Определитель квадратной матрицы n го порядка определение. Определители n-го порядка; миноры и алгебраические дополнения. Свойства и вычисление определителей n-го порядка

Основываясь на понятиях определителей второго и третьего порядков, можно аналогично ввести понятие определителя порядка n . Определители порядка выше третьего вычисляются, как правило, с использованием свойств определителей, сформулированных в п. 1.3., которые справедливы для определителей любого порядка.

Используя свойство определителей номер 9 0 введем определение определителя 4-го порядка:

Пример 2. Вычислить, используя подходящее разложение.

Аналогично вводится понятие определителя 5-го, 6-го и т.д. порядка. Значит определитель порядка n:

Все свойства определителей 2-го и 3-го порядков, рассмотренные раннее, справедливы и для определителей n-го порядка.

Рассмотрим основные методы вычисления определителей n -го порядка.

Замечание: прежде чем применять этот метод, полезно, используя основные свойства определителей, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки или столбца. (Метод эффективного понижения порядка)

Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании определителя, когда все его элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. В этом случае определитель равен произведению элементов его главной диагонали.

Пример 3. Вычислить, приведением к треугольному виду.

Пример 4. Вычислить, используя метод эффективного понижения порядка

Решение: по свойству 4 0 определителей из первой строки вынесем множитель 10, а затем будем последовательно умножать вторую строку на 2, на 2, на 1 и складывать соответственно с первой, с третьей и четвертой строками (свойство 8 0).

Полученный определитель можно разложить по элементам первого столбца. Он будет сведен к определителю третьего порядка, который вычисляется по правилу Саррюса (треугольника).

Пример 5. Вычислить определитель, приведением к треугольному виду.

Пример 3. Вычислить, используя рекуррентные соотношения.

Лекция 4. Обратная матрица. Ранг матрицы.

1. Понятие обратной матрицы

Определение 1. Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной, если ее определитель |A | ≠ 0. В случае, когда | A | = 0, матрица А называется вырожденной.

Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие обратной матрицы А -1 .

Определение 2 . Матрица А -1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицыА, если А -1 А = АА -1 = Е, где Е – единичная матрица порядка n .

Определение 3 . Матрица называетсяприсоединенной, ее элементами являются алгебраические дополнения транспонированной матрицы
.

Алгоритм вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы.

, где
.

Проверяем правильность вычисления А -1 А = АА -1 = Е. (Е – единичная матрица)

Матрицы А и А -1 взаимообратные. Если | A | = 0, то обратная матрица не существует.

Пример 1. Дана матрица А. Убедиться, что она невырожденная, и найти обратную матрицу
.

Решение:
. Следовательно матрица невырожденная.

Найдем обратную матрицу. Составим алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Получаем

.

Методы вычисления определителей n-го порядка.

Пусть дано упорядоченное множество n элементов. Всякое расположение n элементов в определённом порядке называется перестановкой из этих элементов.

Так как каждый элемент определяется своим номером, то будем говорить, что дано n натуральных чисел.

Число различных перестановок из n чисел равно n!

Если в некоторой перестановке из n чисел число i стоит раньше j , но i > j , т. е. большее число стоит раньше меньшего, то говорят, что пара i , j составляет инверсию .

Пример 1. Определить число инверсий в перестановке (1, 5, 4, 3, 2)

Решение.

Числа 5 и 4, 5 и 3, 5 и 2, 4 и 3, 4 и 2, 3 и 2 образуют инверсии. Общее число инверсий в данной перестановке равно 6.

Перестановка называется чётной , если общее число инверсий в ней чётное, в противном случае она называется нечётной . В рассмотренном выше примере дана чётная перестановка.

Пусть дана некоторая перестановка …, i , …, j , … (*) . Преобразование, при котором числа i и j меняются местами, а остальные остаются на своих местах, называется транспозицией . После транспозиции чисел i и j в перестановке (*) получится перестановка …, j , …, i , …, где все элементы, кроме i и j , остались на своих местах.

От любой перестановки из n чисел можно перейти к любой другой перестановке из этих чисел с помощью нескольких транспозиций.

Всякая транспозиция меняет чётность перестановки.

При n ≥ 2 число чётных и нечётных перестановок из n чисел одинаково и равно .

