Геометрическое изображение функции двух переменных. Функции нескольких переменных

Пусть Z = F (M ) – функция, определенная в некоторой окрестности точки М(у; х); L ={ Cos ; Cos } – единичный вектор (на рис. 33 1= , 2= ); L – направленная прямая, проходящая через точку М ; М1(х1; у1), где х1=х+х и у1=у+у – точка на прямой L ;  L – величина отрезка ММ1 ;  Z = F (х+х, у+у)- F (X , Y ) – приращение функции F (M ) в точке М(х; у).

Определение. Предел отношения , если он существует, называется Производной функции Z = F ( M ) в точке M ( X ; Y ) по направлению вектора L .

Обозначение.

Если функция F (M ) дифференцируема в точке М(х; у) , то в точке М(х; у) существует производная по любому направлению L , исходящему из М ; вычисляется она по следующей формуле:

(8)

Где Cos И Cos - направляющие косинусы вектора L .

Пример 46. Вычислить производную функции Z = X 2 + Y 2 X в точке М(1; 2) по направлению вектора ММ1 , где М1 – точка с координатами (3; 0).

. Найдем единичный вектор L , имеющий данное направление:

Откуда Cos = ; Cos =- .

Вычислим частные производные функции в точке М(1; 2) :

По формуле (8) получим

Пример 47. Найти производную функции U = Xy 2 Z 3 в точке М(3; 2; 1) В направлении вектора MN , где N (5; 4; 2) .

. Найдем вектор и его направляющие косинусы:

Вычислим значения частных производных в точке М :

Следовательно,

Определение. Градиентом Функции Z = F (M ) в точке М(х; у) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным и, взятым в точке М(х; у).

Обозначение.

Пример 48. Найти градиент функции Z = X 2 +2 Y 2 -5 в точке М(2; -1) .

Решение . Находим частные производные: и их значения в точке М(2; -1):

Пример 49. Найти величину и направление градиента функции в точке

Решение. Найдем частные производные и вычислим их значения в точке М:

Следовательно,

Аналогично определяется производная по направлению для функции трех переменных U = F (X , Y , Z ) , выводятся формулы

Вводится понятие градиента

Подчеркнем, что Основные свойства градиента функции важнее для анализа экономических оптимизационных : в направлении градиента функция возрастает. В экономических задачах находят применение следующие свойства градиента:

1) Пусть задана функция Z = F (X , Y ) , имеющая частные производные в области определения. Рассмотрим некоторую точку М0(х0, у0) из области определения. Значение функции в этой точке пусть равно F (X 0 , Y 0 ) . Рассмотрим график функции. Через точку (X 0 , Y 0 , F (X 0 , Y 0 )) трехмерного пространства проведем плоскость, касательную к поверхности графика функции. Тогда градиент функции, вычисленный в точке (х0, у0) , рассматриваемый геометрически как вектор, приложенный в точке (X 0 , Y 0 , F (X 0 , Y 0 )) , будет перпендикулярен касательной плоскости. Геометрическая иллюстрация приведена на рис. 34.

2) Градиент функции F (X , Y ) в точке М0(х0, у0) указывает направление наиболее быстрого возрастания функции в точке М0 . Кроме того, любое направление, составляющее с градиентом острый угол, является направлением роста функции в точке М0 . Другими словами, малое движение из точки (х0, у0) по направлению градиента функции в этой точке ведет к росту функции, причем в наибольшей степени.

Рассмотрим вектор, противоположный градиенту. Он называется Антиградиентом . Координаты этого вектора равны:

Антиградиент функции F (X , Y ) в точке М0(х0, у0) указывает направление наиболее быстрого убывания функции в точке М0 . Любое направление, образующее острый угол с антиградиентом, является направлением убывания функции в этой точке.

3) При исследовании функции часто возникает необходимость нахождения таких пар (х, у) из области определения функции, при которых функция принимает одинаковые значения. Рассмотрим множество точек (X , Y ) из области определения функции F (X , Y ) , таких, что F (X , Y )= Const , где запись “ Const ” означает, что значение функции зафиксировано и равно некоторому числу из области значений функции.

Определение. Линией уровня функции U = F ( X , Y ) называется линия F (X , Y )=С на плоскости XOy , в точках которой функция сохраняет постоянное значение U = C .

