Рекурсивный метод c для чайников. Рекурсия. Тренировочные задачи

Рекурсия достаточно распространённое явление, которое встречается не только в областях науки, но и в повседневной жизни. Например, эффект Дросте, треугольник Серпинского и т. д. Самый простой вариант увидеть рекурсию – это навести Web-камеру на экран монитора компьютера, естественно, предварительно её включив. Таким образом, камера будет записывать изображение экрана компьютера, и выводить его же на этот экран, получится что-то вроде замкнутого цикла. В итоге мы будем наблюдать нечто похожее на тоннель.

В программировании рекурсия тесно связана с функциями, точнее именно благодаря функциям в программировании существует такое понятие как рекурсия или рекурсивная функция. Простыми словами, рекурсия – определение части функции (метода) через саму себя, то есть это функция, которая вызывает саму себя, непосредственно (в своём теле) или косвенно (через другую функцию). Типичными рекурсивными задачами являются задачи: нахождения n!, числа Фибоначчи. Такие задачи мы уже решали, но с использованием циклов, то есть итеративно. Вообще говоря, всё то, что решается итеративно можно решить рекурсивно, то есть с использованием рекурсивной функции. Всё решение сводится к решению основного или, как ещё его называют, базового случая. Существует такое понятие как шаг рекурсии или рекурсивный вызов. В случае, когда рекурсивная функция вызывается для решения сложной задачи (не базового случая) выполняется некоторое количество рекурсивных вызовов или шагов, с целью сведения задачи к более простой. И так до тех пор пока не получим базовое решение. Разработаем программу, в которой объявлена рекурсивная функция, вычисляющая n!

"stdafx.h" #include << "Enter n!: "; cin >> n; cout << n << "!" << "=" << factorial(n) << endl; // вызов рекурсивной функции system("pause"); return 0; } unsigned long int factorial(unsigned long int f) // рекурсивная функция для нахождения n! { if (f == 1 || f == 0) // базовое или частное решение return 1; // все мы знаем, что 1!=1 и 0!=1 cout << "Step\t" << i << endl; i++; // операция инкремента шага рекурсивных вызовов cout << "Result= " << result << endl; result = f * factorial(f - 1); // функция вызывает саму себя, причём её аргумент уже на 1 меньше return result; }

// код Code::Blocks

// код Dev-C++

// factorial.cpp: определяет точку входа для консольного приложения. #include using namespace std; unsigned long int factorial(unsigned long int);// прототип рекурсивной функции int i = 1; // инициализация глобальной переменной для подсчёта кол-ва рекурсивных вызовов unsigned long int result; // глобальная переменная для хранения возвращаемого результата рекурсивной функцией int main(int argc, char* argv) { int n; // локальная переменная для передачи введенного числа с клавиатуры cout << "Enter n!: "; cin >> n; cout << n << "!" << "=" << factorial(n) << endl; // вызов рекурсивной функции return 0; } unsigned long int factorial(unsigned long int f) // рекурсивная функция для нахождения n! { if (f == 1 || f == 0) // базовое или частное решение return 1; // все мы знаем, что 1!=1 и 0!=1 cout << "Step\t" << i << endl; i++; // операция инкремента шага рекурсивных вызовов cout << "Result= " << result << endl; result = f * factorial(f - 1); // функция вызывает саму себя, причём её аргумент уже на 1 меньше return result; }

В строках 7, 9, 21 объявлен тип данных unsigned long int , так как значение факториала возрастает очень быстро, например уже 10! = 3 628 800. Если не хватит размера типа данных, то в результате мы получим совсем не правильное значение. В коде объявлено больше операторов, чем нужно, для нахождения n!. Это сделано для того, чтобы, отработав, программа показала, что происходит на каждом шаге рекурсивных вызовов. Обратите внимание на выделенные строки кода, строки 23, 24, 28 — это рекурсивное решение n!. Строки 23, 24 являются базовым решением рекурсивной функции, то есть, как только значение в переменной f будет равно 1 или 0 (так как мы знаем, что 1! = 1 и 0! = 1), прекратятся рекурсивные вызовы, и начнут возвращаться значения, для каждого рекурсивного вызова. Когда вернётся значение для первого рекурсивного вызова, программа вернёт значение вычисляемого факториала. В строке 28 функция factorial() вызывает саму себя, но уже её аргумент на единицу меньше. Аргумент каждый раз уменьшается, чтобы достичь частного решения. Результат работы программы (см. Рисунок 1).

