Устройство состоит из 5 элементов. Пример: Устройство состоит из пяти элементов два из которых изношены. операции над вероятностями»

«Интерференция двух волн» - Интерференция -. Интерференция. Интерференция света. Причина? Интерференция механических волн на воде. Просветление оптики. Разность хода волн зависит от толщины пленки. Опыт Томаса Юнга. Бритва удерживается на воде поверхностным натяжением нефтяной пленки. Применение интерференции. Волны от разных источников не являются когерентными.

«Разложение вектора по двум неколлинеарным» - Доказательство: Пусть а и b - неколлинеарные векторы. Координаты вектора. Доказательство: Тогда р = уb , где у – некоторое число. Докажем, что любой вектор р можно разложить по векторам а и b. Пусть р коллинеарен b . Геометрия 9 класс. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

«Компьютерные устройства» - Не жадничайте! Из чего состоит компьютер. Первые стоят у вас дома, вторые - у папы на работе. Меньше - плохо, больше - обычно не нужно. Видеокарта (SVGA) - устройство, рисующее картинку на мониторе. Ресурсы интернета:www.sipc.ru.; www.compsupport.ru; Устройство компьютера. Будет нужно - можно купить еще!

«Неравенства с двумя переменными» - Геометрической моделью решений неравенства является средняя область. Все решения неравенства геометрически изображены точками одной из полуплоскостей. Решения неравенств с двумя переменными. Неравенства с двумя переменными. Цель урока: Выделим полный квадрат в выражении левой части неравенства: Определение.

«Устройства в компьютере» - Трекбол - шарик, вращающийся в любом направлении. Устройство комьпьютера. Работа тачпадов основана на измерении ёмкости пальца или измерении ёмкости между сенсорами. Миниджойстик. При перемещении колеса мыши крутились каждое в своем измерении. Беспроводные мыши. Трекбол можно рассматривать как двухмерное колесо прокрутки.

«Устройства для компьютера» - Модем. Основная характеристика процессора - быстродействие. Видеокарта. Следующий. Динамик обеспечивает звуковой сигнал в случаи неисправности некоторых устройств. Модем - устройство для соединения компьютеров. 1) Внешний 2) Внутренний. Звуковая карта. Звуковая карта обрабатывает звуковые данные из оперативной памяти на колонки.

контрольная работа вариант 5 Устройство состоит из 5 элементов, из которых два изношены. При включении его включаются случайным образом 2 элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы По объекту производится стрельба ракетами с четырех позиций: с каждой позиции выпускается по одной ракете. Вероятности попадания при стрельбе с различных позиций равны соответственно 0,3, 0,4, 0,5, 0,6. Найти вероятность того, что: 1) в объект попадут ровно три ракеты; 2) в объект попадет не менее трех ракет. Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания

Важно! При покупке готовой работы
сообщайте Администратору код работы:

Соглашение

* Готовая работа (дипломная, контрольная, курсовая, реферат, отчет по практике) – это выполненная ранее на заказ для другого студента и успешно защищенная работа. Как правило, в нее внесены все необходимые коррективы.
* В разделе "Готовые Работы" размещены только работы, сделанные нашими Авторами.
* Всем нашим Клиентам работы выдаются в электронном варианте.
* Работы, купленные в этом разделе, не дорабатываются и деньги за них не возвращаются.
* Работа продается целиком; отдельные задачи или главы из работы не вычленяются.

Цена: 600 р. Купить эту работу

Устройство состоит из 5 элементов, из которых два изношены. При включении его включаются случайным образом 2 элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы

По объекту производится стрельба ракетами с четырех позиций: с каждой позиции выпускается по одной ракете. Вероятности попадания при стрельбе с различных позиций равны соответственно 0,3, 0,4, 0,5, 0,6. Найти вероятность того, что:

1) в объект попадут ровно три ракеты;

2) в объект попадет не менее трех ракет.

Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей бракованные, а в двух других партиях детали все доброкачественные?

В группе 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4- хорошо, 2- посредственно, 1- плохо. В экзаменационных балетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный - на 16, посредственно - на 10, плохо - на 5 вопросов. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найдите вероятность того, что этот студент подготовлен плохо.

Всхожесть ржи составляет 90 %. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдут 5?

Дискретная случайная величина X задана законом распределения. Вычислить неизвестную вероятность p i , математическое ожидание M X , дисперсию D X случайной величины. Найти функцию распределения F X (x ) и построить ее график.

