Телевизор 

Как называется топология. Значение слова топология

Термин топология сети означает способ соединения компьютеров в сеть. Вы также можете услышать другие названия – структура сети или конфигурация сети (это одно и то же). Кроме того, понятие топологии включает множество правил, которые определяют места размещения компьютеров, способы прокладки кабеля, способы размещения связующего оборудования и многое другое. На сегодняшний день сформировались и устоялись несколько основных топологий. Из них можно отметить “шину ”, “кольцо ” и “звезду ”.

Топология “шина”

Топология шина (или, как ее еще часто называют общая шина или магистраль ) предполагает использование одного кабеля, к которому подсоединены все рабочие станции. Общий кабель используется всеми станциями по очереди. Все сообщения, посылаемые отдельными рабочими станциями, принимаются и прослушиваются всеми остальными компьютерами, подключенными к сети. Из этого потока каждая рабочая станция отбирает адресованные только ей сообщения.

Достоинства топологии “шина”:

  • простота настройки;
  • относительная простота монтажа и дешевизна, если все рабочие станции расположены рядом;
  • выход из строя одной или нескольких рабочих станций никак не отражается на работе всей сети.

Недостатки топологии “шина”:

  • неполадки шины в любом месте (обрыв кабеля, выход из строя сетевого коннектора) приводят к неработоспособности сети;
  • сложность поиска неисправностей;
  • низкая производительность – в каждый момент времени только один компьютер может передавать данные в сеть, с увеличением числа рабочих станций производительность сети падает;
  • плохая масштабируемость – для добавления новых рабочих станций необходимо заменять участки существующей шины.

Именно по топологии “шина” строились локальные сети на коаксиальном кабеле . В этом случае в качестве шины выступали отрезки коаксиального кабеля, соединенные Т-коннекторами. Шина прокладывалась через все помещения и подходила к каждому компьютеру. Боковой вывод Т-коннектора вставлялся в разъем на сетевой карте. Вот как это выглядело:Сейчас такие сети безнадежно устарели и повсюду заменены “звездой” на витой паре, однако оборудование под коаксиальный кабель еще можно увидеть на некоторых предприятиях.

Топология “кольцо”

Кольцо – это топология локальной сети, в которой рабочие станции подключены последовательно друг к другу, образуя замкнутое кольцо. Данные передаются от одной рабочей станции к другой в одном направлении (по кругу). Каждый ПК работает как повторитель, ретранслируя сообщения к следующему ПК, т.е. данные передаются от одного компьютера к другому как бы по эстафете. Если компьютер получает данные, предназначенные для другого компьютера – он передает их дальше по кольцу, в ином случае они дальше не передаются.

Достоинства кольцевой топологии:

  • простота установки;
  • практически полное отсутствие дополнительного оборудования;
  • возможность устойчивой работы без существенного падения скорости передачи данных при интенсивной загрузке сети.

Однако “кольцо” имеет и существенные недостатки:

  • каждая рабочая станция должна активно участвовать в пересылке информации; в случае выхода из строя хотя бы одной из них или обрыва кабеля – работа всей сети останавливается;
  • подключение новой рабочей станции требует краткосрочного выключения сети, поскольку во время установки нового ПК кольцо должно быть разомкнуто;
  • сложность конфигурирования и настройки;
  • сложность поиска неисправностей.

Кольцевая топология сети используется довольно редко. Основное применение она нашла в оптоволоконных сетях стандарта Token Ring.

Топология “звезда”

Звезда – это топология локальной сети, где каждая рабочая станция присоединена к центральному устройству (коммутатору или маршрутизатору). Центральное устройство управляет движением пакетов в сети. Каждый компьютер через сетевую карту подключается к коммутатору отдельным кабелем. При необходимости можно объединить вместе несколько сетей с топологией “звезда” – в результате вы получите конфигурацию сети с древовидной топологией. Древовидная топология распространена в крупных компаниях. Мы не будем ее подробно рассматривать в данной статье.

Топология “звезда” на сегодняшний день стала основной при построении локальных сетей. Это произошло благодаря ее многочисленным достоинствам:

  • выход из строя одной рабочей станции или повреждение ее кабеля не отражается на работе всей сети в целом;
  • отличная масштабируемость: для подключения новой рабочей станции достаточно проложить от коммутатора отдельный кабель;
  • легкий поиск и устранение неисправностей и обрывов в сети;
  • высокая производительность;
  • простота настройки и администрирования;
  • в сеть легко встраивается дополнительное оборудование.

Однако, как и любая топология, “звезда” не лишена недостатков:

  • выход из строя центрального коммутатора обернется неработоспособностью всей сети;
  • дополнительные затраты на сетевое оборудование – устройство, к которому будут подключены все компьютеры сети (коммутатор);
  • число рабочих станций ограничено количеством портов в центральном коммутаторе.

Звезда – самая распространенная топология для проводных и беспроводных сетей. Примером звездообразной топологии является сеть с кабелем типа витая пара, и коммутатором в качестве центрального устройства. Именно такие сети встречаются в большинстве организаций.

