Фильтрование. Общие понятия фильтрации изображений

Множество подходов к улучшению изображений распадается на две категории: методы обработки в пространственной области (пространственные методы) и методы обработки в частотной области (частотные методы). К пространственной области относится совокупность пикселей, составляющих изображение. Функция предварительной обработки в пространственной области записывается в виде

где f (x , y ) – входное изображение,

g (x , y ) – выходное (обработанное) изображение,

h – оператор функции f , определенный в некоторой области (x , y ).

Операции такого вида относятся к общему классу операций над соседними элементами . Эти операции являются основным инструментарием принизкоуровневой обработке изображений илиобработке изображений в пространственной области .

Основным подходом при определении окрестности точки (x , y ) является использование квадратной или прямоугольной области части изображения с центром в точке (x , y ). Центр этой части изображения перемещается от пикселя к пикселю начиная, например, с левого верхнего угла. При этом для получения g (x , y ) оператор применяется для каждого положения (x , y ). Хотя используются иногда и другие формы окрестности (например, круг), квадратные формы более предпочтительны из-за простоты их реализации.

Один из наиболее применяемых методов пространственной области основан на использовании фильтров (масок свертки, шаблонов, окон). Обычно маска фильтра представляет собой небольшую (например, размерность 3*3) двумерную систему, коэффициенты которой выбираются таким образом, чтобы обнаружить заданное свойство изображения (рис. 1.5, а).

Рис. 1.5: а – маска фильтра; б – коэффициенты маски фильтра

Если величины w 1 ,w 2 ,…,w 9 представляют собой коэффициенты, маски пикселя (x , y ) и его восьми соседей (рис.1.5, б), то алгоритм можно представить как выполнение следующей операции на окрестности 3*3 точки (x , y ) :

Под задачей фильтрации изображений в широком смысле понимают любые процедуры обработки изображений, при которых на вход процедуры подается растровое изображение и на выходе формируется растровое изображение. Однако чаще под «фильтрацией» понимают так называемую помеховую фильтрацию . Главная цель помеховой фильтрации заключается в такой обработке изображений, при которой результат оказывается более подходящим с точки зрения конкретного применения. В общем случае можно выделить линейные фильтры (сглаживающие фильтры, контрастоповышающие фильтры, разностные фильтры) и нелинейные фильтры (медианный фильтр).

Приведем краткое описание наиболее распространенных методов фильтрации.

Низкочастотный фильтр – ослабляет высокочастотные компоненты и усиливает роль низкочастотных. Частота в применении к изображениям отражает количество имеющихся в изображении деталей. Резкие перепады яркости, помехи и шумы являются примером высокочастотных элементов в изображении. Сглаживание изображения реализуется с помощью следующих ядер:

Высокочастотный фильтр – ослабляет низкочастотные компоненты в изображении и усиливает роль высокочастотных. Фильтры высокой частоты применяются для выделения таких деталей, как контуры, границы или для повышения резкости изображения. Каждый скачок яркости и каждый контур представляют собой интенсивные детали, связанные с повышенными частотами. Выделение высокочастотных компонент осуществляется с помощью следующих ядер:

Оператор Робертса. Оператор Робертса является примером нелинейного фильтра. Преобразование каждого пикселя перекрёстным оператором Робертса может показать производную изображения вдоль ненулевой диагонали, и комбинация этих преобразованных изображений может также рассматриваться как градиент от двух верхних пикселов к двум нижним. Оператор Робертса используется ради быстроты вычислений, но проигрывает в сравнении с альтернативами из-за значительной проблемы чувствительности к шуму. Он даёт линии тоньше, чем другие методы выделения границ.

В обработке участвуют четыре пикселя, расположенные следующим образом (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Пиксели, участвующие в обработке оператором Робертса

Отклик оператора Робертса:

Ядра свертки в данном случае будут выглядеть таким образом:

Свертка для каждого ядра вычисляется отдельно. В качестве отклика данного фильтра выступает величина

, (1.17)

где P и Q – отклик ядер H 1 и H 2 .

Иногда в качестве оператора Робертса берется величина
.

