Описание функции BITERR

Обобщенная модель цифровой системы передачи информации .

Обобщенная модель цифровой системы передачи (ЦСП) информации включает три фундаментальных процесса: кодирование-декодирование источника, кодирование-декодирование канала, модуляция-демодуляция при передаче по каналу (рис. 1). На передающей стороне все виды обработки информационных сообщений служат цели преобразования их в сигналы, наиболее подходящие для передачи по каналу конкретного типа. На приемной стороне производятся обратные операции, направленные на восстановление в исходном виде с минимально возможными искажениями. При этом искажения обусловлены либо неидеальностью процессов прямого - обратного преобразования, либо неидеальностью характеристик тракта (канала связи), включая воздействие помех.

Процесс кодирования источника имеет своей главной целью сокращение объема передаваемой информации, т.е снижение требований к таким ресурсам системы, как время передачи, полоса пропускания, объем памяти при обработке или при хранении информации.

Кодирование канала используется для исправления ошибок, возникающих при приеме цифрового сигнала из-за действия различных помех и искажений. В трактах вещания информации программных служб применяется только прямое исправление ошибок, а в обратных каналах интерактивных систем, особенно в телефонных каналах, возможно также использование перезапросов. В любом случае кодирование канала приводит к увеличению объема передаваемых данных, т.к. алгоритмы обнаружения и исправления ошибок требуют добавления специальных служебных символов, а повторы перезапрошенных блоков непосредственно увеличивают время передачи.

Модуляция используется для преобра- зования сигналов, представленных в основной (исходной) полосе частот, в радиосигналы заданной полосы частот, что обеспечивает возможность их передачи по конкретному физическому каналу. Дополнительным свойством сложных видов модуляции является более плотная упаковка данных в частотной области, когда на единицу полосы приходится больше передаваемой информации.

В цифровых системах передачи процесс модуляции-демодуляции можно рассматривать как способ преобразования кода в сигнал и обратно. Конкретный метод модуляции выбирается, исходя из особенностей построения системы, требуемой скорости передачи по предоставленному каналу, заданной вероятности приема (включая возможности системы защиты от ошибок) и пр. Таким образом, постановка проблемы совместной оптимизации модема и кодека направлена на решение одной важной задачи – наилучшего согласования сигнала с характеристиками канала. При поиске оптимального варианта согласования чаще всего останавливаются на выборе одного из двух критериев:

Высокой спектральной эффективности , т.е. передачи с высокой скоростью в узкой полосе;

Высокой энергетической эффективности , т.е. передачи с низким отношением несущая/шум и с максимальным занятием всей доступной полосы.

В первом случае применяют плотные созвездия сигналов (например, модуляция 64 QAM или 16 QAM) совместно с мало избыточными кодами, исправляющими ошибки. Во втором случае используются разреженные созвездия (QPSK) совместно с высоко избыточными корректирующими кодами. С учетом реальных ограничений на допустимую полосу канала и достижимое отношение несущая/шум выбирается необходимый компромисс между спектральной и энергетической эффективностями.

Факторы, влияющие на качество принимаемого сигнала

При приеме цифрового сигнала и декодировании переданной информации неизбежно возникают ошибки в отдельных битах или в более обширных фрагментах цифрового потока. В хорошо спроектированной и работающей системе передачи ошибки возникают крайне редко. В противном случае они могут существенно исказить принятое сообщение или вовсе сделать невозможным его использование. Существует достаточно много факторов, каждый из которых может привести к возникновению ошибок в декодированном сигнале. Но чаще всего ошибки вызывает совокупность факторов при том, что отдельно взятые факторы не носят доминирующего характера. Основные категории искажений в системе и конкретные факторы, их порождающие, приведены в таблице 1.

Все указанные искажения и факторы так или иначе пересчитываются в эквивалентное случайное изменение уровня принимаемого сигнала в точке решения, т.е. в снижение отношения сигнал/шум.

Таблица 1

	Влияющие факторы	Влияющие факторы
Искажения формы сигнала в виде межсимвольных и квадратурных искажений	Переходная характеристика	Модулятор
	Шаблон формы АЧХ и ФЧХ	Формирующий фильтр
	Линейные искажения	Канал связи, приемник, корректор
	Ограничение полосы	Канал связи, приемник
Фазовые ошибки несущей	Нестабильность частоты	Модулятор, демодулятор
	Неточность квадратуры	Модулятор, демодулятор
	Ошибки при восстановлении несущей	Демодулятор
Дрейф пороговых уровней решающего устройства	Дрейф выходного сигнала демодулятора	Демодулятор
	Дрейф опорного источника	Решающее устройство
	Неточность установки зоны решения	Решающее устройство
Шум	Тепловой шум	Входные каскады радиоприемника
Шум	Шум устройства синхронизации	Шум задающих генераторов или синтеза торов передатчика и приемника, фазовый джиттер восстановленных несущей и тактов
Помехи	Индустриальные помехи	Внешние источники в канале связи, побочный прием
	Эхо-сигналы	Многолучевое отражение, несогласованность кабельных линий
	Сигналы других радио- передающих средств	Передатчики совмещенного канала, внеполосные излучения, побочный прием

Анализ воздействия шумов и помех на передаваемый сигнал, а также методы борьбы с помехами относятся к стержневым вопросам теории и техники передачи информации.

Белый шум . Среди всех источников шума наиболее распространенным на практике и наиболее широко используемым в качестве модели случайного процесса является шум, описываемый нормальным (гауссовским) распределением. Такой шум возникает в результате одновременного воздействия многих независимых случайных источников. Нормальное распределение отражает положения центральной предельной теоремы теории вероятностей, согласно которой случайная величина х, полученная суммированием статистически независимых случайных величин х 1 , х 2 , …. х n с произвольными плотностями, имеет плотность, приближающуюся к нормальной, если n стремится к бесконечности. Типичным примером шума с нормальной плотностью является тепловой шум, обусловленный броуновским движением электронов в проводнике. Шум подобного типа принято называть белым шумом . Наибольший интерес при анализе систем представляет аддитивный белый гауссовский шум.

