Очевидно, что для системы из n
линейных уравнений с n
неизвестными получим матрицу коэффициентов размером :
Введем понятие определителя n
-го порядка.
Определение 4.1:
Определителем n
-го порядка называется число равное
Сумме n
! слагаемых;
Каждое слагаемое есть произведение n
элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца;
Каждое слагаемое берется со знаком «+», если перестановка из вторых индексов четная, и со знаком «-», если перестановка из вторых индексов нечетная, при условии, что первые индексы образуют натуральный ряд чисел.
Т.о.
Здесь å берется по всем возможным перестановкам , составленным из чисел 1,2,…,n
.
5. Основные свойства определителей.
Установим основные свойства определителей, которые для простоты будем показывать на определителе 2-го порядка.
1. При замене строк соответствующими столбцами (именуемой транспонированием
) определитель остается неизменным. Действительно:
Следовательно, 
, что и требовалось доказать.
Примечание
: Полученный выше результат дает нам право утверждать, что строки и столбцы определителя, именуемые в дальнейшем рядами, равноправны.
2. При перестановке двух рядов определитель меняет знак на противоположный.
Действительно, 
Поменяем местами строки и вычислим определитель
что и требовалось доказать.
3. Если в определителе два параллельных ряда одинаковы, то он равен нулю. Действительно, поменяем местами две одинаковых строки. Тогда величина определителя не изменится, а знак в силу свойства 2. поменяется. Единственное число, которое не меняется при изменении знака – ноль.
4. Общий множитель членов любого ряда можно вынести за знак определителя.
Что и требовалось доказать.
5. Если все элементы любого ряда являются суммами одинакового числа слагаемых, то определитель равен сумме определителей, в которых элементами рассматриваемого ряда служат отдельные слагаемые.
что и требовалось доказать.
6. Определитель не изменится, если к элементам любого ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на некоторое число.
Умножим вторую строку на и прибавим ее к первой строке:
Действительно, в силу свойств 3,4,5
=
что и требовалось доказать.
6. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.
Рассмотрим определитель n
-го порядка:
.
Выделим в определителе i
-ю строку и j
-й столбец. На пересечении этих рядов стоит элемент
Если в определителе мы вычеркнем i
-юстроку и j
-йстолбец, то получим определитель порядка п
-1 (т. е. имеющий порядок, на единицу меньший по сравнению с исходным определителем), называемый минором
элемента
определителя . Будем обозначать минор
элемента
символом .
Определение 6.1. А
лгебраическим дополнением
элемента
определителя называется минор , взятый со знаком , и обозначается символом . Согласно определению получим
.
Пример 6.1.
Найти минор и алгебраическое дополнение определителя 
Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка
Определение
. Определителем квадратной матрицы второго порядка называют число, равное a 11 a 22 -a 12 a 21
и обозначают
символом , то есть
Определитель матрицы называется также детерминантом
. Обозначения
определителя матрицы A
: |A
|, Δ, det A
, det(a ij)
.
Теперь рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка
При вычислении определителя третьего порядка полезно знать правило треугольника: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной в противоположого угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольноков, построенных относительно этой диагонали. Следующая схема демонстрирует это правило. В схеме синим (слева) отмечены элементы, чьи произведения идут со знаком плюс, а красным (справа) - со знаком минус.
Теперь дадим определение.
Определение
. Определителем квадратной матрицы третьего порядка называют число
Определение
. Минором какого-либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, к которым принадлежит данный элемент. Минор элемента a ik
обозначим M ik
.
Определение
. Минор элемента a 21
определителя третьего
порядка матрицы является определитель второго порядка
Определение
a ik
определителя называется его минор, взятый со знаком (-1) i+k
.
Алгебраическое дополнение элемента a ik
обозначим A ik
. По определению
Правило для определения знака алгебраического дополнения (на примере определителя третьего порядка):
Пример
. Алгебраическим дополнением элемента a 21
является
Теорема разложения
. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Свойства определителей
- Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами.
- При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет знак.
- Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.
- Множитель, общий для элементов некоторого столбца (строки), можно выносить за знак определителя.
- Определитель с двумя пропорциональными столбцами (строками) равен нулю.
- Определитель равен нулю, если все элементы некоторого столбца (строки) равны нулю.