Оператор Собеля. Оператор Собеля применяют в алгоритмах выделения границ. Это дискретный дифференциальный оператор, вычисляющий приближенное значение градиента яркости изображения. Результатом применения оператора Собеля в каждой точке изображения является либо вектор градиента яркости в этой точке, либо его норма. Метод усиления края с помощью оператора Собеля рассматривает два различных ядра свертки:

Исходя из этих сверток вычисляется величина и направление краев. Свертка для каждого ядра вычисляется отдельно. В качестве отклика данного фильтра выступает величина

, (1.19)

где P и Q – отклик ядер H 1 и H 2 .

Иногда в качестве оператора Собеля берется величина
.

Оператор Превитта. Аналогично оператору Собеля действует оператор Превитта. Детектор границ Превитта является подходящим способом для оценки величины и ориентации границы. В то время как детектор с дифференциальным градиентом нуждается в трудоёмком вычислении оценки ориентации по величинам в вертикальном и горизонтальном направлениях, детектор границ Превитта даёт направление прямо из ядра с максимальным результатом. Метод усиления края с помощью оператора Превитта рассматривает два различных ядра свертки:

Результат работы оператора Превитта есть

, (1.21)

где P и Q – отклик ядер H 1 и H 2 .

Оператор Лапласа. Дискретный оператор Лапласа часто используется в обработке изображений, например в задаче выделения границ или в приложениях оценки движения. Дискретный лапласиан определяется как сумма вторых производных и вычисляется как сумма перепадов на соседях центрального пикселя. Метод усиления края по Лапласу рассматривает целый ряд различных ядер свертки. Приведем некоторые их них:

Как видно, сумма элементов матриц равна нулю, поэтому отклик фильтра может быть отрицательным. В этом случае значение отклика берется по модулю. В результате обработки области с постоянной или линейно возрастающей интенсивностью становятся черными, а области быстро изменяющихся значений интенсивности ярко высвечиваются.

Ниже приведем некоторые пространственные процессы, которые не подпадают под категорию свертки и могут применяться для устранения различного вида шума.

Фильтр «гармоническое среднее» . Гармоническое среднее ряда
вычисляется по формуле

. (1.23)

В процессе фильтрации значение текущего пикселя изображения заменяется на
множества значений девяти пикселей, включая текущий и соседние.

Min – фильтр. В процессе фильтрации значение текущего пикселя заменяется на минимальное значение соседних пикселей. Так, например, для ядра размерности 3 будем иметь:

Max – фильтр. В процессе фильтрации значение текущего пикселя заменяется на максимальное значение соседних пикселей (по аналогии с предыдущим фильтром).

Min - Max –фильтр. В процессе фильтрации значение текущего пикселя изображения сначала заменяется на минимальное значение соседних пикселей, а при повторном проходе на максимальное.

Медианный фильтр. Усредненное фильтрование использует значения элементов, содержащихся в области примыкания, для определения нового значения. Фильтр располагает элементы области примыкания в отсортированном порядке и отбирает среднее значение. Так, например, для ядра размерности 3 медианное значение будет пятым:

С помощью методов пространственной обработки изображений можно получить ряд интересных эффектов. Приведем некоторые из них.

Эффект тиснения. С помощью операции свертки можно реализовать преобразование, дающее эффект тиснения на изображении.

(1.24)

Бинарное «псевдополутоновое» изображение. Исходное изображение обрабатывается при помощи маски D2 или D4: если значение пикселя меньше пропорционального значения соответствующего ему элемента маски, то он обнуляется, иначе ему присваивается 255. Маска накладывается на изображение без перекрытия. Маски D2 и D4:

При использовании пространственных процессов могут возникнуть следующие вопросы, связанные с особенностями обработки пикселей:

Устранение краевых эффектов;

Значение отклика выходит за пределы .

Для первого вопроса возможны следующие пути решения:

Исключить из преобразования граничные пиксели изображения

в этом случае выходное изображение будет иметь меньшие размеры, либо закрасить граничные пиксели, например черным цветом;

Не включать соответствующий пиксель в суммирование, равномерно распределив его вес среди других пикселей окрестности;

Дополнить (достроить) исходное изображение, добавив необходимое количество пикселей по границе. Количество достраиваемых строки столбцов, как правило, зависит от размера ядра. Здесь возможны два варианта:

Доопределить значения пикселей за границами изображения при помощи экстраполяции. Например, считать постоянным значение интенсивности вблизи границы или считать постоянным градиент интенсивности вблизи границы;
Доопределить значения пикселей за границами изображения при помощи зеркального отражения.