Аналитическое выражение для нормальной плотности, в общем случае, имеет вид:

Идеальный белый шум, обладая неограниченным однородным спектром, представляет собой последовательность бесконечно коротких импульсов, имеющих случайную высоту и следующих друг за другом через случайные промежутки времени. Для идеального белого шума мощность шума, приходящаяся на конечную полосу частот, т.е спектральная плотность, бесконечно мала. Для анализа процессов в реальной области положительных частот используют одностороннюю спектральную плотность N 0 , Вт/Гц. При теоретическом анализе в области положительных и отрицательных частот используют двустороннюю спектральную плотность N 0 /2, Вт/Гц. Очевидно, что в обоих случаях мощность шума остается одной и той же. Постоянство спектральной плотности идеального белого шума означает, что в бесконечно широкой полосе частот средняя мощность шума бесконечно велика, т.е. такое свойство является не более, чем математической идеализацией. Однако практически полоса пропускания системы всегда ограничена, что автоматически ограничивает и мощность шума в этой полосе. Поэтому значение спектральной плотности за пределами полосы пропускания не влияет на анализируемые параметры сигнала и шума.

Реальный белый шум соответствует идеальному белому шуму, прошедшему через фильтр. Он имеет ограниченный спектр, т.е. импульсы конечной длительности. При ограниченной ширине спектра мощность реального белого шума в конечной полосе частот также конечна.

Обычно при расчетах мощности N реального белого шума в полосе В (Гц) используют спектральную плотность мощности N 0 = N/B (Вт/Гц) и абсолютную температуру источника шума Т (К°), где К° = С° + 273°.

При этом наибольшая мощность шума, которую можно получить от теплового источника,

а функция распределения имеет вид:

(7)

Рэлеевский шум - это узкополосный шум. Его физической интерпретацией является синусоидальная несущая с частотой, равной средней частоте полосы пропускания, и модулированная по амплитуде низкочастотным узкополосным шумовым напряжением положительной полярности. Это модулирующее напряжение соответствует напряжению на выходе линейного детектора, на вход которого подан узкополосный гауссовский шум с высоким уровнем.

Рэлеевский шум отражает физические процессы в узкополосных системах, в частности, в приемной аппаратуре, в которой используется линейный детектор. По сравнению с гауссовским шумом рэлеевский имеет более чем на 2 dB меньший пик-фактор, т.е. пиковое напряжение, превышаемое в течение 0,01% времени (9,64 dB против 11,80 dB).

Импульсный шум.

Импульсный шум - это последовательность импульсов произвольной длительности и амплитуды, следующих друг за другом через случайные промежутки времени. Отличие импульсного шума от непрерывного в том, что длительность импульсов импульсного шума значительно меньше промежутков между ними, поэтому появление каждого импульса рассматривается как независимое событие. Число независимо возникающих импульсов в течение любого промежутка времени подчиняется пуассоновскому распределению:

(8)

где Р (n) - вероятность появления равна n импульсов за время Т;

v - среднее число импульсов в единицу времени.

Прохождение импульсного шума через полосовую цепь приводит к размытию импульсов, т.е. к расширению импульсов и слиянию их в непрерывный шум. Но значение пикового уровня шума при этом пропорционально ширине полосы пропускания, а значение среднего уровня - корню квадратному из полосы.

Шумовая полоса четырехполюсника.

При измерении шумовых и вероятностных характеристик радиоприемных устройств, анализе и моделировании параметров трактов систем передачи информации важное значение имеет определение шумовой полосы устройства, а тем самым мощности и структуры шума, воздействующего на полезный сигнал.

В большинстве практических случаев интерес представляет мощность шума, действующего на выходе некоторого эквивалентного четырехполюсника, характеристики которого отображают последовательное соединение нескольких устройств или звеньев реальной цепи. Если коэффициент передачи такого четырехполюсника имеет максимальное значение К 0 на некоторой частоте w 0 , то область частот (2 Dw) эфф. в окрестности w, определяемую из соотношения:

Отношение сигнал/шум и вероятность ошибки при приеме цифровой информации

Отношение сигнала к шуму.

При анализе процессов в системах передачи информации используется несколько близких показателей, характеризующих энергетические соотношения между сигналом и шумом.

В цифровых системах передачи, особенно при сравнении различных методов исправления ошибок, принято использовать нормированное отношение средней энергии на бит информации к спектральной плотности мощности шума E b /N 0 . Это отношение удобно тем, что в нем не фигурируют абсолютные значения полосы частот и длительности тактового интервала. Спектральная плотность мощности шума N Q имеет размерность энергии, поэтому с ней следует сравнивать энергию сигнала Е, а не среднюю мощность S.

Учитывая, что Е = ST 0 , N = N 0 B , где Т 0 - время передачи сигнала, В - полоса фильтра, получаем соотношение между двумя показателями:

При передаче двоичных сигналов E s = E b , в противном случае

Среди показателей, характеризующих отношение мощностей, широко используется также отношение несущая/шум C/N, которое показывает, во сколько раз мощность С принимаемой модулированной радиочастотной несущей на выходе приемного фильтра с полосой Найквиста больше мощности N шума, порождаемого совместным действием всех источников шума данного тракта. Отношение C/N является удобным параметром при расчетах энергетики на входе радиоприемника, в ВЧ и ПЧ каскадах демодулятора.