- Определитель не изменится, если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца
(строки), предварительно умножив их на один и тот же множитель.
Замечание
. Если в определителе все элементы некоторого столбца (строки) равны
суммам двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух соответствующих определителей.
Например,
Определители n
-го порядка
Рассмотрим квадратную матрицу n
-го порядка
Понятие определителя этой матрицы или определителя n
-го порядка
вводится индуктивно, считая, что уже введено понятие определителя порядка n-1
, соответствующего квадратной матрице (n-1)
-го порядка.
Определение минора элемента матрицы и его алгебраического дополнения верны для определителей любого порядка.
Определение
. Определителем порядка n
, соответствующим матрице A
n
-го порядка, называют число, равное 
(M 1k
- минор элемента a 1k
) и обозначаемое одним из символов
Итак, по определению
Эта формула выражает правило составления определителя порядка n
по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по
алгебраическим дополнениям этих элементов, являющимся определителем порядка n-1
, взятыми с надлежащими знаками.
Для определителя любого порядка верны все свойства и теоремы, полученные и доказанные для определителя третьего порядка.
Сформулируем основную теорему:
Теорема [Теорема замещения]
. Каков бы ни был номер строки i
(i=1,2,…,n
), для определителя n
-го порядка справедлива формула
называемая разложением этого определителя по i
-й строке.
Поскольку верно свойство 1 определителей, то определитель также можем разложить и по столбцу:
Примеры
Вычислим следующий определитель:
Вычтем вторую строку из первой и третьей. После прибавим к третей первую и из третей вынесем общий множитель:
Теперь ко второй строке прибавим третью, умноженную на 7, и к четвертой прибавим третью, умноженную на 2. После вынесем общий множитель из четвертой строки:
Разложим определитель по второму столбцу (знаки указывают значение (-1) i+j
при миноре). Заметим, что в столбце только один ненулевой элемент, следовательно, в разложении останется только один определитель третьего порядка. Окончательно пулучаем ответ использую формулу для определителя третьего порядка.
Приведем еще несколько примеров для определителей различных порядков.
Методы вычисления определителей n
–
го порядка
1. Метод приведения к треугольному виду
Этот метод заключается в преобразовании определителя к
такому виду, где
все элементы, лежащие по одну сторону одной из диагоналей, равны
нулю.
Пример 1. Вычислить определитель порядка n
d=
01
01
01
01
11110
xxx
xxx
xxx
xxx
.
Решение. Прибавим первую строку, умноженную на (–
x) ко всем
остальным:
d=
x
x
x
x
−
−
−
−
0001
0001
0001
0001
11110
.
К первому столбцу прибавим все последующие столбцы,
умноженные на (1/x). Получим
d=
.
0000
0000
0000
0000
1111)1(x
x
x
x
x
n
−
−
−
−
−
Мы получили треугольный вид, следовательно, определитель
равен произведению элементов главной диагонали
d=(–
1)
n
–
1
(n
–
1)x
n
–
2
.
Пример 2. Вычислить определитель
2221
2212
2122
1222
−
−
−
−
=d
.
Решение. Прибавим к первой строке все остальные, тогда в
первой строке все элементы будут равны 2(n
–
1)
–
1=2n
–
3 и,
следовательно, общий множитель можно вынести за знак
определителя:
.
2221
2212
2122
1111)32(−
−
−
−= nd
Теперь воспользуемся тем, что в первой строке все элементы равны
1. Умножая первую строку на (–
2) и прибавляя её ко всем остальным
строкам, мы получим.
0003
0030
0300
1111)32(−
−
−
−= nd
Побочная диагональ в определитель n-го порядка входит со
знаком
2)1()1(−
−
nn
(это легко проверить, если подсчитать число инверсий в
подста-
новке −− 1...21
...321
nnn
n). Тогда получим
()
()() ()
()
.32313321
1
1
2)1(1
2)1(−−=−−−=
−
−
+
−
−
nnd
n
nn
n
nn
Пример 3. Вычислить определитель.
000
00330
00022
1321
nn
nn
d
−
−
−
−
=
Решение. Прибавим к (n
–
1)-му столбцу n-ый, затем полученный (n
–
1)-ый столбец прибавим к (n
–
2)-му, и т. д. Тогда получим
определитель треугольного вида.
2)1(!