Для решения проблем, связанных с выходом значения за пределы , возможны следующие действия:

Масштабировать полученные значения при положительных откликах фильтра;

При отрицательном отклике фильтра брать либо абсолютное значение (по модулю), либо приводить к нулю.

Также в данном разделе стоит привести возможную «классификацию» шума на изображении:

Шум «соль и перец» – случайные белые и черные пиксели;

Импульсный шум – случайные белые пиксели;

Гауссов шум – колебания интенсивности, распределенные по нормальному закону.

Данная статья рассказывает не только о наиболее распространённых фильтрах обработки изображений, но в понятной форме описывает алгоритмы их работы. Статья ориентирована, прежде всего, на программистов, занимающихся обработкой изображений.

Матрица свёртки

Фильтров использующих матрицу свёртки много, ниже будут описаны основные из них.

Матрица свёртки – это матрица коэффициентов, которая «умножается» на значение пикселей изображения для получения требуемого результата.

Ниже представлено применение матрицы свёртки:

div – это коэффициент нормирования, для того чтобы средняя интенсивность оставалась не изменой.

В примере матрица имеет размер 3x3, хотя размер может быть и больше.

Фильтр размытия

Наиболее часто используемым фильтром, основанным на матрице свёртки, является фильтр размытия.

Обычно матрица заполняется по нормальному (гауссовому) закону. Ниже приведена матрица размытия 5x5 заполненная по закону Гауссовского распределения.

Коэффициенты уже являются нормированными, так что div для этой матрицы равен одному.

От размера матрицы зависит сила размытия.

Стоит упомянуть о граничных условиях (эта проблема актуальна для всех матричных фильтров). У верхнего левого пикселя не существует «соседа» с права от него, следовательно, нам не на что умножать коэффициент матрицы.

Существует 2 решения этой проблемы:

I. Применение фильтра, только к «окну» изображения, которое имеет координаты левого верхнего угла , а для правого нижнего . kernelSize – размер матрицы; width, height – размер изображения.

Это не лучший способ, так как фильтр не применяется ко всему изображению. Качество при этом довольно сильно страдает, если размер фильтра велик.

II. Второй метод (дополнение) требует создания промежуточного изображения. Идея в том, чтобы создавать временное изображение с размерами (width + 2 kernelSize / 2, height + 2 kernelSize / 2). В центр изображения копируется входная картинка, а края заполняются крайними пикселями изображения. Размытие применяется к промежуточному буферу, а потом из него извлекается результат.

Данный метод не имеет недостатков в качестве, но необходимо производить лишние вычисления.

Фильтр размытия по Гауссу имеет сложность O(hi wi n *n), где hi, wi – размеры изображения, n – размер матрицы (ядра фильтра). Данный алгоритм можно оптимизировать с приемлемым качеством.

Квадратное ядро (матрицу) можно заменить двумя одномерными: горизонтальным и вертикальным. Для размера ядра 5 они будут иметь вид:

Фильтр применяется в 2 прохода: сначала горизонтальный, а потом к результату вертикальный (или на оборот).

Сложность данного алгоритма будет O(hi wi n) + O(hi wi n) = 2 O(hi wi * n), что для размера ядра больше двух, быстрее, чем традиционный метод с квадратной матрицей.

Фильтр улучшения чёткости

Для улучшения четкости необходимо использовать следующую матрицу:

Эта матрица увеличивает разницу значений на границах. Div для этой матрицы равен 1.

В программе GIMP есть фильтр «Матрица свёртки», который упрощает поиск необходимого Вам матричного преобразования.

Более подробную информацию о фильтрах основанных на матрице свёртки вы можете найти в статье «Графические фильтры на основе матрицы скручивания» .

Медианный фильтр

Медианный фильтр обычно используется для уменьшения шума или «сглаживания» изображения.

Фильтр работает с матрицами различного размера, но в отличие от матрицы свёртки, размер матрицы влияет только на количество рассматриваемых пикселей.

Алгоритм медианного фильтра следующий: Для текущего пикселя, пиксели, которые «попадают» в матрицу, сортируются, и выбирается средние значение из отсортированного массива. Это значение и является выходным для текущего пикселя. Ниже представлена работа медианного фильтра для размера ядра равного трём.