Пусть М – упорядоченное множество из n элементов. Всякое биективное преобразование множества М называется подстановкой n -й степени .

Подстановки записывают так: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif" width="27" height="19"> и все ik различны.

Подстановка называется чётной , если обе её строки (перестановки) имеют одинаковые чётности, т. е. либо обе чётные, либо обе нечётные. В противном случае подстановка называется нечётной .

При n ≥ 2 число чётных и нечётных подстановок n -й степени одинаково и равно .

Определителем квадратной матрицы А второго порядка А= называется число, равное =а11а22–а12а21.

Определитель матрицы называют также детерминантом . Для определителя матрицы А используют следующие обозначения: det A, ΔA.

Определителем квадратной матрицы А=третьего порядка называют число, равное │А│=а11а22а33+а12а23а31+а21а13а32‑а13а22а31‑а21а12а33‑а32а23а11

Каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части последней формулы представляет собой произведение элементов матрицы, взятых по одному и только одному из каждого столбца и каждой строки. Для определения знака произведения полезно знать правило (его называют правилом треугольника), схематически изображённое на рис.1:

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif" width="73" height="75 src=">.

Решение.

Пусть А – матрица n-го порядка с комплексными элементами:

А=https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif" width="112" height="27 src=">(1) ..gif" width="111" height="51">(2) .

Определителем n-го порядка, или определителем квадратной матрицы А=(aij) при n>1, называется алгебраическая сумма всевозможных произведений вида (1) , причём произведение (1) берётся со знаком «+», если соответствующая ему подстановка (2) чётная, и со знаком «‑», если подстановка нечётная.

Минором М ij элемента aij определителя называется определитель, полученный из исходного вычёркиванием i -й строки и j - го столбца.

Алгебраическим дополнением А ij элемента aij определителя называют число А ij =(–1) i + j М ij , где М ij – минор элемента aij .

Свойства определителей

1. Определитель не изменяется при замене всех строк соответствующими столбцами (определитель не изменится при транспонировании).

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

3. Определитель с двумя одинаковыми (пропорциональными) строками (столбцами) равен нулю.

4. Общий для всех элементов строки (столбца) множитель можно вынести за знак определителя.

5. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, отличное от нуля.

6. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то он равен нулю.

7. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения (свойство разложения определителя по строке (столбцу)).

Рассмотрим некоторые способы вычисления определителей порядка n .

1. Если в определителе n-го порядка хотя одна строка (или столбец) состоят из нулей, то определитель равен нулю.

2. Пусть в определителе n-го порядка какая-то строка содержит отличные от нуля элементы. Вычисление определителя n-го порядка можно свести в этом случае к вычислению определителя порядка n-1. Действительно, используя свойства определителя, можно все элементы какой-либо строки, кроме одного, сделать нулями, а затем разложить определитель по указанной строке. Например, переставим строки и столбцы определителя так, чтобы на месте а11 стоял отличный от нуля элемент.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif" width="32 height=37" height="37">.gif" width="307" height="101 src=">

Заметим, что переставлять строки (или столбцы) не обязательно. Можно нули получать в любой строке (или столбце) определителя.

Общего метода вычисления определителей порядка n не существует, если не считать вычисление определителя заданного порядка непосредственно по определению. К определителю того или иного специального вида применяются различные методы вычисления, приводящие к более простым определителям.

3. Приведем к треугольному виду. Пользуясь свойствами определителя, приводим его к так называемому треугольному виду, когда все элементы, стоящие по одну сторону от главной диагонали равны нулю. Полученный определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Если удобнее получить нули по одну сторону от побочной диагонали, то он будет равен произведению элементов побочной диагонали, взятому со знаком https://pandia.ru/text/78/456/images/image022_48.gif" width="49" height="37">.

Пример 3. Вычислить определитель разложением по строке

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif" width="612" height="72">

Пример 4. Вычислить определитель четвёртого порядка

https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif" width="373" height="96 src=">.

2-й способ (вычисление определителя путём разложения его по строке):

Вычислим этот определитель разложением по строке, предварительно преобразовав его так, чтобы в какой-то его строке все элементы кроме одного обратились в ноль. Для этого прибавим первую строку определителя к третьей. Затем умножим третий столбец на (‑5) и сложим с четвёртым столбцом. Преобразованный определитель раскладываем по третьей строке. Минор третьего порядка приводим к треугольному виду относительно главной диагонали.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif" width="202" height="121 src=">

Решение.