Линии уровня геометрически изображаются на плоскости изменения независимых переменных в виде кривых линий. Получение линий уровня можно представить себе следующим образом. Рассмотрим множество С , которое состоит из точек трехмерного пространства с координатами (X , Y , F (X , Y )= Const ), которые, с одной стороны, принадлежат графику функции Z = F (X , Y ), с другой - лежат в плоскости, параллельной координатной плоскости ХОУ , и отстоящей от неё на величину, равную заданной константе. Тогда для построения линии уровня достаточно поверхность графика функции пересечь плоскостью Z = Const и линию пересечения спроектировать на плоскость ХОУ . Проведенное рассуждение является обоснованием возможности непосредственно строить линии уровня на плоскости ХОУ .

Определение. Множество линий уровня называют Картой линий уровня .

Хорошо известны примеры линий уровня – уровни одинаковых высот на топографической карте и линии одинакового барометрического давления на карте погоды.

Определение. Направление, вдоль которого скорость увеличения функции максимальна, называется «предпочтительным» направлением , или Направлением наискорейшего роста .

«Предпочтительное» направление задается вектором-градиентом функции. На рис. 35 изображены максимум, минимум и седловая точка в задаче оптимизации функции двух переменных при отсутствии ограничений. В нижней части рисунка изображены линии уровня и направления наискорейшего роста.

Пример 50. Найти линии уровня функции U = X 2 + Y 2 .

Решение. Уравнение семейства линий уровня имеет вид X 2 + Y 2 = C (C >0) . Придавая С различные действительные значения, получим концентрические окружности с центром в начале координат.

Построение линий уровня. Их анализ находит широкое применение в экономических задачах микро - и макроуровня, теории равновесия и эффективных решений. Изокосты, изокванты, кривые безразличия – это все линии уровня, построенные для разных экономических функций.

Пример 51. Рассмотрим следующую экономическую ситуацию. Пусть производство продукции описывается Функцией Кобба-Дугласа F (X , Y )=10х1/3у2/3 , где Х – количество труда, У – количество капитала. На приобретение ресурсов выделено 30 у. ед., цена труда составляет 5 у. ед., капитала – 10 у. ед. Зададимся вопросом: какой наибольший выпуск можно получить в данных условиях? Здесь под «данными условиями» имеются в виду заданные технологии, цены на ресурсы, вид производственной функции. Как уже отмечалось, функция Кобба-Дугласа является монотонно возрастающей по каждой переменной, т. е. увеличение каждого вида ресурса ведет к росту выпуска. В данных условиях ясно, что увеличивать приобретение ресурсов можно до тех пор, пока хватает денег. Наборы ресурсов, стоимость которых составляет 30 у. ед., удовлетворяют условию:

5х + 10у = 30,

Т. е. определяют линию уровня функции:

G (X , Y ) = 5х + 10у.

С другой стороны, с помощью линий уровня Функции Кобба-Дугласа (рис. 36) можно показать возрастание функции: в любой точке линии уровня направление градиента – это направление наибольшего возрастания, а для построения градиента в точке достаточно провести касательную к линии уровня в этой точке, построить перпендикуляр к касательной и указать направление градиента. Из рис. 36 видно, что движение линии уровня функции Кобба-Дугласа вдоль градиента следует производить до тех пор, пока она не станет касательной к линии уровня 5х + 10у = 30 . Таким образом, с помощью понятий линии уровня, градиента, свойств градиента можно выработать подходы к наилучшему использованию ресурсов с точки зрения увеличения объемов выпускаемой продукции.

Определение. Поверхностью уровня функции U = F ( X , Y , Z ) называется поверхность F (X , Y , Z )=С, в точках которой функция сохраняет постоянное значение U = C .

Пример 52. Найти поверхности уровня функции U = X 2 + Z 2 - Y 2 .

Решение. Уравнение семейства поверхностей уровня имеет вид X 2 + Z 2 - Y 2 =С . Если С=0 , то получаем X 2 + Z 2 - Y 2 =0 – конус; если C <0 , то X 2 + Z 2 - Y 2 =С – Семейство двуполостных гиперболоидов.

Определение . Пусть имеется п переменных величин, и каждому набору их значений (х х , х 2 ,..., х п ) из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной вели­чины z . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = f (х х , х 2 ,..., х п ) .

Переменные х х , х 2 ,..., х п называются независимыми переменными или аргументами, z - зависимой переменной, а символ f означа­ет закон соответствия. Множество X называется областью оп­ределения функции. Очевидно, это подмножество n-мерного пространства.