Фильтры эрозия и наращивание

Фильтры наращивание и эрозия служат для получения морфологического расширения или сужения соответственно. Проще говоря, для изображений это значит выбор пикселя с максимальной или минимальной интенсивностью из окрестности.

Обзор методов фильтрации и сегментации цифровых изображений

Источник: Стругайло В.В. Обзор методов фильтрации и сегментации цифровых изображений // Наука и образование. Электронное научно-технические издание. // Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет, 2012. — С. 270-281.

Введение

Методы цифровой обработки позволяют преобразовывать изображения для улучшения их визуального восприятия. Также в данной области решаются задачи изменения представления изображений для обеспечения их хранения, передачи, визуализации в электронном виде и дальнейшего анализа заложенной в них информации. Цифровая обработка изображений является бурно развивающейся областью науки. Исследование и разработка методов и алгоритмов обработки и анализа информации представленной в виде цифровых изображений является очень актуальной задачей.

В данной работе осуществляется обзор методов фильтрации и сегментации изображений. Приводятся примеры рассмотренных методов для решения задач улучшения визуального представления и выделения контуров объектов на изображениях.

Фильтрация изображений

Цифровые изображения подвержены воздействию различных типов шумов, которые могут возникать от способа получения изображений, технологий передачи информации, методов оцифровывания данных. Процесс устранения различных видов шумов на изображениях, называется фильтрацией.

При осуществлении фильтрации яркостные характеристики каждой точки цифрового изображения, заменяются другим значением яркости, которое признается в наименьшей степени искаженным помехой . Выделяют частотную и пространственную фильтрацию .

Частотные методы преобразований изображений основываются на идее Фурье преобразования, смысл которого заключается в представлении исходной функции в виде суммы тригонометрических функций различных частот, умноженных на заданные коэффициенты. В случае, если функция является периодической такое представление называется рядом Фурье. Иначе, непериодическая функция, имеющая конечную площадь под графиком, может быть выражена в виде интеграла от тригонометрических функций, умноженных на некоторую весовую функцию . Такой вариант называется преобразованием Фурье и в большинстве практических задач оказывается более полезным, чем ряд Фурье. Важным свойством является то, что функцию, представленную Фурье-преобразованием, после осуществления над ней преобразований можно обратно вернуть к исходному виду. Таким образом, данный подход позволяет обрабатывать функцию в частотной области, после чего без потери информации вернуться к исходному виду. Для решения задач фильтрации изображений преобразование Фурье также могут применяться. В практическом приложении реализация частотных подходов может быть аналогична пространственным методам фильтрации .

Пространственные методы улучшения изображений применятся к растровым изображениям, представленным в виде двумерных матриц. Принцип пространственных алгоритмов заключается в применении специальных операторов к каждой точке исходного изображения. В качестве операторов выступают прямоугольные или квадратные матрицы называемые масками, ядрами или окнами . Чаще всего маска представляет собой небольшой двумерный массив, а методы улучшения, базирующиеся на таком подходе, часто называют обработкой по маске или фильтрацией по маске.

При осуществлении линейной фильтрации отклик маски задается суммой произведений пикселей в области покрытия фильтра. В качестве линейного сглаживающего фильтра используется усредняющий фильтр выходным значением, которого является среднее значение по окрестности маски фильтра . Подобный фильтр используется для задач удаления зернистости изображения вызванной импульсным шумом . Общая формула отклика g(x, y) усредняющего фильтра, предназначенного для фильтрации изображения f с размерами M×N, имеет вид :

где w(s, t) — элемент ядра свертки изображения, имеющей размеры m×n, s∈[−m/2, m/2], t∈[−n/2, n/2] — координаты ядра свертки по оси абсцисс и ординат; x=0,1,2,..,M−1, y=0,1,2,..,N−1 — координаты исходного изображения f.

В форме удобной для программного представления подобный фильтр можно представить в виде:

где — элемент матрицы изображения после фильтрации; — элемент массива ядра свертки изображения, имеющий размеры m×n; — элемент матрицы исходного изображения.

В основе адаптивной фильтрации положен винеровский фильтр, являющийся одним из типов линейного фильтра для адаптивной локальной обработки изображений . Если значение среднеквадратичного отклонения интенсивностей пикселей в данной локальной области большое, то винеровский фильтр выполняет небольшое сглаживание и, наоборот, при меньшем отклонении область сглаживания больше . Этот подход часто бывает более эффективным, чем обычная линейная фильтрация. Преимущество адаптивный фильтра еще заключается в том, что он сохраняет края и другие высокочастотные части объектов изображения. Однако, винеровский фильтр требует большего времени для вычислений, чем линейный фильтр .