Под топологией (компоновкой, конфигурацией, структурой) компьютерной сети обычно понимается физическое расположение компьютеров сети один относительно одного и способ соединения их линиями связи. Важно отметить, что понятие топологии относится, в первую очередь, к локальным сетям, в которых структуру связей можно легко проследить. В глобальных сетях структура связей обычно спрятана от пользователей не слишком важная, потому что каждый сеанс связи может выполняться по своему собственному пути.
Топология определяет требования к оборудованию, тип используемого кабеля, возможные и наиболее удобные методы управления обменом, надежность работы, возможности расширения сети.

Существует три основные топология сети:

1. Сетевая топология шина (bus), при которой все компьютеры параллельно подключаются к одной линии связи и информация от каждого компьютера одновременно передается всем другим компьютерам (рис. 1);

2. Cетевая топология звезда (star), при которой к одному центральному компьютеру присоединяются другие периферийные компьютеры, причем каждый из них использует свою отдельную линию связи (рис. 2);

3. Cетевая топология кольцо (ring), при которой каждый компьютер передает информацию всегда только одному компьютеру, следующему в цепочке, а получает информацию только от предыдущего компьютера в цепочке, и эта цепочка замкнута в «кольцо» (рис. 3).

Рис. 1. Сетевая топология «шина»

Рис. 2. Сетевая топология «звезда»

Рис. 3. Сетевая топология «кольцо»

На практике нередко используют и комбинации базовой топологии, но большинство сетей ориентированные именно на этих три. Рассмотрим теперь коротко особенности перечисленной сетевой топологии.

Топология «шина» (или, как ее еще называют, «общая шина») самой своей структурой допускает идентичность сетевого оборудования компьютеров, а также равноправие всех абонентов. При таком соединении компьютеры могут передавать только по очереди, потому что линия связи единственная. В противном случае переданная информация будет искажаться в результате наложения (конфликту, коллизии). Таким образом, в шине реализуется режим полудуплексного (half duplex) обмена (в обоих направлениях, но по очереди, а не одновременно).
В топологии «шина» отсутствует центральный абонент, через которого передается вся информация, которая увеличивает ее надежность (ведь при отказе любого центра перестает функционировать вся управляемая этим центром система). Добавление новых абонентов в шину достаточно простое и обычно возможно даже во время работы сети. В большинстве случаев при использовании шины нужно минимальное количество соединительного кабеля по сравнению с другой топологией. Правда, нужно учесть, что к каждому компьютеру (кроме двух крайних) подходит два кабеля, что не всегда удобно.
Потому что разрешение возможных конфликтов в этом случае ложится на сетевое оборудование каждого отдельного абонента, аппаратура сетевого адаптера при топологии «шина» выходит сложнее, чем при другой топологии. Однако через широкое распространение сетей с топологией «шина» (Ethernet, Arcnet) стоимость сетевого оборудования выходит не слишком высокой.
Шине не страшные отказы отдельных компьютеров, потому что все другие компьютеры сети могут нормально продолжать обмен. Может показаться, что шине не страшный и обрыл кабелю, поскольку в этом случае мы одержимо две полностью работоспособных шины. Однако через особенности распространения электрических сигналов по длинным линиям связи необходимо предусматривать включение на концах шины специальных устройств – терминаторов, показанных на рис. 1 в виде прямоугольников. Без включения терминаторов сигнал отражается от конца линии и искажается так, что связь по сети становится невозможной. Так что при разрыве или повреждении кабеля нарушается согласование линии связи, и прекращается обмен даже между теми компьютерами, которые остались соединенными между собой. Короткое замыкание в любой точке кабеля шины выводит из строя всю сеть. Любой отказ сетевого оборудования в шине очень трудно локализовать, потому что все адаптеры включены параллельно, и понять, который из них вышел из строя, не так-то просто.
При прохождении по линии связи сети с топологией «шина» информационные сигналы ослабляются и никак не возобновляются, что налагает твердые ограничения на суммарную длину линий связи, кроме того, каждый абонент может получать из сети сигналы разного уровня в зависимости от расстояния к передаточному абоненту. Это выдвигает дополнительные требования к приемным узлам сетевого оборудования. Для увеличения длины сети с топологией «шина» часто используют несколько сегментов (каждый из которых являет собой шину), соединенных между собой с помощью специальных обновителей сигналов - репитеров.
Однако такое наращивание длины сети не может длиться бесконечно, потому что существуют еще и ограничения, связанные с конечной скоростью распространения сигналов по линиям связи.

