Линейно независимые столбцы матрицы. Линейная зависимость и линейная независимость строк и столбцов матрицы
Пусть
Столбцы матрицы размерности . Линейной комбинацией столбцов матрицы называется матрица-столбец , при этом - некоторые действительные или комплексные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации . Если в линейной комбинации взять все коэффициенты равными нулю, то линейная комбинация равна нулевой матрице-столбцу.
Столбцы матрицы называются линейно независимыми , если их линейная комбинация равна нулю лишь когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю. Столбцы матрицы называются линейно зависимыми , если существует набор чисел , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, а линейная комбинация столбцов с этими коэффициентами равна нулю
Аналогично могут быть даны определения линейной зависимости и линейной независимости строк матрицы. В дальнейшем все теоремы формулируются для столбцов матрицы.
Теорема 5
Если среди столбцов матрицы есть нулевой, то столбцы матрицы линейно зависимы.
Доказательство. Рассмотрим линейную комбинацию, в которой все коэффициенты равны нулю при всех ненулевых столбцах и единице при нулевом столбце. Она равна нулю, а среди коэффициентов линейной комбинации есть отличный от нуля. Следовательно, столбцы матрицы линейно зависимы.
Теорема 6
Если столбцов матрицы линейно зависимы, то и все столбцов матрицы линейно зависимы.
Доказательство. Будем для определенности считать, что первые столбцов матрицы 
линейно зависимы. Тогда по определению линейной зависимости существует набор чисел , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, а линейная комбинация столбцов с этими коэффициентами равна нулю
Составим линейную комбинацию всех столбцов матрицы, включив в нее остальные столбцы с нулевыми коэффициентами
Но . Следовательно, все столбцы матрицы линейно зависимы.
Следствие . Среди линейно независимых столбцов матрицы любые линейно независимы. (Это утверждение легко доказывается методом от противного.)
Теорема 7
Для того чтобы столбцы матрицы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один столбец матрицы был линейной комбинацией остальных.
Доказательство.
Необходимость. Пусть столбцы матрицы линейно зависимы, то есть существует набор чисел , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, а линейная комбинация столбцов с этими коэффициентами равна нулю
Предположим для определенности, что . Тогда то есть первый столбец есть линейная комбинация остальных.
Достаточность . Пусть хотя бы один столбец матрицы является линейной комбинацией остальных, например, , где - некоторые числа.
Тогда , то есть линейная комбинация столбцов равна нулю, а среди чисел линейной комбинации хотя бы один (при ) отличен от нуля.
Пусть ранг матрицы равен . Любой отличный от нуля минор - го порядка называется базисным . Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными .
Рассмотрим произвольную, необязательно квадратную, матрицу А размера mxn.
Ранг матрицы.
Понятие ранга матрицы связано с понятием линейной зависимости (независимости) строк (столбцов) матрицы. Рассмотрим это понятие для строк. Для столбцов – аналогично.
Обозначим стоки матрицы А:
е 1 =(а 11 ,а 12 ,…,а 1n); е 2 =(а 21 ,а 22 ,…,а 2n);…, е m =(а m1 ,а m2 ,…,а mn)
e k =e s если a kj =a sj , j=1,2,…,n
Арифметические операции над строками матрицы (сложение, умножение на число) вводятся как операции, проводимые поэлементно: λе k =(λа k1 ,λа k2 ,…,λа kn);
e k +е s =[(а k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(а kn +a sn)].
Строка е называется линейной комбинацией строк е 1 , е 2 ,…,е k , если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа:
е=λ 1 е 1 +λ 2 е 2 +…+λ k е k
Строки е 1 , е 2 ,…,е m называются линейно зависимыми , если существуют действительные числа λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , не все равные нулю, что линейная комбинация этих строк равна нулевой строке: λ 1 е 1 +λ 2 е 2 +…+λ m е m =0 ,где0 =(0,0,…,0) (1)
Если линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты λ i равны нулю (λ 1 =λ 2 =…=λ m =0), то строки е 1 , е 2 ,…,е m называются линейно независимыми.
Теорема 1 . Для того, чтобы строки е 1 ,е 2 ,…,е m были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из этих строк была линейной комбинацией остальных строк.
Доказательство . Необходимость . Пусть строки е 1 , е 2 ,…,е m линейно зависимы. Пусть, для определенности в (1) λ m ≠0, тогда
Т.о. строка е m является линейной комбинацией остальных строк. Ч.т.д.
Достаточность . Пусть одна из строк, например е m , является линейной комбинацией остальных строк. Тогда найдутся числа такие, что выполняется равенство , которое можно переписать в виде ,
где хотя бы 1 из коэффициентов, (-1), не равен нулю. Т.е. строки линейно зависимы. Ч.т.д.
Определение. Минором k-го порядка матрицы А размера mxn называется определитель k-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k строк и любых k столбцов матрицы А. (k≤min(m,n)). .
Пример. , миноры 1-го порядка: =, =;
миноры 2-го порядка: , 3-го порядка
У матрицы 3-го порядка 9 миноров 1-го порядка, 9 миноров 2-го порядка и 1 минор 3-го порядка (определитель этой матрицы).
Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение - rg A или r(A).
Свойства ранга матрицы .
1) ранг матрицы A nxm не превосходит меньшего из ее размеров, т.е.
r(A)≤min(m,n).
2) r(A)=0 когда все элементы матрицы равны 0, т.е. А=0.
3) Для квадратной матрицы А n –го порядка r(A)=n , когда А невырожденная.
(Ранг диагональной матрицы равен количеству ее ненулевых диагональных элементов).
4) Если ранг матрицы равен r, то матрица имеет хотя бы один минор порядка r, не равный нулю, а все миноры больших порядков равны нулю.
Для рангов матрицы справедливы следующие соотношения:
2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min{r(A),r(B)};
3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(A T A)=r(A);
5) r(AB)=r(A), если В - квадратная невырожденная матрица.
6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, где n-число столбцов матрицы А или строк матрицы В.
Определение. Ненулевой минор порядка r(A) называется базисным минором . (У матрицы А может быть несколько базисных миноров). Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются соответственно базисными строками и базисными столбцами .
Теорема 2 (о базисном миноре). Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрица А является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).
Доказательство . (Для строк). Если бы базисные строки были линейно зависимы, то по теореме (1) одна из этих строк была бы линейной комбинацией других базисных строк, тогда, не изменяя величины базисного минора, можно вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию и получить нулевую строку, а это противоречит тому, что базисный минор отличен от нуля. Т.о. базисные строки линейно независимы.
Докажем, что любая строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк. Т.к. при произвольных переменах строк (столбцов) определитель сохраняет свойство равенства нулю, то, не ограничивая общности, можно считать, что базисный минор находится в верхнем левом углу матрицы
А=, т.е. расположен на первых r строках и первых r столбцах. Пусть 1£j£n, 1£i£m. Покажем, что определитель (r+1)-го порядка
Если j£r или i£r, то этот определитель равен нулю, т.к. у него будет два одинаковых столбца или две одинаковых строки.
Если же j>r и i>r, то этот определитель является минором (r+1)-го порядка матрицы А. Т.к. ранг матрицы равен r, значит любой минор большего порядка равен 0.
Раскладывая его по элементам последнего (добавленного) столбца, получаем
a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, где последнее алгебраическое дополнение A ij совпадает с базисным минором М r и поэтому A ij = М r ≠0.
Разделив последнее равенство на A ij , можем выразить элемент a ij , как линейную комбинацию: , где .
Зафиксируем значение i (i>r) и получаем, что для любого j (j=1,2,…,n) элементы i-й строки e i линейно выражаются через элементы строк е 1 , е 2 ,…,е r , т.е. i-я строка является линейной комбинацией базисных строк: . Ч.т.д.
Теорема 3. (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя). Для того, чтобы определитель n-го порядка D был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.
Доказательство (с.40)
. Необходимость
. Если определитель n-го порядка D равен нулю, то базисный минор его матрицы имеет порядок r Т.о., одна строка является линейной комбинацией других остальных. Тогда по теореме 1 строки определителя линейно зависимы. Достаточность
. Если строки D линейно зависимы, то по теореме 1 одна строка А i является линейной комбинацией остальных строк. Вычитая из строки А i указанную линейную комбинацию, не изменив величины D, получим нулевую строку. Следовательно, по свойствам определителей, D=0. ч.т.д. Теорема 4.
При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Доказательство
. Как было показано при рассмотрении свойств определителей, при преобразованиях квадратных матриц их определители либо не изменяются, либо умножаются на ненулевое число, либо меняют знак. При этом наивысший порядок отличных от нуля миноров исходной матрицы сохраняется, т.е. ранг матрицы не изменяется. Ч.т.д. Если r(A)=r(B), то А и В –эквивалентные: А~В.
Теорема 5.
При помощи элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду.
Матрица называется ступенчатой, если она имеет вид:
А=, где a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k. Условия r≤k всегда можно достигнуть транспонированием. Теорема 6.
Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.
Т.е. Ранг ступенчатой матрицы равен r, т.к. есть отличный от нуля минор порядка r: Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов. В дальнейшем будем излагать материал для строк, для столбцов изложение аналогично. В матрице A
обозначим ее строки следующим образом: , Две строки матрицы называются равными
, если равны их соответствующие элементы: , если , . Арифметические операции над строками матрицы (умножение строки на число, сложение строк) вводятся как операции, проводимые поэлементно: Строка е
называется линейной комбинацией строк
..., матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа: Строки матрицы называются линейно зависимыми
, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: , =(0,0,...,0). (3.3) Теорема 3.3
Строки матрицы линейно зависимы, если хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.
□ Действительно, пусть для определенности в формуле (3.3) Таким образом, строка является линейной комбинат остальных строк. ■ Если линейная комбинация строк (3.3) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, то строки называются линейно независимыми. Теорема 3.4.
(о ранге матрицы) Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).
□ Пусть матрица A
размера m n имеет ранг r
(r
min ). Это означает, что существует отличный от нуля минор r
-го порядка. Всякий ненулевой минор r
-го порядка будем называть базисным минором. Пусть для определенности базисный минор есть ведущий или угловой минор.
Тогда строки матрицы линейно независимы. Предположим противное, то есть одна из этих строк, например , является линейной комбинацией остальных . Вычтем из элементов r
- ой строки элементы 1-й строки, умноженные на , затем элементы 2-й строки, умноженные на , … и элементы (r -
1) - ой строки, умноженные на . На основании свойства 8 при таких преобразованиях матрицы ее определитель D не изменится, но так как r
- я строка будет теперь состоять из одних нулей, то D = 0 - противоречие. Следовательно, наше предположение о том, что строки матрицы линейно зависимые, неверно. Строки назовем базисными
. Покажем, что любые (r+1) строк матрицы линейно зависимы, т.е. любая строка выражается через базисные. Рассмотрим минор (r +1) - го порядка, который получается при дополнении рассматриваемого минора элементами еще одной строки i
и столбца j
. Этот минор равен нулю, так как ранг матрицы равен r
, поэтому любой минор более высокого порядка равен нулю. Раскладывая его по элементам последнего (добавленного) столбца, получаем Где модуль последнего алгебраического дополнения совпадает с базисным минором D
и поэтому отлично от нуля, т.е. 0. Пусть в матрице А размеров (m; n) выбраны произвольно k строк и k столбцов (k ≤ min(m; n)). Элементы матрицы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором M kk порядка k y или минором k-го порядка матрицы A. Рангом матрицы называется максимальный порядок r отличных от нуля миноров матрицы A, а любой минор порядка r, отличный от нуля, — базисным минором. Обозначение: rang A = r. Если rang A = rang B и размеры матриц A и Bсовпадают, то матрицы A и B называются эквивалентными. Обозначение: A ~ B. Основными методами вычисления ранга матрицы являются метод окаймляющих миноров и метод . Суть метода окаймляющих миноров состоит в следующем. Пусть в матрице уже найден минор порядка k, отличный от нуля. Тогда далее рассматриваются лишь те миноры порядка k+1, которые содержат в себе (т. е. окаймляют) минорk-го порядка, отличный от нуля. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k, в противном случае среди окаймляющих миноров (k+1)-го порядка найдется отличный от нуля и вся процедура повторяется. Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной независимости ее строк (столбцов). Строки матрицы : называют линейно зависимыми, если найдутся такие числа λ 1 , λ 2 , λ k , что справедливо равенство: Строки матрицы A называются линейно независимыми, если вышеприведённое равенство возможно лишь в случае, когда все числа λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0 Аналогичным образом определяется линейная зависимость и независимость столбцов матрицы A. Если какая-либо строка (a l) матрицы A (где (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) может быть представлена в виде Аналогичным образом определяется понятие линейной комбинации столбцов. Справедлива следующая теорема о базисном миноре. Базисные строчки и базисные столбцы линейно независимы. Любая строка (либо столбец) матрицы A является линейной комбинацией базисных строк (столбцов), т. е. строк (столбцов), пересекающих базисный минор. Таким образом, ранг матрицы A: rang A = k равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы A. Т.е. ранг матрицы — это размерность самой большой квадратной матрицы внутри той матрицы, для которой нужно определить ранг, для которой определитель не равен нулю. Если исходная матрица не является квадратной, либо если она квадратная, но её определитель равен нулю, то для квадратных матриц меньшего порядка строки и столбцы выбираются произвольно.
Кроме как через определители, ранг матрицы можно посчитать по числу линейно независимых строк или столбцов матрицы. Он равен количеству линейно независимых строк или столбцов в зависимости от того, чего меньше. Например, если матрица имеет 3 линейно независимых строки и 5 линейно независимых столбцов, то её ранг равняется трём.
Методом окаймляющих миноров найти ранг матрицы
Р е ш е н и е. Минор второго порядка окаймляющий минор M 2 , также отличен от нуля. Однако оба минора четвёртого порядка, окаймляющие M 3 . равны нулю. Поэтому ранг матрицы A равен 3, а базисным минором является, например, представленный выше минор M 3 . Метод элементарных преобразований основан на том, что элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга. Используя эти преобразования, можно привести матрицу к виду, когда все её элементы, кроме a 11 , a 22 , …, a rr (r ≤min (m, n)), равны нулю. Это, очевидно, означает, что rang A = r. Заметим, что если матрица n-го порядка имеет вид верхней треугольной матрицы, т. е. матрицы, у которой все элементы под главной диагональю равны нулю, то её определитесь равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Это свойство можно использовать при вычислении ранга матрицы методом элементарных преобразований: необходимо с их помощью привести матрицу к треугольной и тогда, выделив соответствующий определитель, найдём, что ранг матрицы равен числу элементов главной диагонали, отличных от нуля. Методом элементарных преобразований найти ранг матрицы
Р е ш е н и е. Обозначим i-ю строку матрицы A символом α i . На первом этапе выполним элементарные преобразования На втором этапе выполним преобразования В результате получим где – какие-то числа (некоторые из этих чисел или даже все могут быть равны нулю). Это означает наличие следующих равенств между элементами столбцов: Из (3.3.1) вытекает, что Если равенство (3.3.3) справедливо тогда и только тогда, когда , то строки называются линейно независимыми. Соотношение (3.3.2) показывает, что если одна из строк линейно выражается через остальные, то строки линейно зависимы. Легко видеть и обратное: если строки линейно зависимы, то найдется строка, которая будет линейной комбинацией остальных строк. Пусть, например, в (3.3.3) , тогда Определение. Пусть в матрице А выделен некоторый минор r-го порядка и пусть минор (r+1)-го порядка этой же матрицы целиком содержит внутри себя минор . Будем говорить, что в этом случае минор окаймляет минор (или является окаймляющим для ). Теперь докажем важную лемму. Лемма
об окаймляющих минорах. Если минор порядка r матрицы А= отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то любая строка (столбец) матрицы А является линейной комбинацией ее строк (столбцов), составляющих . Доказательство. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что отличный от нуля минор r-го порядка стоит в левом верхнем углу матрицы А= : Для первых k строк матрицы А утверждение леммы очевидно: достаточно в линейную комбинацию включить эту же строку с коэффициентом, равным единице, а остальные – с коэффициентами, равными нулю. Докажем теперь, что и остальные строки матрицы А линейно выражаются через первые k строк. Для этого построим минор (r+1)-го порядка путем добавления к минору k-ой строки () и l
-го столбца (): Полученный минор равен нулю при всех k и l. Если , то он равен нулю как содержащий два одинаковых столбца. Если , то полученный минор является окаймляющим минором для и, следовательно, равен нулю по условию леммы. Разложим минор по элементам последнего l
-го столбца: Полагая , получим: Выражение (3.3.6) означает, что k-я строка матрицы А линейно выражается через первые r строк. Так как при транспонировании матрицы значения ее миноров не изменяются (ввиду свойства определителей), то все доказанное справедливо и для столбцов. Теорема доказана. Следствие I. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов). Действительно, базисный минор матрицы отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю. Следствие II. Определитель n-го порядка тогда и только тогда равен нулю, когда он содержит линейно зависимые строки (столбцы). Достаточность линейной зависимости строк (столбцов) для равенства определителя нулю доказана ранее как свойство определителей. Докажем необходимость. Пусть задана квадратная матрица n-го порядка, единственный минор которой равен нулю. Отсюда следует, что ранг этой матрицы меньше n, т.е. найдется хотя бы одна строка, которая является линейной комбинацией базисных строк этой матрицы. Докажем еще одну теорему о ранге матрицы. Теорема.
Максимальное число линейно независимых строк матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов и равно рангу этой матрицы. Доказательство. Пусть ранг матрицы А= равен r. Тогда любые ее k базисных строк являются линейно независимыми, иначе базисный минор был бы равен нулю. С другой стороны, любые r+1 и более строк линейно зависимы. Предположив противное, мы могли бы найти минор порядка более чем r, отличный от нуля по следствию 2 предыдущей леммы. Последнее противоречит тому, что максимальный порядок миноров, отличных от нуля, равен r. Все доказанное для строк справедливо и для столбцов. В заключение изложим еще один метод нахождения ранга матрицы. Ранг матрицы можно определить, если найти минор максимального порядка, отличный от нуля. На первый взгляд, это требует вычисления хотя и конечного, но быть может, очень большого числа миноров этой матрицы. Следующая теорема позволяет, однако, внести в этот значительные упрощения. Теорема.
Если минор матрицы А отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то ранг матрицы равен r. Доказательство. Достаточно показать, что любая подсистема строк матрицы при S>r будет в условиях теоремы линейно зависимой (отсюда будет следовать, что r – максимальное число линейно независимых строк матрицы или любые ее миноры порядка больше чем k равны нулю). Предположим противное. Пусть строки линейно независимы. По лемме об окаймляющих минорах каждая из них будет линейно выражаться через строки , в которых стоит минор и которые, ввиду того, что отличен от нуля, линейно независимы: Теперь рассмотрим следующую линейную комбинацию: Используя (3.3.7) и (3.3.8), получаем что противоречит линейной независимости строк . Следовательно, наше предположение неверно и, значит, любые S>r строк в условиях теоремы линейно зависимы. Теорема доказана. Рассмотрим правило вычисления ранга матрицы – метод окаймляющих миноров, основанный на данной теореме. При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор r-го порядка , отличный от нуля, то требуется вычислить лишь миноры (r+1)-го порядка, окаймляющие минор . Если они равны нулю, то ранг матрицы равен r. Этот метод применяется и в том случае, если мы не только вычисляем ранг матрицы, но и определяем, какие столбцы (строки) составляют базисный минор матрицы. Пример. Вычислить методом окаймляющих миноров ранг матрицы Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу матрицы А, отличен от нуля: Однако все окаймляющие его миноры третьего порядка равны нулю: Следовательно, ранг матрицы А равен двум: . Первая и вторая строки, первый и второй столбцы в данной матрице являются базисными. Остальные строки и столбцы являются их линейными комбинациями. В самом деле, для строк справедливы следующие равенства: В заключение отметим справедливость следующих свойств: 1) ранг произведения матриц не больше ранга каждого из сомножителей; 2) ранг произведения произвольной матрицы А справа или слева на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А. Многочленные матрицы
Определение. Многочленной матрицей или -матрицей называется прямоугольная матрица, элементы которой являются многочленами от одного переменного с числовыми коэффициентами. Над -матрицами можно совершать элементарные преобразования. К ним относятся: Перестановка двух строк (столбцов); Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля; Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любой многочлен . Две -матрицы и одинаковых размеров называются эквивалентными: , если от матрицы к можно перейти с помощью конечного числа элементарных преобразований. Пример. Доказать эквивалентность матриц 1. Поменяем местами в матрице первый и второй столбцы: 2. Из второй строки вычтем первую, умноженную на (): 3. Умножим вторую строку на (–1) и заметим, что 4. Вычтем из второго столбца первый, умноженный на , получим Множество всех -матриц данных размеров разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных матриц. Матрицы, эквивалентные между собой, образуют один класс, не эквивалентные - другой. Каждый класс эквивалентных матриц характеризуется канонической, или нормальной, -матрицей данных размеров. Определение. Канонической, или нормальной, -матрицей размеров называется -матрица, у которой на главной диагонали стоят многочлены , где р - меньшее из чисел m и n ( Из определения следует, что если среди многочленов имеются многочлены нулевой степени, то они в начале главной диагонали. Если имеются нули, то они стоят в конце главной диагонали. Матрица предыдущего примера есть каноническая. Матрица также каноническая. Каждый класс -матриц содержит единственную каноническую -матрицу, т.е. каждая -матрица эквивалентна единственной канонической матрице, которая называется канонической формой или нормальной формой данной матрицы. Многочлены, стоящие на главной диагонали канонической формы данной -матрицы, называются инвариантными множителями данной матрицы. Один из методов вычисления инвариантных множителей состоит в приведении данной -матрицы к канонической форме. Так, для матрицы предыдущего примера инвариантными множителями являются , , Из сказанного следует, что наличие одной и той же совокупности инвариантных множителей является необходимым и достаточным условием эквивалентности -матриц. Приведение -матриц к каноническому виду сводится к определению инвариантных множителей где r – ранг -матрицы; - наибольший общий делитель миноров k-го порядка, взятый со старшим коэффициентом, равным 1. Пример. Пусть дана -матрица Решение. Очевидно, наибольший общий делитель первого порядка , т.е. . Определим миноры второго порядка: Уже этих данных достаточно для того, чтобы сделать вывод: , следовательно, . Определяем Следовательно, Таким образом, канонической формой данной матрицы является следующая -матрица: Матричным многочленом называется выражение вида где - переменное; - квадратные матрицы порядка n с числовыми элементами. Если , то S называют степенью матричного многочлена, n – порядком матричного многочлена. Любую квадратичную -матрицу можно представить в виде матричного многочлена. Справедливо, очевидно, и обратное утверждение, т.е. любой матричный многочлен можно представить в виде некоторой квадратной -матрицы. Справедливость данных утверждений со всей очевидностью вытекает из свойств операций над матрицами. Остановимся на следующих примерах: Пример. Представить многочленную матрицу в виде матричного многочлена можно следующим образом Пример. Матричный многочлен можно представить в виде следующей многочленной матрицы ( -матрицы) Эта взаимозаменяемость матричных многочленов и многочленных матриц играет существенную роль в математическом аппарате методов факторного и компонентного анализа. Матричные многочлены одинакового порядка можно складывать, вычитать и умножать аналогично обычным многочленам с числовыми коэффициентами. Следует, однако, помнить, что умножение матричных многочленов, вообще говоря, не коммутативно, т.к. не коммутативно умножение матриц. Два матричных многочлена называются равными, если равны их коэффициенты, т.е. соответствующие матрицы при одинаковых степенях переменного . Суммой (разностью) двух матричных многочленов и называется такой матричный многочлен, у которого коэффициент при каждой степени переменного равен сумме (разности) коэффициентов при той же степени в многочленах и . Чтобы умножить матричный многочлен на матричный многочлен , нужно каждый член матричного многочлена умножить на каждый член матричного многочлена , сложить полученные произведения и привести подобные члены. Степень матричного многочлена – произведения меньше или равна сумме степеней сомножителей. Операции над матричными многочленами можно осуществлять с помощью операций над соответствующими -матрицами. Чтобы сложить (вычесть) матричные многочлены, достаточно сложить (вычесть) соответствующие -матрицы. То же относится к умножению. -матрица произведения матричных многочленов равна произведению -матриц сомножителей. С другой стороны и можно записать в виде где В 0 – невырожденная матрица. При делении на существует однозначно определенное правое частное и правый остаток где степень R 1 меньше степени , или (деление без остатка), а также левое частное и левый остаток
тогда и только тогда, когда, где порядка
, …. , 
, тогдаМетод окаймляющих миноров
Линейная независимость строк (столбцов) матрицы
Примеры нахождения ранга матрицы
.
.
. 
(3.3.6)
или 
,
.
. 
;
;
;
;
;
.
,
.
.
.
.
.
), причем не равные нулю многочлены имеют старшие коэффициенты, равные 1, и каждый следующий многочлен делиться на предыдущий. Все элементы вне главной диагонали равны 0.
, .
, ; ,
. 
,
и т.д.
,
.
.
.
. 