Enter n!: 5 Step 1 Result= 0 Step 2 Result= 0 Step 3 Result= 0 Step 4 Result= 0 5!=120

Рисунок 1 — Рекурсия в С++

По результату работы программы хорошо виден каждый шаг и результат на каждом шаге равен нулю, кроме последнего рекурсивного обращения. Необходимо было вычислить пять факториал. Программа сделала четыре рекурсивных обращения, на пятом обращении был найден базовый случай. И как только программа получила решение базового случая, она порешала предыдущие шаги и вывела общий результат. На рисунке 1 видно всего четыре шага потому, что на пятом шаге было найдено частное решение, что в итоге вернуло конечное решение, т. е. 120. На рисунке 2 показана схема рекурсивного вычисления 5!. В схеме хорошо видно, что первый результат возвращается, когда достигнуто частное решение, но никак не сразу, после каждого рекурсивного вызова.

Рисунок 2 — Рекурсия в С++

Итак, чтобы найти 5! нужно знать 4! и умножить его на 5; 4! = 4 * 3! и так далее. Согласно схеме, изображённой на рисунке 2, вычисление сведётся к нахождению частного случая, то есть 1!, после чего по очереди будут возвращаться значения каждому рекурсивному вызову. Последний рекурсивный вызов вернёт значение 5!.

Переделаем программу нахождения факториала так, чтобы получить таблицу факториалов. Для этого объявим цикл for , в котором будем вызывать рекурсивную функцию.

using namespace std; unsigned long int factorial(unsigned long int);// прототип рекурсивной функции int i = 1; // инициализация глобальной переменной для подсчёта кол-ва рекурсивных вызовов unsigned long int result; // глобальная переменная для хранения возвращаемого результата рекурсивной функцией int main(int argc, char* argv) { int n; // локальная переменная для передачи введенного числа с клавиатуры cout << "Enter n!: "; cin >> n; for (int k = 1; k <= n; k++) { cout << k << "!" << "=" << factorial(k) << endl; // вызов рекурсивной функции } system("pause"); return 0; } unsigned long int factorial(unsigned long int f) // рекурсивная функция для нахождения n! { if (f == 1 || f == 0) // базовое или частное решение return 1; // все мы знаем, что 1!=1 и 0!=1 //cout << "Step\t"<< i <> n; for (int k = 1; k <= n; k++) { cout << k << "!" << "=" << factorial(k) << endl; // вызов рекурсивной функции } return 0; } unsigned long int factorial(unsigned long int f) // рекурсивная функция для нахождения n! { if (f == 1 || f == 0) // базовое или частное решение return 1; // все мы знаем, что 1!=1 и 0!=1 //cout << "Step\t"<< i < << "Enter number from the Fibonacci series: "; cin >> <= entered_number; counter++) cout << setw(2) <