Функцию двух переменных обозначают z=f(x, у) . Тогда ее область определения X есть подмножество ко­ординатной плоскости Оху .

Окрестностью точки
называется круг, содержа­щий точку
(см. рис. 1).

Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интерва­ла на прямой.

При изучении функций нескольких переменных используется математи­ческий аппарат: любой функции z = f (x , у) можно по­ставить в соответствие пару функций одной переменной: при фиксированном значении х=х 0 функцию z =
и при фиксированном значении у=у 0 функцию z = f (x , у 0 ).

Графиком функции двух переменных z =
называется множе­ство точек трехмерного пространства (х, у, z), аппликата z кото­рых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соот­ношением z =
.

Для построения графика функции z=f(x, у) полезно рассмат­ривать функции одной переменной z = f (x , у 0 ) и z =
, пред­ставляющие сечения графика z = f (x , у) плоскостями, парал­лельными координатным плоскостям Oxz и Oyz , т.е. плоскостями у= у 0 и х=х 0 .

Пример 1. Построить график функции
.

Решение. Сечения поверхности
=
плоскостями, параллельными координатным плос­костямOyz и Oxz , пред­ставляют параболы (на­пример, при х = 0
, при у = 1
и т.д.). В се­чении поверхности кординатной плоско­стьюОху , т.е. плоско­стью z=0 , получается окружность
График функции представляет поверх­ность, называемую па­раболоидом (см. рис. 2)

Определение . Линией уровня функции двух переменных z=f{x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Число С в этом случае называется уровнем.

На рис.3 изображены линии уровня, соответствую­щие значениям С=1 и С=2. Как видно, линия уровня состо­ит из двух непересекающихся кривых. Линия– самопере­секающаяся кривая.

Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, паралле­ли и меридианы на глобусе - это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображе­нием изотерм - линий уровня температуры.

Пример 2. Построить линии уровня функции
.

Решение. Линия уровня z = C это кривая на плоскости Оху, задаваемая уравнением х 2 + у 2 - 2у = С или х 2 + (у - I) 2 = С+1. Это уравнение окружности с центром в точке (0; 1) и радиусом
(рис. 4).

Точка (0; 1) - это вырожденная линия уровня, соответст­вующая минимальному значению функции z =-1 и достигаю­щемуся в точке (0; 1). Линии уровня - концентрические ок­ружности, радиус которых увеличивается с ростом z = C , при­чем расстояния между линиями с одинаковым шагом уровня уменьшаются по мере удаления от центра. Линии уровня по­зволяют представить график данной функции, который был ранее построен на рис. 2.

Частные производные

Дадим аргументу х приращение ∆х, аргументу у - приращение ∆у. Тогда функция z получит наращенное значение f(х+∆х, у+∆у). Величина ∆ z = f (x +∆ x , y +∆ y )- f { x , у) называется полным приращени­ем функции в точке (х; у). Если задать только приращение аргу­мента x или только приращение аргумента у, то полученные при­ращения функции соответственно иназываютсячастными.

Полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных, т.е.

Пример 15.6. Найти частные и полное приращения функции z = xy .

Решение. ;;.

Получили, что

Определение. Частной производной функции несколь­ких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответст­вующего частного приращения функции к приращению рас­сматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Обозначается частная производная так:
или
, или
.

Для нахождения производной
надо считать постоянной переменную у, а для нахождения
-переменную х. При этом сохраняются известные правила дифференцирова­ния.

Пример. Найти частные производные функции:

a) z = x ln y + .

Решение: Чтобы найти частную производную по х, считаем у постоянной величиной. Таким образом,
. Аналогично, дифференцируя по у, считаем х постоянной величиной, т.е
.

Дифференциал функции

Определение. Дифференциалом функции называется сумма про­изведений частных производных этой функции на приращения соот­ветствующих независимых переменных, т.е.

dz =
. (1)

Учитывая, что для функций f(х, у)=х, g (x , у)=у согласно (1) df = dx =∆ x ; dg = dy =∆ y формулу дифференциала (1) можно запи­сать в виде dz = z " x dx + z " y dy (2) или

Определение. Функция z = f (x , у) называется дифференцируемой в точке (х, у), если ее полное приращение может быть представлено в виде (3), где dz - дифференциал функции, – ,бесконечно малые при
.

Достаточное условие дифферен­цируемости функции двух переменных.