Оба коэффициента соотносятся как:

где Р s - средняя мощность модулированной несущей М-QАМ;

Р N - среднеквадратичное значение мощности белого шума на выходе фильтра Найквиста с полосой BW = BN(1+a) и коэффициентом скругления спектра a;

N 0 - односторонняя спектральная плотность мощности белого шума;

М - число элементов пространства сигналов при цифровой модуляции.

Вероятность ошибки при приеме сигналов.

Помехоустойчивость цифровых систем передачи оценивается отношением сигнал/шум, необходимым для получения некоторой заданной вероятности ошибки. Практический интерес представляет значение отношения сигнал/шум на входе решающего устройства, т.е. именно того узла, работа которого вызывает появление ошибочных битов. Хотя в современных системах применяются сложные методы амплитудно-фазовой модуляции, но реально решение принимается о соотношении между уровнем демодулированного импульса и порогом. Поэтому поясним механизм возникновения ошибок на простой модели двоичного биполярного сигнала с нулевым пороговым уровнем. В случае многоуровневых импульсов аналогичная картина будет характеризовать случай различения двух смежных уровней относительно порога, проходящего между ними.

На рис. 3 показана модель приемника - решающего устройства, а на рис. 4 двоичный сигнал со значащими уровнями А и В, которые искажены действием аддитивного шума. В предположении, что шум одинаково воздействует на оба уровня, справа от импульса показаны одинаковые кривые гауссовского распределения, центрированные относительно уровней А и В. Размах сигнала, т.е. расстояние между уровнями, равен V. Ошибка в решении об уровне импульса возникает при превышении шумом порогового уровня, отстоящего от номинальных сигнальных уровней на значение V/ 2. На возникновение ошибки оказывают влияние импульсы шума, имеющие полярность, противоположную полярности сигнала. Так как гауссовское распределение не имеет ограничения по оси абсцисс, то всегда существует вероятность случайного события, состоящего в превышении шумом порога V/ 2.

Вероятность ошибки:

где s = x/δ - эффективное значение переменной составляющей помехи, среднее значение которой равно нулю. Получаем:

(19)

Выражение (19) показывает, что при фиксированном значении s вероятность ошибки зависит только от расстояниями между уровнями V , независимо от того, ведется передача однополярным сигналом (0, V ) или биполярными сигналами (+ V / 2 , - V / 2). В более широком смысле выражение (19) зависит от отношения размаха сигнала к среднеквадратическому (эффективному) значению напряжения шума V / s. Графическая зависимость V / s показана на рис. 5.

Пропускная способность канала

В теории передачи информации и цифровой связи исключительно важное значение имеет формула, связывающая максимальную скорость передачи информации С в полосе канала W с отношением сигнал/шум P/N:

(20)

Выражение (20), известное как формула Шеннона, определяет пропускную способность частотно-ограниченного непрерывного канала с аддитивным белым гауссовским шумом при ограничении средней мощности передаваемого сигнала значением Р.

Условие непрерывности канала подразумевает, что число возможных уровней ансамбля передаваемых сигналов бесконечно велико, т.е. сигнал имеет свойства шума. Передача сигнала должна производиться с использованием корректирующего кодирования либо в основной полосе, либо с помощью однополосной модуляции. В качестве элементов сигнала можно использовать, в общем случае, любую функцию времени, ограниченную по спектру полосой частот W, Гц. Этому условию удовлетворяет, в частности, функция вида sin(x )/x .

Пропускная способность в канале с шумом имеет конечное значение только при ограничении мощности передатчика. В канале без шума или в канале с шумами, но без ограничения мощности передатчика отношение сигнал/шум и соответственно пропускная способность, как следует из (П2В.20), стремятся к бесконечности.

При проектировании и анализе цифровых систем передачи наибольший интерес представляет пропускная способность, отнесенная к единице полосы частот:

(21)

Формула (21) имеет смысл максимальной удельной скорости передачи и применяется при оценке эффективности систем связи. График удельной скорости в непрерывном канале с белым шумом в зависимости от отношения сигнал/шум (21) при выборе вида модуляции, обеспечивающего передачу n = 2WT символов в полосе W за время Т, показан на рис. 6. Фактически он определяет идеальную верхнюю границу, к которой стремятся приблизиться, оптимизируя те или иные параметры цифровых систем.

В реальных системах передаваемые сигналы имеют конечное число значащих позиций, поэтому при их анализе используется модель не непрерывного, а дискретного канала с шумом. Пропускная способность дискретного канала аналитически выражается через матрицу переходных вероятностей между состояниями передаваемых и принимаемых сигналов, и при числе позиций больше двух соответствующие формулы достаточно сложные. На рис. 6 показаны также зависимости удельной скорости от отношения сигнал/шум для систем с различным числом значащих позиций (уровней).

В дискретных каналах, каковыми являются реальные каналы цифровых систем, с ростом отношения сигнал/шум удельная скорость вначале растет тем же темпом, что и в непрерывном канале, но по достижении некоторого порога ее рост резко замедляется, и она фактически перестает зависеть от отношения сигнал/шум, достигая своего номинального значения, определяемого числом значащих позиций для канала без шума. Таким образом, представленные графики однозначно показывают, что в системе с дискретным каналом и фиксированной полосой частот рост пропускной способности может быть обеспечен только путем увеличения числа значащих позиций сигнала. Но это, в свою очередь, требует либо соответствующего увеличения отношения сигнал/шум, что не всегда возможно, либо применения мощных кодов, исправляющих ошибки, что также имеет свои ограничения. Учет этих противоречивых требований и поиск компромисса является предметом оптимизации параметров цифровой системы передачи.