// код Code::Blocks

// код Dev-C++

// fibonacci.cpp: определяет точку входа для консольного приложения. #include // библиотека для форматирования выводимой информации на экран #include using namespace std; unsigned long fibonacci(unsigned long);// прототип рекурсивной функции поиска чисел из ряда Фибоначчи int main(int argc, char* argv) { unsigned long entered_number; cout << "Enter number from the Fibonacci series: "; cin >> entered_number; for (int counter = 1; counter <= entered_number; counter++) cout << setw(2) < #include using namespace std; void tower(int, int, int, int); // объявление прототипа рекурсивной функции int count = 1; // глобальная переменная для подсчёта количества шагов int _tmain(int argc, _TCHAR* argv) { cout << "Enter of numbers of disks: ";// введите количество дисков, которые надо переместить int number; cin >> number; cout << "Enter the number of basic rod: "; // введите номер стержня, на котором диски будут находится изначально int basic_rod; cin >> basic_rod; cout << "Enter the number of final rod: "; // введите номер стержня, на который необходимо переместить диски int final_rod; cin >> final_rod; int help_rod; // блок определения номера вспомогательного стержня, анализируя номера начального и финального стержня if (basic_rod != 2 && final_rod != 2) help_rod = 2; else if (basic_rod != 1 && final_rod != 1) help_rod = 1; else if (basic_rod != 3 && final_rod != 3) help_rod = 3; tower(// запуск рекурсивной функции решения задачи Ханойских башен number, // переменная, хранящая количество дисков, которые надо переместить basic_rod, // переменная, хранящая номер стержня, на котором диски будут находится изначально help_rod , // переменная, хранящая номер стержня, который используется, как вспомогательный final_rod); // переменная, хранящая номер стержня, на который необходимо переместить диски system("pause"); return 0; } void tower(int count_disk, int baza, int help_baza, int new_baza) { if (count_disk == 1) // условие завершения рекурсивных вызовов { cout << setw(2) << count << ") "<< baza << " " << "->" << " " << new_baza << endl; count++; } else { tower(count_disk -1, baza, new_baza, help_baza); // перемещаем все диски кроме самого последнего на вспомогательный стержень tower(1, baza, help_baza, new_baza); // перемещаем последний диск с начального стержня на финальный стержень tower(count_disk -1, help_baza, baza, new_baza); // перемещаем все диски со вспомогательного стержня на финальный } }

// код Code::Blocks

// код Dev-C++

// hanoi_tower.cpp: определяет точку входа для консольного приложения. // Программа, рекурсивно решающая задачу "Ханойская башня" #include #include using namespace std; void tower(int, int, int, int); // объявление прототипа рекурсивной функции int count = 1; // глобальная переменная для подсчёта количества шагов int main() { cout << "Enter of numbers of disks: ";// введите количество дисков, которые надо переместить int number; cin >> number; cout << "Enter the number of basic rod: "; // введите номер стержня, на котором диски будут находится изначально int basic_rod; cin >> basic_rod; cout << "Enter the number of final rod: "; // введите номер стержня, на который необходимо переместить диски int final_rod; cin >> final_rod; int help_rod; // блок определения номера вспомогательного стержня, анализируя номера начального и финального стержня if (basic_rod != 2 && final_rod != 2) help_rod = 2; else if (basic_rod != 1 && final_rod != 1) help_rod = 1; else if (basic_rod != 3 && final_rod != 3) help_rod = 3; tower(// запуск рекурсивной функции решения задачи Ханойских башен number, // переменная, хранящая количество дисков, которые надо переместить basic_rod, // переменная, хранящая номер стержня, на котором диски будут находится изначально help_rod , // переменная, хранящая номер стержня, который используется, как вспомогательный final_rod); // переменная, хранящая номер стержня, на который необходимо переместить диски return 0; } void tower(int count_disk, int baza, int help_baza, int new_baza) { if (count_disk == 1) // условие завершения рекурсивных вызовов { cout << setw(2) << count << ") "<< baza << " " << "->" << " " << new_baza << endl; count++; } else { tower(count_disk -1, baza, new_baza, help_baza); // перемещаем все диски кроме самого последнего на вспомогательный стержень tower(1, baza, help_baza, new_baza); // перемещаем последний диск с начального стержня на финальный стержень tower(count_disk -1, help_baza, baza, new_baza); // перемещаем все диски со вспомогательного стержня на финальный } }

На рисунке 5 показан пример работы рекурсивной программы Ханойская башня. Сначала мы ввели количество дисков равное трём, потом ввели базовый стержень (первый), и обозначили конечный стержень (третий). Автоматически второй стержень стал вспомогательным. Программа выдала такой результат, что он полностью совпадает с анимационным решением данной задачи.

Enter of numbers of disks: 3 Enter the number of basic rod: 1 Enter the number of final rod: 3 1) 1 -> 3 2) 1 -> 2 3) 3 -> 2 4) 1 -> 3 5) 2 -> 1 6) 2 -> 3 7) 1 -> 3

Рисунок 5 — Рекурсия в С++

Из рисунка видно, что сначала перемещается диск со стержня один на стержень три, потом со стержня один на стержень два, со стержня три на стержень два и т. д. То есть программа всего лишь выдает последовательность перемещений дисков и минимальное количество шагов, за которые будут перемещены все диски.