Топология «Звезда» - это топология с явно выделенным центром, к которому подключаются все другие абоненты. Весь обмен информацией идет исключительно через центральный компьютер, на который таким способом ложится очень большая нагрузка, потому ничем другим, кроме сети, оно заниматься не может. Понятно, что сетевое оборудование центрального абонента должно быть существенно больше сложным, чем оборудование периферийных абонентов. О равноправии абонентов в этом случае говорить не придется. Как правило, именно центральный компьютер является самим мощным, и именно на него возлагают все функции по управлению обменом. Никакие конфликты в сети с топологией «звезда» в принципе невозможные, потому что управление полностью централизовано, конфликтовать нет почему.
Если говорить о стойкости звезды к отказам компьютеров, то выход из строя периферийного компьютера никак не отражается на функционировании части сети, которая осталась, зато любой отказ центрального компьютера делает сеть полностью неработоспособной. Поэтому должны приниматься специальные мероприятия по повышению надежности центрального компьютера и его сетевой аппаратуры. Обрыл любого кабеля или короткое замыкание в нем при топологии «звезда» нарушает обмен только с одним компьютером, а все другие компьютеры могут нормально продолжать работу.
На склонение от шины, в звезде на каждой линии связи находятся только два абонента: центральный и один из периферийных. Чаще всего для их соединения используется две линии связи, каждая из которых передает информацию только в одном направлении. Таким образом, на каждой линии связи есть только один приемник и один передатчик. Все это существенно упрощает сетевое установление в сравнении с шиной и спасает от необходимости применение дополнительных внешних терминаторов. Проблема затухания сигналов в линии связи также решается в «звезде» проще, чем в «шине», ведь каждый приемник всегда получает сигнал одного уровня. Серьезный недостаток топологии «звезда» складывается в жестком ограничении количества абонентов. Обычно центральный абонент может обслуживать не больше 8-16 периферийных абонентов. Если в этих пределах подключения новых абонентов достаточно просто, то при их превышении оно просто невозможно. Правда, иногда в звезде предусматривается возможность наращивания, то есть подключение вместо одного из периферийных абонентов еще одного центрального абонента (в итоге выходит топология из нескольких соединенных между собой звезд).
Звезда, показанная на рис. 2, зовется активной, или настоящей звезды. Существует также топология, которая называется пассивной звездой, что только внешне похожая на звезду (рис. 4). В это время она распространена намного больше, чем активная звезда. Достаточно сказать, что она используется в самой популярной на сегодняшний день сети Ethernet.


Рис. 4. Топология «пассивная звезда»

В центре сети с данной топологией содержится не компьютер, а концентратор, или хаб (hub), что выполняет ту же функцию, что и репитер. Он возобновляет сигналы, которые поступают, и пересылает их в другие линии связи. Хотя схема прокладки кабелей подобна настоящей или активной звезде, фактически мы имеем дело с шинной топологией, потому что информация от каждого компьютера одновременно передается ко всем другим компьютерам, а центрального абонента не существует. Естественно, пассивная звезда выходит дороже обычной шины, потому что в этом случае обязательно нужно еще и концентратор. Однако она предоставляет целый ряд дополнительных возможностей, связанных с преимуществами звезды. Именно поэтому в последнее время пассивная звезда все больше вытесняет настоящую звезду, которая считается малоперспективной топологией.
Можно выделить также промежуточный тип топологии между активной и пассивной звездой. В этом случае концентратор не только ретранслирует сигналы, но и делает управление обменом, однако сам в обмене не принимает участие.
Большое преимущество звезды (как активной, так и пассивной) заключается в том, что все точки подключения собраны в одном месте. Это позволяет легко контролировать работу сети, локализовать неисправности сети путем простого отключения от центра тех или других абонентов (что невозможно, например, в случае шины), а также ограничивать доступ посторонних лиц к жизненно важному для сети точкам подключения. К каждому периферийному абоненту в случае звезды может подходить как один кабель (по которому идет передача в обоих направлениях), так и два кабеля (каждый из них передает в одном направлении), причем вторая ситуация встречается чаще. Общим недостатком для всей топологии типа «звезда» значительно больше, чем при другой топологии, затрата кабеля. Например, если компьютеры расположены в одну линию (как на рис. 1), то при выборе топологии «звезда» понадобится в несколько раз больше кабеля, чем при топологии «шина». Это может существенно повлиять на стоимость всей сети в целом.

Топология «Кольцо» – это топология, в которой каждый компьютер соединен линиями связи только с двумя другими: от одного он только получает информацию, а другому только передает. На каждой линии связи, как и в случае звезды, работает только один передатчик и один приемник. Это позволяет отказаться от применения внешних терминаторов. Важна особенность кольца заключается в том, что каждый компьютер ретранслирует (возобновляет) сигнал, то есть выступает в роли репитера, потому затухание сигнала во всем кольце не имеет никакого значения, важно только затухание между соседними компьютерами кольца. Четко выделенного центра в этом случае нет, все компьютеры могут быть одинаковыми. Однако достаточно часто в кильке выделяется специальный абонент, который управляет обменом или контролирует обмен. Понятно, что наличие такого управляющего абонента снижает надежность сети, потому что выход его из строя сразу же парализует весь обмен.
Строго говоря, компьютеры в кильке не являются полностью равноправными (в отличие, например, от шинной топологии). Одни из них обязательно получают информацию от компьютера, который ведет передачу в этот момент, раньше, а другие – позже. Именно на этой особенности топологии и строятся методы управления обменом по сети, специально рассчитанные на «кольцо». В этих методах право на следующую передачу (или, как еще говорят, на захвата сети) переходит последовательно к следующему по кругу компьютеру.
Подключение новых абонентов в «кольцо» обычно совсем безболезненно, хотя и требует обязательной остановки работы всей сети на время подключения. Как и в случае топологии «шина», максимальное количество абонентов в кильке может быть достаточно большая (до тысячи и больше). Кольцевая топология обычно является самой стойкой к перегрузкам, она обеспечивает уверенную работу с самими большими потоками переданной по сети информации, потому что в ней, как правило, нет конфликтов (в отличие от шины), а также отсутствует центральный абонент (в отличие от звезды).
Потому что сигнал в кильке проходит через все компьютеры сети, выход из строя хотя бы одного из них (или же его сетевого встановление) нарушает роботу всей сети в целом. Точно так же любой обрыв или короткое замыкание в каждом из кабелей кольца делает работу всей сети невозможной. Кольцо наиболее уязвимо к повреждениям кабеля, потому в этой топологии обычно предусматривают прокладку двух (или больше) параллельных линий связи, одна из которых находится в резерве.
В то же время большое преимущество кольца заключается в том, что ретрансляция сигналов каждым абонентом позволяет существенно увеличить размеры всей сети в целом (временами до нескольких десятков километров). Кольцо относительно этого существенно превосходит любую другую топологию.