Случайная величина ξ задана функцией распределения F ξ (x ). Найти: а) плотность распределения f ξ (x ), б) математическое ожидание M ξ , в) дисперсию D ξ , г) вероятность P(a < ξ < b). Построить графики F ξ (x), f ξ (x).

a = 0.2, b = 0.8.

Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону распределения с параметрами: математическое ожидание равно 16 км, а среднее квадратическое отклонение равно 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами меньше 15,8 км.

Дан совместный закон распределения двумерной случайной величины (ξ,η). Найти закон распределения случайной величины ξ, математическое ожидание ξ и условное математическое ожидание ξ при η = η 0

Постройте вариационный ряд, гистограмму, полигон, кумулятивную кривую. Вычислите выборочную среднюю, моду, медиану, выборочную дисперсию, среднеквадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс.

Результаты измерения зазора (мм) между накладками колодок и тормозными барабанами автомобиля ЗИС - 164:

0,7 0,3 0,8 0,6 0,6 0,9 0,7 0,8 0,5 0,7 0,6 0,2

0,8 1,6 1,1 0,3 0,8 0,5 0,7 0,6 0,9 0,3 1,6 0,6

1,1 0,5 1,2 1,4 1,5 0,7 0,4 0,9 1,1 1,0 1,4 1,6

1,1 1,5 1,2 1,2 1,1 1,1 1,5 1,1 1,6 1,4 0,8 1,9

1,1 1,0 0,4 0,5 0,8 0,9 1,2 0,8 1,4 1,2 0,7 0,9

1,1 1,2 0,8 0,7 0,3 0,3 0,7 0,5 1,3 1,2 0,9 1,2

0,8 0,5 0,6 1,1 0,9 0,8 1,9 0,6 0,3 1,0 1,1 0,9

1,2 0,8 1,0 1,0 1,6 0,8 0,5 0,6 1,5 0,9 1,4 0,7

Дано статистическое распределение выборки (в первой строке указаны выборочные варианты ξ i , а во второй строке - соответственно частоты n i количественного признака ξ) Найдите:

1) Выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратичное отклонение;

2) Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью γ = 0,95.

1) Пользуясь критерием согласия Пирсона, при уровне значимости 0,05 установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки

ξ i
n i

11.Даны результаты 10 наблюдений величин X и Y . Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X , X на Y , вычислить выборочный коэффициент корреляции r xy . Сделать чертеж.

Дана матрица вероятностей перехода цепи Маркова P и распределение вероятностей по состояниям в момент времени t = 0. Найти: 1) распределение по состояниям в момент времени t = 1, t = 2; 2) стационарное распределение вероятностей q s .

Задана матрица Λ интенсивности переходов марковского процесса с непрерывным временем.

Составить размеченный граф состояний, соответствующий матрице Λ; составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, найти предельное распределение вероятностей.

Вход на станцию метро оборудован системой из k турникетов. При выходе из строя одного из турникетов остальные продолжают нормально функционировать. Вход на станцию перекрывается, если выйдут из строя все турникеты. Поток отказов каждого турникета простейший, среднее время безотказной работы составляет t часов. Время ремонта распределено по показательному закону и составляет s часов. В начальный момент все турникеты исправны. Используя формулы Эрланга, найти предельное распределение вероятностей состояний системы. Найти среднюю пропускную способность системы турникетов в процентах от номинальной, если с выходом из строя каждого турникета система теряет (100/k)% своей номинальной пропускной способности. k = 3, t = 68, s = 3.

Цена: 600 р. Купить эту работу

Практическое занятие №2

По теме «Вычисление вероятностей событий

по классической формуле определения вероятности».

^ Цели занятия: вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности , развитие самостоятельной мыслительной деятельности, вычислительных навыков, творческого мышления студентов.

4 вариант.

1. Устройство состоит из 15 элементов, из которых 4 изношены. При включении устройства включаются случайным образом 3 элемента. Найти вероятность того , что включенными окажутся неизношенные элементы.

2. В группе 28 студентов, среди которых 6 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того , что среди отобранных студентов 4 отличника.

3. В партии из 12 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того , что среди шести взятых наугад деталей 4 - стандартные.

4. Отдел технического контроля обнаружил 25 бракованных деталей в партии из случайно отобранных 300 деталей. Найти относительную частоту появления стандартных деталей.

5. При проверке учебников относительная частота качественных учебников оказалась равной 0,85. найти число бракованных книг, если всего было проверено 400 учебников.

Вопросы для самопроверки.

Какое событие называют достоверным?
Какое событие называют невозможным?
Дайте определение противоположных событий.
Сформулируйте классическое определение вероятности.
Чему равна вероятность достоверного события?
Чему равна вероятность невозможного события?
Каким неравенствам удовлетворяет вероятность любого события?
Что называется относительной частотой события?

Домашнее задание.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Высшая школа, 2001. гл.1,§ 3,5№1, №3, №5 стр.30.

Практическое занятие №3

По дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

операции над вероятностями».

^ Цели занятия : решение задач на вычисление условных вероятностей , выполнение операций над вероятностями, развитие логического и творческого мышления студентов, самостоятельной деятельности, вычислительных навыков.

Вариант 1.

вероятность того , что студент сдаст только второй экзамен.

2. При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,6. Найти вероятность того , что двигатель начнет работать при третьем включении зажигания.

3. У сборщика имеется 5 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял последовательно 2 валика. Найти вероятность того , что первый из взятых валиков – конусный, а второй эллиптический.

4. Слово арифметика вероятность случая

5. Имеется три ящика, содержащих по 12 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того , что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Вопросы для самопроверки.

Сформулируйте правило умножения вероятностей.

Домашнее задание.

Фамилия и имя студента записаны с помощью карточек. Карточки с буквами фамилии и имени смешивают в отдельные пачки и отдельно вынимают по одной карточке без возврата. Найти вероятность того , что буквы вынимаются в порядке следования в фамилии и имени. Выполнить задачу для своих данных.

^ Практическое занятие №3

По дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

операции над вероятностями».

^ Цели занятия

Вариант 2.

1. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. найти вероятность того , что студент сдаст три экзамена.

2. При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,75. Найти вероятность того , что двигатель начнет работать при втором включении зажигания.

3. В урне 10 красных шаров и 5 белых. Из урны последовательно вынимают два шара. Найти вероятность того , что первый из взятых шаров – белый, а второй – красный.

4. Слово программист составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность случая , когда буквы вынимаются в порядке заданного слова.

5. В трех коробках лежат книги: в первой – 10(из них 3 словаря), во второй – 15(из них 5 словарей) и в третьей – 8(из них 5 словарей). Из каждой коробки наудачу вынимают по одной книге. Найти вероятность того , что все три книги окажутся словарями.

Вопросы для самопроверки.

Что называют полной группой события?
Дайте определение независимого события.
Дайте определение условной вероятности.
Дайте определение совместных событий.
Дайте определение несовместных событий.
Сформулируйте правило умножения вероятностей.
Сформулируйте правило умножения вероятностей.

Домашнее задание.

^ Практическое занятие №3

По дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

По теме

операции над вероятностями».

^ Цели занятия : решение задач на вычисление условных вероятностей, выполнение операций над вероятностями, развитие логического и творческого мышления студентов, самостоятельной деятельности, вычислительных навыков.

Вариант 3.

1. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. найти вероятность того, что студент сдаст только один экзамен.

2. При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что двигатель начнет работать при третьем включении зажигания.

3. В ящике находятся 5 окрашенных деталей и 7 обычных. Сборщик взял последовательно 2 детали. Найти вероятность того, что первая из взятых деталей – окрашенная, а вторая обычная.

4. Слово статистика составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность случая , когда буквы вынимаются в порядке заданного слова.

5. В двух ящиках находятся детали: в первом -10(из них 3 стандартных),во втором – 15(из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Вопросы для самопроверки.

Что называют полной группой события?
Дайте определение независимого события.
Дайте определение условной вероятности.
Дайте определение совместных событий.
Дайте определение несовместных событий.
Сформулируйте правило умножения вероятностей.
Сформулируйте правило умножения вероятностей.

Домашнее задание.

Фамилия и имя студента записаны с помощью карточек. Карточки с буквами фамилии и имени смешивают в отдельные пачки и отдельно вынимают по одной карточке без возврата. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке следования в фамилии и имени. Выполнить задачу для своих данных.

^ Практическое занятие №3

По дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

По теме «Вычисление условных вероятностей,

операции над вероятностями».

^ Цели занятия : решение задач на вычисление условных вероятностей, выполнение операций над вероятностями, развитие логического и творческого мышления студентов, самостоятельной деятельности, вычислительных навыков.

Вариант 4.

1. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. найти вероятность того, что студент сдаст не менее двух экзаменов.

2. При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,65. Найти вероятность того, что двигатель начнет работать при втором включении зажигания.

3. У сборщика имеется 10 конусных и 5 эллиптических валиков. Сборщик взял последовательно 2 валика. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй эллиптический.

4. Слово вероятность составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность случая, когда буквы вынимаются в порядке заданного слова.

5. Имеется 3 урны по 12 шаров в каждой. В первой урне 10, во второй 8 и в третьей 9 шаров белого цвета. Из каждой урны наудачу вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что все три шара окажутся белыми.

Вопросы для самопроверки.

Что называют полной группой события?
Дайте определение независимого события.
Дайте определение условной вероятности.
Дайте определение совместных событий.
Дайте определение несовместных событий.
Сформулируйте правило умножения вероятностей.
Сформулируйте правило умножения вероятностей.

Домашнее задание.

Фамилия и имя студента записаны с помощью карточек. Карточки с буквами фамилии и имени смешивают в отдельные пачки и отдельно вынимают по одной карточке без возврата. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке следования в фамилии и имени. Выполнить задачу для своих данных.

^ Практическое занятие №4

По дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

По теме «Вычисление вероятностей сложных событий.

Формула полной вероятности».

^ Цели занятия:

Вариант 1.

1. В пирамиде 10 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,85; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

2. В первой коробке содержится 25 радиоламп, из них 20 стандартных ; во второй коробке – 15 ламп, из них 11 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки , будет стандартной.

3. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,85, а второго – 0,95. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

4. Набирая номер телефона, абонент забыл 2 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набранные цифры правильные.

5. Из 50деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 – во втором, остальные в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,95, второй цех – с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

Вопросы для самопроверки.

Формула полной вероятности.

Домашнее задание.

^ Практическое занятие №4

По дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

По теме

Цели занятия: решение задач на вычисление сложных событий, развитие логического и творческого мышления студентов, самостоятельной деятельности, вычислительных навыков.

Вариант 2.

1. В пирамиде 25 винтовок, 8 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,9; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,65. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

2. В первой коробке содержится 35 радиоламп, из них 20 стандартных ; во второй коробке – 25 ламп, из них 10 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки , будет стандартной.

3. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,7, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8.

5. Из 70деталей 20 изготовлены в первом цехе, 25 – во втором, остальные в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех – с вероятностью 0,75. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

Вопросы для самопроверки.

Сформулируйте теорему умножения событий.
Сформулируйте теорему сложения событий.
Формула условной вероятности.
Формула полной вероятности.

Домашнее задание.

В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй урне 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны взяли 3 шара, а из второй – 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров все шары одного цвета.

^ Практическое занятие №4

По дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

По теме «Вычисление вероятностей сложных событий».

Вариант 3.

1. В пирамиде 30 винтовок, 12 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,75. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

2. В первой коробке содержится 50 радиоламп, из них 32 стандартных ; во второй коробке – 25 ламп, из них 18 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки , будет стандартной.

3. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,65, а второго – 0,85. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков равна 8.

5. Из 30деталей 8 изготовлены в первом цехе, 12 – во втором, остальные в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,85, второй цех – с вероятностью 0,9. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

Вопросы для самопроверки.

Сформулируйте теорему умножения событий.
Сформулируйте теорему сложения событий.
Формула условной вероятности.
Формула полной вероятности.

Домашнее задание.

^ Практическое занятие №4

По дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

По теме «Вычисление вероятностей сложных событий».

Вариант 4.

1. В пирамиде 10 винтовок, 7 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,9; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

2. В первой коробке содержится 45 радиоламп, из них 20 стандартных; во второй коробке – 15 ламп, из них 11 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

3. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,5, а второго – 0,95. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков больше, чем их произведение.

5. Из 80деталей 28 изготовлены в первом цехе, 32 – во втором, остальные в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,95, второй цех – с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

Вопросы для самопроверки.

Сформулируйте теорему умножения событий.
Сформулируйте теорему сложения событий.
Формула условной вероятности.
Формула полной вероятности.

Домашнее задание.

^ Практическое занятие №5

По дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

По теме

Цели занятия

Вариант 1.

1. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет не менее двух раз.

2. В семье шесть детей. Найти вероятность того, что среди этих детей два мальчика. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

3. В каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие А происходит: точно 220 раз; меньше чем 240 и больше чем 180 раз.

4. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включены все моторы.

5. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

Вопросы для самопроверки.

Домашнее задание.

Практическое занятие №5

По дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

По теме «Вычисление вероятностей событий в схеме Бернулли».

Цели занятия : решение задач на вычисление вероятностей событий в схеме Бернулли, развитие логического и творческого мышления студентов, самостоятельной деятельности, вычислительных навыков.

Вариант 2.

1. Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в пяти испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.

2. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?

3. В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит: точно 270 раз; меньше чем 270 и больше чем 230 раз.

4. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее трех раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,4.

5. Найти вероятность того, что при 300 испытаниях событие наступит ровно 100 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,6.

Вопросы для самопроверки.

Вероятности каких событий можно вычислять по формуле Бернулли?
Как записывается формула Бернулли?
Вероятности каких событий можно вычислять по локальной теореме Лапласа?
Вероятности каких событий можно вычислять по интегральной теореме Лапласа?
Как записывается формула локальной теоремы Лапласа?
Как записывается формула интегральной теоремы Лапласа?

Домашнее задание.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Высшая школа, 2001. гл.5,§ 1 – 4, №4, №5 стр.63.

Контрольные задачи к разделу 1

1.1. В лотерее 10 билетов, из которых 4 выигрышных. Какова вероятность выиграть, имея 3 билета?

вероятность выиграть, имея три билета, состоит в наступлении хотя бы одного из трех событий, которые являются совместными. В этом случае вместо формулы суммы вероятностей удобнее использовать формулу вычисления вероятностей произведения противоположных событий:

Вероятность наступления каждого из событий вычисляется по формуле классического определения вероятности:

где - число возможных исходов, а - число благоприятных исходов.

1. 2. Телефонный номер состоит из пяти цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны.

первая цифра может быть любой. Вероятность того, что вторая отличается от первой 9/10, третья отличается от предыдущих 8/10, четвертая и пятая от предыдущих 7/10 и 6/10 соответственно.

Вероятность всех различных 1*9/10*8/10*7/10*6/10=0.3024.

Ответ: 0.3024

1. 3. Какова вероятность вытащить 2 разноцветных шара из ящика, где 8 белых и 12 черных.

существует два варианта выбора разноцветных шара: сначала вытащить черный шар, а затем белый, или сначала вытащить белый шар, а затем черный.

Вероятность вытащить первым черный шар равна
, а затем вторым белый
. Вероятность вытащить первым белый шар равна
, а затем вторым черный
. Итоговая вероятность равна .

Ответ: .

1.4. У первого акционера 9 акций вида А и 12 акций вида В. У второго, соотвественно, 5 и 9. В результате операции купли-продажи 7 акций первого перешли ко второму держателю акций. Найти вероятность того, что случайно выбранная акция второго акционера окажется вида А.

рассмотрим гипотезы: Н 1 - взятая акция была из 7 купленных у первого, Н 2 - взятая акция первоначально была у второго.

Тогда . Пусть А - событие, когда взятая акция вида А, тогда по формуле полной вероятности: .

Тогда .

1.5. Устройство состоит из 12 независимых блоков, помеченных Б1, Б2, …, Б12. Вероятность того, что неисправность может произойти в одном из блоков Б1, Б2, БЗ, Б4 составляет 0,6. При поиске появившейся неисправности обследованы блоки Б1, Б2, БЗ, но неисправность не обнаружена. Какова вероятность того, что неисправность будет обнаружена в блоке Б4?

1.6. Определить вероятность того, что трехзначный номер первой встретившейся автомашины не содержит одинаковых цифр и цифры шесть.

воспользуемся формулой:

где:

1 .7. Из чисел 1, 2, 3, 15 одно за другим выбирают наугад два числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым числом будет не меньше числа 3?

1.8. Стержень разламывается на две части в случайной точке, равномерно распределенной по всей длине стержня. Найти вероятность того, что меньший обломок имеет длину, не превосходящую одной трети длины стержня.

вероятность, что меньший обломок имеет длину не больше стержня, равна .

1.9. Для повышения надежности прибора он дублируется тремя такими же приборами. Надежность каждого прибора равна 0.6. Найти надежность системы. Сколько надо взять приборов, чтобы надежность системы стала 98% ?

n=3, p=0.6, P(s)=?;

p’=0.6; P’(s)>0.98; n’=?;

Так как вероятности выхода из строя любого из приборов равны и приборы работают независимо друг от друга, то мы можем найти вероятность того, что все приборы будут неисправны(это единственный случай, когда система неисправна) , и, вычитая из единицы данное решение мы найдем надежность системы.

1) P(s)= P(s)=

2) P(s)4, но при n=5:

Значит, n’=5;

1.10. Из колоды в 32 карты берутся 4. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама.

А- вероятность того, что будет хотя бы одна дама.

Всего 32 карты, из них 4 дамы. При вытягивании первой карты вероятность того, что не будет дамы
. При вытягивании второй карты
. Третьей
. Четвертой
.

Вероятность того, что среди вытянутых карт нет дам:

Вероятность того, что будет хотя бы одна дама:

1.11. При переливании крови надо учитывать группы крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить только кровь первой группы. Среди населения 30,7% имеют первую, 39,5% - вторую, 21,9% - третью и 7,9% - четвертую группы крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

вероятность события , заключающегося в том, что случайно взятому больному подойдет кровь случайно взятого донора, будем искать по формуле полной вероятности:

где – вероятность гипотезы ;

Условная вероятность наступления события при гипотезе .

Вероятности гипотез равны:

Найдем условные вероятности:

Тогда вероятность наступления события :

1.12. Какова вероятность, что при игре в преферанс (32 карты раздаются трём игрокам) в прикупе окажутся два туза?

для первой карты прикупа допустимо 4 варианта (любой из тузов), всего карт 32, для второй – 3 (из 31) карты, поэтому

1.13. Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпало 4.

всего исходов
, а благоприятных 3: (1,1,2), (1,2,1), (2,1,1). Итоговая вероятность равна .

Ответ: .

1.14. 4 поздравительные открытки случайно разложены по 4-ём конвертам с адресами. Найти вероятность того, что хотя бы одна открытка попала в свой конверт.

пусть А i - событие, когда открытка оказалась в своём конверте. Тогда согласно формуле вероятности суммы событий получим:

Где . Тогда .

Ответ:

1.15. Из десяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный.

вероятность выигрыша . По формуле Бернулли .

1.16. Устройство состоит из 5 элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что оба элемента будут не изношены.

m – включенные устройства не изношены, n – возможность включить два устройства

1. 17. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и помня лишь что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

всего мы имеем десять цифр и нам нужно выбрать три из них, зная лишь что они должны быть различны. Первое число мы можем выбирать из всех десяти, но подойдет нам только одно, второе число мы выбираем уже из девяти чисел, а третье из восьми, поскольку мы знаем что числа не должны повторяться.

Ответ: Р=0,14%.

1.18. Два игрока по очереди бросают игральную кость. Каждый по одному разу. Выигравшим считается тот, кто получит большее число очков. Найти вероятность выигрыша первого игрока.

всего может выпасть 36 вариантов, первый игрок выиграет при 15 исходах. Тогда.

1.19. В коробке 5 одинаковых изделий, 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди 2-х извлеченных изделий окажется одно окрашенное.

рассмотрим 2 возможных варианта:

1)Р(А) - 1-ый шар окрашенный,

Р(В|А) - 2-ой неокрашенный.

2)Р(В) - 1-ый шар неокрашенный,

Р(А|В) - 2-ой окрашенный.

Тогда по формуле получим:

Сложим найденные результаты и получим Р=0,6

1.20. Среди 10 электрических лампочек три нестандартные. Найти вероятность того, что две одновременно лампочки окажутся нестандартными.

А1 - вероятность получения одной нестандартной лампочки. А2- вероятность получения второй нестандартной лампочки.

А - вероятность того, что две одновременно лампочки окажутся нестандартными.

1.21. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из пяти первых покупателей обувь этого размера будет необходима одному.

в данном случае производится независимых опытов в одинаковых условиях, причем в каждом из них с вероятностью может появиться событие , поэтому применим формулу Бернулли:

1.22. Вероятность того, что монета диаметром d не пересечёт ни одну сторону квадратной сетки равно p. Определить размер сетки.