Все эти задачи можно было решить итеративно. Возникает вопрос: “Как лучше решать, итеративно или рекурсивно?”. Отвечаю: “Недостаток рекурсии в том, что она затрачивает значительно больше компьютерных ресурсов, нежели итерация. Это выражается в большой нагрузке, как на оперативную память, так и на процессор. Если очевидно решение той или иной задачи итеративным способом, то им и надо воспользоваться иначе, использовать рекурсию!” В зависимости от решаемой задачи сложность написания программ изменяется при использовании того или иного метода решения. Но чаще задача, решённая рекурсивным методом с точки зрения читабельности кода, куда понятнее и короче.

Здравствуй Хабрахабр!

В этой статье речь пойдет о задачах на рекурсию и о том как их решать.

Кратко о рекурсии

Рекурсия достаточно распространённое явление, которое встречается не только в областях науки, но и в повседневной жизни. Например, эффект Дросте, треугольник Серпинского и т. д. Один из вариантов увидеть рекурсию – это навести Web-камеру на экран монитора компьютера, естественно, предварительно её включив. Таким образом, камера будет записывать изображение экрана компьютера, и выводить его же на этот экран, получится что-то вроде замкнутого цикла. В итоге мы будем наблюдать нечто похожее на тоннель.

О рекурсии сказано много. Вот несколько хороших ресурсов:

Рекурсия и рекурсивные задачи. Области применение рекурсии

Предполагается что читатель теоритически знаком с рекурсией и знает что это такое. В данной статье мы бóльшее вниманиее уделим задачам на рекурсию.

Задачи

При изучении рекурсии наиболее эффективным для понимания рекурсии является решение задач.

Как же решать задачи на рекурсию?

В первую очередь надо понимать что рекурсия это своего рода перебор. Вообще говоря, всё то, что решается итеративно можно решить рекурсивно, то есть с использованием рекурсивной функции.

из сети

Любой алгоритм, реализованный в рекурсивной форме, может быть переписан в итерационном виде и наоборот. Останется вопрос, надо ли это, и насколько это будет это эффективно.

Для обоснования можно привести такие доводы.

Для начала можно вспомнить определение рекурсии и итерации. Рекурсия - это такой способ организации обработки данных, при котором программа вызывает сама себя непосредственно, либо с помощью других программ. Итерация - это способ организации обработки данных, при котором определенные действия повторяются многократно, не приводя при этом к рекурсивным вызовам программ.

После чего можно сделать вывод, что они взаимно заменимы, но не всегда с одинаковыми затратами по ресурсам и скорости. Для обоснования можно привести такой пример: имеется функция, в которой для организации некого алгоритма имеется цикл, выполняющий последовательность действий в зависимости от текущего значения счетчика (может от него и не зависеть). Раз имеется цикл, значит, в теле повторяется последовательность действий - итерации цикла. Можно вынести операции в отдельную подпрограмму и передавать ей значение счетчика, если таковое есть. По завершению выполнения подпрограммы мы проверяем условия выполнения цикла, и если оно верно, переходим к новому вызову подпрограммы, если ложно - завершаем выполнение. Т.к. все содержание цикла мы поместили в подпрограмму, значит, условие на выполнение цикла помещено также в подпрограмму, и получить его можно через возвращающее значение функции, параметры передающееся по ссылке или указателю в подпрограмму, а также глобальные переменные. Далее легко показать, что вызов данной подпрограммы из цикла легко переделать на вызов, или не вызов (возврата значения или просто завершения работы) подпрограммы из нее самой, руководствуясь какими-либо условиями (теми, что раньше были в условии цикла). Теперь, если посмотреть на нашу абстрактную программу, она примерно выглядит как передача значений подпрограмме и их использование, которые изменит подпрограмма по завершению, т.е. мы заменили итеративный цикл на рекурсивный вызов подпрограммы для решения данного алгоритма.