Недостатком кольца (в сравнении со звездой) можно считать то, что к каждому компьютеру сети необходимо подвести два кабеля.

Иногда топология «кольцо» выполняется на основе двух кольцевых линий связи, которые передают информацию в противоположных направлениях. Цель подобного решения – увеличение (в идеале вдвое) скорости передачи информации. К тому же при повреждении одного из кабелей сеть может работать с другим кабелем (правда, предельная скорость уменьшится).
Кроме трех рассмотренной основной, базовой топологии нередко применяется также сетевая топология «дерево» (tree), которую можно рассматривать как комбинацию нескольких звезд. Как и в случае звезды, дерево может быть активным, или настоящим (рис. 5), и пассивным (рис. 6). При активном дереве в центрах объединения нескольких линий связи находятся центральные компьютеры, а при пассивном - концентраторы (хабы).


Рис. 5. Топология «активное дерево»

Рис. 6. Топология «пассивное дерево». К - концентраторы

Применяется достаточно часто и комбинированная топология, например звездно шинная, звездно кольцевая.

Многозначительность понятия топологии.

Топология сети определяет не только физическое расположение компьютеров, но, что намного более важное, характер связей между ними, особенности распространения сигналов по сети. Именно характер связей определяет степень отказостойкости сети, необходимую сложность сетевой аппаратуры, наиболее подходящий метод управления обменом, возможны типы сред передачи (каналов связи), допустимый размер сети (длина линий связи и количество абонентов), необходимость электрического согласования, и много чего другого.
Когда в литературе вспоминается о топологии сети, то могут иметь в виду четыре совсем разных понятия, которые относятся к разным уровням сетевой архитектуры:

1. Физическая топология (то есть схема расположения компьютеров и прокладки кабелей). В этом содержании, например, пассивная звезда ничем не отличается от активной звезды, потому ее нередко называют просто «звездой».

2. Логическая топология (то есть структура связей, характер распространения сигналов по сети). Это, наверно, наиболее правильное определение топологии.

3. Топология управления обменом (то есть принцип и последовательность передачи права на восторг сети между отдельными компьютерами).

4. Информационная топология (то есть направление потоков информации, переданной по сети).

Например, сеть с физической и логической топологией «шина» может как метод управления использовать эстафетную передачу права захвата сети (то есть быть в этом содержании кольцом) и одновременно передавать всю информацию через один выделен компьютер (быть в этом содержании звездой).

Топология компьютерных сетей

Одним из важнейших различий между разными типами сетей является их топология.

Под топологией обычно понимают взаимное расположение друг относительно друга узлов сети. К узлам сети в данном случае относятся компьютеры, концентраторы, свитчи, маршрутизаторы, точки доступа и т.п.

Топология – это конфигурация физических связей между узлами сети. Характеристики сети зависят от типа устанавливаемой топологии. В частности, выбор той или иной топологии влияет:

  • на состав необходимого сетевого оборудования;
  • на возможности сетевого оборудования;
  • на возможности расширения сети;
  • на способ управления сетью.

Различают следующие основные виды топологий: щит, кольцо, звезда, ячеистая топология и решетка. Остальные являются комбинациями основных топологий и называются смешанными или гибридными.

Шина . Сети с шинной топологией используют линейный моноканал (коаксиальный кабель) передачи данных, на концах которого устанавливаются специальные заглушки – терминаторы (terminator). Они необходимы для того,

Рис. 6.1.

чтобы погасить сигнал после прохождения по шине. К недостаткам шинной топологии следует отнести следующее:

  • данные, передаваемые по кабелю, доступны всем подключенным компьютерам;
  • в случае повреждения шины вся сеть перестает функционировать.

Кольцо – это топология, в которой каждый компьютер соединен линиями связи с двумя другими: от одного он получает информацию, а другому передаст и подразумевает следующий механизм передачи данных: данные передаются последовательно от одного компьютера к другому, пока не достигнут компьютера-получателя. Недостатки топологии "кольцо" те же, что и у топологии "шина":

  • общедоступность данных;
  • неустойчивость к повреждениям кабельной системы.