0000
00300
00020
123
2)1(1
2)1(2)1(+
=
−−
+
−
++
=
nn
n
n
nn
nnnnnn
d
2. Разложение определителя по строке (столбцу)
Пример 1. Вычислить определитель d разложением по третьей
строке, если
d=
2164
7295
4173
2152
−
−−
−−
−
.
Решение. Мы знаем, что имеет место, следующее разложение
определителя по i-ой строке: d=a
i1
A
i1
+a
i2
A
i2
+…+a
in
A
in
, где A
ij
, j=
n,1
–
алгебраические дополнения элементов определителя. В нашем
случае формула принимает вид d=a
31
A
31
+a
32
A
32
+a
33
A
33
+a
34
A
34
, т. е.
мы имеем следующее разложение:
d=5∙ (–
1)
3+1
∙
216
417
215
−
−
−
+(–
9)∙(–
1)
3+2
∙ 214
413
212
−−
+2∙(–
1)
3+3
∙
264
473
252
−
−
−
+
+ (-7)∙ (–
1)
3+4
∙
164
173
152
−
−−
−
.
Вычисляя полученные определители третьего порядка,
получим
d=5∙(–
6)+9∙12+2∙(–
54)
+
7∙(–
3)= –51.
Пример 2. Вычислить определитель
d=
78102
4552
5882
6593
−−−
.
Решение. Прибавляя третью строку, умноженную на (–
1) ко всем
остальным, получим
d=
3350
4552
913130
2041
−−−
.
Прибавляя к третьей строке первую, умноженную на (–
2),
получим
d=
3350
0530
913130
2091
−
−−−
.
Разложив этот определитель по первому столбцу,
содержащему лишь один, не равный нулю элемент (с суммой
индексов 1+1=2, т. е. чётной), получим
d=
335
053
91313
−
−−−
.
Преобразуем полученный определитель. Прибавляя к первой
строке третью, умноженную на 3, получим
d=
335
053
042
−
−
.
Полученный определитель в третьем столбце содержит лишь
один, не равный нулю элемент (с суммой индексов 3+3, т. е. чётной).
Поэтому его удобно разложить по третьему столбцу:
d=3
53
42
−
−
=3(10
–
12)=
–
6.
Пример 3. Вычислить определитель.
000
11000
00300
00220
00011
nn
nn
d
−
−−
−
−
=
Решение. Разложим определитель по 1-му столбцу, тогда
()
() ()
.
1100
0030
0022
0001
1
000
1100
0030
0022
1
12
nn
n
n
nn
d
n
−−
−
−
−−+
−−
−
−=
+
В этом равенстве первый и второй определители имеют
треугольный вид, поэтому первый определитель равен n!, а второй
определитель равен
(–
1)(–
2) . . . (1
–
n)=(–
1)
n–1
(n
–
1)!. Тогда получим:
() ()
()
.011!1!!
1212
=−+=−+=
+−++ nnn
nnnd
3. Теорема Лапласа
Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k
строк (или k столбцов), 1≤k≤n
–
1. Тогда сумма произведений всех
миноров k
–
го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их
алгебраические дополнения равна определителю d.
Пример 1. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить
определитель, предварительно преобразовав его.
d=
43220
50300
20100
34523
12532
−
−
−−
−−
.
Выберем третью и четвёртую строки. В них находится
единственный минор отличный от нуля, поэтому
d=
53
21 −
∙(–
1)
3+4+4+5
∙
320
423
232
−
−−
.
Воспользовавшись формулами для вычисления определителей
второго и третьего порядков, получим d=12–12+16+27=43.
Пример 2. Вычислить определитель.
005000
050000
500000
000500
000010
000001
−
=
d
Решение. Данный определитель имеет вид, указанный в
следствии из теоремы Лапласа, поэтому мы можем этим следствием
воспользоваться. Тогда
()
.51
005
050
500
,5
500
010
001
3
2)4)(3(3
−
−−
−
−==−=−=
n
nn
n
BA
По следствию из теоремы Лапласа имеем:
()
.51
2
2
147
2
−
+−
−==
n
nn
BAd
4. Метод выделения линейных множителей
Определитель рассматривается как многочлен от одной или
нескольких входящих в него букв. Преобразуя его, обнаруживают,
что он делится на ряд линейных множителей, а значит (если эти
множители взаимно просты) и на их произведение. Сравнивая
отдельные члены определителя с членами произведения линейных
множителей, находят частное от деления определителя на это
произведение и тем самым находят выражение определителя.
Пример. Вычислить определитель методом линейных
множителей
d=
2
2
9132
5132
32x-21
3211
x
−
.
Решение. Прибавим к первой строке вторую, умноженную на (–
1), а к третьей –
четвёртую, умноженную на (–
1):
d=
2
2
2
2
9132
4000
32x-21
0010
x
x
x
−
−
−
.
Воспользуемся тем, что в первой строке и в третьей строке
стоит лишь по одному неравному нулю элементу, и обнулим
элементы стоящие во втором и третьем столбцах:
d=
0102
4000
0201
0010
2
2
−
−
x
x
.
Прибавим ко второй строке четвёртую, тогда
d=
0102
4000
0303
0010
2
2
−
−
x
x
.
Из первой строки видно, что определитель делится на x
2
–
1, из
второй строки видно, что определитель делится на 3, а из третьей
строки видно, что он делится на x
2
–
4. Так как все эти множители
взаимно просты, то определитель делится на их произведение 3(x
2
–
1)(x
2
–
4). В данном произведении член x
4
имеет знак «+», а в
определителе он содержится со знаком «
–
», поэтому d= –
3(x
2
–
1)(x
2
–
4).
5. Метод представления определителя в виде суммы
определителей
Некоторые определители легко вычисляются путём
разложения их в сумму определителей того же порядка
относительно строк или столбцов.
Пример. Вычислить определитель
d=
add
acc
abb
aaa
42
32
22
12
+
+
+
+
.
Элементы первого столбца являются суммами двух слагаемых,
это даёт возможность данный определитель представить как сумму
двух определителей:
d=
ad
ac
ab
aa
42
32
22
12
+
add
acc
abb
aaa
4
3
2
1
.
В первом определителе первый и четвёртый столбцы
пропорциональны, следовательно, он равен нулю. Во втором
определителе первый и третий столбцы равны, следовательно, он
тоже равен нулю. Таким образом, d=0.
6. Метод изменения элементов определителя
Этот метод основан на следующем свойстве: если ко всем
элементам определителя D прибавить одно и то же число x, то
определитель увеличится на произведение числа x на сумму
алгебраических дополнений всех элементов определителя D.
D′=D+x
=
n
ji
ij
A
1,
.
Таким образом, вычисление определителя D′ сводится к
вычислению определителя D и суммы его алгебраических
дополнений. Этот метод применяют в тех случаях, когда путём
изменения всех элементов определителя на одно и то же число он
приводится к такому виду, в котором легко сосчитать
алгебраические дополнения всех элементов.
Пример. Вычислить определитель
D=
n
axxxx
xaxx
xxax
xxxa
3
2
1
.
Прибавим ко всем элементам число (–
x), тогда
D′=
xa
xa
xa
xa
n
−
−
−
−
0000
000
000
000
3
2
1
.
Алгебраические дополнения элементов определителя D, не
лежащих на главной диагонали, равны нулю. Остальные
алгебраические дополнения имеют положительный знак, поскольку
все суммы индексов чётные. В нашем случае формула принимает
вид:
D′=(a
1
–
x)…(a
n
–
x),
x
=
n
ji
ij
A
1,
=
–
x)()()()(1
1
11
xaxaxaxa
ni
n
i
i
−…−−…−
+
=
−
.
Тогда искомый определитель
D=D′–x
=
n
ji
ij
A
1,
=(a
1
–
x)…(a
n
–
x)+x)()()()(1
1
11
xaxaxaxa
ni
n
i
i
−…−−…−
+
=
−
=
=x(a
1
–
x)(a
2
–
x)…(a
n
–
x)
−
+…+
−
+
xaxax
n
111
1
.
7. Метод рекуррентных соотношений
Этот метод заключается в том, что данный определитель выражают,
преобразуя и разлагая его по строке или столбцу, через
определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное
равенство называется рекуррентным соотношением. Этот метод
используется для вычисления определителей вида.)(000
00
0
00
21
−−
−+=
+
+
+
+
=
nnn
DDD
αββα
βα
βαα
ββαα
ββα
D
n
–
(α+β)D
n
–
1
+αβD
n
–
2
=0 или, в общем виде D
n
–
pD
n
–
1
+qD
n
–
2
=0, где
p=α+β, q=αβ.