Задача по приведению рекурсии к итеративному подходу симметрична.

Подводя итог, можно выразить такие мысли: для каждого подхода существует свой класс задач, который определяется по конкретным требованиям к конкретной задаче.

Более подробно с этим можно познакомиться

Так же как и у перебора (цикла) у рекурсии должно быть условие остановки - Базовый случай (иначе также как и цикл рекурсия будет работать вечно - infinite). Это условие и является тем случаем к которому рекурсия идет (шаг рекурсии). При каждом шаге вызывается рекурсивная функция до тех пор пока при следующем вызове не сработает базовое условие и произойдет остановка рекурсии(а точнее возврат к последнему вызову функции). Всё решение сводится к решению базового случая. В случае, когда рекурсивная функция вызывается для решения сложной задачи (не базового случая) выполняется некоторое количество рекурсивных вызовов или шагов, с целью сведения задачи к более простой. И так до тех пор пока не получим базовое решение.

Итак рекурсивная функция состоит из

Условие остановки или же Базовый случай
Условие продолжения или Шаг рекурсии - способ сведения задачи к более простым.

Рассмотрим это на примере нахождения факториала :

Public class Solution { public static int recursion(int n) { // условие выхода // Базовый случай // когда остановиться повторять рекурсию? if (n == 1) { return 1; } // Шаг рекурсии / рекурсивное условие return recursion(n - 1) * n; } public static void main(String args) { System.out.println(recursion(5)); // вызов рекурсивной функции } }

Тут Базовым условием является условие когда n=1. Так как мы знаем что 1!=1 и для вычисления 1! нам ни чего не нужно. Чтобы вычислить 2! мы можем использовать 1!, т.е. 2!=1!*2. Чтобы вычислить 3! нам нужно 2!*3… Чтобы вычислить n! нам нужно (n-1)!*n. Это и является шагом рекурсии. Иными словами, чтобы получить значение факториала от числа n, достаточно умножить на n значение факториала от предыдущего числа.

Теги: Добавить метки

Рекурсивным называют метод, который прямо (непосредственно) или косвенно вызывает самого себя. Метод называют косвенно рекурсивным, если он содержит обращение к другому методу, содержащему прямой или косвенный вызов определяемого (первого) метода. В случае косвенной рекурсивности по тексту определения метода его рекурсивность может быть не видна. Если в теле метода явно используется обращение к этому методу, то имеет место прямая рекурсия. В этом случае говорят, что метод самовызывающий (self-calling). Именно самовызывающие методы ~ будем называть рекурсивными, а для методов с косвенной рекурсией будем использовать термин косвенно рекурсивные методы.

Классический пример рекурсивного метода - функция для вычисления факториала неотрицательного целого числа. На языке С# её можно записать таким образом (программа 09_16.cs):

static long fact(int k)

if (k < 0) return 0;

if (k == 0 || k == 1)

return k * fact(k - 1);

static void Main09_16()

Console.WriteLine("fact(5)=" + fact(5));

Для отрицательного аргумента результат (по определению факториала) не существует. В этом случае функция возвращает нулевое значение (можно было бы возвращать, например, отрицательное значение). Для нулевого и единичного аргумента по определению факториала возвращаемое значение равно 1. Если k >1, то вызывается та же функция с уменьшенным на 1 значением параметра и возвращаемое ею значение умножается на текущее значение параметра k. Тем самым организуется вычисление произведения 1*2*3*. ..*(k -2)*(k -1)* k .

При проектировании рекурсивного метода нужно убедиться

Что он может завершить работу, т.е. невозможно возникновение зацикливания;

Что метод приводит к получению правильных результатов.

Для удовлетворения первого требования должны соблюдаться два правила:

В последовательности рекурсивных вызовов должен быть явный разрыв, то есть самовызовы должны выполняться до тех пор, пока истинно значение некоторого выражения, операнды которого изменяются от вызова к вызову.

При самовызовах должны происходить изменения параметров и эти изменения после конечного числа вызовов должны привести к нарушению проверяемого условия из пункта 1.