Звезда – это единственная топология сети с явно выделенным центром, называемым сетевым концентратором или "хабом" (hub), к которому подключаются все остальные абоненты. Функциональность сети зависит от состояния этого концентратора. В топологии "звезда" прямые соединения двух компьютеров в сети отсутствуют. Благодаря этому имеется возможность решения проблемы общедоступности данных, а также повышается устойчивость к повреждениям кабельной системы.

Рис. 6.2.

Рис. 6.3. Топология типа "звезда"

– это топология компьютерной сети, в которой каждая рабочая станция сети соединяется с несколькими рабочими станциями этой же сети. Характеризуется высокой отказоустойчивостью, сложностью настройки и переизбыточным расходом кабеля. Каждый компьютер имеет множество возможных путей соединения с другими компьютерами. Обрыв кабеля не приведет к потере соединения между двумя компьютерами.

Рис. 6.4.

Решетка – это топология, в которой узлы образуют регулярную многомерную решетку. При этом каждое ребро решетки параллельно ее оси и соединяет два смежных узла вдоль этой оси. Одномерная решетка – это цепь, соединяющая два внешних узла (имеющие лишь одного соседа) через некоторое количество внутренних (у которых по два соседа – слева и справа). При соединении обоих внешних узлов получается топология "кольцо". Двух- и трехмерные решетки используются в архитектуре суперкомпьютеров.

Сети, основанные па FDDI, используют топологию "двойное кольцо", достигая тем самым высокой надежности и производительности. Многомерная решетка, соединенная циклически в более чем одном измерении, называется "тор".

(рис. 6.5) – топология, преобладающая в крупных сетях с произвольными связями между компьютерами. В таких сетях можно выделить отдельные произвольно связанные фрагменты (подсети ), имеющие типовою топологию, поэтому их называют сетями со смешанной топологией.

Для подключения большого числа узлов сети применяют сетевые усилители и (или) коммутаторы. Также применяются активные концентраторы – коммутаторы, одновременно обладающие и функциями усилителя. На практике используют два вида активных концентраторов, обеспечивающих подключение 8 или 16 линий.

Рис. 6.5.

Другой тип коммутационного устройства – пассивный концентратор, который позволяет организовать разветвление сети для трех рабочих станций. Малое число присоединяемых узлов означает, что пассивный концентратор не нуждается в усилителе. Такие концентраторы применяются в тех случаях, когда расстояние до рабочей станции не превышает нескольких десятков метров.

По сравнению с шинной или кольцевой смешанная топология обладает большей надежностью. Выход из строя одного из компонентов сети в большинстве случаев не оказывает влияния на общую работоспособность сети.

Рассмотренные выше топологии локальных сетей являются основными, т. е. базовыми. Реальные вычислительные сети строят, основываясь на задачах, которые призвана решить данная локальная сеть, и па структуре ее информационных потоков. Таким образом, на практике топология вычислительных сетей представляет собой синтез традиционных типов топологий.

Основные характеристики современных компьютерных сетей

Качество работы сети характеризуют следующие свойства: производительность, надежность, совместимость, управляемость, защищенность, расширяемость и масштабируемость.

К основным характеристикам производительности сети относятся:

  • время реакции – характеристика, которая определяется как время между возникновением запроса к какому-либо сетевому сервису и получением ответа на него;
  • пропускная способность – характеристика, которая отражает объем данных, переданных сетью в единицу времени;
  • задержка передачи – интервал между моментом поступления пакета на вход какого-либо сетевого устройства и моментом его появления на выходе этого устройства.

Для оценки надежности сетей используются различные характеристики, в том числе:

  • коэффициент готовности, означающий долю времени, в течение которого система может быть использована;
  • безопасность, т.е. способность системы защитить данные от несанкционированного доступа;
  • отказоустойчивость – способность системы работать в условиях отказа некоторых ее элементов.

Расширяемость означает возможность сравнительно легкого добавления отдельных элементов сети (пользователей, компьютеров, приложений, сервисов), наращивания длины сегментов сети и замены существующей аппаратуры более мощной.

Масштабируемость означает, что сеть позволяет наращивать количество узлов и протяженность связей в очень широких пределах, при этом производительность сети не ухудшается.

Прозрачность – свойство сети скрывать от пользователя детали своего внутреннего устройства, упрощая тем самым его работу в сети.

Управляемость сети подразумевает возможность централизованно контролировать состояние основных элементов сети, выявлять и разрешать проблемы, возникающие при работе сети, выполнять анализ производительности и планировать развитие сети.

Совместимость означает, что сеть способна включать в себя самое разнообразное программное и аппаратное обеспечение.

ТОПОЛОГИЯ
раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация - это деформация фигуры, при которой не происходит разрывов (т.е. нарушения целостности фигуры) или склеиваний (т.е. отождествления ее точек). Такие геометрические свойства связаны с положением, а не с формой или величиной фигуры. В отличие от евклидовой и римановой геометрий, геометрии Лобачевского и других геометрий, занимающихся измерением длин и углов, топология имеет неметрический и качественный характер. Раньше она носила названия "анализ ситус" (анализ положения), а также "теория точечных множеств". В научно-популярной литературе топологию часто называют "геометрией на резиновом листе", поскольку ее наглядно можно представлять себе как геометрию фигур, нарисованных на идеально упругих резиновых листах, которые подвергаются растяжению, сжатию или изгибанию. Топология - один из новейших разделов математики.
История. В 1640 французский математик Р.Декарт (1596-1650) нашел инвариантное соотношение между числом вершин, ребер и граней простых многогранников. Это соотношение Декарт выразил формулой V - E + F = 2, где V - число вершин, E - число ребер и F - число граней. В 1752 швейцарский математик Л. Эйлер (1707-1783) дал строгое доказательство этой формулы. Еще один вклад Эйлера в развитие топологии - это решение знаменитой задачи о кенигсбергских мостах. Речь шла об острове на реке Прегель в Кенигсберге (в том месте, где река разделяется на два рукава - Старый и Новый Прегель) и семи мостах, соединяющих остров с берегами. Задача состояла в том, чтобы выяснить, можно ли обойти все семь мостов по непрерывному маршруту, побывав на каждом только один раз и вернувшись в исходную точку. Эйлер заменил участки суши точками, а мосты - линиями. Полученную конфигурацию Эйлер назвал графом, точки - его вершинами, а линии - ребрами. Вершины он разделил на четные и нечетные в зависимости от того, четное или нечетное число ребер выходит из вершины. Эйлер показал, что все ребра графа можно обойти ровна по одному разу по непрерывному замкнутому маршруту, лишь если граф содержит только четные вершины. Так как граф в задаче о кенигсбергских мостах содержит только нечетные вершины, мосты невозможно обойти по непрерывному маршруту, побывав на каждом ровно по одному разу и вернувшись к началу маршрута. Предложенное Эйлером решение задачи о кенигсбергских мостах зависит только от взаимного расположения мостов. Оно положило формальное начало топологии как разделу математики. К.Гаусс (1777-1855) создал теорию узлов, которой позднее занимались И.Листинг (1808-1882), П. Тэйт (1831-1901) и Дж. Александер. В 1840 А. Мебиус (1790-1868) сформулировал так называемую проблему четырех красок, которую впоследствии исследовали О. де Морган (1806-1871) и А. Кэли (1821-1895). Первым систематическим трудом по топологии были Предварительные исследования по топологии Листинга (1874). Основателями современной топологии являются Г. Кантор (1845-1918), А. Пуанкаре (1854-1912) и Л. Брауэр (1881-1966).
Разделы топологии. Топологию можно подразделить на три области: 1) комбинаторную топологию, изучающую геометрические формы посредством их разбиения на простейшие фигуры, регулярным образом примыкающие друг к другу; 2) алгебраическую топологию, занимающуюся изучением алгебраических структур, связанных с топологическими пространствами, с упором на теорию групп; 3) теоретико-множественную топологию, изучающую множества как скопления точек (в отличие от комбинаторных методов, представляющих объект как объединение более простых объектов) и описывающую множества в терминах таких топологических свойств, как открытость, замкнутость, связность и т.д. Разумеется, такое деление топологии на области в чем-то произвольно; многие топологи предпочитают выделять в ней другие разделы.
Некоторые основные понятия. Топологическое пространство состоит из множества точек S и набора S подмножеств множества S, удовлетворяющего следующим аксиомам: (1) все множество S и пустое множество принадлежат набору S; (2) объединение любой совокупности множеств из S есть множество из S; (3) пересечение любого конечного числа множеств из S есть множество из S. Множества, входящие в набор S, называются открытыми множествами, а сам этот набор - топологией в S.
См. МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ . Топологическое преобразование, или гомеоморфизм, одной геометрической фигуры S на другую, S", - это отображение (p (r) p") точек p из S в точки p" из S", удовлетворяющее следующим условиям: 1) устанавливаемое им соответствие между точками из S и S" взаимно однозначно, т.е. каждой точке p из S соответствует только одна точка p" из S" и в каждую точку p" отображается только одна точка p; 2) отображение взаимно непрерывно (непрерывно в обе стороны), т.е. если заданы две точки p, q из S и точка p движется так, что расстояние между ней и точкой q стремится к нулю, то расстояние между соответствующими точками p", q" из S" также стремится к нулю, и наоборот. Геометрические фигуры, переходящие одна в другую при топологических преобразованиях, называются гомеоморфными. Окружность и граница квадрата гомеоморфны, так как их можно перевести друг в друга топологическим преобразованием (т.е. изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний, например, растяжением границы квадрата на описанную вокруг него окружность). Сфера и поверхность куба также гомеоморфны. Чтобы доказать гомеоморфность фигур, достаточно указать соответствующее преобразование, но тот факт, что для каких-то фигур найти преобразование нам не удается, не доказывает, что эти фигуры не гомеоморфны. Здесь помогают топологические свойства.

Рис. 1. ПОВЕРХНОСТЬ КУБА И СФЕРА гомеоморфны, т.е. могут быть переведены друг в друга топологическим преобразованием, но ни поверхность куба, ни сфера не гомеоморфны тору (поверхности "бублика").


Топологическим свойством (или топологическим инвариантом) геометрических фигур называется свойство, которым вместе с данной фигурой обладает также любая фигура, в которую она переходит при топологическом преобразовании. Любое открытое связное множество, содержащее по крайней мере одну точку, называется областью. Область, в которой любую замкнутую простую (т.е. гомеоморфную окружности) кривую можно стянуть в точку, оставаясь все время в этой области, называется односвязной, а соответствующее свойство области - односвязностью. Если же некоторую замкнутую простую кривую этой области нельзя стянуть в точку, оставаясь все время в этой области, то область называется многосвязной, а соответствующее свойство области - многосвязностью. Представьте себе две круговые области, или диски, одну без дыр, а другую с дырами. Первая область односвязна, вторая многосвязна. Односвязность и многосвязность - топологические свойства. Область с дырой не может перейти при гомеоморфизме в область без дыр. Интересно отметить, что если в многосвязном диске провести по разрезу от каждой из дыр до края диска, то он станет односвязным. Максимальное число замкнутых простых непересекающихся кривых, по которым можно разрезать замкнутую поверхность, не разделяя ее на отдельные части, называется родом поверхности. Род - топологический инвариант поверхности. Можно доказать, что род сферы равен нулю, род тора (поверхности "бублика") - единице, род кренделя (тора с двумя дырками) - двум, род поверхности с p дырами равен p. Отсюда следует, что ни поверхность куба, ни сфера не гомеоморфны тору. Среди топологических инвариантов поверхности можно также отметить число сторон и число краев. Диск имеет 2 стороны, 1 край и род 0. Тор имеет 2 стороны, не имеет краев, а его род равен 1. Введенные выше понятия позволяют уточнить определение топологии: топологией называется раздел математики, изучающий свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах.
Важные проблемы и результаты. Теорема Жордана о замкнутой кривой. Если на поверхности проведена простая замкнутая кривая, то существует ли какое-либо свойство кривой, которое сохраняется при деформации поверхности? Существование такого свойства вытекает из следующей теоремы: простая замкнутая кривая на плоскости делит плоскость на две области, внутреннюю и внешнюю. Эта кажущаяся тривиальной теорема очевидна для кривых простого вида, например, для окружности; однако для сложных замкнутых ломаных дело обстоит иначе. Теорема была впервые сформулирована и доказана К.Жорданом (1838-1922); однако доказательство Жордана оказалось ошибочным. Удовлетворительное доказательство было предложено О.Вебленом (1880-1960) в 1905.
Теорема Брауэра о неподвижной точке. Пусть D - замкнутая область, состоящая из окружности и ее внутренности. Теорема Брауэра утверждает, что для любого непрерывного преобразования, переводящего каждую точку области D в точку этой же области, существует некоторая точка, которая остается неподвижной при этом преобразовании. (Преобразование не предполагается взаимно однозначным.) Теорема Брауэра о неподвижной точке представляет особый интерес потому, что она, по-видимому, является, наиболее часто используемой в других разделах математики топологической теоремой.
Проблема четырех красок. Проблема заключается в следующем: можно ли любую карту раскрасить в четыре цвета так, чтобы любые две страны, имеющие общую границу, были раскрашены в различные цвета? Проблема четырех красок топологическая, так как ни форма стран, ни конфигурация границ не имеют значения. Гипотеза о том, что четырех красок достаточно для соответствующей раскраски любой карты, была впервые высказана в 1852. Опыт показал, что четырех красок действительно достаточно, но строгого математического доказательства не удавалось получить на протяжении более ста лет. И только в 1976 К.Аппель и В. Хакен из Иллинойского университета, затратив более 1000 часов компьютерного времени, добились успеха.
Односторонние поверхности. Простейшей односторонней поверхностью является лист Мебиуса, названный так в честь А. Мебиуса, открывшего его необычайные топологические свойства в 1858. Пусть ABCD (рис. 2,а) - прямоугольная полоска бумаги. Если склеить точку A с точкой B, а точку C с точкой D (рис. 2,б), то получится кольцо с внутренней поверхностью, наружной поверхностью и двумя краями. Одну сторону кольца (рис. 2,б) можно окрасить. Окрашенная поверхность будет ограничена краями кольца. Жук может совершить "кругосветное путешествие" по кольцу, оставаясь либо на окрашенной, либо на неокрашенной поверхности. Но если полоску перед склеиванием концов перекрутить на полоборота и склеить точку A с точкой C, а B с D, то получится лист Мебиуса (рис. 2,в). У этой фигуры есть только одна поверхность и один край. Любая попытка окрасить только одну сторону листа Мебиуса обречена на неудачу, так как у листа Мебиуса всего одна сторона. Жук, ползущий по середине листа Мебиуса (не пересекая края), вернется в исходную точку в положении "вверх ногами". При разрезании листа Мебиуса по средней линии он не распадается на две части.