Теорема. Если частные производные функции z " v (x , у) существу­ют в окрестности точки (х, у) и непрерывны в самой точке (х, у), то функция z = f { x , у) дифференцируема в этой точке.

Чтобы создать карту линий уровня:

• Определите матрицу значений, которую нужно отобразить графически. Mathcad предполагает, что строки и столбцы представляют значения аргументов некой функции, равномерно располагаемые на осях координат. Затем Mathcad линейно интерполирует значения этой матрицы, чтобы сформировать линии одинакового уровня. Такие изолинии могут представлять изотермы, изобары, эквипотенциальные линии, линии тока или иметь иной физический смысл.
• Выберите Карта линий уровня изCreate Contour Plot command меню Графика . Mathcad покажет прямоугольник с одним полем ввода, как на Рисунке 1.
• Напечатайте имя матрицы в поле ввода. Как и при работе с выражением, Mathcad не создаст карту линий уровня, пока Вы не нажмете , или, в автоматическом режиме, не щёлкните вне области графика.

Рисунок 1: Пустое поле ввода отведено для имени матрицы.

Построенный график изображает линии, вдоль которых функция, значения которой представлены элементами матрицы, принимает постоянные значения. Поскольку разные линии соответствуют разным значениям, то они не пересекаются. При построении графика матрица ориентируется таким образом, что её (0.0) элемент соответствует нижнему левому углу графика, строки матрицы соответствуют постоянным значениям по оси ординат, а столбцы соответствуют постоянным значениям по оси абсцисс.

Форматируя чертёж, можно установить, должны ли проставляться значения функции на соответствующих им линиях уровня, насколько частыми они должны быть, и какие надписи и линии сетки появятся на осях. Всё это описано ниже в разделе “Форматирование карты линий уровня ”.

Линии уровня функции двух переменных

Ниже приведены стандартные этапы в создании карты линий уровня функции двух переменных, показанной на Рисунке 2:

• Определите функцию двух переменных.
• Решите, сколько точек нужно отложить по координатным осям. Введите дискретные аргументы i и j , чтобы индексировать эти точки. Например, если необходимо использовать 10 точек в каждом направлении, введите:

i:= 0 ..9 j:= 0 ..9

• Определите x i и y j как равномерно располагаемые точки на осях x и y .
• Заполните матрицу M значениями f(x i , y j).
• Отобразите M в виде карты линий уровня.

Рисунок 2: Карта линий уровня функции двух переменных.

Обратите внимание, что в данном случае ось x графика идет направо, а ось y направлена вверх. Так как карта линий уровня создается помещением значений функции в матрицу, Mathcad не знает истинных значений x и y . По этой причине оси на карте линий уровня по умолчанию нормированы так, что координаты изменяются от -1 до 1. Можно вручную установить границы на осях вместо этих значений по умолчанию, выбрав Формат 3D графика из меню Графика при выделенной карте линий уровня, или двойным щелчком на графике. Затем установите необходимые значения в полях “Мин” и “Макс” на странице “Оси”.

Чтобы

нескольких функций

скачать график

Построение графика функции онлайн

моментально .

Онлайн сервис моментально рисует график

Поддерживаются абсолютно все математические функции

Тригонометрические функции
				Косеканс	Котангенс	Арксинус	Арккосинус	Арктангенс	Арксеканс	Арккосеканс	Арккотангенс
Гиперболические функции
Прочее
Натуральный логарифм		Логарифм		Квадратный корень				Округление в меньшую сторону		Округление в большую сторону
Минимум						Максимум
min(выражение1,выражение2,…)						max(выражение1,выражение2,…)

Построить график функции

Построение поверхности 3D

Введите уравнение

Построим поверхность, заданную уравнением f(x, y, z) = 0, где a < x < b, c < y < d, m < z < n.

Другие примеры:

• y = x^2
• z = x^2 + y^2
• 0.3 * z^2 + x^2 + y^2 = 1
• z = sin((x^2 + y^2)^(1/2))
• x^4+y^4+z^4-5.0*(x^2+y^2+z^2)+11.8=0

Канонический вид кривой и поверхности

Вы можете определить вид кривой и поверхности 2-го порядка онлайн с подробным решением:

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x| ) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция — экспонента от x (что и e ^x ) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x) , надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x) =log(x)/log(10)) pi Число — "Пи", которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа вводить в виде 7.5 , не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание

Как построить график функции онлайн на этом сайте?