В нашем примере условием выхода из цепочки рекурсивных вызовов является истинность выражения (k==0 || k==1). Так как значение k конечно и параметр при каждом следующем вызове уменьшается на 1, то цепочка самовызовов конечна. Идя от конца цепочки, т.е. от 1 != 1, к началу, можно убедиться, что все вызовы работают верно и метод в целом работает правильно.

Иллюстрация цепочки самовызовов для метода вычисления факториала fact (4)

Эффективность рекурсивного метода зачастую определяется глубиной рекурсии, т.е. количеством самовызовов в одной цепочке при обращении к методу.

В качестве примера рекурсивной процедуры приведём метод, преобразующий все цифры натурального числа в соответствующие им символы. Параметры метода - целое число типа int и массив результатов char. Текст метода (программа 09_17.cs):

// Метод для символьного представления цифр натурального числа

static void numbers(int n, char ch)

int ind = (int)Math.Log10((double)n);

ch = (char)(n + (int)"0");

numbers(n / 10, ch);

ch = (char)(n % 10 + (int)"0");

static void Main09_17()

char ch = new char;

numbers(523, ch);

Console.WriteLine("Цифры=" + new String(ch));

Ограничение : при обращении к методу необходимо, чтобы размер символьного массива-аргумента для представления результатов был не менее разрядности числа.

В теле метода значение переменной ind на 1 меньше разрядности числового значения аргумента int n. Если n<10, то ind=O и выполняются операторы

с = (char)(n + (int)"0"); return;

Оператор return завершает выполнение очередного экземпляра процедуры и тем самым прерывается цепочка её самовызовов. В противном случае выполняется оператор numbers(n/10, ch);. Это самовызов, в котором параметр п уменьшен в 10 раз, то есть в анализируемом числе отброшен младший разряд. Обратите внимание, что оператор ch = (char)(n%10 + (int)"0"); не выполнен - его исполнение отложено до завершения вызова numbers(n/10, ch). А завершение, т.е. разрыв цепочки самовызовов, наступит, когда значением аргумента будет число из одной цифры. Это значение - старшая цифра исходного числа - преобразуется к символьному виду и присваивается элементу ch[O]. После возврата из "самого глубокого" обращения к методу выполняется оператор

ch = (char)(n%10 + (int)"0");

Переменная п представляет в этом случае двухразрядное число и элементу массива ch присваивается изображение второй (слева) цифры числа и т.д.

Многие задачи, требующие циклического повторения операций, могут быть представлены как рекурсивными, так и итерационными алгоритмами. Основной для рекурсивного алгоритма является его самовызов, а для итерационного алгоритма - цикл.

В качестве иллюстрации приведём рекурсивный метод (процедуру) для вывода на консольный экран значений элементов символьного массива. Напомним, что при создании символьного массива без явной инициализации его элементам по умолчанию присваиваются значения "\0". Выводятся элементы массива, начиная с заданного. Окончание вывода - конец массива либо терминальный символ "\0" в качестве значения очередного элемента (программа 09_17.cs).

// Метод для печати элементов символьного массива

static void chPrint(char ch, int beg)

if (beg >= ch.Length - 1 | ch == "\0")

Console.WriteLine();

Console.Write(ch + " ");

chPrint(ch, beg + 1);

Первый параметр метода char ch - ссылка на обрабатываемый символьный массив. Второй параметр int beg - индекс элемента, начиная с которого выводятся значения. Условие выхода из метода - достижение конца массива beg >= ch.Length-1 или значение "\0" элемента с индексом beg. Если условие выхода не достигнуто, выполняются операторы:

Console.Write(ch + " ");

chPrint(ch, beg + 1);

Тем самым первым выводится значение начального элемента массива и происходит самовызов метода для следующего значения второго параметра. И т.д....

Вызов последнего отличного от "\0" элемента массива завершает цепочку рекурсивных обращений.

Пример использования приведённых методов (09_17.cs):

static void Main09_17()

char simbols = new char;

numbers(13579, simbols);

chPrint(simbols, 0);

Результат выполнения программы:

Обратите внимание, что при обращении к методу chPrint() второй аргумент равен 0, т.е. вывод идёт с начала массива.