Решение. Воспользуемся свойствами интеграла и приведем данный интеграл к табличному виду.
Ответ.
Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:
– Подведение функции под знак дифференциала. – Собственно замена переменной.
Подведение функции под знак дифференциала
Пример 2
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: .
Подводим функцию под знак дифференциала:
Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на . Далее используем табличную формулу :
Проверка: Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
Метод замены переменной в неопределенном интеграле
Пример 5
Найти неопределенный интеграл.
В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.
Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой. В данном случае напрашивается: Вторая по популярности буква для замены – это буква . В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.
Итак: Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место. Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .
Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.
Так как , то
После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко: Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :
В итоге: Таким образом: А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица, интегралов, естественно, справедлива и для переменной ).
В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .
Готово.
Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:
“
Проведем замену:
“
Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.
При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.
Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.
А теперь самое время вспомнить первый способ решения:
В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче. Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.
Интегрирование по частям. Примеры решений
Интегралы от логарифмов
Пример 1
Найти неопределенный интеграл.
Классика. Время от времени данный интеграл можно встретить в таблицах, но пользоваться готовым ответом нежелательно, так как у преподавателя весенний авитаминоз и он сильно заругается. Потому что рассматриваемый интеграл отнюдь не табличный – он берётся по частям. Решаем:
Прерываем решение на промежуточные объяснения.
Используем формулу интегрирования по частям:
Формула применяется слева направо
Смотрим на левую часть: . Очевидно, что в нашем примере (и во всех остальных, которые мы рассмотрим) что-то нужно обозначить за , а что-то за .
В интегралах рассматриваемого типа за всегда обозначается логарифм.
Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем:
То есть, за мы обозначили логарифм, а за – оставшуюся часть подынтегрального выражения.
Следующий этап: находим дифференциал :
Дифференциал – это почти то же самое, что и производная, как его находить, мы уже разбирали на предыдущих уроках.
Теперь находим функцию . Для того чтобы найти функцию необходимо проинтегрироватьправую часть нижнего равенства :
Теперь открываем наше решение и конструируем правую часть формулы: . Вот кстати, и образец чистового решения с небольшими пометками.