Учитывая, что мощность шума N = N 0 W, где N 0 - спектральная плотность мощности шума (энергия в полосе 1 Гц), и полагая, что мощность шума в полосе W 0 равна мощности сигнала Р = N 0 W 0 , приведем (21) к виду:

(22)

График пропускной способности, отнесенной к полосе W 0 , в зависимости от относительной полосы W / W 0 показан на рис. 7, из которого видно: пока мощность сигнала не превышает мощность шума (W / W 0 < 1), пропускная способность растет очень быстро, но при превышении мощности шума, ее рост замедляется и монотонно стремится к асимптотическому значению,

(23)

Следовательно, работать надо в области шумов, защищаясь от ошибок кодированием.

Достоинством формулы Шеннона является то, что она связывает воедино основные параметры сигнала и позволяет осуществлять их компромиссный выбор. Например, при неизменном отношении сигнал/шум одно и то же количество информации в битах может быть передано либо в широкой полосе частот при малом времени сигнала, либо в узкой полосе с помощью продолжительного сигнала. В некоторых системах цифрового ТВ вещания для приближения к границе Шеннона используют параллельную передачу по большому числу узкополосных каналов. В современных системах цифрового ТВ вещания с помощью использования самых передовых методов обработки и передачи сигналов достигается достаточно хорошее приближение к границе Шеннона. Примером могут служить регламентированные скорости цифровых потоков в прямом и реверсном направлениях СКТ, оговариваемые стандартом DOCSIS для каждой из выделенных полос пропускания.

Синтаксис:

ber = berawgn(EbNo, "pam", M)
ber = berawgn(EbNo, "qam", M)
ber = berawgn(EbNo, "psk", M, dataenc)
ber = berawgn(EbNo, "dpsk", M)
ber = berawgn(EbNo, "fsk", M, coherence)
ber = berawgn(EbNo, "msk", dataenc)
berlb = berawgn(EbNo, "cpfsk", M, modindex, kmin)

Графический интерфейс:

Вместо использования функции berawgn можно запустить среду BERTool (функция bertool ) и использовать для расчетов ее вкладку Theoretical.

Описание:

Общая информация о синтаксисе
Функция berawgn возвращает вероятность битовой ошибки (Bit Error Rate, BER) для различных видов модуляции в канале связи с аддитивным гауссовым шумом (АБГШ; английский термин - Additive White Gaussian Noise, AWGN). Первый входной параметр, EbNo, задает отношение (в децибелах) энергии одного бита к спектральной плотности мощности белого шума. Если параметр EbNo является вектором, результат работы ber будет вектором того же размера, элементы которого соответствуют различным значениям отношения Eb/N0. Поддерживаемые виды модуляции, задаваемые вторым входным параметром функции, перечислены в следующей таблице.

Вид модуляции	Второй входной параметр
Частотная манипуляция с непрерывной фазой (ЧМНФ; Continuous phase frequency shift keying, CPFSK)	"cpfsk"
Фазоразностная манипуляция (ФРМ; Differential phase shift keying, DPSK)	"dpsk"
Частотная манипуляция (ЧМн; Frequency shift keying, FSK)	"fsk"
Минимальная частотная манипуляция (МЧМ; Minimum shift keying, MSK)	"msk"
Фазовая манипуляция (ФМн; Phase shift keying, PSK)	"psk"
Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ; Pulse amplitude modulation, PAM)	"pam"
Квадратурная манипуляция (КАМ; Quadrature amplitude modulation, QAM)	"qam"

В большинстве вариантов синтаксиса вызова функции также имеется входной параметр M, задающий число позиций манипуляции. M должно быть равно 2k для некоторого положительного целого числа k. Конкретные варианты синтаксиса

Ber = berawgn(EbNo, "pam", M)

Возвращает BER для некодированной амплитудно-импульсной модуляции (PAM) в АБГШ-канале при когерентной демодуляции. Предполагается, что сигнальное созвездие сформировано с использованием кода Грея.

Ber = berawgn(EbNo, "qam", M)

Возвращает BER для некодированной квадратурной манипуляции (QAM) в АБГШ-канале при когерентной демодуляции. Предполагается, что сигнальное созвездие сформировано с использованием кода Грея. Размер алфавита M должен быть не меньше 4. Для крестообразных созвездий (когда M равно двойке в нечетной степени) результат ber дает верхнюю границу BER. (Замечание. Верхняя граница, используемая в данной функции, является менее плотной, чем верхняя граница, используемая для QAM с крестообразными созвездиями в функции semianalytic.)

Ber = berawgn(EbNo, "psk", M, dataenc)

Возвращает BER для некодированной фазовой манипуляции (PSK) в АБГШ-канале при когерентной демодуляции. Предполагается, что сигнальное созвездие сформировано с использованием кода Грея. Входной строковый параметр dataenc может быть равен "diff" при дифференциальном кодировании данных или "nondiff" при недифференциальном кодировании данных. Если параметр dataenc равен "diff", то входной параметр M не должен превышать 4. Использованный здесь метод вычислений подробно изложен в .

Ber = berawgn(EbNo, "dpsk", M)

Возвращает BER для некодированной фазоразностной манипуляции (DPSK) в АБГШ-канале.

Ber = berawgn(EbNo, "fsk", M, coherence)

Возвращает BER для ортогональной некодированной частотной манипуляции (FSK) в АБГШ-канале. Входной строковый параметр coherence может быть равен "coherent" при когерентной демодуляции или "noncoherent" при некогерентной демодуляции. Размер алфавита M должен быть не больше 64.

Ber = berawgn(EbNo, "msk", dataenc)

Возвращает BER для некодированной минимальной частотной манипуляции (MSK) в АБГШ-канале при когерентной демодуляции. Входной строковый параметр dataenc может быть равен "diff" при дифференциальном кодировании данных или "nondiff" при недифференциальном кодировании данных. Использованный здесь метод вычислений подробно изложен в .