Вычтем из первой строки вторую, из второй – третью и т. д., наконец, из предпоследней последнюю (последняя строка остается без изменений).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif" width="445" height="126 src=">

Первый определитель в сумме – треугольного вида относительно главной диагонали, поэтому он равен произведению диагональных элементов, т. е. (n–1)n. Второй определитель в сумме преобразуем, прибавив последнюю строку ко всем предыдущим строкам определителя. Полученный при этом преобразовании определитель будет треугольного вида относительно главной диагонали, поэтому он будет равен произведению диагональных элементов, т. е. nn-1:

=(n–1)n+(n–1)n + nn-1.

4. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Если в определителе выделить k строк (или столбцов) (1£k£n-1), то определитель равен сумме произведений всех миноров k-ого порядка, расположенных в выделенных k строках (или столбцах), на их алгебраические дополнения.

Пример 6. Вычислить определитель

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif" width="538" height="209 src=">

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №2

«ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ N-ГО ПОРЯДКА»

Вариант 1

Вычислить определители

https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif" width="114" height="94 src=">

Вариант 2

Вычислить определители

Очевидно, что для системы из n линейных уравнений с n неизвестными получим матрицу коэффициентов размером :

Введем понятие определителя n -го порядка.

Определение 4.1:

Определителем n -го порядка называется число равное

Сумме n ! слагаемых;

Каждое слагаемое есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца;

Каждое слагаемое берется со знаком «+», если перестановка из вторых индексов четная, и со знаком «-», если перестановка из вторых индексов нечетная, при условии, что первые индексы образуют натуральный ряд чисел.

Т.о.

Здесь å берется по всем возможным перестановкам , составленным из чисел 1,2,…,n .

5. Основные свойства определителей.

Установим основные свойства определителей, которые для простоты будем показывать на определителе 2-го порядка.

1. При замене строк соответствующими столбцами (именуемой транспонированием ) определитель остается неизменным. Действительно:

Следовательно, , что и требовалось доказать.

Примечание : Полученный выше результат дает нам право утверждать, что строки и столбцы определителя, именуемые в дальнейшем рядами, равноправны.

2. При перестановке двух рядов определитель меняет знак на противоположный.

Действительно, Поменяем местами строки и вычислим определитель

что и требовалось доказать.

3. Если в определителе два параллельных ряда одинаковы, то он равен нулю. Действительно, поменяем местами две одинаковых строки. Тогда величина определителя не изменится, а знак в силу свойства 2. поменяется. Единственное число, которое не меняется при изменении знака – ноль.

4. Общий множитель членов любого ряда можно вынести за знак определителя.

Что и требовалось доказать.

5. Если все элементы любого ряда являются суммами одинакового числа слагаемых, то определитель равен сумме определителей, в которых элементами рассматриваемого ряда служат отдельные слагаемые.

что и требовалось доказать.

6. Определитель не изменится, если к элементам любого ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на некоторое число.

Умножим вторую строку на и прибавим ее к первой строке:

Действительно, в силу свойств 3,4,5

что и требовалось доказать.

6. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.

Рассмотрим определитель n -го порядка:

Выделим в определителе i -ю строку и j -й столбец. На пересечении этих рядов стоит элемент

Если в определителе мы вычеркнем i -юстроку и j -йстолбец, то получим определитель порядка п -1 (т. е. имеющий порядок, на единицу меньший по сравнению с исходным определителем), называемый минором элемента определителя . Будем обозначать минор элемента символом .

Определение 6.1. А лгебраическим дополнением элемента определителя называется минор , взятый со знаком , и обозначается символом . Согласно определению получим

Пример 6.1. Найти минор и алгебраическое дополнение определителя

Рассмотрим квадратную таблицу А.

Определение. Определителем n-го порядка называется число, полученное из элементов данной таблицы по следующему правилу:

1 .Определитель n-го порядка равен алгебраической сумме n! членов.

Каждый член представляет собой произведение n-элементов взятых по одному из каждой строки и каждого столбца таблицы.