Узлы. Узел можно представлять себе как запутанный кусок тонкой веревки с соединенными концами, расположенный в пространстве. Простейший пример - из куска веревки сделать петлю, пропустить один из ее концов сквозь петлю и соединить концы. В результате мы получим замкнутую кривую, которая остается топологически той же самой, как бы ее ни растягивать или скручивать, не разрывая и не склеивая при этом отдельные точки. Проблема классификации узлов по системе топологических инвариантов пока не решена.
ЛИТЕРАТУРА
Ху Сы-цзян. Теория гомотопий. М., 1964 Куратовский А. Топология, тт. 1-2. М., 1966, 1969 Спеньер Э. Алгебраическая топология. М., 1971 Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977 Келли Дж. Общая топология. М., 1981

Энциклопедия Кольера. - Открытое общество . 2000 .

Синонимы :

Смотреть что такое "ТОПОЛОГИЯ" в других словарях:

    Топология … Орфографический словарь-справочник

    топология - Физическое или логическое распределение узлов сети. Физическая топология определяет физические связи (каналы) между узлами. Логическая топология описывает возможные соединения между сетевыми узлами. В локальных сетях наиболее распространены три… … Справочник технического переводчика

    В широком смысле область математики, изучающая топологич. свойства разл. матем. и физ. объектов. Интуитивно, к топологич. относятся качественные, устойчивые свойства, не меняющиеся при деформациях. Матем. формализация идеи о топологич. свойствах… … Физическая энциклопедия

    Наука, учение о местностях. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. топология (гр. topos место, местность + ...логия) раздел математики, изучающий наиболее общие свойства геометрических фигур (свойства, не… … Словарь иностранных слов русского языка

    ТОПОЛОГИЯ, раздел математики, изучающий свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при любой деформации сдавливании, растягивании, скручивании (но без разрывов и склеиваний). Чашка с ручкой топологически эквивалентна бублику; куб,… … Научно-технический энциклопедический словарь

    - (от греч. topos место и...логия) раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т. е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных… … Большой Энциклопедический словарь

    ТОПОЛОГИЯ, топологии, мн. нет, жен. (от греч. topos место и logos учение) (мат.). Часть геометрии, исследующая качественные свойства фигур (т.е. не зависящие от таких понятий, как длина, величина углов, прямолинейность и т.п.). Толковый словарь… … Толковый словарь Ушакова

Топология - довольно красивое, звучное слово, очень популярное в некоторых нематематических кругах, заинтересовало меня еще в 9 классе. Точного представления конечно же я не имел, тем не менее, подозревал, что все завязано на геометрии.

Слова и текст подбирались таким образом, чтобы все было «интуитивно ясно». Как следствие - полное отсутствие математической грамоты.

Что такое топология? Сразу скажу, что есть, по крайней мере, два термина «Топология» - один из них просто обозначает некоторую математическую структуру, второй - несет за собой целую науку. Наука эта заключается в изучение свойств предмета, которые не изменятся при его деформации.

Наглядный пример 1. Чашка бублик.

Мы видим, что кружка непрерывными деформациями переходит в бублик (в простонародье «двухмерный тор»). Было замечено, что топология изучает, то что остается неизменным при таких деформациях. В данном случае неизменным остается количество «дырок» в предмете - она одна. Пока оставим как есть, чуть позже разберемся наверняка)

Наглядный пример 2. Топологический человек.

Непрерывными деформациями человек (см. рисунок) может распутать пальцы - факт. Не сразу очевидно, но можно догадаться. А если же наш топологический человек предусмотрительно надел часы на одну руку, то наша задача станет невыполнимой.

Давайте внесем ясности

Итак, надеюсь парочка примеров привнесла некоторой наглядности к происходящему.
Попробуем формализовать это все по-детски.
Будем считать что мы работаем с пластилиновыми фигурками, и пластилин можем растягивать, сжимать, при этом запрещены склеивания разных точек и разрывы . Гомеоморфными называются фигуры, которые переводятся друг в друга непрерывными деформациями описанными чуть ранее.

Очень полезный случай - сфера с ручками. У сферы может быть 0 ручек - тогда это просто сфера, может быть одна - тогда это бублик (в простонародье «двухмерный тор») и т.д.
Так почему же сфера с ручками - обособляется среди других фигур? Все очень просто - любая фигура гомеоморфна сфере с некоторым количеством ручек. То есть по сути у нас больше ничего нет О_о Любой объемный предмет устроен как сфера с некоторым количеством ручек. Будь то чашка, ложка, вилка (ложка=вилка!), компьютерная мышь, человек.

Вот такая вот достаточно содержательная теорема доказана. Не нами и не сейчас. Точнее она доказана для гораздо более общей ситуации. Поясню: мы ограничивались рассмотрением фигур слепленных из пластилина и без полостей. Это влечет следующие неприятности:
1) мы никак не можем получить неориентируемую поверхность (Бутылка Клейна, Лента Мёбиуса, проективная плоскость),
2)ограничиваемся двухмерными поверхностями (н/п: сфера - двухмерная поверхность),
3)не можем получить поверхности, фигуры простирающиеся на бесконечность (можно конечно такое представить, но никакого пластилина не хватит).

Лента Мёбиуса

Бутылка Клейна