1.23 . Два корабля должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих кораблей независимо и равновозможно в течение суток. Определить вероятность того, что одному кораблю придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого корабля составляет два часа, а второго – три часа.

пусть у – время прихода второго корабля, а х – первого. Тогда, условие не ожидания будут выглядеть так:
, или
. Тогда искомая вероятность равна
.

Ответ:
.

1.24. На обслуживающее устройство в промежуток времени должны поступить 2заявки. Если разность между моментами поступления заявокменьше 2, то вторая заявка теряется. Найти вероятность потери заявки.

заявки х и у могут поступить в промежуток не зависимо друг от друга. Событие А - потеря заявки происходит, когда . Рассмотрим график этой функции. Тогда по геометрической интерпретации задачи .

1.25. Найти вероятность того, что сумма двух случайных чисел из отрезка [- 1, 2] больше единицы, а их произведение меньше единицы.

1.26. На пол, разграфленный параллельными прямыми на полосы шириной а, бросается наугад игла длины l (l

1.27. На плоскости отрезок длиной 10 см закреплен в одним концом и вращается вокруг точки закрепления так, что все направления отрезка равновероятны. Найти среднюю проекцию отрезка на заданную ось.

1.28. Стрельба заканчивается после третьего попадания по мишени. Найти вероятность того, что при этом будет 5 промахов, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,3.

по формуле Бернулли .

1.29. Вероятность того, что посетитель страховой компании заключит с ней какой-либо договор, равна 0,4. Сколько посетителей надо обслужить, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0,9 можно было утверждать, что будет заключен договор?

т.к. производится n одинаковых опытов(в одинаковых условиях) и вероятность появления события А в каждом опыте одна и та же(Р=0.4), т о вероятность события А вычисляется по формуле Бернулли:

1 клиент: 0,4<0,9

2 клиента:

3 клиента:

4 клиента:

5 клиентов:

1.30. Производится залп из 6 орудий по некоторому объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия равно 0.6. найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее 4 попаданий.

Р=0,6 – вероятность попадания в объект из каждого орудия,

А- поражение цели. Воспользуемся формулой Бернулли:
Мы можем ее использовать, так как имеем многократное повторение опыта в задаче.

1.31. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

вероятность хотя бы одного появления события в независимых опытах в одинаковых условиях выражается формулой:

1.32. Сотрудники отдела маркетинга предполагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные – с вероятностью 99%. Какова вероятность, что рост спроса действительно произойдёт?

решим задачу по формуле полной вероятности:

где H 1 – спрос вырастет; H 2 – спрос понизится; A/H 1 – прогноз оправдается; A/H 2 – прогноз не оправдается;

1.33. 2 автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность 1-ого автомата вдвое больше производительности 2-ого. 1-й автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а 2-й – 84% деталей отличного качества. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена первым автоматом.

пусть производительность первого - , тогда производительность второго - . По условию
. Используя, формулу полной вероятности
.

Ответ: .

1.34. Два равносильных противника играют в шахматы. Что более вероятно: выиграть 2 партии из 4 или 3 партии из 6? Ничьи не рассматриваются.

по формуле Бернулли: . Противники равносильные, значит, . Тогда .

Ответ: вероятнее выиграть 2 партии из 4.

1.35. Два баскетболиста делают по 3броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Начти вероятность того, что у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.

1.36. Известно, что в среднем 60% всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Чему равна вероятность того, что в изготовленной партии окажется 6 аппаратов первого сорта, если партия содержит 10 аппаратов.

P=0,6 – вероятность того, что аппарат первого сорта

N=10 – общее кол-во аппаратов

M=6 – первого сорта

По формуле Бернулли:

1.37. Рабочий обслуживает три станка. Каждый из станков может выходить из строя независимо друг от друга с вероятностями Р 1 =0,3, Р 2 =0,4, Р 3 =0,5 соответственно. Стало известно, что вышел из строя один станок. Какова вероятность того, что это первый станок?

Ответ: Р=20,45%.

1.38. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. 40% приборов собирается из высококачественных Деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, то его надежность за время t равна 0.95, если из деталей обычного качества - его надежность 0.7.Прибор испытывали в течение времени t и он отработал безотказно. Какова вероятность того, что он был собран из высококачественных деталей?

1.39. Найти вероятность того, что при случайной расстановке 3-х ладей на шахматной доске они не будут угрожать друг другу.