Обнаружение сигнала в шумах. Рис.13.4 К обнаружению импульсного сигнала

Борьба с шумами и помехами является основной задачей во многих областях радиотехники. Обеспечить высокую помехоустойчивость систем передачи информации можно разными путями. Например, создают такие устройства для обработки, которые некоторым наилучшим образом выделяют сигнал, искаженный присутствием помехи. Другой путь заключается в совершенствовании структуры передаваемых сигналов, использовании помехоустойчивых способов кодирования и модуляции. Примерами таких помехоустойчивых сигналов служат коды Баркера и сигналы с линейной частотной модуляцией, изученные в гл. 3, 4.

16.1. Выделение полезного сигнала с помощью линейного частотного фильтра

Чтобы выделить полезный сигнал, искаженный наличием шума, можно прибегнуть к частотной фильтрации. Пусть частотный коэффициент передачи линейного стационарного фильтра выбран так, что значения величины велики в области частот, где сконцентрирована основная доля энергии сигнала, и малы там, где велика спектральная плотность мощности шума. Следует ожидать что, подав на вход такого фильтра сумму сигнала и шума, на выходе можно получить заметное увеличение относительной доли полезного сигнала.

Отношение сигнал/шум.

Придадим данному положению количественную формулировку. Пусть на входе линейного фильтра присутствует входной сигнал

являющийся суммой полезного сигнала и шума Здесь и в дальнейшем предполагается, что оба эти сигнала являются узкополосными с одинаковыми центральными частотами . Считается, что сигналы некоррелированы в том смысле, что среднее значение произведения

Будем также предполагать стационарность этих сигналов на неограниченно протяженном интервале времени.

Интенсивность колебаний на входе фильтра можно характеризовать величиной среднего квадрата (средней мощности) входного сигнала, которая в силу равенства (16.2) есть сумма средних квадратов полезного сигнала и шума:

где - дисперсия входного шума.

Для описания относительного уровня сигнала принято вводить так называемое отношение сигнал/шум на входе фильтра по формуле

или в логарифмических единицах (дБ)

Отметим, что безразмерное число характеризует уровень сигнала по отношению к уровню шума весьма приближенно и неполно. Пользоваться этим отношением целесообразно лишь тогда, когда заранее известно, что реализации сигнала и шума в каком-нибудь содержательном смысле «схожи» между собой. Так, входной шум обычно хорошо описывается моделью нормального узкополосного случайного процесса. Отдельные реализации данного шума представляют собой квазигармонические колебания. Естественно, что в этом случае можно пользоваться формулой (16.4) для оценки уровня полезных модулированных сигналов вида AM или ЧМ.

Пример 16.1. На входе фильтра присутствует однотональный AM-сигнал и гауссов шум односторонний спектр мощности которого

Найти отношение сигнал/шум на входе фильтра.

Среднюю мощность сигнала получим, усредняя его квадрат по времени:

Здесь первое слагаемое соответствует средней мощности несущего колебания, которое не содержит информации о передаваемом сообщении. Поэтому при расчетах помехоустойчивости принято опускать эту составляющую и считать, что

Дисперсия шума на входе фильтра

Отношение сигнал/шум

оказывается прямо пропорциональным квадрату коэффициента модуляции и обратно пропорциональным частоте модуляции.

Отношение сигнал/шум на выходе фильтра.

Линейный фильтр подчиняется принципу суперпозиции. Сигнал и шум обрабатываются таким фильтром независимо и создают на выходе сигнал со средним квадратом

Это дает возможность ввести отношение сигнал/шум на выходе фильтра:

Будем называть выигрышем фильтра по отношению сигнал/шум величину

которая также может быть выражена в децибелах:

(16.10)

Ясно, что если то фильтрация суммы сигнала и шума приводит к благоприятному результату в смысле принятого нами критерия - повышению относительного уровня полезного сигнала на выходе.

Ответ на вопрос о том, какое отношение сигнал/шум следует считать достаточным для нормального функционирования радиосистемы, целиком зависит от назначения этой системы и всей совокупности предъявляемых технических требований.

Средняя мощность узкополосного сигнала.

Понятие средней мощности целесообразно вводить только по отношению к узкополосным сигналам, неограниченно протяженным во времени. Удобной и достаточно общей математической моделью такого сигнала является сумма

(16.11)

в которой амплитуды и фазы произвольны, а все частоты сосредоточены в узкой полосе вокруг опорной частоты Мгновенная мощность такого сигнала

Среднюю мощность полезного сигнала можно получить, проведя усреднение по времени:

Очевидно, что вклад в сумму дадут только слагаемые с совпадающими индексами, когда Отсюда следует, что

(16.12)

Влияние частотного коэффициента переда и фильтра на отношение сигнал/шум.

Если сигнал вида (16.11) проходит через линейный фильтр с частотным коэффициентом передачи , то средняя мощность сигнала на выходе

Дисперсия выходного шума

Отсюда находим выражение для отношения сигнал/шум на выходе фильтра:

Данная формула содержит полное решение поставленной задачи и позволяет в принципе, зная спектры сигнала и шума, так подобрать АЧХ фильтра, чтобы получить ощутимый выигрыш. Следует, однако, иметь в виду, что полезный сигнал, как правило, сам претерпевает некоторые, порой значительные искажения.