Чтобы построить график функции онлайн , нужно просто ввести свою функцию в специальное поле и кликнуть куда-нибудь вне его. После этого график введенной функции нарисуется автоматически. Допустим, вам требуется построить классический график функции «икс в квадрате». Соответственно, нужно ввести в поле «x^2».

Если вам нужно построить график нескольких функций одновременно, то нажмите на синюю кнопку «Добавить еще». После этого откроется еще одно поле, в которое надо будет вписать вторую функцию. Ее график также будет построен автоматически.

Цвет линий графика вы можете настроить с помощью нажатия на квадратик, расположенный справа от поля ввода функции. Остальные настройки находятся прямо над областью графика. С их помощью вы можете установить цвет фона, наличие и цвет сетки, наличие и цвет осей, наличие рисок, а также наличие и цвет нумерации отрезков графика. Если необходимо, вы можете масштабировать график функции с помощью колесика мыши или специальных иконок в правом нижнем углу области рисунка.

После построения графика и внесения необходимых изменений в настройки, вы можете скачать график с помощью большой зеленой кнопки «Скачать» в самом низу. Вам будет предложено сохранить график функции в виде картинки формата PNG.

Зачем нужно строить график функции?

На этой странице вы можете построить интерактивный график функции онлайн .

Построить график функции онлайн

Построение графика функции позволяет увидеть геометрический образ той или иной математической функции. Для того чтобы вам было удобнее строить такой график, мы создали специальное онлайн приложение. Оно абсолютно бесплатно, не требует регистрации и доступно для использования прямо в браузере без каких-либо дополнительных настроек и манипуляций. Строить графики для разнообразных функций чаще всего требуется школьникам средних и старших классов, изучающим алгебру и геометрию, а также студентам первых и вторых курсов в рамках прохождения курсов высшей математики. Как правило, данный процесс занимает много времени и требует кучу канцелярских принадлежностей, чтобы начертить оси графика на бумаге, проставить точки координат, объединить их ровной линией и т.д. С помощью данного онлайн сервиса вы сможете рассчитать и создать графическое изображение функции моментально .

Как работает графический калькулятор для графиков функций?

Онлайн сервис работает очень просто. В поле на самом верху вписывается функция (т.е. само уравнение, график которого необходимо построить). Сразу после ввода приложение моментально рисует график в области под этим полем. Все происходит без обновления страницы. Далее, можно внести различные цветовые настройки, а также скрыть/показать некоторые элементы графика функции. После этого, готовый график можно скачать, нажав на соответствующую кнопку в самом низу приложения. На ваш компьютер будет загружен рисунок в формате.png, который вы сможете распечатать или перенести в бумажную тетрадь.

Какие функции поддерживает построитель графиков?

Поддерживаются абсолютно все математические функции , которые могут пригодиться при построении графиков. Тут важно подчеркнуть, что в отличии от классического языка математики принятого в школах и ВУЗах, знак степени в рамках приложения обозначается международным знаком «^». Это обусловлено отсутствием на клавиатуре компьютера возможности прописать степень в привычном формате. Далее приведена таблица с полным списком поддерживаемых функций.

Приложением поддерживаются следующие функции:

Тригонометрические функции
				Косеканс	Котангенс	Арксинус	Арккосинус	Арктангенс	Арксеканс	Арккосеканс	Арккотангенс
Гиперболические функции
Прочее
Натуральный логарифм		Логарифм		Квадратный корень				Округление в меньшую сторону		Округление в большую сторону
Минимум						Максимум
min(выражение1,выражение2,…)						max(выражение1,выражение2,…)

Примеры. Построить линии уровня функций, соответствующие значениям

Построить линии уровня функций, соответствующие значениям .

Полагая , получим уравнения соответствующих линий уровня:

Построив эти линии в декартовой системе координат хОу, получим прямые, параллельные биссектрисе второго и четвертого координатных углов (рис.1)

Напишем уравнения линий уровня:

, , , и .

Построив их в плоскости хОу, получим концентрические окружности с центром в начале координат (рис.2)

Линии уровня этой функции , , , и представляют собой параболы, симметричные относительно Оу с общей вершиной в начале координат (рис. 3).

2. Производная по направлению

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в данном направлении.

Для характеристики скорости изменения поля в направлении вектора вводят понятие производной поля по направлению.

Рассмотрим функцию в точке и точке .

Проведем через точки и вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .