Индекс частотной модуляции больше единицы. Частотная модуляция: теория, временная и частотная области
Анализ характеристик сигналов с угловой модуляцией мы начнём с рассмотрения однотональной частотной модуляции. Управляющий сигнал в этом случае представляет собой колебание единичной амплитуды (к этому виду всегда можно привести )
,
(4.29)
а модулируемым параметром несущего колебания является мгновенная частота. Тогда, подставляя (4.29) в (4.24), получим:
Выполнив операцию интегрирования, приходим к следующему выражению сигнала однотональной частотной модуляции
Отношение
называется индексом
частотной модуляции и имеет физический смысл части девиации
частоты , приходящуюся на единицу частоты
модулирующего сигнала. Так например, если девиация частоты несущего колебания МГц составляет 
, а частота управляющего сигнала кГц, то индекс частотной модуляции
составит . В выражении (4.30) начальная
фаза не учитывается как не имеющая принципиального
значения.
Временная диаграмма сигнала при однотональной ЧМ представлена на рис. 4.7
Рассмотрение спектральных характеристик ЧМ-сигнала начнём с частного случая малого индекса частотной модуляции . Воспользовавшись соотношением
представим (4.30) в виде
Поскольку , то можно воспользоваться приближёнными представлениями
и выражение (4.31) приобретает вид
Воспользовавшись известным тригонометрическим соотношением
и полагая и , получим:
Это выражение напоминает выражение (4.6) для однотонального АМ – сигнала. Отличие состоит в том, что, если в однотональном АМ – сигнале начальные фазы боковых составляющих одинаковы , то в однотональном ЧМ сигнале при малых индексах частотной модуляции они отличаются на угол , т.е. находятся в противофазе.
Спектральная диаграмма такого сигнала показана на рис. 4.8
В скобках указаны
значения начальной фазы боковых составляющих. Очевидно, ширина спектра ЧМ –
сигнала при малых индексах частотной модуляции равна
.
Сигналы с частотной модуляцией с малым в практической радиотехнике применяются достаточно редко.
В реальных радиотехнических системах индекс частотной модуляции существенно превышает единицу.
Так например, в современных аналоговых
системах мобильной связи, использующих для передачи речевых сообщений сигналы частотной
модуляции при верхней частоте речевого сигнала кГц и девиации частоты 
кГц, индекс , как нетрудно убедиться,
достигает значения ~3-4. В системах же радиовещания метрового диапазона индекс
частотной модуляции может превышать значения, равного 10. Поэтому рассмотрим
спектральные характеристики ЧМ сигналов при произвольных значениях величины .
Возвратимся к выражению (4.32). Известны следующие виды разложения
где – фунция Бесселя первого рода -го порядка.
Подставляя эти выражения в (4.32), после несложных, но довольно громоздких преобразований с использованием уже неоднократно упомянутых выше соотношений произведений косинусов и синусов, получим
|
(4.36)где 
.
Полученное выражение представляет собой
разложение однотонального ЧМ – сигнала на гармонические составляющие, т.е. амплитудный
спектр. Первое слагаемое этого выражения является спектральной составляющей
колебания несущей частоты с амплитудой 
. Первая сумма выражения (4.35)
характеризует боковые составляющие с амплитудами и частотами , т.е. нижнюю боковую полосу, а
вторая сумма – боковые составляющие с амплитудами и частотами , т.е. верхнюю боковую полосу
спектра.
Спектральная диаграмма ЧМ – сигнала при произвольном представлена на рис. 4.9.
Проанализируем характер амплитудного спектра ЧМ – сигнала. В первую очередь отметим, что спектр является симметричным относительно частоты несущего колебания и теоретически является бесконечным.
Составляющие
боковых боковых полос расположены на расстоянии Ω друг от друга, а их
амплитуды 
зависят от индекса частотной модуляции. И
наконец, у спектральных составляющих нижней и верхней боковых частот с чётными
индексами начальные фазы совпадают, а у спектральных составляющих с нечётными
индексами отличаются на угол .
В таблице 4.1 приведены значения функции
Бесселя для различных i
и . Обратим внимание на
составляющую несущего колебания . Амплитуда этой составляющей
равна 
. Из таблицы 4.1 следует, что при амплитуда , т.е. спектральная составляющая
несущего колебания в спектре ЧМ – сигнала отсутствует. Но это не означает
отсутствия несущего колебания в ЧМ – сигнале (4.30). Просто энергия несущего
колебания перераспределяется между составляющими боковых полос.
Таблица 4.1
Как уже подчёркивалось выше спектр ЧМ – сигнала теоретически является бесконечным. На практике же полоса пропускания радиотехнических устройств всегда ограничена. Оценим практическую ширину спектра, при котором воспроизведение ЧМ – сигнала можно считать неискажённым.
Средняя мощность ЧМ – сигнала определяется как сумма средних мощностей спектральных составляющих
Проведённые
расчёты показали, что около 99% энергии ЧМ – сигнала сосредоточено в частотных
составляющих с номерами . А это означает, что частотными
составляющими с номерами 
можно пренебречь. Тогда практическая ширина
спектра при однотональной ЧМ с учётом его симметрии относительно
а при больших значения
Т.е. равна удвоенной девиации частоты.
Таким образом, ширина спектра ЧМ – сигнала приблизительно в раз больше ширины спектра АМ – сигнала. Вместе с тем, для передачи информации используется вся энергия сигнала. В этом состоит преимущества сигналов частотной модуляции над сигналами амплитудной модуляции.
Обратимся к модулированным сигналам, полученным путем изменения по закону передаваемого сообщения в несущем колебании частоты w 0 , или начальной фазы j 0 . Поскольку в обоих случаях аргумент гармонического колебания y(t ) = w 0 t + j 0 определяет мгновенное значение фазового угла, такие радиосигналы получили название сигналов с угловой модуляцией. Если в несущем колебании изменяется частота w 0 , то имеем дело с частотной модуляцией (ЧМ), если же изменяется фаза j 0 – фазовой модуляцией (ФМ).
Частотная модуляция. При частотной модуляции несущая частота w(t ) связана с модулирующим сигналом e (t ) зависимостью:
w(t ) = w 0 + k ч e (t ) (5.1)
здесь k ч - размерный коэффициент пропорциональности между частотой и напряжением, рад.
Рассмотрим однотональную частотную модуляцию, когда модулирующим сигналом является гармоническое колебание e (t ) = E 0 cosWt , у которого для упрощения начальная фаза q 0 = 0. Пусть также начальная фаза несущего колебания j 0 = 0. При необходимости начальные фазы q 0 и j 0 легко могут быть введены в окончательные соотношения. Полную фазу ЧМ – сигнала в любой момент времени t определим путем интегрирования частоты, выраженной через формулу (5.1):
где w дч = - максимальное отклонение частоты от значения w 0 , или девиация частоты при частотной модуляции.
Отношение m ч = w дч /W = k ч E 0 /W, (5.3)
являющееся девиацией фазы несущего колебания, называют индексом частотной модуляции.
С учетом (5.2) и (5.3) ЧМ – сигнал запишется в следующем виде:
На рис. 5.1 представлены временные диаграммы соответственно несущего колебания u н (t ) и модулирующего сигнала e (t ) с начальными фазами j 0 = q 0 = 90 o , и полученный в результате процесса частотной модуляции ЧМ – сигнал u чм (t ) . Нетрудно заметить, что по формуле ЧМ-сигнал напоминает сжатые и растянутые меха русской гармошки.
Фазовая модуляция. В ФМ – сигнале полная фаза несущего колебания изменяется пропорционально модулирующему напряжению
y (t ) = w 0 t + k ф e (t ), (5.5)
где k ф - размерный коэффициент пропорциональности, рад/В.
Рис. 5.1 Частотная однотональная модуляция:
а – несущее колебание; б – модулирующий сигнал; в – ЧМ – сигнал
При однотональной модуляции фаза несущего колебания:
y (t ) = w 0 t + k ф E 0 cosWt , (5.6)
Из (5.6) следует, что, как и в случае частотной модуляции, полная фаза несущего колебания изменяется по гармоническому закону. Максимальное отклонение фазы несущего колебания от начальной фазы характеризует индекс фазовой модуляции
m ф = k ф E 0 . (5.7)
Подставляя формулы (5.5) и (5.6) в (4.1), запишем ФМ - сигнал
Дифференцирование формулы (5.6) дает частоту ФМ – сигнала
w(t ) = w 0 - m ф W sinWt = w 0 - w дф sinWt , (5.9)
где w дф = m ф W = k ф E 0 W - максимальное отклонение частоты от значения несущей w 0 , т. е. девиация частоты при фазовой модуляции.
Выражения (5.4), (5.8) показывают, что при однотональной угловой модуляции нельзя определить, является ли сигнал частотно или фазо-модулированным. Различия между этими видами однотональной модуляции проявляется только при изменении амплитуды Е 0 или частоты W моду-лирующего сигнала e (t ).
В случае частотной модуляции девиации частоты w дч пропорциональна амплитуде Е 0 и не зависит от частоты W модулирующего сигнала e (t ) = E 0 cosWt . Индекс же модуляции m ч прямо пропорционален амплитуде Е 0 и обратно пропорционален частоте W модулирующего сигнала. При фазовой модуляции девиации частоты w дф изменяется пропорционально амплитуде Е 0 и частоте модулирующего сигнала. Индекс модуляции m ф пропорционален амплитуде Е 0 и нее зависит от частоты W модулирующего сигнала.
Спектр ЧМ – сигнала при однотональной модуляции. Используя тригонометрические преобразования, запишем соотношение (5.4) следующим образом:
= U н cos(m sinWt )cosw 0 t - U н sin(m sinWt )sinw 0 t . (5.10)
Проанализируем выражение (5.10) отдельно для малых (m << 1) и больших (m >1) индексов модуляции.
Спектр ЧМ – сигнала при m << 1. В этом случае имеют место приближенные равенства
cos(m sinWt ) » 1; sin(m sinWt ) » m sinWt . (5.11)
Подставив (5.11) в (5.10), получим
u ЧМ (t ) = U н cosw 0 t - U н m sinW sinw 0 t =
+ U н cosw 0 t + (mU н /2)cos(w 0 + W)t - (mU н /2) cos(w 0 - W)t . (5.12)
Рис.5.2. Диаграммы ЧМ – сигнала при m << 1:
а – спектральная; б - векторная
Сравнение соотношений (5.12) и (4.6) показывает, что спектр ЧМ – сигнала аналогичен спектру АМП – сигнала и также состоит из несущего колебания и двух боковых составляющих с частотами (w 0 + W) и (w 0 - W). Индекс модуляции m играет здесь ту же роль, что и коэффициент амплитудной модуляции М . Единственное и принципиальное отличие - знак минус перед нижней боковой составляющей в формуле для ЧМ – сигнала, который характеризирует поворот ее фазы на 180 0 , что аналитически приводит к превращению АМП – сигнала в ЧМ – сигнал.
На рис.5.2,а представлена спектральная диаграмма для ЧМ – сигнала при индексе модуляции m << 1. Отметим, что ширина спектра в данном случае равна 2W, как и при амплитудной модуляции.
На векторной диаграмме рис.5.2, б показано, как изменение фазы нижней боковой составляющей на 180 0 (вектор АД) влияет на вектор результирующего колебания ОВ. Направление вектора АД нижней боковой составляющей при АМ – сигнале обозначено штриховой линией. Изменение направления этого вектора на 180 0 не влияет на вектор модуляции АВ, который всегда перпендикулярен вектору несущей ОА. Вектор результирующего колебания ОВ изменяется как по фазе, так и по амплитуде, т.е. с течением времени «качается» вокруг центрального положения. Однако при m<< 1 изменения амплитуды настолько малы, что ими можно пренебречь и модуляцию рассматривать как чисто фазовую.
Теоретический спектр ЧМ – сигнала (аналогично и ФМ – сигнала) бесконечен по полосе частот, однако в реальных случаях он ограничен. Дело в том, что начиная с номера порядка n > m+1 , значения функций Бесселя становится весьма малыми. Поэтому считается, что практическая ширина спектра радиосигналов с угловой модуляцией
Dw ум = 2(m +1)W.
Рис. 5.3. Спектр ЧМ – сигнала.
ЧМ – и ФМ – сигналы, применяемые на практике, имеют индекс модуляции m >>1, поэтому
Dw ум = 2m W = 2w д.
Таким образом, полоса частот, занимаемая сигналами с однотональной частоты модуляцией, равна удвоенной величине девиации частоты и не зависит от частоты модуляции. Спектр сигналов с угловой модуляцией при негармоническом модулирующем сигнале определить достаточно трудно. Но он всегда сложнее, чем спектр АМ – сигнала при том же модулирующем сигнале. Ширина его спектра также значительно больше, чем при амплитудной модуляции.
Примерная структура спектра ЧМ– сигнала при индексе модуляции m =3 показана на рис. 5.3.
Следует отметить, что радиосигналы с частотой и фазовой модуляцией имеют ряд важных преимуществ перед амплитудно-модулированными колебаниями.
1.Поскольку при угловой модуляции амплитуда модулированных колебании не несет в себе никакой информации и не требуется ее постоянства (в отличие от амплитуды модуляции), то практически любые вредные нелинейные изменения амплитуды радиосигнала в процессе осуществления связи не приводят к искажению передаваемого сообщения.
2.Постоянство амплитуды радиосигнала при угловой модуляции позволяет полностью использовать энергетические возможности генератора несущей частоты, который работает в этом случае при неизменной колебательной мощности.
Литература: 1, 2; 6[ 46-61].
Контрольные вопросы:
1.Как осуществляется частотная модуляция?
2.Покажите индекс частотной модуляции.
3.Что такое девиация частоты?
4. Покажите индекс фазавой модуляции.
5. Нарисуйте вид колебания однотональной частотной модуляции.
6. Как изменяется индекс модуляции с ростом частоты?
7. Покажите спектр частотной модуляции.
Как известно, источником электромагнитного поля является переменный электрический ток, текущий по проводнику. А устройство, создающее электромагнитное поле в пространстве, представляет собой генератор переменного тока, соединенный с антенной. Антенна излучает электромагнитные волны в окружающее пространство. Такое устройство принято называть радиопередающим.
Мы знаем, что в окружающем нас пространстве имеются электромагнитные волны, излучаемые этими устройствами, знаем частоту передачи, знаем, что волны несут для нас информацию. Поэтому нам важно получить техническое средство, с помощью которого мы сможем преобразовать информацию, содержащуюся в электромагнитной волне, к такому виду, который возможен для восприятия нашими органами чувств. В данном случае мы хотим преобразовать ее в звуковые колебания. Так вот, устройство, перехватывающее электромагнитную волну и преобразующее ее в удобный для восприятия вид, называется радиоприемным устройством.
Вопрос второй. Каким образом «насытить» электромагнитную волну необходимой информацией? Самый простой способ — поступить по принципу: есть волна — нет волны. Первые радиопередающие и радиоприемные устройства были спроектированы именно по такому принципу, а для передачи информации приняли азбуку Морзе. К слову сказать, столь примитивный способ передачи информации оказался настолько надежным и помехоустойчивым, что его используют до сих пор, называя «телеграфным» способом.
В начале XX века телеграфная радиосвязь изумила многих, но в дальнейшем, когда к ней привыкли, появилось желание передавать не только точки-тире, но еще и голос. Задача оказалась не слишком простой — ведь диапазон частот, слышимый человеческим ухом, лежит в низкочастотной области, а именно от 16 Гц до 10 кГц. В то же время для получения эффективного излучения электромагнитной энергии необходимы высокочастотные колебания. Как же быть?
Задачу решили наложением низкочастотного сигнала на высокочастотные колебания, а сам процесс наложения назвали модуляцией. Математически процесс модуляции иллюстрируется очень просто. К примеру, периодическое электрическое колебание можно записать так:
где U m -амплитуда колебания
ω 0 - частота колебания
φ 0 - фаза колебания
Процесс модуляции представляет собой изменения одного из параметров колебания высокой частоты по закону управляющего низкочастотного сигнала. В зависимости от того, какой параметр (амплитуда, частота, фаза) подвергается изменению, различают амплитудную, частотную и фазовую модуляции.
Колебания высокой частоты, используемые для передачи сигналов, носят название несущей частоты.
Исторически первой появилась амплитудная модуляция. Она до сих пор используется на радиовещательных диапазонах длинных, средних и коротких волн несмотря на то, что обладает низкой помехозащищенностью и крайне неэффективна. Причин тому несколько. Во-первых, коротковолновый диапазон — это единственный диапазон, в котором сравнительно просто обеспечивается радиовещание по всему миру. Для коротких волн не нужны ретрансляторы — они сами достигают нужных точек за счет отражения. Во-вторых, конструктивные особенности радиоприемников, имеющихся в эксплуатации, не позволяют перейти на более эффективные способы радиовещания.
Давайте кратко рассмотрим особенности амплитудной модуляции. Для простоты будем считать, что управляющим сигналом служит гармоническое (синусоидальное) колебание. Выражение для амплитудно-модулированной несущей запишется следующим образом:
где Ω- частота управляющего сигнала
Кривая, соединяющая точки, соответствующие амплитудным значениям несущей, называется огибающей. Базовый параметр, характеризующий AM колебание, — это коэффициент модуляции. В других источниках может встретиться понятие глубины модуляции, что по сути одно и то же.
Коэффициент модуляции не должен быть слишком маленьким, в противном случае мы не сможем различить полезную информацию на фоне несущей. Однако, если его значение будет больше 1, это вызовет перемодуляцию и, как следствие, искажение информации. Поэтому стандартное значение m
в радиовещательной технике равно 0,3. В этом случае при наиболее громких звуках не наступает перемодуляция.
Здесь уместно рассказать о таком понятии, как спектр радиосигнала. Уже знакомая нам гармоническая функция изображается синусоидой во временной области, то есть в такой, где по горизонтальной оси графика откладывается время. Но существует еще одна широко используемая область — частотная, в которой гармоническое колебание выглядит так, как показано на рисунке, то есть вертикальной черточкой. Обратите внимание: по горизонтальной оси откладывается уже не время, а частота.
Важно отметить, что спектр периодического, но несинусоидального колебания представляет собой набор синусоидальных «дискрет», вертикальных черточек.
Французским математиком Ж. Фурье (1768—1830) было доказано, что любой несинусоидальный сигнал можно по определенному правилу составить из суммы гармонических функций. Как показала практика, производить расчеты в частотной области намного проще и нагляднее, чем заниматься тем же делом в области временной. Таким образом, анализ Фурье занял в радиотехнике одно из ведущих мест.
Следует также сказать, что непериодические сигналы, к которым относится речь человека и музыка, тоже подчиняются анализу Фурье, только их спектр уже не дискретный, а сплошной, что и отражено на рисунке.
Амплитудно-модулированное колебание это периодический сигнал, который уже не имеет гармонического характера. Спектральный состав AM сигнала легко оценить, если преобразовать его аналитическое выражение с помощью известной формулы произведения синусов. В результате получим
Хорошо видно, что спектр AM колебания содержит, кроме несущей, две боковые частоты: (ω 0 - Ω)
и (ω 0 + Ω)
.
Для передачи разборчивой речи необходимо, чтобы передатчик имел возможность модулировать несущую на любой из частот, лежащих в полосе от 250 Гц (Ω H)
до 3 кГц (Ω В)
. Спектр AM колебания в этом случае будет иметь, кроме несущей, две зеркально-симметричные боковые полосы, в точности повторяющие форму спектра низкочастотного сигнала.
В заключение краткого рассказа об AM сигналах предлагаю оценить эффективность такого вида радиовещания с точки зрения использования мощности передатчика. Действительно, как уже было сказано, коэффициент модуляции в стандартных условиях радиовещания не превосходит 0,3. Амплитуда каждой из боковых полос составляет m
/2, то есть 0,15 амплитуды несущей. Мощность, квадратично зависящая от амплитуды сигнала, в данном случае составляет 0,0225 от мощности несущей. Представьте себе: менее 5% сигнала несет полезную информацию, которая содержится в боковых полосах и более нигде! Осознали этот факт достаточно поздно, когда радиовещание на основе классической AM модуляции стало стандартом.
Поиски более удачных, более эффективных и более помехозащищенных способов радиовещания привели к тому, что в 1935 году была предложена система с угловой модуляцией. Угловая модуляция — это модуляция посредством частоты несущей или ее фазы при постоянстве амплитуды. Данный вид модуляции лежит в основе радиовещания на УКВ. В начале рассказ о фазовой модуляции (ФМ). Предположим, что модуляцию несущей осуществляет гармоническое колебание. Тогда закон изменения фазы несущей
Где φ о — начальная фаза колебания.
Подставляя выражение для фазы в аналитическое выражение несущей, получаем
Важно заметить, что величина ΔφsinΩt характеризует опережение (отставание) по фазе модулированного сигнала от фазы, которую имел бы немодулированный сигнал.
Мгновенное значение фазового угла модулированного ФМ колебания определяется из выражения
Угловая частота колебания является производной фазового угла по времени:
Где ΔφΩ = Δω — амплитуда отклонения частоты ω от частоты Θ .
Физический смысл полученного соотношения таков: меняя фазу колебания, мы неизбежно меняем и его частоту, причем величина отклонения частоты зависит как от амплитуды модулирующего сигнала, так и от его частоты. Величина максимального фазового отклонения весьма просто связана с максимальным частотным отклонением — девиацией:
Где Δω
— девиация частоты; β
— индекс модуляции
На практике девиацию обычно выражают не в рад/с, а в Гц, что в 2π
раз меньше.
Теперь настало время рассмотреть частотную модуляцию (ЧМ) при воздействии синусоидального управляющего сигнала. Обозначим амплитуду отклонения частоты через Δω :
После преобразований получим аналитическое выражение ЧМ
колебания:
Обозначим:
Хорошо видно, что при изменении частоты несущей меняется и ее фаза. Более того, мы пришли к выражению, которое было выведено в рассказе об ФМ. Может сложиться впечатление, что ЧМ и ФМ одно и то же. Действительно, рассматривая частный случай (модулирование синусоидальным сигналом), мы получим идентичные спектры и не заметим разницы. Однако разница проявится, как только управляющий сигнал перестанет быть гармоническим. Причина в индексе модуляции и его зависимости от входного воздействия.
 |
 |
Нетрудно заметить, что ФМ обеспечивает постоянный индекс модуляции при любой модулирующей частоте. Для ЧМ индекс модуляции понятие менее определенное, поскольку он меняется с изменением модулирующей частоты. Отсюда можно сделать заключение, что спектры колебаний ЧМ и ФМ вида будут несколько отличаться друг от друга. Но как быть с индексом модуляции для ЧМ, как определить его? В радиотехнике принято оценивать индекс модуляции для максимальной модулирующей частоты. Для более низких частот индекс модуляции становится больше.
Осталось оценить вид и ширину спектра сигнала с угловой модуляцией. При небольших индексах модуляции (β < 0,5
) выражение для модулированного ЧМ и ФМ сигнала может быть приведено к виду:
He правда ли, знакомое выражение? Давайте взглянем на такое же точно выражение для AM сигнала, чтобы убедиться — память нас не подвела. При малых фазовых отклонениях амплитудные спектры АМ, ФМ и ЧМ сигналов идентичны. Различие наблюдается лишь в фазовых спектрах, но это более тонкий анализ, и мы не будем на нем заострять внимание.
Если индекс модуляции таков, что уже более нельзя пользоваться простыми соотношениями, на помощь приходит анализ Бесселя, позволяющий представить сигнал с угловой модуляцией более наглядно:
Видно, что в спектре сигнала появляются боковые частоты с индексами «к». При возрастании β
амплитуды боковых частот высших порядков начинают быстро расти, а амплитуда несущей — уменьшаться. Возможен даже такой вариант, когда амплитуда несущей и боковых полос первого порядка станут равными нулю!
Угловая модуляция, при которой наблюдается заметное появление боковых полос высших порядков, называется широкополосной.
Точно определить ее спектр при воздействии непериодического сигнала - задача намного более трудоемкая, чем такая же задача исследования АМ. Приближенно считают, что ширина спектра радиовещательного широкополосного ЧМ сигнала
Где В - ширина спектра модулированного сигнала
Ω в - верхняя модулирующая частота сигнала.
Можно также определить ширину спектра и через девиацию частоты
Итак, чтобы принять радиопередачу без заметных на слух частотных искажений, необходимо учитывать наличие не только боковых полос первого порядка, но еще и полос высших порядков.
Будем изучать модулированные радиосигналы, которые получаются за счет того, что в несущем гармоническом колебании и нес передаваемое сообщение изменяет либо частоту , либо начальную фазу ; амплитуда остается неизменной. Поскольку аргумент гармонического колебания называемый полной фазой, определяет текущее значение фазового угла, такие сигналы получили название сигналов с угловой модуляцией.
Виды угловой модуляции.