Фильтрация сигналов на фоне помех.

1. Задачи и методы фильтрации

Электрическим фильтром называется пассивный четырехполюсник пропускающий электрические сигналы некоторой полосы частот без существенного ослабления или с усилением, а колебания вне этой полосы частот - с большим ослаблением. Такие устройства применяются для выделения полезных сигналов на фоне помех. Задача фильтрации формулируется следующим образом.

Если на вход линейного фильтра поступает смесь сигнала и помехи

то проблема состоит в том, как наилучшим образом выделить сигнал их этой смеси, т.е. как создать оптимальный фильтр. Известными считаются статические характеристики (т.е. спектр или корреляционная функция)

функции х(t), представляющей собой смесь сигнала и помехи. Искомой является периодическая функция оптимального фильтра.

Задача об оптимальной фильтрации решается по-разному в зависимости от того смысла, который вкладывается в понятие оптимальности. Рассмотрим три наиболее важных случаи оптимальной фильтрации.

1. Форма сигнала известна. От фильтра требуется только сохранение полученного сообщения, заключенного в сигнале, т.е. сохранение неискаженным помехой информационного параметра сигнала и не требуется сохранение формы. Такая задача может быть поставлена при фильтрации сигналов, форма которых известна на приемной стороне (например, обнаружение сигнала в радиотелеграфии и радиолокации). Фильтр при этом называют оптимальным, если в некоторый момент времени t 0 на его выходе обеспечивается максимальное отношение сигнала к среднеквадратическому значению напряжения шума. Такой фильтр может быть интегратором, поскольку речь идет о типовом значении полезного сигнла. При этом он должен лучше пропускать те частоты, на которых больше интенсивность спектральных составляющих сигнала и меньше интенсивность помех.

Для передаточной функции только оптимального фильтра теория дает следующие выражения:

(2)

где а - некоторая постоянная;

- величина, комплексно сопряженная амплитудному спектру сигнала;

Спектр мощности помехи.

В случае помехи с равномерным спектром частная характеристика оптимального фильтра с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудным спектром сигнал:

Отсюда специфическое название подобных оптимальных фильтров - согласованные фильтры (т.е. согласованные с сигналом).

Например, при приеме сигнала в виде передаточной повторяющихся импульсов, спектр каждого из которых состоит из отдельных узких полос (см. рис.), фильтр должен пропускать лишь эти полосы.

Рассматриваемый сигнал пройдет через такой фильтр без искажений, а мощность помехи уменьшится, т.к. она будет складываться из мощностей лишь тех спектральных составляющих помехи, которые попадут в полосу прозрачности фильтра. Такой фильтр для приема последовательностей импульсов получил название гребенчатого фильтра. Его применение приводит к тем большему увеличению превышения сигнала над помехой, чем уже полоса прозрачности фильтра. В свою очередь полосы прозрачности могут быть сделаны тем более узкими, чем больше характер последовательности приближается к периодическому закону (в этом случае полосы спектра превращается в линии). Но приближение к периодическому сигналу, т.е. достаточно многократное его повторение, эквивалентное увеличению длительности сигнала. Таким образом, согласованная фильтрация повышает помехоустойчивость как бы за счет увеличения длительности полезного сигнала.

2. Форма сигнала неизвестна, а от фильтра требуется ее сохранения. Например, фильтрация после детектора должна обеспечивать наилучшее воспроизведение на фоне шума не одного или нескольких параметров сигнала, а всего сигнала S(t). В этом случае в качестве критерия оптимальности (точности воспроизведения сигнала) удобно принять среднеквадратичнную ошибку, т.е. средний квадрат уклонения воспроизведенного сигнала от периодического. если сигнал и помеха являются независимыми и стационарными случайными процессами, то частотная характеристика такого оптимального фильтра, обеспечивающего минимальную среднеквадратичную ошибку, определяется спектрами мощности сигналом Р С  и помехи G П .

(4)

Фильтр ослабляет те спектральные составляющие, которые сильней поражены помехой, и для которых больше отношение G П / Р С  А на тех частотах, где помеха отсутствует G П 

3. Выделение длительного периодического сигнала из его смеси с помехой может быть осуществлено путем исследования функции корреляции этой смеси. Корреляционный фильтр, осуществляющий такое исследование, содержит блок переключения и блок усреднения (интегратор).

При взаимокорреляционной фильтрации, когда фильтр, располагая образцом сигнала, определяет функцию взаимной корреляции между принятой смесью X(t) и образцом сигнала S(t) (в данном случае речь идет только о констатации факта наличия сигнала):

Если сигнал и помеха некоррелированы, то и напряжения будет свидетельствовать о наличие сигнала в смеси.