Среднее значение яркости вычисляется для центрального пикселя маски W i,j , содержащей значения яркости исходного изображения в покрытой маской локальной области изображения по формуле:

Дисперсия маски равна:

В данном алгоритме для каждого нового положения окна маски заново вычисляются соответствующие значения.

Сглаживание шума оценивается через среднее квадратичное отклонение:

На рисунке 1 приведены результаты фильтрации при наложении импульсного шума на цифровое изображение. На рисунке 2 представлены результаты фильтрации наложенного на цифровое изображение гауссовского белого шума.

Рисунок 1 — Результаты фильтрации импульсного шума на изображении

Рисунок 2 — Результаты фильтрации белого шума на изображении

Методы сегментации изображений

Конечный результат анализа изображений во многом определяется качеством сегментации , а степень детализации выделяемых характеристик зависит от конкретной задачи. Поэтому не существует отдельного метода или алгоритма подходящего для решения всех типов задач сегментации, каждый из методов имеет свои достоинства и недостатки. В большинстве случаев выбирается один или несколько алгоритмов, и модифицируются под специфичные условия задачи.

Сегментация решает в общем смысле две основные задачи :

разделение изображения на части, для осуществления дальнейшего анализа;
изменение формы описания элементов изображения, что позволяет представить точки как высокоуровневые структуры, обеспечивающие эффективность дальнейшего анализа изображения.

Ввыделяются различные классификации методов, но большинство из них основываются на двух следующих свойствах сигнала яркости — это разрывность и однородность.

Разделение изображения на части базируется на идеях, основанных на резких перепадах яркости. Изменение формы описания элементов изображения основывается на разделении изображения на однородные области с учетом заранее выбранных критериев .

К методам на основе разрывности яркости относится обнаружение точек линий и перепадов . При обнаружении точек и линий с помощью специальных масок организуется соответствующий поиск. В качестве методов обнаружения перепадов используются производные и градиенты от функций яркости, такие методы основаны на более общих идеях .

Методы пороговой обработки основываются на идеях разделения значимых характеристик по некоторому порогу. Порог может быть глобальным, то есть определенным на всем изображении или локальным, который определен на некоторой области .

Метод выращивания областей, основывается на обнаружении разрывов яркости. В методах выделяются несколько центральных точек или групп точек, после чего, к ним присоединяются пиксели, удовлетворяющие заданным условиям .

Гистограммные методы основаны на выборе минимальных и максимальных значений или интервалов между экстремумами .

Методы на основе преобразований Хафа, основываются на связывании точек друг с другом путем предварительного выяснения их принадлежности к некоторой кривой заданной формы или обнаружения прямых и кривых линий по семейству заданных прямолинейных отрезков и дуг .

Методы теории графов, основываются на обнаружении и связывании контуров с помощью представления отрезков контуров в виде графа и осуществлении поиска на этом графе путей, соответствующих искомым контурам .

Методы водоразделов заключается в поиске линий разделяющих локальные минимумы и максимумы значений яркостей элементов изображения .

Существует множество методов решающих задачи сегментации, как и подходов к их классификации. Для сравнения методов сегментации цифровых изображений, были смоделированы методы, представляемые в виде масок. Принцип работы таких методов основан на разности яркости элементов и фона изображения . Математическое обоснование методов заключается в вычислении производных, представленных для цифровых изображений в виде дискретных приближений градиента. В качестве градиентных методов выделяют операторы, представляющие собой матричные маски :

перекрестный оператор Робертса (Roberts" Crossoperator);
операторПревитта (Prewitt method, Compass Edge Detector);
операторСобела (Sobel operator).

Оператор Робертса прост в реализации и обладает высоким быстродействием, однако сильно чувствителен к помехам . На практике для вычисления дискретных градиентов чаще всего используются операторы Превитта и Собела. Маски оператора Превитта проще реализовать, чем маски оператора Собела, однако у последнего оператора влияние шума угловых элементов маски несколько меньше, что существенно при работе с производными . Следует отметить, что у каждой из масок сумма коэффициентов равна нулю .

Оператор Робертса использует четыре значения яркости на изображении и имеет следующий вид:

где — элемент матрицы исходного изображения.

Оператор Собела использует восемь отсчетов яркости в области анализируемого элемента:

Матрицы оператора Собела имеют вид :

где: E — матрица исходного изображения.

В программном представлении изображения :

Оператор Превитта подобен оператору Собела и отличается от него маской. Матрицы оператора Собела имеют вид :

В качестве методов основанных на производной второго порядка выделяют оператор Лапласиана . Данный оператор обнаруживает границы в местах смены знака производной функции яркости. Но оператор лапласиана очень чувствителен к шуму. Кроме того, использование модуля лапласиана приводит к удвоению контуров, что дает нежелательный эффект и усложняет сегментацию . С целью уменьшить влияние шума часто используют лапласиан в сочетании со сглаживанием, например, по методу Гаусса. Такое сочетание называют оператором лапласиан гауссиана (LaplacianofGaussian — LoG) .

Маска оператора Лапласиана гауссиана создается по формуле:

где σ — среднеквадратичное отклонение распределения Гаусса. Маска фильтра имеет вид:

где a — параметр в диапазоне .

Еще одним часто реализуемым программно методом является Canny . Фактически это набор последовательно применяемых алгоритмов. Данный подход устойчивый к шуму и дает, как правило, лучшие результаты по сравнению с градиентными методами. Но, так как это в принципе набор алгоритмов, то и быстродействие данного метода уступает более простым операторам.

На рисунке 3 приводятся результаты сегментации цифрового изображения с помощью рассмотренных алгоритмов.

Рисунок 3 — Результаты сегментации изображения

Заключение

На основе реализованных методов фильтрации делается вывод, что для импульсных помех более подходит медианный фильтр, хорошо сохраняющий границы элементов и обладающий быстродействием. Для удаления белого шума наилучшие результаты показаны адаптивным винеровским фильтром.

Градиентные алгоритмы, применяемые для выделения контуров элементов изображений более просты в реализации программными средствами, однако результаты, получаемые с их помощью, зависят от качества исследуемых изображений. Качество выделения контуров методом Cannyвыше. Однако данный алгоритм медленнее, что становится заметно на большом количестве анализируемых изображений.

Список использованной литературы

1. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. — М.: Техносфера, 2006. — 1072 с.
2. Грузман И.С., Киричук В.С., Косых В.П., Перетягин Г.И., Спектор А.А. Цифровая обработка изображений в информационных системах: Учеб. пособие. — Новосибирск.: Изд-во НГТУ, 2003. — 352 с.
3. Сато Ю. Обработка сигналов. Первое знакомство. 2-е издание. — М.: Додэка XXI, 2009. — 176 с.
4. Оппенгейм А. Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. 2-е издание. — М.: Техносфера, 2007. — 856 с.
5. Лайонс Ричард. Цифровая обработка сигналов: 2 изд. — М.: ООО Бином-Пресс, 2006. — 656 с.
6. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. — СПб.: Питер, 2007. — 752 с.
7. Фисенко В.Т., Фисенко Т.Ю., Компьютерная обработка и распознавание изображений: учеб. пособие. — СПб: СПбГУ ИТМО, 2008. — 192 с.
8. Яне Б. Цифровая обработка изображений. — М.: Техносфера, 2007. — 584 с.
9. Шапиро Л., Стокман Дж. Компьютерное зрение. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — 752 с.

Цифровые фильтры позволяют накладывать на изображение различные эффекты, например: размытие, резкость, деформацию, шум и т. д.

Цифровой фильтр представляет собой алгоритм обработки изображения. Большая группа цифровых фильтров имеет один и тот же алгоритм, но эффект, накладываемый фильтром на изображение, зависит от коэффициентов, используемых в алгоритме.

Фильтрация изображений является одной из самых фундаментальных операций компьютерного зрения, распознавания образов и обработки изображений. Фактически, с той или иной фильтрации исходных изображений начинается работа подавляющего большинства методов.

Линейные фильтры

Линейные фильтры представляют собой семейство фильтров, имеющих очень простое математическое описание. Вместе с тем они позволяют добиться самых разнообразных эффектов. Будем считать, что задано исходное полутоновое изображение A , и обозначим интенсивности его пикселей A (x , y ). Линейный фильтр определяется вещественнозначной функцией F , заданной на растре. Данная функция называется ядром фильтра, а сама фильтрация производится при помощи операции дискретной свертки (взвешенного суммирования):

Результатом служит изображение B . В приведенной формуле не определены пределы суммирования. Обычно ядро фильтра отлично от нуля только в некоторой окрестности N точки (0, 0). За пределами этой окрестности F (i , j ) или в точности равно нулю, или очень близко к нему, так что можно им пренебречь. Поэтому суммирование производится по (i , j ) Є N , и значение каждого пикселя B (x , y ) определяется пикселями изображения A , которые лежат в окне N , центрированном в точке (x , y ) (обозначим это множество N (x , y )). Ядро фильтра, заданное на прямоугольной окрестности N , может рассматриваться как матрица m ×n , где длины сторон являются нечетными числами. При задании ядра матрицей M kl , ее следует центрировать:

Также нуждается в дополнительном прояснении ситуация, когда пиксель (x , y ) находится в окрестности краев изображения. В этом случае A (x +i , y +j ) может соответствовать пикселю A , лежащему за границами изображения A . Данную проблему можно разрешить несколькими способами:

§ не проводить фильтрацию для таких пикселей, обрезав изображение B по краям или закрасив их, к примеру, черным цветом;

§ не включать соответствующий пиксель в суммирование, распределив его вес F (i , j ) равномерно среди других пикселей окрестности N (x , y );

§ доопределить значения пикселей за границами изображения при помощи экстраполяции;

§ доопределить значения пикселей за границами изображения, при помощи зеркального отражения.

Выбор конкретного способа нужно производить с учетом конкретного фильтра и особенностей конкретного приложения. Разобрав общее определение линейных фильтров, перейдем к примерам.

Сглаживающие фильтры

Результатом применения сглаживающего фильтра является размытие изображения, устранение резких цветовых переходов. Простейший прямоугольный сглаживающий фильтр радиуса r задается при помощи матрицы размера (2r + 1) × (2r + 1), все значения которой равны:

а сумма по всем элементам матрицы равна, таким образом, единице. При фильтрации с данным ядром значение пикселя заменяется на усредненное значение пикселей в квадрате со стороной 2r +1 вокруг него. Пример фильтрации при помощи прямоугольного фильтра приведен на рис. 4.19.

а)

б)

Рис. 4.19. Пример использования сглаживающего фильтра

В этом случае на исходное изображение (рис. 4.19, а) наложен прямоугольный фильтр размером 3 на 3 пикселя. Ядро фильтра в этом случае выглядит следующим образом:

Результат фильтрации приведен на изображении справа (рис. 4.19, б). Отметим, что сумма всех элементов ядра фильтра дает в результате единицу. Потому можно сказать, что при использовании такого фильтра в целом яркость всего изображения не меняется. Однако, в следствии усреднения значений цветов пикселей, контрастность изображения уменьшается, что и видно на рис. 4.19.

Как видим из приведенного примера, сглаживающие фильтры могут применяться для устранения лестничного эффекта, а также для шумоподавления.

Шум – дефект на изображении, вносимый фотосенсорами и электроникой устройств, или возникающий при использовании аналоговых устройств. Шум на изображении проявляется в виде случайным образом расположенных элементов растра (точек), имеющих размеры близкие к размеру пикселя. Шум отличается от изображения более светлым или тёмным оттенком серого и цвета и/или по цвету. Причиной появления шумов на изображении является: зернистость плёнки, грязь, пыль, царапины, отслоение фотографической эмульсии. Если рассматривать цифровые устройства то причиной возникновения цифрового шума является: тепловой шум матрицы, шум переноса заряда, шум квантования АЦП, усиление сигналов в цифровом фотоаппарате, грязь, пыль на сенсоре.

Применение линейной фильтрации с прямоугольным ядром имеет существенный недостаток: пиксели на расстоянии r от обрабатываемого оказывают на результат тот же эффект, что и соседние. Более эффективное шумоподавление можно осуществить, если влияние пикселей друг на друга будет уменьшаться с расстоянием. Этим свойством обладает гауссовский фильтр с ядром:

Гауссовский фильтр имеет ненулевое ядро бесконечного размера. Однако ядро фильтра очень быстро убывает к нулю при удалении от точки (0, 0), и потому на практике можно ограничиться сверткой с окном небольшого размера вокруг (0, 0) (например, взяв радиус окна равным 3σ ).