Пусть рекуррентное соотношение имеет вид:
D
n
=pD
n
–
1
–
qD
n
–
2
, n>2, (5)
где p, q – постоянные не зависящие от n.
При q=0 D
n
вычисляется как член геометрической прогрессии:
D
n
=p
1
−
n
D
1
; здесь D
1 – определитель 1
–
го порядка данного вида, т. е.
элемент определителя D
n
, стоящий в левом верхнем углу.
Пусть q>0 и α, β –
корни квадратного уравнения x
2
–
px+q=0. Тогда
р=α+β, q=αβ и равенство (5) можно переписать так:
D
n
–
αD
n
–
1
=β (D
n
–
1
–
αD
n
–
2)
(6)
или
D
n
–
βD
n
–
1
=α(D
n
–
1
–
βD
n
–
2).
(7)
Предположим сначала, что α≠β. По формуле (n
–
1)
–
го члена
геометрической прогрессии находим из равенств (6) и (7):
D
n
–
αD
n
–
1
=β
2
−
n
(D
2
–
αD
1) и D
n
–
βD
n
–
1
=α
2
−
n
(D
2
–
βD
1).
Откуда.)()(12
1
12
1
βα
αββα
−
−−−
=
−−
DDDD
D
nn
n
(8)
Пусть теперь α=β. Равенства (6) и (7) обращаются в одно и то же
D
n
–
αD
n
–
1
=α (D
n
–
1
–
αD
n
–
2),
откуда
D
n
–
αD
n
–
1
=Aα
2
−
n
, (9)
где A=D
2
–
αD
1
.
Заменяя здесь n на n
–
1, получим:
D
n
–
1
–
αD
n
–
2
=Aα
3
−
n
, откуда D
n
–
1
=αD
n
–
2
+Aα
3
−
n
.
Подставляя это выражение в равенство (9), найдём D
n
=α
2
D
n
–
2
+2Aα
2
−
n
. Повторяя тот же приём несколько раз, получим
D
n
=α
1
−
n
D
1
+(n
–
1)Aα
2
−
n
,
где A=D
2
–
αD
1
.
Пример 1. Вычислить определитель методом рекуррентных
соотношений.
d=
21...0000
12...0000
.....................
00...2100
00...1210
00...0121
00...0012
.
Решение. Разложим определитель по первой строке, тогда
D
n
=2(–
1)
1+1
D
n
–
1
+(–
1)
2+1
2...000
...............
0...210
0...120
0...011
.
Определитель в последнем равенстве разложим по первому столбцу,
тогда D
n
примет вид: D
n
=2D
n
–
1
–
D
n
–
2
. Значит p=2, q=1. Решая
уравнение x
2
–
2x+1=0, находим α, β и придём к случаю, когда α=β.
Тогда по формуле
D
n
=α
1
−
n
D
1
+(n
–
1)Aα
2
−
n
, где A=D
2
–
αD
1
находим, при α=1, D
n
=D
1
+(n
–
1)A. В нашем случае D
1
=2, D
2
=3, тогда A=3
–
2=1. Следовательно,
D
n
=2+(n
–
1)=n+1.
Пример 2. Вычислить определитель методом рекуррентных
соотношений:
d=
210...000
121...000
012...000
.....................
000...210
000...122
000...043
.
Решение. Разлагая d по последней строке, получим
D
n
=2(–
1)
nn
+
D
n
–
1
+(–
1))1(−+
nn
110...000
021...000
012...000
.....................
000...210
000...122
000...043
.
Определитель в последнем равенстве разложим по (n
–
1)
–
му столбцу,
тогда D
n
примет вид: D
n
=2D
n
–
1
–
D
n
–
2
. Значит p=2, q=1. Решая
уравнение x
2
–
2x+1=0, находим α, β и придём к случаю, когда α=β.
Тогда по формуле D
n
= α
n
–
1
D
1
+(n
–
1)Aα
n
–
2
, где A=D
2
–
αD
1
находим, при
α=1, D
n
=D
1
+(n
–
1)A. В нашем случае D
1
=3, D
2
=
–
2, тогда A=
–
5.