Автокорреляционная фильтра используется при отсутствии определенных сведений о форме сигнала. Фильтр в этом случае определяет автокорреляционную функцию смеси:

При отсутствии корреляции между сигналом и помехой последние два слагаемых исчезнут. Что касается оставшихся двух слагаемых, то первое из них может носить черты периодичности, т.к. является автокорреляционной функцией сигнала близкого к периодическому, а второе обращается в ноль, если сдвиг больше интервала корреляции помехи  П. Таким образом, при достаточно большом сдвиге  и времени усреднения Т наличие напряжения K C . C () на выходе коррелятора свидетельствует о наличии периодического сигнала в смеси.

Однако реальные сигналы связи не являются периодическими и ограничены некоторой длительностью  с. Следовательно, при  с автокорреляционная функция сигнала становится равной нулю (см. рис.). С другой стороны, интервал корреляции помехи  П возрастает тем больше, чем большему ограничению подвергается спектр помехи в фильтре, поскольку помеха приобретает характер периодичности. При оптимальной фильтрации до коррелометра  П может превысить  с и корреляционная фильтрация не даст никакого эффекта.

Таким образом, автокорреляционная фильтрация эффективна только в том случае, если  с > П, т.е. при широкой полосе пропускания фильтровых цепей и достаточно длительных сигналов. Повышение помехоустойчивости сигнала по длительности над помехой.

2. Согласованная фильтрация заданного сигнала

2.1. Методика анализа .

Для задачи обнаружения сигнала в шумах наибольшее распространение получил критерий максимума отношения сигнал-шум (помеха) на выходе фильтра. Фильтры, отвечающие этому критерию, называются согласованными.

Требования к фильтру, максимизирующему отношение сигнал-помеха, можно сформулировать следующим образом. Пусть на вход фильтра подается аддитивная смесь сигнала. S(t) и шума Сигнал полностью известен. Это означает, что заданы его форма и положение на оси времени. Шум представляет собой вероятностный процесс с заданными статистическими характеристиками. Требуется синтезировать фильтр, обеспечивающий получение на выходе наибольшего возможного отношения пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению шума. При этом не ставится условие сохранения формы сигнала, т.к. для обнаружения его в шумах форма значения не имеет.

Для уяснения сути согласованной фильтрации сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда на входе фильтра с равномерной АЧХ имеется лишь один полезный сигнал S(t) с известным спектром . Требуется найти ФЧХ фильтра, при которой обеспечивается максимализация типа сигнала на выходе фильтра. Такая постановка задачи равносильна задаче максимизации пика сигнала при заданной энергии входного сигнала, поскольку спектральная плотность S() полностью определяет его энергию и не меняется фильтром, а любое изменение фазовых соотношений в спектре тем более не меняет энергии сигнала. Равенство S вх (ω)= S вых (ω) означает, что , т.е. ≠ К(ω).

Представим выходной сигнал в виде:

(4)

где - передаточная функция (5) четырехполюсника с искомой ФЧХ и равномерной АЧХ К 0 =соnst.

Таким образом

(6)

Основываясь на очевидном неравенстве

(7)

и учитывая, что , можно составить следующее неравенство:

(8)

Это неравенство определяет верхний предел мгновенного значения колебания S ВЫХ (t) при заданном спектре входного сигнала. Максимизация пика выходного колебания получается при обращении неравенства (8) в равенство, а для этого необходимо, как это следует из сопоставления выражения (6) и (8), обеспечить определенное соотношение между фазовой характеристикой фильтра  к () и фазовой характеристикой спектра  s () входного сигнала.

Допустим, что выходной сигнал достигает максимума в момент t 0 (пока еще неопределенный). Тогда выражение (6) дает

а условие обращения неравенства (8) в равенство сводится к следующему:

Это соотношение называют условием компенсации начальных фаз в спектре сигнала, поскольку первое слагаемое в правой части (10) компенсирует фазовую характеристику  s () входного спектра S(j). В результате прохождения сигнала через фильтр с фазовой характеристикой  к () сложение всех компонентов спектра, скорреëированных по фазе, образует пик выходного сигнала в момент t=t 0 .

Соотношение (11) показывает, что только при линейной фазовой характеристике S вых имеет пик, т.к. cosnw 1 (t-t 0)=1 при t=0

Связь между фазовой характеристикой  s (), компенсирующей ее характеристикой [- s ()] и полной фазовой характеристикой фильтра  к ()=-[ s ()+wt 0 ] видна из следующего рисунка. После прохождения через фильтр спектр выходного сигнала будет иметь фазовую характеристику.

Нелинейность фазовой характеристики φ s означает, что гармоники задерживаются по-разному и следовательно не могут образовать max в момент t 0 . При линейной фазовой характеристике в момент t 0 все гармоники имеют одинаковую фазу, поскольку гармоническая функция Cosnw 1 (t-t 0), при t=t 0 , всегда обращается в единицу.

Поскольку для образования пика требуется использование всей энергии сигнала, а это возможно не ранее окончания действия входного сигнала, задержка t 0 не может быть меньше, чем полная длительность сигнала.

Введем теперь помеху на входе фильтра. При равномерном энергетическом спектре помехи (белый шум) W()=W 0 =const - фильтр с равномерной АЧХ неприменим, т.к. мощность помехи на выходе достигает очень большой величины.

Передача сигналов сопровождается шумами, которые искажают передаваемую информацию. Поэтому на протяжении всего развития техники связи центральной проблемой остается борьба с помехами и шумами (далее, обобщенно, - шумами). Если мощность полезного сигнала соизмерима со средней мощностью шума, трудно не только выделить, но и обнаружить сигнал. Одним из путей повышения помехоустойчивости является различение сигналов, соответствующих разным сообщениям. Затем нужно выбрать такой метод приема, который наилучшим образом реализует это различие. При этом важнейшей задачей является выделение информации с максимальной достоверностью - оптимальный (согласованный) прием. Для этого в состав приемника включают оптимальный фильтр, цепи после- детекторной обработки, следящие схемы АПЧ и ФАПЧ.

Оптимальный (согласованный) линейный фильтр

Уменьшение влияния шумов достигается различными способами, в том числе выбором наилучших характеристик цепей, через которые проходит смесь сигнала и шума. Основой большинства практических методов выделения сигнала из аддитивной смеси сигнала и шума в приемниках является оптимальная линейная фильтрация , использующая линейные частотные фильтры. Удобнее всего описывают оптимальные фильтры с помощью импульсной или частотной (коэффициент передачи) характеристики.

Критерии оптимального приема сигналов. В зависимости от назначения системы передачи информации и характера принимаемого сигнала на фоне действующих помех принимают различные критерии оптимального приема. В одних случаях критерием является обнаружение полезного сигнала, в других - разрешение сигналов, в третьем - измерение параметров этого сигнала.

Обнаружение - это сам факт приема полезного радиосигнала. Такой случай характерен для радиолокации.

Поп разрешением сигналов понимают, какое именно из нескольких возможных переданных сообщений поступило на вход радиоприемного устройства. Например, при передаче цифровых сообщений двоичным кодом необходимо определить, какой бит, 1 или 0, передан в данный момент по радиоканалу.

Измерение параметров сигналов позволяет извлечь необходимую информацию об объекте, с которого она поступила.

Качество принятого сообщения в зависимости от его характера оценивается по-разному. В цифровых системах передачи битовой информации это качество определяется вероятностью ошибки принятого символа. Например, если вероятность составляет 10 3 , то это означает, что из тысячи принятых бит один может быть ошибочным. При передаче речи качество принятого сообщения оценивается по его разборчивости, т.е. по числу правильно понятых слов, смысл которых не искажен. При передаче телевизионного сигнала вводится несколько критериев, по которым оценивается качество принятого изображения. Отмеченные разнородные критерии при передаче аналоговых сообщений являются функцией отношения мощности сигнала к мощности шума на выходе приемника.

При обнаружении сигнала в шумах наиболее эффективен критерий максимума отношения сигнал/шум по мощности на выходе фильтра. Линейный фильтр, для которого отношение максимально, называют оптимальным (подразумевая - наилучшим) или согласованным фильтром , а также коррелятором.

Отношение сигнал/шум. Используем в приемнике линейный фильтр с таким частотным коэффициентом передачи К(со), что значения его модуля |К(со)| велики в частотном диапазоне, где сконцентрирована основная доля мощности полезного сигнала, и малы в частотных областях, где существенна спектральная плотность мощности шума. Следует ожидать, что при подаче на вход оптимального фильтра аддитивной суммы полезного сигнала и шума на его выходе можно получить заметное увеличение отношения сигнал/шум. Оценим количественно данное положение. Пусть на входе линейного фильтра радиоприемника присутствует входное колебание, являющееся суммой полезного сигнала u(t) и шума r(t):

На практике и сигнал, и шум являются узкополосными с одинаковыми центральными частотами со 0 . Кроме того, они некоррелированны, т.е. среднее значение их произведения на некотором интервале Т равно

Также предположим стационарность шумов на протяженном интервале времени.

Интенсивность колебаний на входе линейного фильтра характеризуют значением среднего квадрата (средней мощности) входного сигнала, которая в силу равенства (7.2) есть сумма средних квадратов полезного сигнала и шума:

где о 2 - дисперсия (мощность) входного шума.

Для описания относительного уровня полезного сигнала вводят так называемое отношение сигнал/шум на входе фильтра

Отметим, что безразмерное число Q nx характеризует уровень сигнала по отношению к уровню шума весьма приближенно. Пользоваться этим отношением целесообразно лишь тогда, когда заранее известно, что колебания сигнала и реализации шума «схожи» между собой. Так, входной шум обычно хорошо описывается моделью нормального узкополосного случайного процесса. Отдельные реализации шума представляют собой квазигармони- ческие колебания. Естественно, что в этом случае можно пользоваться формулой (7.3) для оценки уровня полезных сигналов с амплитудной или частотной модуляцией.

Пример 7.1

Пусть на входе линейного фильтра действуют однотональный АМ-сигиал м дм(0 = U n cosoy и гауссов шум г(?) с односторонним спектром мощности

Найдем отношение сигнал/шум на входе фильтра.

Решение

Средняя мощность АМ-сигпала согласно формуле (2.70)

Здесь первое слагаемое 0,5U 2 соответствует средней мощности несущего колебания, которое не содержит информации о передаваемом сообщении. Поэтому при расчетах помехоустойчивости принято опускать эту составляющую и считать

Дисперсия шума на входе фильтра

Отношение сигнал/шум U„M 2 /(F 0 Q) оказывается прямо пропорциональным квадрату коэффициента модуляции и обратно пропорциональным частоте модуляции.

Одним из основных параметров фильтров приемника является коэффициент передачи. Определим коэффициент передачи оптимального фильтра приемника при условии, что сигнал принимается на фоне белого шума с двусторонней спектральной плотностью мощности W 0 (односторонней N n = 2W tt).

Представим коэффициент передачи оптимального фильтра в виде

где К{ со) - АЧХ; (р^(со) - ФЧХ фильтра.

Пусть входной сигнал u(t) имеет спектральную плотность

Здесь S(со) и ф с (со) - амплитудный и фазовый спектры принимаемого сигнала.

Отметим некоторый, пока неизвестный, момент времени t = ? 0 , при котором отношение сигнал/шум на выходе фильтра будет максимальным. В соответствии с формулой (4.5) сигнал на выходе фильтра (линейного четырехполюсника)

Поскольку *? вых (со) = 5 цх (со)/С(со), то с помощью соотношения (3.28) находим среднюю мощность (дисперсию) белого шума на выходе фильтра".

Используя формулы (7.5) и (7.6), найдем отношение мощностей сигнала и шума:

Введем эквивалентный коэффициент передачи линейного фильтра:

Оптимальный коэффициент передачи анализируемого фильтра максимизирует правую часть выражения (7.7).

Задачу нахождения оптимального коэффициента передачи К((о) решают на основе неравенства Буняковского - Коши - Шварца, имеющего вид

Прямая подстановка показывает, что неравенство обращается в равенство, если

где А - постоянный коэффициент; S* (со) - функция, комплексно-сопряженная с 5(со).

Представим эквивалентный коэффициент передачи (7.8) в виде произведения с фазовым множителем:

Отсюда находим коэффициент передачи фильтра

Формула (7.9) полностью определяет коэффициент передачи оптимального фильтра, максимизирующего отношение сигнал/шум. Отсюда же следуют требования к АЧХ и ФЧХ оптимального фильтра:

По определению частотный коэффициент передачи - безразмерная величина, поэтому постоянный коэффициент А должен иметь размерность , обратную размерности амплитудного спектра входного сигнала S(со).

Суть метода обработки принимаемого сигнала оптимальным фильтром приемника поясняет рис. 7.21, где показаны спектры входных сигнала 5(со), белого шума W 0 и выходного сигнала 5 ВЬ1Х (со), а также АЧХ фильтра К(со) и энергетический спектр выходного шума aj(co).

Рис. 7.21.

а - спектры входных сигнала и шума; б - спектр выходного сигнала и АЧХ фильтра;

в - спектр выходного шума

Соотношение (7.10) устанавливает, что АЧХ фильтра К(со) должна с точностью до масштабного множителя А совпадать по форме с амплитудным спектром S(со) входного сигнала. Благодаря этому подавляющая часть спектральных составляющих входного сигнала, имеющих наибольшие амплитуды, проходит на выход оптимального фильтра без ослабления и вносит основной вклад в образование пикового значения. Из множества спектральных компонентов входного белого шума, располагающихся в бесконечной полосе частот, на выход фильтра проходят и не ослабляются те, которые находятся иод кривой его АЧХ, т.е. в ограниченной полосе частот. Это приводит к ослаблению средней мощности шума а 2 х на выходе фильтра по сравнению со спектральной плотностью мощности белого шума W 0 на входе. В результате этого действия отношение сигнал/шум на выходе оптимального фильтра увеличивается.

Формула (7.11), описывающая ФЧХ оптимального фильтра, трактуется как условие компенсации начальных фаз гармонических составляющих спектра выходного сигнала. Согласно этому условию оптимальный фильтр должен иметь такую ФЧХ, чтобы получаемый в нем фазовый сдвиг каждой гармоники -ф с (со) был равен по значению и противоположен по знаку начальной фазе соответствующей составляющей спектральной плотности S(со) входного сигнала. Оптимальный фильтр проводит компенсацию начальных фаз всех спектральных составляющих входного сигнала u(t ), в результате чего и образуется пик выходного сигнала. Составляющая ФЧХ -со? 0 указывает на то, что пик выходного сигнала задержан относительно начала действия входного сигнала на интервал t 0 . Связь между фазовой характеристикой ф с (со) входного сигнала, компенсирующей ее фазовой характеристикой -ф с (со) и ФЧХ фильтра поясняется на рис. 7.22. Фазовая характеристика выходного сигнала, определяемая формулой

показана на рис. 7.22 прямой линией.

Рис. 7.22.

Итак, коэффициент передачи фильтра, описываемый формулой (7.4), согласован с амплитудным и фазовым спектрами входного сигнала. Поэтому рассмотренный оптимальный линейный фильтр часто называют согласованным.

Вернемся к формуле (7.7) и рассмотрим энергетические соотношения между принимаемым сигналом и шумом на выходе исследуемого оптимального фильтра. Так как квадрат модуля комплексного числа равен квадрату его действительной части, то после несложных преобразований получим выражение

Числитель в формуле (7.13) в соответствии с равенством Парсеваля представляет собой энергию входного сигнала Э. Тогда последнее соотношение примет вид

Согласно формуле (7.14) оптимальный фильтр максимизирует отношение сигнал/шум, которое зависит от энергии входного сигнала и спектральной плотности мощности белого шума и не связано с формой входного сигнала.

Пример 7.2

Сигнал, поступающий на вход оптимального фильтра, представляет собой прямоугольный видеоимпульс с некоторой амплитудой Е и длительностью т н = = 10 мкс. Белый шум на входе фильтра имеет спектральную плотность мощности W 0 = 25 10 18 В 2 /Гц. Определим минимальное значение амплитуды Е, при котором возможно обнаружение сигнала, если приемник регистрирует его присутствие при отношении сигнал/шум Q mls = 3/W n = 2 дБ.

Решение

Требуемое значение отношения сигнал/шум найдем из условия 101g(3/W 0) = 2, откуда 3/W 0 = 1,57. Поскольку энергия импульса 3 = Е 1 т и, то

Импульсная характеристика оптимального фильтра. Чтобы определить импульсную характеристику оптимального фильтра, вычислим обратное преобразование Фурье от частотного коэффициента передачи (7.9). Используя уже применяемую ранее формулу для определения импульсной характеристики через коэффициент передачи

Поскольку 5*(со) = -5(со), то, переходя к новой переменной (о 2 = -со, после несложных преобразований запишем

Следовательно, импульсная характеристика оптимального фильтра совпадает с зеркально отраженной относительно оси ординат копией входного сигнала, сдвинутой на интервал? 0 по оси времени. Об этом говорит отрицательный знак при аргументе t в формуле (7.16). На рис. 7.23 показан прин-

Рис. 7.23. u(t) длительностью т и. Поскольку при t t 0 между началом действия сигнала на входе фильтра и моментом образования максимального пика сигнала на его выходе должна быть не менее длительности сигнала т и. Это одно (но недостаточное) из условий физической реализуемости оптимального фильтра, показывающее, что для создания максимального пика сигнала на выходе надо провести обработку фильтром всего входного сигнала u(t).

Фундаментальной особенностью оптимального фильтра является то, что обнаружение с его помощью сигнала в шумах зависит не от формы, а от его энергии. В частности, путем увеличения длительности входного импульса можно надежно обнаруживать сигналы небольшой амплитуды. Однако при этом проигрывают в скоростях обработки информации. Как правило, формы полезного сигнала на входе и выходе согласованного фильтра существенно отличаются друг от друга. В частности, задачей согласованного фильтра для двоичной системы является не восстановление формы сигнала, искаженной шумом, а получение одного отсчета, по которому можно судить о присутствии или отсутствии на входе фильтра сигнала известной формы.

За согласованным фильтром в приемнике может находиться выравнивающий фильтр, или эквалайзер; он необходим только в цифровых системах связи, в которых сигнал может искажаться вследствие межсимвольной интерференции, внесенной каналом. Принимающий и выравнивающий фильтры являются отдельными устройствами, что подчеркивает различие их функций. Впрочем, в большинстве случаев при использовании эквалайзера для выполнения обеих функций (а следовательно, и для компенсации искажения, внесенного передатчиком и каналом) можно включать единый фильтр. Такой составной фильтр называют просто выравнивающим или принимающим и выравнивающим.

Согласованным фильтром может быть пассивный фильтр на линиях задержки, или коррелятор, или специальное цифровое устройство, преобразующее входную смесь сигнал/шум в частотную область, умножающее полученный спектр на спектр, комплексно-сопряженный со спектром входного сигнала, на который настроен оптимальный приемник, и возвращающий результат обратно во временную область. Но в любом случае это будет устройство, АЧХ которого повторяет амплитудный спектр сигнала, а ФЧХ есть зеркальное отражение фазовой характеристики сигнала. Согласованный с неким сигналом фильтр - это линейный четырехполюсник, импульсная характеристика которого является зеркальным отражением этого сигнала.

Отметим, что функцию оптимального фильтра для входного сигнала в приемнике может выполнять коррелятор, что имеет важное практическое значение, поскольку в ряде случаев реализовать коррелятор проще, чем оптимальный фильтр. В возможности выполнять коррелятором функцию оптимального фильтра можно убедиться, сравнив спектры сигналов на выходе оптимального фильтра и коррелятора.

Помеха – это любое воздействие, накладывающееся на полезный сигнал и затрудняющее его прием. Помехи весьма разнообразны как по своему происхождению, так и по физическим свойствам.

В проводных каналах связи основным видом помех являются импульсные шумы и прерывная связь. Появление импульсных помех часто связано с автоматической коммутацией и с перекрестными наводками. Прерывание связи есть явление, при котором сигнал в линии резко затухает или совсем исчезает.

Практически в любом диапазоне частот имеют место внутренние шумы аппаратуры, обусловленные хаотическим движением носителей заряда в усилительных приборах, сопротивлениях и других элементах аппаратуры. Этот вид помех особенно сказывается в диапазоне ультракоротких волн. В этом диапазоне имеют значение и космические помехи, связанные с электромагнитными процессами, происходящими на Солнце, звездах и других внеземных объектах.

Классификацию помех можно провести по следующим признакам:

— по происхождению (месту возникновения);

— по физическим свойствам;

— по характеру воздействия на сигнал.

К помехам по происхождению в первую очередь относятся внутренние шумы аппаратуры (тепловые шумы) обусловленные хаотическим движением носителей заряда в усилительных приборах, сопротивлениях и других элементах аппаратуры. Случайное тепловое движение носителей заряда в любом проводнике вызывает случайную разность потенциалов на его концах. Среднее значение напряжения равно нулю, а переменная составляющая проявляется как шум. Квадрат эффективного напряжения теплового шума определяется известной формулой Найквиста

где Т- абсолютная температура, которую имеет сопротивление R;

F — полоса частот; k =1,37*10 (-23) Вт.сек/град- постоянная Больцмана.

К помехам по происхождению, во вторую очередь, относятся помехи от посторонних источников, находящихся вне каналов связи:

— атмосферные помехи (громовые разряды, полярное сияние, и др.), обусловленные электрическими процессами в атмосфере;

— индустриальные помехи, возникающие в электрических цепях электроустановок (электротранспорт, электрические двигатели, системы зажигания двигателей, медицинские установки и другие.);

— помехи от посторонних станций и каналов, возникающих от различных нарушений режима их работы и свойств каналов;

— космические помехи, связанные с электромагнитными процессами, происходящими на Солнце, звездах, галактиках и других внеземных объектах.

По физическим свойствам помех различают:

— Флуктуационные помехи;

— Сосредоточеные помехи.

Флуктуационные помехи . Среди аддитивных помех особое место занимает флуктационная помеха, которая является случайным процессом с нормальным распределением (гауссов процесс). Этот вид помех практически имеет место во всех реальных каналах.

Электрическую структуру флуктуационной помехи можно представить себе как последовательность бесконечно коротких импульсов, имеющих случайную амплитуду и следующих друг за другом через случайные промежутки времени. При этом импульсы появляются один за другим настолько часто, что переходные явления в приемнике от отдельных импульсов накладываются, образуя случайный непрерывный процесс.

Так, источником шума в электрических цепях могут быть флуктуации тока, обусловленные дискретной природой носителей заряда (электронов, ионов). Дискретная природа электрического тока проявляется в электронных лампах и полупроводниковых приборах в виде дробового эффекта.

Наиболее распространенной причиной шума являются флуктуации, обусловленные тепловым движением.

Длительность импульсов, составляющих флуктуационную помеху, очень мала, поэтому спектральная плотность помехи постоянна вплоть до очень высоких частот.

К сосредоточенным по времени (импульсным) помехам относят помехи в виде одиночных импульсов, следующих один за другим через такие большие промежутки времени, что переходные явления в радиоприемнике от одного импульса успевают практически затухнуть к моменту прихода следующего импульса.

Сосредоточенные по спектру помехи . К этому виду помех принято относить сигналы посторонних радиостанций, излучения генераторов высокой частоты различного назначения и т. п. В отличие от флуктационных и импульсных помех, спектр которых заполняет полосу частот приёмника, ширина спектра сосредоточенной помехи в большинстве случаев меньше полосы пропускания приёмника. В диапазоне коротких волн этот вид помех является основным, определяющим помехоустойчивость связи.

По характеру воздействия на сигнал различают:

— аддитивные помехи;

— мультипликативные помехи.

Аддитивной называется помеха, мгновенные значения которой складываются с мгновенными значениями сигнала. Мешающее воздействие аддитивной помехи определяется суммированием с полезным сигналом. Аддитивные помехи воздействует на приемное устройство независимо от сигнала и имеют место даже тогда, когда на входе приемника отсутствует сигнал.

Мультипликативной называется помеха, мгновенные значения которой перемножаются с мгновенными значениями сигнала. Мешающее действие мультипликативных помех проявляется в виде изменения параметров полезного сигнала, в основном амплитуды. В реальных каналах электросвязи обычно имеют место не одна, а совокупность помех.

Под искажениями понимают такие изменения форм сигнала, которые обусловлены известными свойствами цепей и устройств, по которым проходит сигнал. Главная причина искажений сигнала – переходные процессы в линии связи, цепях передатчика и приемника. При этом различают искажения: линейные и нелинейные возникающие в соответствующих линейных и нелинейных цепях. В общем случае искажения отрицательно сказываются на качестве воспроизведения сообщений и не должны превышать установленных значений (норм).