2 .Член берется со знаком плюс, если перестановки образованные первыми и вторыми индексами элементов , входящие в произведения одинаковой четности (либо обе четные, либо нечетные) и со знаком минус в противоположном случае.

Определитель обозначается символом:

или краткоdet A=.(детерминант А)

Согласно определению = -.

Правило вычисления определителя 3ого порядка:

Миноры и алгебраические дополнения

Пусть дан определитель n-го порядка (n>1)

Определение 1. Минором элементаопределителяn-го порядка называется определитель (n-1)-ого порядка полученный из А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент .

Например:

Определение 2 . Алгебраическим дополнением элемента называется число

Основные свойства определителей n-го порядка

1.О равносильности строк и столбцов.

Величина определителя n-го порядка не меняется, если у него заменить строки соответствующими столбцами.

2.Если у определителей поменять местами две строки (столбца), то определитель изменит знак на противоположный.

= k

Если все элементы какой-либо строки (или столбца) определителя имеют общий множитель, то этот общий множитель можно вынести за знак определителя.

4.Величина определителя равна нулю, если все элементы какой-либо его строки нули (или столбца).

5.Определитель с двумя пропорциональными строками равен 0.

Например:

6.Величина определителя не изменится, если к его элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

7.Если элементы какой-либо строки i определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых все строки кроме i-й такие же, как в заданном определителе, а i-я строка одного определителя состоит из первых слагаемых, а второго из вторых.

8.Определитель равен сумме произведений всех элементов какой-либо его строки на их алгебраические дополнения.

9.Сумма произведений всех элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Например:

Теорема Лапласа

Теорема. Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк (или k столбцов), 1.Тогда сумма произведений всех миноровk-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d.

Следствие . Частный случай теоремы Лапласа - разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть - квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки i либо номер столбца j матрицы A. Тогда определитель A может быть вычислен по следующим формулам:

Разложение по i-й строке:

Разложение по j-й строке:

где - алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером i и столбце с номером j.

Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить k равным 1 и выбрать -ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.

Примеры для самостоятельного решения .

1.Найти х из уравнений и проверить подстановкой корень в определитель.

а); б)

ортогональный унитарный матрица полилинейный

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка.

Получим формулы вычисления определителей второго и третьего порядков. По определению при

При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем матрицу, содержащую один элемент, поэтому

Подставляя эти значения в правую часть, получаем формулу вычисления определителя второго порядка

Определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали (рис.2.1).

Для определителя третьего порядка имеем

При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем определители квадратных матриц второго порядка:

Эти определители второго порядка записываем по формуле (2.2) и получаем формулу вычисления определителя третьего порядка

Определитель (2.3) представляет собой сумму шести слагаемых, каждое из которых есть произведение трех элементов определителя, стоящих в разных строках и разных столбцах. Причем три слагаемых берутся со знаком плюс, а три других -- со знаком минус.

Для запоминания формулы (2.3) используется правило треугольников: надо сложить три произведения трех элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную главной диагонали (рис. 2.2,а), и вычесть три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную побочной диагонали (рис. 2.2,6).

Можно также пользоваться схемой вычисления, изображенной на рис. 2.3 (правило Саррюса): к матрице приписать справа первый и второй столбцы, вычислить произведения элементов, стоящих на каждой из указанных шести прямых, а затем найти алгебраическую сумму этих произведений, при этом произведение элементов на прямых, параллельных главной диагонали, берутся со знаком плюс, а произведение элементов на прямых, параллельных побочной диагонали, -- со знаком минус (согласно обозначениям на рис. 2.3).

Вычисление определителей порядка N>3.

Итак, получены формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Можно продолжить вычисления по формуле (2.1) для и получить формулы для вычисления определителей четвертого, пятого и т.д. порядков. Следовательно, индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. Другое дело, что формулы будут громоздкими и неудобными при практических вычислениях. Поэтому определители высокого порядка (четвертого и более), как правило, вычисляют на основании свойств определителей.

Пример 2.1. Вычислить определители

Решение. По формулам (2.2) и (2.3) находим;

Формула разложения определителя по элементам строки (столбца)

Пусть дана квадратная матрица порядка.

Дополнительным минором элемента называется определитель матрицы порядка, полученной из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется дополнительный минор этого элемента, умноженный на

Теорема 2.1 формула разложения определителя по элементам строки (столбца). Определитель матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по i-й строке);

(разложение по j-му столбцу).

Замечания 2.1.

1. Доказательство формулы проводится методом математической индукции.

2. При индуктивном определении (2.1) фактически использована формула разложения определителя по элементам первой строки.

Пример 2.2. Найти определитель матрицы

Решение. Разложим определитель по 3-й строке:

Теперь разложим определитель третьего порядка по последнему столбцу:

Определитель второго порядка вычисляем по формуле (2.2):

Определитель матрицы треугольного вида

Применим формулу разложения для нахождения определителя верхней треугольной матрицы

Разложим определитель по последней строке (по n-й строке):

где -- дополнительный минор элемента. Обозначим. Тогда. Заметим, что при вычеркивании последней строки и последнего столбца определителя, получаем определитель верхней треугольной матрицы такого же вида, как, но (n-1)-го порядка. Раскладывая определитель, по последней строке ((n-1)-й строке), получаем. Продолжая аналогичным образом и учитывая, что, приходим к формулет.е. определитель верхней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Замечания 2.2

1. Определитель нижней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

2. Определитель единичной матрицы равен 1.

3. Определитель матрицы треугольного вида будем называть определителем треугольного вида. Как показано выше, определитель треугольного вида (определитель верхней или нижней треугольной матрицы, в частности, диагональной) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Основные свойства определителей (детерминантов)

1. Для любой квадратной матрицы, т.е. при транспонировании определитель не изменяется. Из этого свойства следует, что столбцы и строки определителя "равноправны": любое свойство, верное для столбцов, будет верным для строк.

2. Если в определителе один из столбцов нулевой (все элементы столбца равны нулю), то определитель равен нулю:.

3. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак на противоположный (свойство антисимметричности):

4. Если в определителе имеется два одинаковых столбца, то он равен нулю:

5. Если определитель имеет два пропорциональных столбца, то он равен нулю:

6. При умножении всех элементов одного столбца определителя на число определитель умножается на это число:

7. Если j-й столбец определителя представляется в виде суммы двух столбцов, то определитель равен сумме двух определителей, у которых j-ми столбцами являются и соответственно, а остальные столбцы одинаковы:

8. Определитель линеен по любому столбцу:

9. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и тоже число:

10. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна нулю:

Замечания 2.3

1. Первое свойство определителя доказывается по индукции. Доказательства остальных свойств проводятся с использованием формулы разложения определителя по элементам столбца. Например, для доказательства второго свойства достаточно разложить определитель по элементам нулевого столбца (предположим, что j-й столбец нулевой, т.е.):

Для доказательства свойства 10 нужно прочитать формулу разложения определителя справа налево, а именно, сумму произведений элементов i-го столбца на алгебраические дополнения элементов j-го столбца представить как разложение по j-му столбцу определителя

у которого на месте элементов j-ro столбца стоят соответствующие элементы i-го столбца. Согласно четвертому свойству такой определитель равен нулю.

2. Из первого свойства следует, что все свойства 2-10, сформулированные для столбцов определителя, будут справедливы и для его строк.

3. По формулам разложения определителя по элементам строки (столбца) и свойству 10 заключаем, что

4. Пусть -- квадратная матрица. Квадратная матрица того же порядка, что и, называется присоединенной по отношению к, если каждый ее элемент равен алгебраическому дополнению элемента матрицы. Иными словами, для нахождения присоединенной матрицы следует:

а) заменить каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением, при этом получим матрицу;

б) найти присоединенную матрицу, транспонируя матрицу.

Из формул (2.4) следует, что, где -- единичная матрица того же порядка, что и.

Пример 2.5. Найти определитель блочно-диагональной матрицы, где -- произвольная квадратная матрица, -- единичная, а -- нулевая матрица соответствующего порядка, -- транспонированная.

Решение. Разложим определитель по последнему столбцу. Так как в этом столбце все элементы нулевые, за исключением последнего, равного 1, получим определитель такого же вида, что и исходный, но меньшего порядка. Раскладывая полученный определитель по последнему столбцу, уменьшаем его порядок. Продолжая таким же образом, получаем определитель матрицы. Следовательно,