Berlb = berawgn(EbNo, "cpfsk", M, modindex, kmin)

Возвращает нижнюю границу BER для некодированной частотной манипуляции с непрерывной фазой (CPFSK) в АБГШ-канале. Входной параметр modindex задает индекс модуляции, он должен быть положительным вещественным числом. Входной параметр kmin задает число путей, имеющих минимальное расстояние друг от друга; если это число неизвестно, можно принять значение данного параметра равным 1.

Примеры:

Приведенный ниже код использует функцию berawgn для вычисления вероятности ошибки на символ в случае амплитудно-импульсной модуляции (Pulse Amplitude Modulation, PAM) при разных значениях отношения Eb/N0. Выполняется также моделирование прохождения 8-уровневого PAM-сигнала через АБГШ-канал, после чего оценивается та же самая вероятность символьной ошибки. Для сравнения результатов две зависимости помехоустойчивости от отношения Eb/N0, полученные теоретически и путем моделирования, отображаются в виде графиков в общих координатных осях.

% 1. Вычисляем вероятность ошибок с помощью функции BERAWGN M = 8; % Число уровней PAM-сигнала EbNo = ; % Ряд отношений Eb/No ser = berawgn(EbNo,"pam",M).*log2(M); % множитель log2(M) - пересчет битовых ошибок в символьные % Отображаем теоретические результаты figure; semilogy(EbNo,ser,"r"); xlabel("E_b/N_0 (dB)"); ylabel("Symbol Error Rate"); grid on; drawnow; % 2. Оценка вероятности ошибки путем моделирования % Инициализация n = 10000; % Число обрабатываемых символов k = log2(M); % Число бит на символ % Пересчет отношения Eb/No в отношение сигнал/шум (SNR) % Замечание: Поскольку No = 2*noiseVariance^2, при расчете SNR % нужно добавить 3 дБ. Подробности см. в snr = EbNo+3+10*log10(k); ynoisy=zeros(n,length(snr)); % Для ускорения расчета выделяем память заранее % Главный цикл моделирования x = randint(n,1,M); % Случайное сообщение y = pammod(x,M); % Модуляция % Пропускаем модулированный сигнал через АБГШ-канал % в цикле по необходимым значениям SNR for jj = 1:length(snr) ynoisy(:,jj) = awgn(real(y),snr(jj),"measured"); end z = pamdemod(ynoisy,M); % Демодуляция % Вычисляем эмпирическую вероятность символьной ошибки = symerr(x,z); % 3. Отображаем эмпирические результаты в тех же осях hold on; semilogy(EbNo,rt,"b."); legend("Theoretical SER","Empirical SER"); title("Comparing Theoretical and Empirical Error Rates"); hold off;

В результате выполнения приведенного кода получается график, показанный на следующем рисунке. Полученные вами результаты могут отличаться, так как при модулировании используется генерация псевдослучайных чисел.

Ограничения:

Численная точность результатов, возвращаемых данной функцией, ограничена следующими факторами:

Приближенными соотношениями, использованными при выводе формул, по которым производится расчет.
Приближениями, производимыми при реализации численных расчетов.

Обычно можно считать надежными первые две значащие цифры возвращаемого результата. Однако для четырехпозиционной фазоразностной манипуляции (вид модуляции "dpsk" при M=4) и дифференциально кодированной фазовой манипуляции (вид модуляции "psk" при значении "diff" для параметра dataenc) имеются дополнительные ограничения, так что функция возвращает 0 для больших значений входного параметра EbNo.

Сопутствующие функции: bercoding, berfading, bersync.

Литература:

Anderson, John B., Tor Aulin, and Carl-Erik Sundberg, Digital Phase Modulation, New York, Plenum Press, 1986.
Lindsey, William C. and Marvin K. Simon, Telecommunication Systems Engineering, Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall, 1973.
Proakis, John G., Digital Communications, 4th ed., New York, McGraw-Hill, 2001. (Имеется русский перевод предыдущего издания: Прокис Дж. Цифровая связь. Пер. с англ. / Под ред. Д. Д. Кловского. - М.: Радио и связь, 2000.)

Если передается символ d единичной амплитуды, то выходной сигнал x согласованного фильтра можно записать вместо (1.3.1) в виде

где E s – энергия импульса, h – канальный коэффициент, z – шум приемника. При этом предполагается, что дисперсия коэффициента h равна единице (<|h | 2 >=1), а средняя мощность шума .

Из (2.4.1) получим, что мгновенное ОСШ равно

где - среднее ОСШ на символ.

В многолучевом канале амплитуда |h | коэффициента передачи имеет релеевское распределение вида (2.3.43). При этом случайное ОСШ r будет иметь экспоненциальную плотность вероятности с параметром r 0 , которую можно записать как

. (2.4.3)

Найдем вероятность битовой ошибки (BER ), которая определяется как отношение среднего числа неправильно принятых бит к общему числу переданных бит. Так как ОСШ r является случайной величиной, необходимо используя плотность вероятности f (r) выполнить усреднение битовой ошибки, которая возникает из-за шума при ОСШ r.

Следовательно, чтобы найти битовую ошибку при передаче через релеевский канал, необходимо вычислить интеграл

, (2.4.4)

где BER (r) – вероятность битовой ошибки в гауссовском шумовом канале без замираний при ОСШ равном r.

Вероятность битовой ошибки BER (r) определяется выражениями (1.3.10), (1.3.14), (1.3.18) и (1.3.19) для 2-ФМ, 4-ФМ, 16-КАМ и 64-КАМ сигналов, соответственно. Рассмотрим эти модуляции раздельно.

2-ФМ сигналы. Учитывая плотность вероятности (2.4.3) для ОСШ и выражение (1.3.10) для BER (r), получим, что вероятность битовой ошибки равна

. (2.4.5)

Этот интеграл вычисляется . В результате будем иметь, что

. (2.4.6)

В случае достаточно большого среднего ОСШ (r 0 >>1) формулу (2.4.6) можно упростить. Для этого воспользуемся приближенным равенством , где малый параметр x =1/r 0 . В результате, из (2.4.6) получим, что

Таким образом, при больших ОСШ вероятность битовой ошибки в релеевском канале обратно пропорциональна среднему ОСШ.