При известных характеристиках канала связи форму сигнала на его выходе всегда можно рассчитать по методике, изложенной в теории линейных и нелинейных цепей. Дальнейшие изменения формы сигнала можно скомпенсировать корректирующими цепями или просто учесть при последующей обработке в приемнике. Это уже дело техники.

ДРУГОЕ ДЕЛО ПОМЕХИ — ОНИ заранее не известны и поэтому не могут быть устранены полностью.

Борьба с помехами — основная задача теории и техники связи. Любые теоретические и технические решения, о выполнении кодера или декодера, передатчика и приемника системы связи должны приниматься с учетом того, что в линии связи имеются помехи. При всем многообразии методов борьбы с помехами их можно свести к трем направлениям:

— подавление помех в месте их возникновения. Это достаточно эффективное и широко применяемое мероприятие, но не всегда приемлемо. Ведь существуют источники помех, на которые воздействовать нельзя (грозовые разряды, шумы Солнца и др.);

— уменьшение помех на путях проникновения в приемник;

— ослабление влияния помех на принимаемое сообщение в приемнике, демодуляторе, декодере. Именно это направление для нас является предметом изучения.

Основной проблемой при детектировании сигналов ИФРНС является искажение формы принимаемых радиоимпульсов за счет наложения на поверхностную волну отраженных составляющих. Составляющие сигнала, которые не распространяются вдоль поверхности, проходят различные пути за различное время. Невозможно надежно предсказать время их прихода. Однако, очевидно, что отраженные составляющие сигнала распространяются медленнее поверхностной составляющей. Они также влияют на форму принимаемого сигнала. Форма принимаемого радиоимпульса может изменяться в зависимости от времени года, времени суток, а также от погодных условий и географической местности. Для выполнения задач навигации необходим алгоритм выделения начала поверхностной составляющей радиоимпульса.

Принимаемый сигнал x t (t) во временной области может быть представлен следующим уравнением:

(1)

Где x g (t) – поверхностная составляющая, амплитуда и задержка n-ной отраженной составляющей определяются коэффициентами k n и t n , а e (t) - шумовая компонента.
Ниже изображены эталонный импульс ИФРНС и его спектр после прохождения полосового фильтра приемника. Частота дискретизации составляет 5 МГц.

В качестве примера рассмотрим смоделированный радиоимпульс, состоящий из поверхностной и отраженной составляющих. На рисунках ниже представлены графики, на котором изображена модель импульса, состоящая из двух составляющих смещенных друг от друга на 130 мкс. Амплитуда отраженной составляющей в 2 раза ниже амплитуды поверхностной составляющей.

Эквивалентное представление сигнала в частотной области описывается как:

(2)

Где X t (f) , X g (F) и E (f) - спектры сигналов x t (t) , x g (t) и e (t) .
Примем, что спектр эталонного нормированного сигнала системы «Лоран-С» или «Чайка» обозначается как X 0 (f) .
Очевидно, что
(3)

Где k g - амплитуда поверхностной составляющей. Если выражение для X g (f) из формулы (3) подставить в формулу (2) и разделить почленно все слагаемые на X 0 (f) , получится выражение

(4)

На рисунке ниже изображен график результата деления спектра сигнала на спектр эталона. Изображенный красным, график представляет собой горизонтальную пилообразную линию во всей области частот.

Обратное преобразование Фурье над выражением (4) дает формулу
(5)

Математический смысл выражения (5) заключается в том, что во временной области мы получаем пики в виде дельта-функций в моменты появления как поверхностной, так и всех отраженных составляющих сигнала, нормированные по амплитуде.
На рисунке ниже изображен график детектирования начала составляющих сигнала. Как видно из графика отношение амплитуд составляющих сигнала равно двум и расстояние между пиками составляет 130 мкс, что соответствует параметрам построенной модели.

Метод обычного деления спектров хорошо действует для идеальных сигналов. При добавлении в сигнал шумовой составляющей эффективность метода резко ухудшается. На рисунках ниже изображен график детектирования начала сигнала при соотношении сигнал/шум 25 дБ. Как видно из рисунков определение начала сигналов выполнить невозможно.

На графике спектра можно заметить, что внутри полосы шириной приблизительно 30 кГц с центром в точке 100 кГц результат деления спектров имеет горизонтальный пилообразный вид как при использовании метода деления спектров на идеальном не зашумленном сигнале. Использование прямоугольного окна шириной 30 кГц с центром в точке 100 кГц позволяет устранить влияние шумов перед операцией обратного преобразования Фурье. На рисунке ниже изображен график детектирования начала сигнала при использовании оконной фильтрации зашумленного сигнала. Два максимума графика позволяют обнаружить начало каждой из составляющих сигнала на фоне шума и также оценить отношение их амплитуд.

Метод деления спектров с применением оконного сглаживания эффективен при соотношении сигнал/шум выше 12 дБ. Наиболее эффективным типом окна признано прямоугольное окно с полосой 30 кГц. На рисунках ниже изображен реальный импульс цепочки Northern Sea of China Chain и график обнаружения его начала.

Оригинальная статья расположена . Алгоритм в настоящее время применяется мной для контроля параметров станций ИФРНС Дальневосточного региона.