Следовательно, D
n
=3+(n
–
1)(–
5)=8
–
5n.
8. Определитель Вандермонда
Определителем Вандермонда называется определитель вида.
1111
11
3
1
2
1
1
22
3
2
2
2
1
321
−−−−
=
n
n
nnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
d
Докажем, что при любом n определитель Вандермонда равен
произведению всевозможных разностей a
i
–
a
j
, где 1≤j
Определители n-го порядка
Определитель n–го порядка состоит из n 2 элементов, записанных в n строк и в n столбцов, и имеет вид:
Элемент определителя а i
j стоит в строке с номером i и в столбце с номером j. Индексы i и j могут принимать любые натуральные значения от 1 до n. Так, записав а
i3 (i=1,2,…,n), мы перечислим все элементы, стоящие в столбце с номером 3: а
13 , а
23 , а
33 ,…,а
n3 . Элементы а
ij (при i=j) составляют главную диагональ определителя.
Вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению определителей третьего и второго порядка при помощи следующих свойств.
Свойства определителей:
1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами (не меняя порядка их номеров). Поэтому далее будем говорить о строках, подразумевая сказанное верным и для столбцов.
2. Если поменять местами две строки определителя, то он изменит свой знак.
3. Определитель с двумя одинаковыми (или пропорциональными) строками равен нулю.
4. Общий множитель всех элементов какой-либо его строки можно выносить за знак определителя.
5. Если все элементы какой-либо строки определителя равны нулю, то такой определитель равен нулю.
6. Определитель не изменится, если ко всем элементам какой-либо его строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Примеры.
№ 6. Вычислить определители:
а)
Здесь к элементам первого столбца прибавили элементы третьего столбца.
б)
К элементам первой строки прибавили элементы третьей.
в)
Этот определитель удобнее вычислять по правилу Сарруса, т.к. четыре из шести слагаемых равны нулю.
Вернемся к свойствам определителей. Но введем вначале понятия минора и алгебраического дополнения.
Если из данного определителя n-го порядка вычеркнем строку и столбец, на пересечении которых стоит элемент а
ij , то получим определитель (n-1)-го порядка, который называется минором элемента
а
ij и обозначается М ij. Например, в определителе третьего порядка 
найдем минор М 21 элемента а
21 . Для этого вычеркиваем вторую строку и первый столбец: 
В определителе четвертого порядка можно записать 4х4=16 миноров, каждый из которых будет определителем третьего порядка.
Запишем миноры элементов а
32 и а
44 , например, определителя четвертого порядка:
Алгебраическим дополнением элемента а
ij называется его минор, взятый со знаком (–1) i+ j , и обозначается А ij . Таким образом, А ij =(–1) i+ j ×М ij .
Найдем, например, алгебраические дополнения элементов определителя 
.
.
Рассмотрим, наконец, свойство о разложении определителя
по строке или столбцу.
7. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.
Так, определитель третьего порядка, например, можно вычислить при помощи трех определителей второго порядка:
- разложение по элементам первой строки.
Следствие
. Если все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен произведению отличного от нуля элемента на его алгебраическое дополнение.
Поэтому, например,
№.7
В определителе третьего порядка мы к элементам первого столбца прибавили соответствующие элементы третьего, умноженные на 2.
Итак, с помощью свойств определителя можно разложить определитель любого порядка по строке или столбцу. Последовательно понижая порядок, вычислим определитель непосредственно, применив правило для вычисления определителя третьего или второго порядка.
Рассмотрим определители особого вида: диагональный и треугольный.
Диагональным
определителем называется определитель, диагональные элементы которого отличны от нуля, а все остальные элементы равны нулю.
Треугольным
определителем называется определитель, все элементы которого, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.
№ 8 Вычислить диагональный определитель n-го порядка
Раскладывая определитель по элементам 1 го
столбца, мы получили произведение 
Но определитель (n–1)-го порядка А 11 таким же образом представим в виде произведения 
и т.д.
Таким образом, диагональный определитель равен произведению элементов его главной диагонали.
Легко показать, что и треугольный определитель равен произведению элементов его главной диагонали:
№ 9 Вычислить определители:
1)
,
— обратим внимание на первый и шестой сомножители: и . Они оба взяты из 4-го столбца, а значит, это произведение не может входить в развернутое выражение определителя 7-го порядка.