Понятие об определителе n го порядка. Перестановки и подстановки. Методы вычисления определителей n-го порядка
ортогональный унитарный матрица полилинейный
Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка.
Получим формулы вычисления определителей второго и третьего порядков. По определению при
При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем матрицу, содержащую один элемент, поэтому
Подставляя эти значения в правую часть, получаем формулу вычисления определителя второго порядка
Определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали (рис.2.1).
Для определителя третьего порядка имеем
При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем определители квадратных матриц второго порядка:
Эти определители второго порядка записываем по формуле (2.2) и получаем формулу вычисления определителя третьего порядка
Определитель (2.3) представляет собой сумму шести слагаемых, каждое из которых есть произведение трех элементов определителя, стоящих в разных строках и разных столбцах. Причем три слагаемых берутся со знаком плюс, а три других -- со знаком минус.
Для запоминания формулы (2.3) используется правило треугольников: надо сложить три произведения трех элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную главной диагонали (рис. 2.2,а), и вычесть три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную побочной диагонали (рис. 2.2,6).
Можно также пользоваться схемой вычисления, изображенной на рис. 2.3 (правило Саррюса): к матрице приписать справа первый и второй столбцы, вычислить произведения элементов, стоящих на каждой из указанных шести прямых, а затем найти алгебраическую сумму этих произведений, при этом произведение элементов на прямых, параллельных главной диагонали, берутся со знаком плюс, а произведение элементов на прямых, параллельных побочной диагонали, -- со знаком минус (согласно обозначениям на рис. 2.3).
Вычисление определителей порядка N>3.
Итак, получены формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Можно продолжить вычисления по формуле (2.1) для и получить формулы для вычисления определителей четвертого, пятого и т.д. порядков. Следовательно, индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. Другое дело, что формулы будут громоздкими и неудобными при практических вычислениях. Поэтому определители высокого порядка (четвертого и более), как правило, вычисляют на основании свойств определителей.
Пример 2.1. Вычислить определители
Решение. По формулам (2.2) и (2.3) находим;
Формула разложения определителя по элементам строки (столбца)
Пусть дана квадратная матрица порядка.
Дополнительным минором элемента называется определитель матрицы порядка, полученной из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется дополнительный минор этого элемента, умноженный на
Теорема 2.1 формула разложения определителя по элементам строки (столбца). Определитель матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
(разложение по i-й строке);
(разложение по j-му столбцу).
Замечания 2.1.
1. Доказательство формулы проводится методом математической индукции.
2. При индуктивном определении (2.1) фактически использована формула разложения определителя по элементам первой строки.
Пример 2.2. Найти определитель матрицы
Решение. Разложим определитель по 3-й строке:
Теперь разложим определитель третьего порядка по последнему столбцу:
Определитель второго порядка вычисляем по формуле (2.2):
Определитель матрицы треугольного вида
Применим формулу разложения для нахождения определителя верхней треугольной матрицы
Разложим определитель по последней строке (по n-й строке):
где -- дополнительный минор элемента. Обозначим. Тогда. Заметим, что при вычеркивании последней строки и последнего столбца определителя, получаем определитель верхней треугольной матрицы такого же вида, как, но (n-1)-го порядка. Раскладывая определитель, по последней строке ((n-1)-й строке), получаем. Продолжая аналогичным образом и учитывая, что, приходим к формулет.е. определитель верхней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Замечания 2.2
1. Определитель нижней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
2. Определитель единичной матрицы равен 1.
3. Определитель матрицы треугольного вида будем называть определителем треугольного вида. Как показано выше, определитель треугольного вида (определитель верхней или нижней треугольной матрицы, в частности, диагональной) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Основные свойства определителей (детерминантов)
1. Для любой квадратной матрицы, т.е. при транспонировании определитель не изменяется. Из этого свойства следует, что столбцы и строки определителя "равноправны": любое свойство, верное для столбцов, будет верным для строк.
2. Если в определителе один из столбцов нулевой (все элементы столбца равны нулю), то определитель равен нулю:.
3. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак на противоположный (свойство антисимметричности):
4. Если в определителе имеется два одинаковых столбца, то он равен нулю:
5. Если определитель имеет два пропорциональных столбца, то он равен нулю:
6. При умножении всех элементов одного столбца определителя на число определитель умножается на это число:
7. Если j-й столбец определителя представляется в виде суммы двух столбцов, то определитель равен сумме двух определителей, у которых j-ми столбцами являются и соответственно, а остальные столбцы одинаковы:
8. Определитель линеен по любому столбцу:
9. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и тоже число:
10. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна нулю:
Замечания 2.3
1. Первое свойство определителя доказывается по индукции. Доказательства остальных свойств проводятся с использованием формулы разложения определителя по элементам столбца. Например, для доказательства второго свойства достаточно разложить определитель по элементам нулевого столбца (предположим, что j-й столбец нулевой, т.е.):
Для доказательства свойства 10 нужно прочитать формулу разложения определителя справа налево, а именно, сумму произведений элементов i-го столбца на алгебраические дополнения элементов j-го столбца представить как разложение по j-му столбцу определителя
у которого на месте элементов j-ro столбца стоят соответствующие элементы i-го столбца. Согласно четвертому свойству такой определитель равен нулю.
2. Из первого свойства следует, что все свойства 2-10, сформулированные для столбцов определителя, будут справедливы и для его строк.
3. По формулам разложения определителя по элементам строки (столбца) и свойству 10 заключаем, что
4. Пусть -- квадратная матрица. Квадратная матрица того же порядка, что и, называется присоединенной по отношению к, если каждый ее элемент равен алгебраическому дополнению элемента матрицы. Иными словами, для нахождения присоединенной матрицы следует:
а) заменить каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением, при этом получим матрицу;
б) найти присоединенную матрицу, транспонируя матрицу.
Из формул (2.4) следует, что, где -- единичная матрица того же порядка, что и.
Пример 2.5. Найти определитель блочно-диагональной матрицы, где -- произвольная квадратная матрица, -- единичная, а -- нулевая матрица соответствующего порядка, -- транспонированная.
Решение. Разложим определитель по последнему столбцу. Так как в этом столбце все элементы нулевые, за исключением последнего, равного 1, получим определитель такого же вида, что и исходный, но меньшего порядка. Раскладывая полученный определитель по последнему столбцу, уменьшаем его порядок. Продолжая таким же образом, получаем определитель матрицы. Следовательно,
Основываясь на понятиях определителей второго и третьего порядков, можно аналогично ввести понятие определителя порядка n . Определители порядка выше третьего вычисляются, как правило, с использованием свойств определителей, сформулированных в п. 1.3., которые справедливы для определителей любого порядка.
Используя свойство определителей номер 9 0 введем определение определителя 4-го порядка:
Пример 2. Вычислить, используя подходящее разложение.
Аналогично вводится понятие определителя 5-го, 6-го и т.д. порядка. Значит определитель порядка n:
.
Все свойства определителей 2-го и 3-го порядков, рассмотренные раннее, справедливы и для определителей n-го порядка.
Рассмотрим основные методы вычисления определителей n -го порядка.
Замечание: прежде чем применять этот метод, полезно, используя основные свойства определителей, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки или столбца. (Метод эффективного понижения порядка)
Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании определителя, когда все его элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. В этом случае определитель равен произведению элементов его главной диагонали.
Пример 3. Вычислить, приведением к треугольному виду.
Пример 4. Вычислить, используя метод эффективного понижения порядка
.
Решение: по свойству 4 0 определителей из первой строки вынесем множитель 10, а затем будем последовательно умножать вторую строку на 2, на 2, на 1 и складывать соответственно с первой, с третьей и четвертой строками (свойство 8 0).
.
Полученный определитель можно разложить по элементам первого столбца. Он будет сведен к определителю третьего порядка, который вычисляется по правилу Саррюса (треугольника).
Пример 5. Вычислить определитель, приведением к треугольному виду.
.
Пример 3. Вычислить, используя рекуррентные соотношения.
.
.
Лекция 4. Обратная матрица. Ранг матрицы.
1. Понятие обратной матрицы
Определение 1. Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной, если ее определитель |A | ≠ 0. В случае, когда | A | = 0, матрица А называется вырожденной.
Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие обратной матрицы А -1 .
Определение 2 . Матрица А -1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицыА, если А -1 А = АА -1 = Е, где Е – единичная матрица порядка n .
Определение 3
.
Матрица
называетсяприсоединенной,
ее элементами являются алгебраические
дополнения
транспонированной матрицы
.
Алгоритм вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
,
где
.
Проверяем правильность вычисления А -1 А = АА -1 = Е. (Е – единичная матрица)
Матрицы А и А -1 взаимообратные. Если | A | = 0, то обратная матрица не существует.
Пример
1.
Дана
матрица А. Убедиться, что она невырожденная,
и найти обратную матрицу
.
Решение:
.
Следовательно матрица невырожденная.
Найдем обратную матрицу. Составим алгебраические дополнения элементов матрицы А.
Получаем
.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ
1. Понятие определителя n-го порядка.
2. Методы вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.
3. Теорема Лапласа.
4. Матрицы и их виды. Действия над матрицами.
5. Обратная матрица.
6. Ранг матрицы.
1. Понятие определителя n-го порядка.
Определитель n-го порядка записывается в виде квадратной таблицы, содержащей n строк и n столбцов:
Числа а ij - элементы определителя, i – номер строки, j –номер столбца, n - порядок определителя.
Диагональ определителя, состоящая из элементов с одинаковыми индексами, называется главной , а другая называется побочной .
Определителем n-го порядка называется число, являющееся алгебраической суммой n! членов, каждый из которых есть произведение n элементов, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, причем знак всякого члена определяется входящими в его состав элементами.
Основные свойства определителей n - го порядка.
1. При замене строк столбцами значение определителя не меняется.
2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
3. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
4. Если определитель имеет две одинаковые или пропорциональные строки (столбца), то такой определитель равен нулю.
5. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
6. Значение определителя не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
7. Если элементы какой-нибудь строки (столбца) являются линейной комбинацией соответствующих элементов двух (или нескольких) других строк (столбцов), то такой определитель равен нулю.
2. Методы вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.
Величину 
называют
определителем (детерминантом) второго
порядка
и
обозначают .
Таким образом,
Определителем третьего порядка называют величину
Эта формула называется правилом Сарруса (правило «треугольников») для вычисления определителей 3-го порядка. Для лучшего запоминания формулы можно составить таблицу Сарруса, добавив к определителю первый и второй столбцы. Тогда все члены будут представлять собой произведение элементов по диагоналям.
Примеры: Вычислить определители:
а) 
3. Теорема Лапласа.
Вычисление определителей более высоких порядков непосредственно весьма сложно, поэтому для их вычисления используют свойства определителей, а также теорему Лапласа, позволяющую понижать порядок данного определителя.
Пусть дан определитель:
Вычеркнем в этом определителе i-ую строку и j-ый столбец, на пересечении которых находится элемент а ij . Тогда получим определитель M ij
(n-1) – го порядка, который называют минором элемента а ij .
Алгебраическим дополнением А ij элемента а ij называют минор этого элемента, взятый со знаком (+), если сумма индексов i+j – четное число, и со знаком (-), если эта сумма – число нечетное, т.е.
А ij = (-1) i + j M ij
Пример.
Дан определитель третьего порядка 
Найти минор и алгебраическое дополнение элемента а 32 .
Решение. 
, 
Теорема Лапласа: Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их соответствующие алгебраические дополнения равна определителю, т.е.
Эта теорема дает возможность разложить определитель по элементам какой-нибудь строки или столбца и свести его вычисление к вычислению определителей более низкого порядка. При этом вычисление определителя значительно упрощается, если среди элементов некоторой строки (столбца) имеются нули.
4. Матрицы и их виды. Действия над матрицами.
Матрицей размерности kxn называется прямоугольная таблица чисел:
.
Числа а ij называются ее элементами. В компактном виде матрицу можно записать:, i=1, …, k, j=1, …, n. Матрицы обозначаются заглавными буквами А,В,С, …, элементы матрицы – строчными буквами с двойной индексацией.
Виды матриц.
Матрица называется квадратной n -го порядка , если число строк равно числу столбцов и равно n.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой .
Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.
Если в матрице А переставить строки и столбцы местами, то получим новую матрицу А Т транспонированную к матрице А:
Матрица, у которой все элементы равны 0, называется нулевой.
Квадратная матрица, у которой элементы вдоль главной диагонали равны 1, а остальные – нули, называется единичной матрицей. Она обозначается буквой Е.
Квадратная матрица n-го порядка называется вырожденной (особенной) , если определитель n-го порядка, составленный из ее элементов, равен нулю. Если же этот определитель отличен от нуля, то матрица называется невырожденной (неособенной).
Две матрицы называются равными , если соответствующие элементы их тождественно равны.
Действия над матрицами.
1. Сложение (вычитание) матриц .
Две матрицы одинаковой размерности, т.е. матрицы, имеющие одно и то же число строк и одно и то же число столбцов, можно сложить (вычесть). При этом под суммой (разностью) двух матриц понимают новую матрицу, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов данных матриц.
2. Умножение матрицы на число.
Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент данной матрицы умножить на это число.
3. Умножение матриц.
Две матрицы можно перемножить только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы .
Произведением матрицы А на матрицу В называется новая матрица С, у которой элемент с ijj , стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на элементы j-го столбца матрицы В. Матрица С имеет столько строк, сколько матрица А, и столько столбцов, сколько матрица В. Правило умножения матриц называют « строка на столбец ».
Замечание : операция умножения матриц в общем случае не перестановочна , т.е. АВ ≠ ВА.
Пример. Найти произведение матриц А и В: С=АВ,
где
, 
.
Пусть дана матрица
Определение: Определителем n-го порядка называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых является произведением n сомножителей, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А. Знак перед слагаемым определяется по правилу знаков:
Определение: Пусть – произвольная перестановка чисел 1,2,3...n. Говорят, что элементы и образуют инверсию (нарушение порядка), если, а. Перестановка чисел 1,2,3...n называется четной, если число инверсий, образованных ее элементами, четно, в противном случае она называется нечетной.
Чтобы определить знак перед слагаемым, нужно расположить сомножители, в него входящие, в порядке возрастания первых индексов и рассмотреть перестановку, образованную вторыми индексами. Если эта перестановка четная, то ставим ²+², если нечетная, то ²–².
Определение: Рассмотрим перестановку:
Поменяем местами и, получим перестановку:
Говорят, что перестановка В получается из А транспозицией элементов и.
Утверждение: Всякая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.
Доказательство: Частный случай: транспозиция соседних элементов меняет четность перестановки.
Все элементы перестановок А и В, кроме и, образуют одни и те же инверсии. Элемент с элементами и в перестановках А и В образует одни и те же инверсии. Элемент с элементами и в перестановках А и В образует одни и те же инверсии. Если элементы и в перестановке А не образовывали инверсии, то в В – образуют, если в А – образовывали, то в В уже не будут образовывать. Таким образом, в результате транспозиции соседних элементов число инверсий либо увеличилось, либо уменьшилось на единицу. Четность поменялась.
Общий случай. Чтобы совершить транспозицию двух произвольных элементов перестановки, будем последовательно переставлять соседние элементы. Для того, чтобы поменять местами элементы и, сначала k раз меняем элемент с, ..., затем раз меняем до. Таким образом, перестановка совершается раз. Четность меняется на противоположную.
Утверждение: Рассмотрим все перестановки n символов 1,2,3,...,n. Число четных перестановок равно числу нечетных перестановок и равно .
Доказательство: Выпишем все четные перестановки и зададим отображение с нечетными по правилу:
Все перестановки являются нечетными согласно предыдущей теореме.
Указанное нами отображение является биекцией множества всех четных перестановок на множество всех нечетных перестановок, в самом деле, по указанному правилу каждой четной перестановке ставится в соответствие единственная нечетная, т.е. это отображение, очевидно, инъективно: . Указанное отображение сюрьективно, в самом деле, каждая нечетная перестановка В является образом той четной перестановки А, которая получается из В заменой в В местами первого и второго символов, следовательно, отображение биективно, следовательно, число четных перестановок равно числу нечетных равно.
Определение: Всякое биективное отображение множества на себя называется подстановкой.
Подстановку, заданную на множестве 1,2,3,...,n удобно записывать виде: или, где первая и вторая строчки – подстановки.
Подстановка определяется с точностью до расположения столбцов: если в подстановке поменять местами любые два столбца, то получится та же подстановка.
Определение: Подстановка называется четной, если перестановки, записанные в первой и второй строчках либо обе четные, либо обе нечетные. В противном случае подстановка называется нечетной. Четность подстановки не изменится, если поменять в ней любые два столбца, следовательно, число четных подстановок равно числу нечетных, равно.
Теперь правило знаков в определении определителя можно сформулировать так: – произведение n сомножителей, взятых по одному из различных строчек и различных столбцов. Рассмотрим подстановку. Если она четная, то перед слагаемым ставится знак ²+², если нечетная, то ²–².
Пример:
1) Пусть дана матрица, тогда через обозначим транспонированную матрицу:
Докажем, что определитель равен определителю А. ().
Доказательство: Рассмотрим слагаемое входящее в det A. Элемент а является произведением сомножителей, принадлежащих разным строкам и столбцам матрицы А, и, следовательно, разным строкам и столбцам матрицы, следовательно, каждый элемент является слагаемым и в и наоборот. Знак элемента а в определителе определяется четностью подстановки, а в – четностью подстановки. Но эти две подстановки одновременно либо четные либо нечетные.
2) Если в определителе все элементы какой-либо, скажем i-ой строки равны 0, то этот определитель равен 0.
Доказательство: В самом деле, по определению определителя все элементы нулевой строки будут входить в каждое слагаемое, из которых состоит определитель, следовательно, определитель есть сумма n! нулей.
3) Если в определителе поменять местами i и j строчки, то его значение изменится на противоположный.
В самом деле, пусть получена из матрицы а заменой двух строк: i и j. Все слагаемые вида входят и в определитель матрицы А и в определитель матрицы, знак перед этим слагаемым определяется с помощью подстановки: , а знак перед этим же слагаемым в определяется с помощью подстановки
Эти подстановки различной четности.
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с
Лекция №8 (2 семестр)
Тема: Ранг матрицы. Базисные строки – база векторов – строк. Определитель Грамма и линейная зависимость.
Определение: Дана матрица
Пусть в А выделены строчки с номерами и столбцы. Элементы, стоящие на пересечении выбранных столбцов и строк образуют матрицу k-того порядка. Определитель М этой матрицы называется минором k-того порядка. Если в матрице А вычеркнуты выбранные строки и столбцы, то оставшиеся элементы образуют матрицу n-k-того порядка. Определитель этой матрицы называется дополнительным минором к минору М.
Определение: Пусть выбраны строки с номерами и столбцы с номерами. Выражение называется алгебраическим дополнением минора М.
Теорема Лапласа: Пусть в квадратной матрице А выбраны k строк с номерами , где . Сумма произведений всевозможных миноров k-того порядка, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения равны определителю матрицы А.
Методы вычисления определителей n-го порядка.
Пусть дано упорядоченное множество n элементов. Всякое расположение n элементов в определённом порядке называется перестановкой из этих элементов.
Так как каждый элемент определяется своим номером, то будем говорить, что дано n натуральных чисел.
Число различных перестановок из n чисел равно n!
Если в некоторой перестановке из n чисел число i стоит раньше j , но i > j , т. е. большее число стоит раньше меньшего, то говорят, что пара i , j составляет инверсию .
Пример 1. Определить число инверсий в перестановке (1, 5, 4, 3, 2)
Решение.
Числа 5 и 4, 5 и 3, 5 и 2, 4 и 3, 4 и 2, 3 и 2 образуют инверсии. Общее число инверсий в данной перестановке равно 6.
Перестановка называется чётной , если общее число инверсий в ней чётное, в противном случае она называется нечётной . В рассмотренном выше примере дана чётная перестановка.
Пусть дана некоторая перестановка …, i , …, j , … (*) . Преобразование, при котором числа i и j меняются местами, а остальные остаются на своих местах, называется транспозицией . После транспозиции чисел i и j в перестановке (*) получится перестановка …, j , …, i , …, где все элементы, кроме i и j , остались на своих местах.
От любой перестановки из n чисел можно перейти к любой другой перестановке из этих чисел с помощью нескольких транспозиций.
Всякая транспозиция меняет чётность перестановки.
При n ≥ 2 число чётных и нечётных перестановок из n чисел одинаково и равно .
Пусть М – упорядоченное множество из n элементов. Всякое биективное преобразование множества М называется подстановкой n -й степени .
Подстановки записывают так: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif" width="27" height="19"> и все ik различны.
Подстановка называется чётной , если обе её строки (перестановки) имеют одинаковые чётности, т. е. либо обе чётные, либо обе нечётные. В противном случае подстановка называется нечётной .
При n ≥ 2 число чётных и нечётных подстановок n -й степени одинаково и равно .
Определителем квадратной матрицы А второго порядка А= называется число, равное =а11а22–а12а21.
Определитель матрицы называют также детерминантом . Для определителя матрицы А используют следующие обозначения: det A, ΔA.
Определителем
квадратной
матрицы
А=
третьего порядка
называют число, равное │А│=а11а22а33+а12а23а31+а21а13а32‑а13а22а31‑а21а12а33‑а32а23а11
Каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части последней формулы представляет собой произведение элементов матрицы, взятых по одному и только одному из каждого столбца и каждой строки. Для определения знака произведения полезно знать правило (его называют правилом треугольника), схематически изображённое на рис.1:
«+» «-»
https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif" width="73" height="75 src=">.
Решение.
Пусть А – матрица n-го порядка с комплексными элементами:
А=https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif" width="112" height="27 src=">(1) ..gif" width="111" height="51">(2) .
Определителем n-го порядка, или определителем квадратной матрицы А=(aij) при n>1, называется алгебраическая сумма всевозможных произведений вида (1) , причём произведение (1) берётся со знаком «+», если соответствующая ему подстановка (2) чётная, и со знаком «‑», если подстановка нечётная.
Минором М ij элемента aij определителя называется определитель, полученный из исходного вычёркиванием i -й строки и j - го столбца.
Алгебраическим дополнением А ij элемента aij определителя называют число А ij =(–1) i + j М ij , где М ij – минор элемента aij .
Свойства определителей
1. Определитель не изменяется при замене всех строк соответствующими столбцами (определитель не изменится при транспонировании).
2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
3. Определитель с двумя одинаковыми (пропорциональными) строками (столбцами) равен нулю.
4. Общий для всех элементов строки (столбца) множитель можно вынести за знак определителя.
5. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, отличное от нуля.
6. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то он равен нулю.
7. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения (свойство разложения определителя по строке (столбцу)).
Рассмотрим некоторые способы вычисления определителей порядка n .
1. Если в определителе n-го порядка хотя одна строка (или столбец) состоят из нулей, то определитель равен нулю.
2. Пусть в определителе n-го порядка какая-то строка содержит отличные от нуля элементы. Вычисление определителя n-го порядка можно свести в этом случае к вычислению определителя порядка n-1. Действительно, используя свойства определителя, можно все элементы какой-либо строки, кроме одного, сделать нулями, а затем разложить определитель по указанной строке. Например, переставим строки и столбцы определителя так, чтобы на месте а11 стоял отличный от нуля элемент.
https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif" width="32 height=37" height="37">.gif" width="307" height="101 src=">
Заметим, что переставлять строки (или столбцы) не обязательно. Можно нули получать в любой строке (или столбце) определителя.
Общего метода вычисления определителей порядка n не существует, если не считать вычисление определителя заданного порядка непосредственно по определению. К определителю того или иного специального вида применяются различные методы вычисления, приводящие к более простым определителям.
3. Приведем к треугольному виду. Пользуясь свойствами определителя, приводим его к так называемому треугольному виду, когда все элементы, стоящие по одну сторону от главной диагонали равны нулю. Полученный определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Если удобнее получить нули по одну сторону от побочной диагонали, то он будет равен произведению элементов побочной диагонали, взятому со знаком https://pandia.ru/text/78/456/images/image022_48.gif" width="49" height="37">.
Пример 3. Вычислить определитель разложением по строке
https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif" width="612" height="72">
Пример 4. Вычислить определитель четвёртого порядка
https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif" width="373" height="96 src=">.
2-й способ (вычисление определителя путём разложения его по строке):
Вычислим этот определитель разложением по строке, предварительно преобразовав его так, чтобы в какой-то его строке все элементы кроме одного обратились в ноль. Для этого прибавим первую строку определителя к третьей. Затем умножим третий столбец на (‑5) и сложим с четвёртым столбцом. Преобразованный определитель раскладываем по третьей строке. Минор третьего порядка приводим к треугольному виду относительно главной диагонали.
https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif" width="202" height="121 src=">
Решение.
Вычтем из первой строки вторую, из второй – третью и т. д., наконец, из предпоследней последнюю (последняя строка остается без изменений).
https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif" width="445" height="126 src=">
Первый определитель в сумме – треугольного вида относительно главной диагонали, поэтому он равен произведению диагональных элементов, т. е. (n–1)n. Второй определитель в сумме преобразуем, прибавив последнюю строку ко всем предыдущим строкам определителя. Полученный при этом преобразовании определитель будет треугольного вида относительно главной диагонали, поэтому он будет равен произведению диагональных элементов, т. е. nn-1:
=(n–1)n+
(n–1)n + nn-1.
4. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Если в определителе выделить k строк (или столбцов) (1£k£n-1), то определитель равен сумме произведений всех миноров k-ого порядка, расположенных в выделенных k строках (или столбцах), на их алгебраические дополнения.
Пример 6. Вычислить определитель
https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif" width="538" height="209 src=">
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №2
«ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ N-ГО ПОРЯДКА»
Вариант 1
Вычислить определители
https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif" width="114" height="94 src=">