В логарифмическом масштабе при больших ОСШ кривые для вероятности битовой ошибки переходят в прямые. Наклон этих прямых значительно больше для гауссовского канала, чем для релеевского. Чтобы, например, уменьшить вероятность ошибки в »10 раз в условиях релеевских замираний сигналов мощность должна быть увеличена также в »10 раз (на »10 дБ). Аналогичное увеличение мощности для гауссовского канала составляет всего 1¸2 дБ.

Для 2-ФМ сигналов энергия символа совпадает с энергией бита, поэтому выражения (2.4.6) и (2.4.7) можно переписать в виде:

, . (2.4.8)

Сравним вероятность битовой ошибки для в гауссовского шумового и релеевского каналов. Результаты сравнения показаны на рис. 2.25. Видно, что передача информации с одинаковой ошибкой через релеевский канал требует значительно большего ОСШ, чем передача через гауссовский шумовой канал. Оценим требуемое ОСШ, необходимое для обеспечения заданной величины вероятности битовой ошибки. Например, для вероятности равной 1%, необходимо увеличить мощность передатчика с 4.3 дБ до 13.8 дБ (то есть примерно в 10 раз), чтобы скомпенсировать потери, обусловленные релеевскими замираниями сигнала.

Рис. 2.25. Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в релеевском (сплошная
кривая) и в гауссовском каналах (пунктирная кривые)

4-ФМ сигналы. Как показано выше, зависимость вероятность битовой ошибки от отношения E b /N 0 в канале с аддитивным гауссовским шумом является одинаковой для 2-ФМ и 4-ФМ сигналов. Поэтому формулы (2.4.8) справедливы и для 4-ФМ сигналов.

Учитывая, что для 4-ФМ сигналов ОСШ из (2.4.8) получим, что вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ будет определяться следующими выражениями:

, . (2.4.9)

Таким образом, одинаковая вероятность битовой ошибки будет достигаться для квадратурной модуляции при ОСШ большем в 2 раза (на 3 дБ), чем для двоичной модуляции.

Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ для 4-ФМ сигналов представлена на рис. 2.26 (кривая 2). Теперь ОСШ, необходимое для обеспечения вероятности ошибки 1%, должно составлять 16.8 дБ.

Рис. 2.26. Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в релеевском канале для 2-ФМ, 4-ФМ, 16-КАМ и 64-КАМ сигналов (кривые 1,2,3,4, соответственно)

16-КАМ сигналы. Чтобы найти вероятность битовой ошибки BER необходимо подставить (1.3.18) в интеграл (2.4.4) и выполнить интегрирование. В результате получим, что

где функция

. (2.4.11)

Учтем, что для 16-КАМ сигналов в соответствии с (1.3.13) ОСШ . Подставляя это равенство в (2.4.10) и (2.4.11), можно получить зависимость вероятности битовой ошибки от отношения энергии сигнала к спектральной плотности шума .

Найдем вероятность символьной ошибки при использовании кода Грея, когда соседние символы переносят информацию, отличающуюся только одним битом. Тогда для достаточно больших ОСШ ошибка при демодулировании символа приводит к неправильной оценке только одного бита. Поэтому вероятность символьной ошибки для 16-КАМ сигналов равна , то есть символьная ошибка в 4 раза больше битовой.

Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в дБ для 16-КАМ сигналов представлена на рис. 2.26 (кривая 3). Эта кривая сдвинута на 6.0 дБ по сравнению с кривой для 4-ФМ. Теперь ОСШ, необходимое для обеспечения вероятности ошибки 1%, должно составлять 22.8 дБ.

64-КАМ сигналы. Подставим (1.3.19) в (2.4.4) и выполним интегрирование. В результате получим, что вероятность битовой ошибки равна

где функция определена в (2.4.11).

Для 64-КАМ сигналов в соответствии с (1.3.13) ОСШ . Учитывая это условие в (2.4.12), можно получить зависимость вероятности битовой ошибки от отношения .

При использовании кода Грея вероятность символьной ошибки для 64-КАМ сигналов для достаточно больших ОСШ равна .

Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в дБ для 64-КАМ сигналов представлена на рис. 2.26 (кривая 4). Видно, что данная кривая сдвинута на 5.2 дБ по сравнению с кривой для 16-КАМ, и для обеспечения вероятности ошибки 1% ОСШ должно быть равно 28.0 дБ.

Выражения (2.4.10) и (2.4.12) являются достаточно сложными. Поэтому, приведем приближенную формулу, справедливую для сигналов достаточно высоких уровней модуляции. Вероятность символьной ошибки в канале с релеевскими замираниями сигналов при максимально правдоподобном детектировании ограничена сверху :

, (2.4.13)

где обозначение уже использовалось в (1.3.20).

В области больших ОСШ

. (2.4.14)

Отсюда следует, что при r 0 >>1 вероятность символьной ошибки (а, следовательно, и битовой ошибки) для рассматриваемых модуляций уменьшается обратно пропорционально ОСШ r 0 , что также видно на рис. 2.26, на котором все кривые имеют одинаковый наклон в области r 0 >>1.

Напомним из разд. 4.3, что цифровой сигнал ФМ можно выразить так:

и он имеет векторное представление

где - энергия каждого сигнала, a - огибающая импульса передаваемого сигнала. Поскольку сигналы имеют одинаковую энергию, оптимальный детектор в канале с АБГШ, определяемый (5.1.44), вычисляет корреляционные метрики

Другими словами, принимаемый сигнальный вектор проектируется на возможных сигнальных векторов, и решение принимается в пользу сигнала с наибольшей проекцией.

Корреляционный детектор, описанный выше, эквивалентен фазовому детектору, который определяет фазу принимаемого сигнала и выбирает сигнальный вектор , фаза которого ближе всего к фазе . Поскольку фаза равна

мы хотим определить ФПВ по которой сможем вычислить вероятность ошибки.

Рассмотрим случай, когда фаза передаваемого сигнала равна . Следовательно, вектор переданного сигнала

а вектор принимаемого сигнала имеет компоненты

Поскльку и являются совместно гауссовскими случайными величинами с нулевыми средними, следует, что и являются совместно гауссовскими случайными величинами с и . Следовательно,

(5.2.53)

ФПФ фазы можно получить заменой переменных на

(5.2.54)

Это даёт совместную ФПВ

Интегрирование по области даёт

где для удобства мы обозначили ОСШ символом Рисунок 5.2.9 иллюстрирует различных значений параметра ОСШ , когда фаза переданного сигнала равна нулю. Заметим, что становится уже и более концентрированной около фазы по мере увеличения параметра ОСШ .

Когда передаётся , ошибочное решение произойдёт, если шум вызовет нахождение фазы , вне области .

Рис. 5.2.9. Функция плотности вероятности для

Следовательно, вероятность ошибочного приёма символа

(5.2.56)

В общем, интегрирование не приводится к простой форме и следует выполнить численное интегрирование, исключая случаи и .

Для двоичной фазовой модуляции два сигнала и противоположны, и, следовательно, вероятность ошибки

(5.2.57)

Когда , имеем случай двух двоичных фазово-модулированных сигналов в квадратуре. Поскольку здесь нет переходных помех или интерференции между сигналами на двух квадратурных несущих, вероятность ошибки на бит идентична той, которая определяется (5.2.57). С другой стороны, вероятность ошибки на символ при определяется с учётом того, что

(5.2.58)

где - вероятность правильного приёма для двух битовых символов. Результат (5.2.58) следует из статистической независимости шума на квадратурных несущих. Следовательно, вероятность ошибки на символ для равна

(5.2.59)

Для вероятность ошибки на символ получена численным интегрированием (5.2.55). Рисунок 5.2.10 иллюстрирует эти вероятности ошибки как функции ОСШ на бит для .

Рис. 5.2.10. Вероятность ошибки на символ для сигналов ФМ

Кривые явно иллюстрируют потери в ОСШ на бит по мере роста . Например, при разница в ОСШ между и приблизительно равна 4 дБ, а разница между и приблизительно равна 5 дБ. Для больших значений рост числа фаз вдвое требует дополнительного увеличения ОСШ на 6 дБ/бит для достижения того же качества.

Аппроксимация вероятности ошибки для больших значений и для больших ОСШ можно получить по первой аппроксимации . Для и хорошо аппроксимируется так:

(5.2.60)

Поставив (5.2.60) в (5.2.56) и выполнив замену переменной на , найдем

(5.2.61)

где . Заметим, что эта аппроксимация вероятности ошибки хороша для всех значений . Например, когда и , мы имеем что хорошо совпадает (за исключением множителя 2) с точным значением вероятности, данной (5.2.57).

Эквивалентную вероятность ошибки на бит для позиционной ФМ скорее утомительно вычислить с учетом её зависимости от отображения битового блока в соответствующее значение фазы сигнала. Если для такого отображения используется код Грея, два битовых блока, соответствующие сигналам с соседними значениями фаз, отличаются только на один бит. Поскольку более вероятные ошибки, обусловленные действием шума, приводят к выбору сигнала с соседним значением фазы вместо верного выбора, большинство битовых блоков содержат ошибки только в одном бите. Следовательно, эквивалентная вероятность ошибки на бит для позиционной ФМ хорошо аппроксимируется выражением

Наша трактовка демодуляции сигналов ФМ предполагает, что демодулятор располагает совершенной оценкой фазы несущей. На практике, однако, фаза несущей определяется по принятому сигналу путем использования некоторых нелинейных операций, которые приводят к неоднозначности фазы. Для примера в двоичной ФМ сигнал часто подвергается квадратированию, чтобы снять модуляцию, затем образованный сигнал с удвоенной частотой фильтруется и делится по частоте на 2 для того, чтобы получить оценку частоты несущей и фазы . Эти операции приводят к неоднозначности фазы несущей на 180°. Аналогично в четырехфазовой ФМ принимаемый сигнал возводится в четвертую степень, чтобы снять цифровую модуляцию, а затем четвёртая гармоника частоты несущей фильтруется и делится на 4 для того, чтобы, выделить компоненту несущей. Эти операции приводят к компоненте частоты несущей, содержащей оценку фазы несущей , но возникают неоднозначности фазы на +90° и на 180° при оценке фазы. Следовательно, мы не имеем точную оценку фазы несущей в демодуляторе.

Проблема неоднозначности фазы, возникающей при оценке фазы несущей , может быть преодолена путём использования дифференциальной ФМ (ДФМ) вместо абсолютной ФМ. При дифференциальной ФМ кодирование информации осуществляется посредством разности фаз между соседними переданными сигналами, а не самой абсолютной фазы, как при обычной ФМ. Например, в двоичной ДФМ информационный символ 1 передаётся со сдвигом фазы несущей на 180° относительно предыдущего значения фазы несущей, в то время как информационный символ 0 передаётся без сдвига фазы. В четырёхфазной ДФМ относительный сдвиг фаз между соседними сигнальными интервалами равен 0, 90°, 180°, и -90° в зависимости от информационных символов 00, 01, 11 и 10 соответственно. Обобщение на случай очевидно. Сигналы ФМ, получаемые при таком процессе кодирования, называют дифференциально-кодированными. Такое кодирование выполняется относительно простой логической схемой, предшествующей модулятору.