Предположим вначале, что полная фаза связана с сигналом s(t) зависимостью
где - значение частоты в отсутствие полезного сигнала; k - некоторый коэффициент пропорциональности. Модуляцию, отвечающую соотношению (4.19), называют фазовой модуляцией (ФМ):
Рис. 4.5. Фазовая модуляция: 1 - модулирующий низкочастотный сигнал; 2 - немодулироваиное гармоническое колебание; 3 - сигнал с фазовой модуляцией
Если сигнал то ФМ-колебание является простым гармоническим колебанием. С увеличением значений сигнала полная фаза растет во времени быстрее, чем по линейному закону. При уменьшении значений модулирующего сигнала происходит спад скорости роста во времени. На рис. 4.5 показано построение графика ФМ-сигнала.
В моменты времени, когда сигнал достигает экстремальных значений, абсолютный фазовый сдвиг между ФМ-сигналом и смодулированным гармоническим колебанием оказывается наибольшим. Предельное значение этого фазового сдвига называют девиацией фазы . В общем случае, когда сигнал изменяет знак, принято различать девиацию фазы вверх и девиацию фазы вниз
На векторной диаграмме изображающий вектор постоянной длины будет совершать вращение с непостоянной угловой скоростью. Мгновенная частота сигнала с угловой модуляцией определяется как первая производная от полной фазы по времени:
(4.22)
При частотной модуляции сигнала (ЧМ) между величинами имеется связь вида
Естественными параметрами ЧМ-сигнала общего вида в соответствии с формулой (4.23) являются девиация частоты вверх Асов - ksaaa и девиация частоты вниз .
Если - достаточно гладкая функция, то внешне осциллограммы ФМ- и ЧМ-сигналов не отличаются. Однако имеется принципиальная разница: фазовый сдвиг между ФМ-сигналом и немодулированным колебанием пропорционален s(t), в то время как для ЧМ-сигнала этот сдвиг пропорционален интегралу от передаваемого сообщения.
Однотональные сигналы с угловой модуляцией.
Анализ ФМ- и ЧМ-сигналов с математической точки зрения гораздо сложнее, чем исследование АМ-колебаний. Поэтому основное внимание будет уделено простейшим однотоиальиым сигналам.
В случае однотонального ЧМ-сигнала мгновенная частота
где - девиация частоты сигнала. На основании формулы (4.22) полная фаза такого сигнала
где - некоторый постоянный фазовый угол.
Отсюда видно, что величина
называемая индексом однотональной угловой модуляции, представляет собой девиацию фазы такого сигнала, выраженную в радианах.
Для краткости положим, что неизменные во времени фазовые углы и выразим мгновенное значение ЧМ-сигнала в виде
Аналитическая форма записи однотонального ФМ-сигнала будет аналогичной. Однако нужно иметь в виду следующее: ЧМ- и ФМ-сигналы ведут себя по-разному при изменении частоты модуляции и амплитуды модулирующего сигнала.
При частотной модуляции девиация частоты пропорциональна амплитуде низкочастотного сигнала. В то же время величина не зависит от частоты модулирующего сигнала. В случае фазовой модуляции ее индекс оказывается пропорциональным амплитуде низкочастотного сигнала независимо от его частоты. Как следствие этого, девиация частоты при фазовой модуляции в соответствии с формулой (4.25) линейно увеличивается с ростом частоты.
Пример 4.2. Радиостанция, работающая в УКВ-диапазоне с несущей частотой , излучает ФМ-сигнал, промодулированный частотой F = 15 кГц. Индекс модуляции Найти пределы, в которых изменяется мгновенная частота сигнала.
Математическая модель сигнала имеет вид
Девиация частоты составит
Таким образом, при модуляции мгновенная частота сигнала изменяется в пределах от до .
Спектральное разложение ЧМ- и ФМ-сигналов при малых индексах модуляции.
Задачу о представлении сигналов с угловой модуляцией посредством суммы гармонических колебаний несложно решить в случае, когда Для этого преобразуем формулу (4.26) следующим образом:
Поскольку индекс угловой модуляции мал, воспользуемся приближенными равенствами
На основании этого из равенства (4.27) получаем
Таким образом, показано, что при в спектре сигнала с угловой модуляцией содержатся несущее колебание и две боковые составляющие (верхняя и нижняя) на частотах Индекс играет здесь такую же роль, как коэффициент амплитудной модуляции [ср. с формулой (4.5)]. Однако можно обнаружить и существенное различие спектров АМ-сигнала и колебания с угловой модуляцией. Для спектральной диаграммы (рис. 4.6, а), построенной по формуле (4.28), характерно то, что нижнее боковое колебание имеет дополнительный фазовый сдвиг на 180°.
Как следствие этого, сумма векторов, отображающих оба боковых колебания (рис. 4.6,б), всегда перпендикулярна вектору . С течением времени вектор будет «качаться» вокруг центрального положения. Незначительные изменения длины этого вектора обусловлены прилиженным характером анализа, и при очень малых ими можно пренебречь.
Рис. 4.6. Диаграммы сигнала с угловой модуляцией при : а - спектральная; б - векторная
Более точный анализ спектрального состава сигналов с угловой модуляцией.
Можно попытаться уточнить полученный результат, воспользовавшись двумя членами ряда в разложении гармонических функций малого аргумента. При этом формула будет выглядеть так:
Несложные тригонометрические преобразования приводят к результату:
Эта формула свидетельствует о том, что в спектре сигнала с однотональной угловой модуляцией, помимо известных составляющих, содержатся также верхние и нижние боковые колебания, соответствующие гармоникам частоты модуляции. Поэтому спектр такого сигнала сложнее спектра аналогичного АМ-сигнала. Отметим также, что возникновение новых спектральных составляющих приводит к перераспределению энергии по спектру. Так, из формулы (4.29) видно, что с ростом амплитуда боковых составляющих увеличивается, в то время как амплитуда несущего колебания уменьшается пропорционально множителю ).
Спектр сигнала с угловой модуляцией при произвольном значении индекса.
Для простейшего случая однотонального ЧМ- или ФМ-сигнала можно найти общее выражение спектра, справедливое при любом значении индекса модуляции .
В разделе курса математики, посвященном специальным функциям, доказывается, что экспонента с мнимым показателем специального вида, периодическая на отрезке разлагается в комплексный ряд Фурье:
где - любое вещественное число; - функция Бесселя индекса от аргумента .
Сравнивая формулы (4.30) и (4.27), а также подставляя перепишем последнюю из указанных формул так:
Отсюда получаем следующую математическую модель ЧМ- или ФМ-сигнала с любым значением индекса модуляции:
Рис. 4.7. Графики функций Бесселя
Спектр одиотонального сигнала с угловой модуляцией в общем случае содержит бесконечное число составляющих, частоты которых равны амплитуды этих составляющих пропорциональны значениям
В теории функций Бесселя доказывается, что функции с положительными и отрицательными индексами связаны между собой:
Поэтому начальные фазы боковых колебаний с частотами совпадают, если к - четное число, и отличаются на 180°, если к - нечетное.
Для детального анализа и построения спектральных диаграмм необходимо знать поведение функций при различных в зависимости от к. На рис. 4.7 приведены графики двух функций Бесселя, существенно различающихся своими индексами.
Можно заметить следующее: чем больше индекс функции Бесселя, тем протяженнее область аргументов, при которых эта функция очень мала. Этот факт отображает табл. 4.1.
Табл. 4.1 совместно с формулой (4.32) позволяет построить типичные спектральные диаграммы сигнала с одиотональной угловой модуляцией при не слишком больших значениях индекса (рис. 4.8).
Важно отметить, что с ростом индекса модуляции расширяется полоса частот, занимаемая сигналом. Обычно полагают, что допустимо пренебречь всеми спектральными составляющими с номерами Отсюда следует оценка практической ширины спектра сигнала с угловой модуляцией
Как правило, реальные ЧМ- и ФМ-сигналы характеризуются условием . В этом случае
Таблица 4.1 Значения функций Бесселя
Таким образом, сигнал с угловой модуляцией занимает полосу частот, приблизительно равную удвоенной девиации частоты.
Как было выяснено, для передачи амплитудно-модулированного сигнала требуется полоса частот, равная т. е. в раз меньшая. Большая широкополосность ЧМ- и ФМ-сигналов обусловливает их применимость для целей радиосвязи лишь на очень высоких частотах, в диапазонах метровых и более коротких волн. Однако именно широкополое ность приводит к гораздо большей помехоустойчивости сигналов с угловой модуляцией по сравнению с АМ-сигналами. Сравнительный анализ помехоустойчивости различных видов модуляции будет детально проведен в гл. 16.