Предел последовательности. Теорема Штольца и ее применение

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов раз­личных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом .

  При создании дифференциального и инте­грального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Нью­тон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако истори­чески это понятие не лежало в основе дифференциального и интеграль­ного исчислений.

  С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконеч­ных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.

  Предел последовательности

  Основная статья: Предел последовательности

  Число a {\displaystyle a} называется пределом последовательности a n = { x 1 , x 2 , . . . , x n } {\displaystyle a_{n}=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}} , если ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} , ∃ {\displaystyle \exists } N (ϵ) {\displaystyle N(\epsilon)} , ∀ {\displaystyle \forall } n > N (ϵ) {\displaystyle n>N(\epsilon)} : | a n − a | < ϵ {\displaystyle |a_{n}-a|<\epsilon } . Предел последовательности обозначается lim n → + ∞ a n {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}} . Куда именно стремится n {\displaystyle n} , можно не указывать, поскольку n {\displaystyle n} ∈ N {\displaystyle \in \mathbb {N} } , оно может стремиться только к + ∞ {\displaystyle +\infty } .

  Свойства:

  • Если предел последовательности существует, то он единственный.
  • lim c = c {\displaystyle \lim c=c} , c − c o n s t {\displaystyle ,c-const}
  • lim (x n + y n) = lim x n + lim y n {\displaystyle \lim(x_{n}+y_{n})=\lim x_{n}+\lim y_{n}}
  • lim (q x n) = q lim x n {\displaystyle \lim(qx_{n})=q\lim x_{n}} , q − c o n s t {\displaystyle ,q-const}
  • lim (x n y n) = lim x n lim y n {\displaystyle \lim(x_{n}y_{n})=\lim x_{n}\lim y_{n}} (если оба предела существуют)
  • lim (x n / y n) = lim x n / lim y n {\displaystyle \lim(x_{n}/y_{n})=\lim x_{n}/\lim y_{n}} (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
  • Если a n > x n > b n ∀ n {\displaystyle a_{n}>x_{n}>b_{n}\forall n} и lim a n = lim b n {\displaystyle \lim a_{n}=\lim b_{n}} , то lim x n = lim a n = lim b n {\displaystyle \lim x_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}} (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)

  Предел функции

  Основная статья: Предел функции

  Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если ∀ ϵ > 0 {\displaystyle \forall \epsilon >0} существует δ > 0 {\displaystyle \delta >0} , такое что ∀ x , 0 < | x − a | < δ {\displaystyle \forall x,0<|x-a|<\delta } выполняется | f (x) − b | < ϵ {\displaystyle |f(x)-b|<\epsilon } .

  Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например, lim x → x 0 (f (x) + g (x)) = lim x → x 0 f (x) + lim x → x 0 g (x) {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)+\lim _{x\to x_{0}}g(x)} , если все члены существуют.

  Обобщенное понятие предела последовательности

  Пусть X {\displaystyle X} - некоторое множество, в котором определено понятие окрестности U {\displaystyle U} (например, метрическое пространство). Пусть x i ∈ X {\displaystyle x_{i}\in X} - последовательность точек (элементов) этого пространства. Говорят, что x ∈ X {\displaystyle x\in X} есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки x {\displaystyle x} лежат почти все члены последовательности то есть ∀ U (x) ∃ n ∀ i > n x i ∈ U (x) {\displaystyle \forall U(x)\exists n\forall i>nx_{i}\in U(x)}

  Посвящены одному из основных понятий математического анализа - пределу. И в случае числовой последовательности и в случае действительной функции действительного переменного исследовано неограниченное приближение к некоторому постоянному значению переменной величины, зависящей от другой переменной при определенном ее изменении. В этой главе попытаемся обобщить понятие предела для отображений произвольных метрических пространству причем обобщение коснется и способа стремления независимого переменного к заданному значению. 8.1. Понятие предела отображения Пусть X и У - метрические пространства с заданными на них метриками р и d соответственно, X - некоторое подмножество в X с той же метрикой />, имеющее а 6 X своей предельной точкой. Подчеркнем, что в силу определения 5.9 эта предельная для А точка может как принадлежать, так и не принадлежать подмножеству А. Будем рассматривать ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения проколотую окрестность U(a) = U(a) \ {а} данной точки. Пусть область определения отображения /: А У включат ет множество А. Отметим, что для точки а это отображение может и не быть определено. Определение 8.1. Точку 6 € У называют пределом отображения /: A -f У в точке а по множеству А и записывают b = lim f(x) или f(x) -> b при х-^а, если, како- ва бы ни была окрестность V(6) точки 6, существует такая проколотая окрестность U(a) точки а в X, что ее образ для любой точки ж€Ща)ПЛ принадлежит У(6),т.е. При выполнении (8.1) говорят также, что функция f(x) стремится к Ь при стремлении х по множеству А к точке а. Определение 8.1 является достаточно общим. В зависимости от того, какими множествами являются X, У, АСХ и какова точка а € X, можно получить различные конкретизации этого определения. Напомним (см. 5.2), что любая окрестность точки включает е-окрестность этой точки и всякая ^-окрестность является окрестностью. Поэтому, заменяя в (8.1) произвольную окрестность V (6) точки b б Y на ее ^-окрестность а проколотую окрестность точки а € X - на ее проколотую -окрестность приходим к следующей символической записи определения предела отображения, эквивалентного определению 8.1: При Y С R из (8.1) следует символическая запись определения предела отображения /: (предела действительной функции): . Бели в (8.5) 6 = 0) то функцию f(x) называют бесконечно малой при стремлении х по множеству А к точке а € X и записывают При У С R можно говорить о бесконечных пределах отображения, если точка 6 является одной из бесконечных точек (+оо или -оо) расширенной числовой прямой R или их объединением (оо). В этом случае окрестность каждой из перечисленных точек при выборе произвольного М > О примет вид Тогда из (8.1) следуют три довольно похожих между собой за-писи в символической форме определений бесконечных пределов функции: . Пример 8.1. Покажем, что lim f(x) = с, если отображение / в точках множества А принимает одно и то же значение с. В самом деле, какой бы ни была окрестность ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения V(c) точки с} Vx в U (а) П A /(х) = с, так как хе А. Поэтому /(U (а) П А) = с € V(c), что соответствует определению 8.1. Убедимся, что lim /(х) = а, если отображение / тождественно, т.е. /(я) = х Vx 6 А. В этом случае для любой окрестности V(a) при выборе U(a) = = V(a) \ {а} для тождественного отображения получим что отвечает (8.1). В частности, когда А = R и а соответствует бесконечной точке +оо расширенной числовой прямой, имеем: /(х) -f оо при х +оо. Действительно, при произвольном М > 0 в качестве проколотой окрестности бесконечной точки +оо достаточно выбрать множество U (+оо) = = {s € R: х > М}, чтобы получить /(х) > М и удовлетворить условию (8.7). # Если в определении 8.1 X = У = R и подмножество А = = {а: € R: х > а}, то приходим к понятию правостороннего предела действительной функции действительного переменного в точке а, обозначенного в 7.2 lim fix). Если же X = У = R Отметим, что множество А может совпадать со всем множеством X. При X = Y = R этот случай в определении 8.1 соответствует понятию двустороннего предела действительной функции действительного переменного, причем (если нет угрозы путаницы) вместо lim /(х) пишут просто lim /(х). Конечно, говоря о lim /(х), можно рассматривать всевоз-можные мыслимые подмножества А, но не всегда это приводит к содержательным нетривиальным результатам. Так, если функцию Дирихле рассматривать на подмножестве Q С R рациональных чисел, то получим просто постоянную функцию, предел которой установлен в примере 8.1. При определение 8.1 приведет к понятию предела последовательности точек произвольного метрического пространства У. В связи с этим дадим следующее определение. Определение 8.2. Точку 6 € У называют пределом последовательности {уп} точек уп метрического пространства У, если, какова бы ни была окрестность V(6) С У точки 6, существует натуральное число N , такое, что начиная с номера N +1 все точки данной последовательности попадают в эту окрестность, т.е. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения При выполнении (8.10) говорят также, что {уп} стремится к точке 6. Использовав в (8.10) вместо произвольной окрестности точки 6 ее произвольную ^-окрестность, будем иметь Сравнивая (8.11) с (6.28) и определением 6.5, заключаем, что последовательность {уп} точек уп метрического пространства стремится к точке 6, если числовая последовательность {d(yn> 6)} расстояний d(yni b) € R бесконечно малая, т.е. Иначе говоря, исследование поведения последовательностей точек произвольного метрического пространства опирается на исследование сходимости числовых последовательностей. Более того, и предел отображения произвольных метрических пространств тесно связан с пределом последовательностей. Эту связь устанавливает следующая теорема. Теорема 8.1. Отображение /:У имеет точку 6 € У своим пределом при стремлении х по множеству А к точке а тогда и только тогда, когда при отображении / образ любой стремящейся к а последовательности точек из А является последовательностью точек из У, стремящейся к 6, т.е. Предположим, что точка 6 б У удовлетворяет определению 8.1 предела отображения и {х„} - произвольная последовательность точек хп из А, стремящаяся к точке a € X. Тогда, согласно (8.1), какова бы ни была окрестность V(b) С У точки 6, существует проколотая окрестность U(a) С X точ- ки а, такая, что /(и(а)ПА) С V(6). По определению 8.2, в U(a)nA должны лежать начиная с некоторого номера W + 1 все точки стремящейся к а последовательности {хп}» т.е. в силу (8.10) Тогда начиная с того же номера все точки f(xn) Е У последовательности {f(xn)} лежат в V(6), что, согласно определению 8.2, означает, что эта последовательность стремится к 6. Чтобы доказать достаточность условия теоремы, предположим, что для любой стремящейся к а последовательности {хп} точек хп из А последовательность {/(х„)} точек f(xn) из У стремится к 6. Если бы lim f(x) ф 6, то это означало бы существование такого числа е > 0, что при любом выборе 8 > 0 имеется точка х € А, удовлетворяющая условиям р(х, а) и d(f(x)y 6) > е. При сколь угодно малом S > О можно указать натуральное число N) такое, что 1 /N . Тогда для каждого номера п > N найдется хотя бы одна точка из А, которую обозначим хп, такая, что р(хп, ^ Таким образом, последовательность {хп}, составленная из таких точек хп 6 Ау в силу (8.11) стремится к а, тогда как {/(хп)} не стремится к 6, а это противоречит исходному предположению. Полученное противоречие доказывает достаточность условия теоремы. Эта теорема позволяет сформулировать определение, эквивалентное определению 8.1. Определение 8.3. Точку б€ У называют пределом отображения /: А -> У в точке а по множеству А, если при отображении / образ любой стремящейся к а последоваг тельности точек из А является последовательностью точек из У, стремящейся к Ь. Символические формы записи этого определения и теоремы 8.1 совпадают. Пример 8.2. Пусть X = R, А = R, а = +оо и в отображении /: R R f(x) = cos2 Vx 6 R. Покажем, что lim f(x) = lim cos a; не существует. Возьмем последовательность {a:n} = {2птг}, которая стремится к +оо. Тогда cosin = соз2птг = 1, и в силу (6.9) lim {cos xn} = 1. Если же взять последовательность {хп} = {(2п + 1)тг/2}, также стремящуюся к +оо, то ее образ сходится к нулю. Это противоречит определению 8.3 предела отображения, т.е. указанный выше предел не существует. Рассмотрение стремящихся к оо последовательностей {2п(-1)п7г} и {(2п+ 1)(-1)птг/2} приводит к тому же выводу. Отметим, что если обозначить то правомерна запись lim cosx = 1 и limcoex = 0. # Сопоставлением определений 8.1 и 5.13 может быть доказана следующая теорема. Теорема 8.2. Отображение /: X -+Y будет непрерывным в точке а € X в том и только том случае, когда предел отображения при стремлении х по множеству X к точке а совпадает со значением /(а), т.е. когда Л Пусть отображение / непрерывно в точке а в X. Тогда, по определению 5.13 непрерывного отображения, какова бы ни была окрестность V(6) точки 6 = /(а) € У, существует такая окрестность U(a) точки а € А} что /(U(a)) С V(6), а ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения стало быть, существует и проколотая окрестность U (а) точки а, такая, что /(U(a)) С V(b). Согласно определению 8.1 это означает, что справедливо (8.12). Обратно, пусть выполнено (8.12). Тогда в силу определения 8.1 для любой окрестности V (Ь) точки b = /(a) су- ществует проколотая окрестность U(a) точки а, такая, что /(U(a)) С V(6). Рассмотрим окрестность U(a) = U(a) U {a}. Поскольку /(a) G V(6), согласно свойствам отображения множеств (см. 2.1), имеем 4 т.е. отображение / по определению 5.13 непрерывно в точке аеХ. С учетом теоремы 8.2 можно сформулировать определение, эквивалентное определению 5.13. Определение 8.4. Отображение /: называют непрерывным в точке а 6 Ху если справедливо (8.12). Учитывая теоремы 8.1 и 8.2, получаем следующее утверждение. Утверждение 8.1. Для непрерывности отображения /: X -У Y в предельной точке абХ необходимо и достаточно, чтобы образ при отображении / любой стремящейся к а последовательности точек из X был последовательностью точек из У, сходящейся к точке /(а). 8.2. Некоторые свойства предела отображения Пусть X и У, так же как и в 8.1, - метрические пространства, AC X и а € X - предельная точка множества А. Теорема 8.3. Бели при стремлении х по множеству А к точке а отображение /: X У имеет предел, то он единственный. Предположим, что при х-^а отображение / имеет два предела 6i и 62, причем 61 ф 62. Тогда при выборе непересекающихся окрестностей этих точек (V(61)flV(62) = 0), по определению 8.1, у точки а существует проколотая окрестность U(a), такая, что и, а это невозможно в силу определения 2.1 отображения. Теорема 8.4 (о пределе композиции). Бели существуют пределы отображений /: AC X и д: У Z, причем {(х)фЬ при г-^a, где Ху У и Z - метрические пространства предельные точки соответственно для А С X и f(A) С У, то существует при х-^а и предел композиции (сложной функции) Выберем произвольную окрестность W (с) точки с. Тогда в силу определения 8.1 предела отображения всегда можно найти такую проколотую окрестность V(6) точки 6, что д(V(6) П f}