Демодуляция сигнала при дифференциальном кодировании ФМ может выполняться, как описано выше, с игнорированием неоднозначности фазы. Так, принимаемый сигнал демодулируется и детектируется на каждом сигнальном интервале в одно из возможных значений фазы. За детектором имеется относительно простое устройство сравнения фаз, которое сравнивает фазы демодулированных сигналов на двух соседних сигнальных интервалах с тем, чтобы извлечь информацию.

Когерентная демодуляция для ФМ с дифференциальным кодированием приводит к большей вероятности ошибки, чем вероятность ошибки, достигаемая при абсолютном фазовом кодировании. При ФМ с дифференциальным кодированием ошибка при демодуляции фазы сигнала на данном интервале будет обычно возникать при ошибочном декодировании на любом из двух соседних сигнальных интервалов. Это особенно характерно для ошибок с вероятностью ниже 0,1. Следовательно, вероятность ошибки позиционной ФМ при дифференциальном кодировании приблизительно вдвое больше вероятности ошибки для позиционной ФМ с абсолютным кодированием фазы. Однако увеличение вероятности ошибки вдвое ведёт к относительно малым потерям в ОСШ.

Одним из важнейших критериев производительности цифровых систем связи является зависимость вероятности появления ошибочного бита P b от отношения энергии сигнала, приходящейся на один бит, к спектральной плотности мощности аддитивного белого гауссовского шума E b /N 0 . При этом предполагается, что единственным источником искажений сигнала является тепловой шум (АБГШ). Удобство использования отношения E b /N 0 вместо отношения мощности сигнала к мощности шума S/N, как в аналоговых системах связи, состоит в том, что так удобнее сравнивать производительность цифровых систем на битовом уровне. Это важно для цифровых систем, поскольку сигнал может иметь произвольное n-битовое значение (один символ может кодировать n бит). Предположим, что для данной вероятности возникновения ошибки в цифровом двоичном сигнале требуемое отношение S/N = 20. Поскольку двоичный сигнал имеет однобитовое значение, требуемое отношение S/N на бит равно 20. Пусть теперь сигнал является 1024-уровневым с теми же 20 единицами требуемого отношения S/N. Теперь, поскольку сигнал имеет 10-битовое значение, требуемое отношение S/N на один бит равно 2. Параметр E b /N 0 характеризует отношение сигнал-шум, приходящееся на один бит.

Параметр Eb/N0 связан с параметром S/N следующим соотношением:

где T b - время передачи бита, N - мощность шума, R - скорость передачи битов, W - ширина полосы. Отношение R/W называется спектральной эффективностью системы или эффективностью использования полосы частот и выражается в бит/с/Гц. Это отношение показывает, насколько эффективно система использует полосу частот.

Графики вероятности битовой ошибки для различных бинарных систем показаны на рис. 4.

Вид модуляции	Вероятность ошибки на бит P b или на символP S	Примечание
BASK	здесь и далее - гауссов интеграл ошибок	Для ортогональных сигналов: S 1 (t)=Acoswt, S 2 (t)=0 0£t£T
BPSK		Для антиподных сигналов: S 1 (t)=Acoswt, S 2 (t)= - Acoswt, 0£t£T
QPSK
Ортогональная BPSK (когерентное обнаружение)
Ортогональная BPSK (некогерентное обнаружение)
DPSK (некогерентное обнаружение)
DPSK (когерентное обнаружение)
MPSK		Для больших отношений E S /N 0 , E S =E b log 2 M – энергия, приходящаяся на символ, M=2 K – количество равновероятных символов
DMPSK (некогерентное обнаружение)		См. примечание для MPSK
Ортогональная MFSK (когерентное обнаружение)		E S =E b log 2 M – энергия, приходящаяся на символ, M=2 K – количество равновероятных символов
Ортогональная MFSK (некогерентное обнаружение)		См. примечание для MPSK с когерентным обнаружением
QAM		Для прямоугольной решетки; L – количество уровней амплитуды в одном измерении; используется код Грея

Можно показать, что соотношение между вероятностью битовой ошибки и вероятностью символьной ошибки для ортогональных M-арных сигналов даётся выражением:

Аналогичное соотношение для многофазных сигналов MPSK при использовании кода Грея имеет вид:

Код Грея - это код преобразования бинарных символов в M-арные, такие, что двоичные последовательности, соответствующие соседним символам (сдвигам фаз), отличаются только одним битом. На рис. 5 обычная бинарная кодировка сравнивается с кодировкой Грея. При появлении ошибки в M-арном символе наиболее вероятными являются ближайшие соседние символы, отличающиеся от переданного лишь одним битом, если используется кодировка Грея. Таким образом, высока вероятность того, что при кодировании с помощью кода Грея в случае возникновения ошибки ошибочным будет только один из k = log 2 M переданных битов.

Рис. 4. Вероятность битовой ошибки для различных бинарных систем

Рис. 5. Обычная кодировка (а) и кодировка Грея (б)

На рис. 6 приведены графики вероятности битовой ошибки для ортогональной M-арной (M = 2k) передачи сигналов с модуляцией MFSK с когерентным обнаружением, а на рис. 7 - графики вероятности битовой ошибки для многофазной (MPSK) передачи с когерентным обнаружением.

Как видно из сравнения этих рисунков, при ортогональной передаче с ростом k происходит уменьшение вероятности битовой ошибки, а при многофазной − увеличение.

Рис. 6. Зависимость вероятности битовой ошибки от E b /N 0 для ортогональной M-арной передачи сигналов по каналу с гауссовым шумом с помощью модуляции MFSK при использовании когерентного обнаружения

Рис. 7. Зависимость вероятности битовой ошибки от E b /N 0 для многофазной M-арной передачи сигналов по каналу с гауссовым шумом с помощью модуляции MPSK при использовании когерентного обнаружения