Гауссовская фильтрация также является сглаживающей. Однако, в отличие от прямоугольного фильтра, образом точки при гауссовой фильтрации будет симметричное размытое пятно, с убыванием яркости от середины к краям, что гораздо ближе к реальному размытию от расфокусированных линз.

Аннотация: Введение. Линейные фильтры: определение, сглаживающие фильтры, контрастоповышающие фильтры, разностные фильтры. Нелинейные фильтры: примеры нелинейных фильтров, морфологические операторы

8.1. Введение

Представим себе, что, глядя на какую-нибудь сцену одним глазом, мы подносим к нему стеклянную пластину. Если эта пластина не была идеально прозрачной, то наблюдаемое изображение изменится. В зависимости от стекла, из которого сделана пластина, изменение может быть самым разнообразным. К примеру, если это стекло было цветным, то изображение приобретет соответствующий оттенок, а от мутного стекла - станет размытым.

Фильтрация изображений аналогична такому разглядыванию мира через стеклянную пластину, хотя и позволяет добиться гораздо большего разнообразия эффектов, чем эксперименты с разными пластинами. Под фильтрацией изображений понимают операцию, имеющую своим результатом изображение того же размера, полученное из исходного по некоторым правилам. Обычно интенсивность (цвет) каждого пикселя результирующего изображения обусловлена интенсивностями (цветами) пикселей, расположенных в некоторой его окрестности в исходном изображении.

Правила, задающие фильтрацию (их называют фильтрами ), могут быть самыми разнообразными. В этой лекции мы рассмотрим простейшие фильтры. Заметим, что, согласно предложенному определению, операция, заключающаяся в последовательном применении двух или более фильтраций, тоже является фильтрацией. Таким образом, можно говорить о составных фильтрах , соответствующих комбинациям простых. Изучив основные типы фильтров в данной лекции, мы будем иметь дело с применением фильтров, составленных из них, для решения разнообразных задач в последующих лекциях. Фильтрация изображений является одной из самых фундаментальных операций компьютерного зрения, распознавания образов и обработки изображений. Фактически, с той или иной фильтрации исходных изображений начинается работа подавляющего большинства методов. Рассматриваемые в этой лекции фильтры имеют, таким образом, чрезвычайную важность с точки зрения их применения в различных приложениях.

8.2. Линейные фильтры

Определение

(8.1)

Результатом служит изображение B . В определении (8.1) мы опустили пределы суммирования. Обычно ядро фильтра отлично от нуля только в некоторой окрестности N точки (0, 0) . За пределами этой окрестности F(i, j) или в точности равно нулю, или очень близко к нему, так что можно им пренебречь. Суммирование в (8.1) производится по , и значение каждого пикселя B(x, y) определяется пикселями изображения A , которые лежат в окне N , центрированном в точке (x, y) (мы будем обозначать это множество N(x, y) ). Ядро фильтра, заданное на прямоугольной окрестности N , может рассматриваться как матрица m на n , где длины сторон являются нечетными числами. При задании ядра матрицей M kl , ее следует центрировать:

(8.2)

Также нуждается в дополнительном прояснении ситуация, когда пиксель (x, y) находится в окрестности краев изображения. В этом случае A(x + i, y + j) в определении (8.1) может соответствовать пикселю A , лежащему за пределами изображения A . Данную проблему можно разрешить несколькими способами.

Не проводить фильтрацию для таких пикселей, обрезав изображение B по краям или закрасив их, к примеру, черным цветом.
Не включать соответствующий пиксель в суммирование, распределив его вес F(i, j) равномерно среди других пикселей окрестности N(x, y) .
Доопределить значения пикселей за границами изображения при помощи экстраполяции. Например, считать постоянным значение интенсивности вблизи границы (для пикселя (-2, 5) имеем A(-2, 5) = A(0, 5) ) или считать постоянным градиент интенсивности вблизи границы (A(-2, 5) = A(0, 5) + 2(A(0, 5) - A(1, 5)) ).
Доопределить значения пикселей за границами изображения, при помощи зеркального отражения (A(-2, 5) = A(2, 5) ).

Выбор конкретного способа нужно производить с учетом конкретного фильтра и особенностей конкретного приложения.

Разобрав общее определение линейных фильтров, перейдем к примерам.