Математика, которая мне нравится. Самое большое число в мире
Всем известно: количество чисел бесконечно. Это значит, что их можно считать и перечислять до бесконечности.
Даже знак математический придумали ∞, обозначающий бесконечность.
Тем не менее, скольким числам в математике хотя бы даны названия? Ну, например, число 100 нулей , как называется? Узнаем как раз из данной статьи.
Один ученый-математик по имени Эдвард Каснер попросил своего юного племянника Милтона Сиротта придумать название для огромного числа, с которым он работал. Это была единица со ста нулями.
Мальчик назвал его “гугол” (так и сейчас называют число 10 100 т.е. число 10 в сотой степени).
Это на сегодняшний день не единственное число, у которого есть название. Больше “гугола” есть, например, асанкхейя (число10 140) , гуголплекс . Но существуют числа гораздо больше – настолько большие, что у вас не хватит жизни, чтобы записать все их нули.
Кстати, давайте сосчитаем, а сколько же времени нужно потратить, чтобы записать “гугол”. Итак, давайте представим, что один математический символ (цифру) человек записывает чуть меньше секунды. У примеру, десять символов можно записать за 8 секунд.
10 цифр – 8 сек.
Тогда 100 цифр можно записать в 10 раз быстрее, т.е. 100 цифр – 80 сек.
А это значит, что 80 секунд равны 1 минуте и 20 секундам, то есть 1 минуте и ее 1/3. Конечно, что этого времени будет достаточно, чтобы приписать еще и единицу, которую нужно поставить в начале записи числа “гугол” .
Естественно, всегда интересно знать, каково же применение числа 100 нулей . На самом деле как раз именно этот термин не имеет какого-то серьёзного математического теоретического и практического значения. Каснер предложил его ввести только лишь для того, чтобы показать разницу между достаточно большим числом(которое трудно даже вообразить) и бесконечностью ∞.
А вот некоторые интересные факты о числе “гугол”.
- О числе “гугол” впервые было рассказано мировой общественности в 1940 году в книге “Математика и воображение”.
- Насколько велико значение “гугола” можно представить, если сравнить его с космическими масштабами. Как утверждает Википедия , количество частиц в известной нам части Вселенной (а их насчитывается от 10 79 до 10 81) оказывается меньше, чем значение числа “гугол”.
- В популярной телеигре “Кто хочет стать миллионером” (Великобритания) вопрос о “гуголе” стоил 1 млн. фунтов стерлингов. И, кстати, был дан правильный ответ.
А вот, пожалуй, самая интересная история в современном мире, связанная с числом “гугол”. Она связана с историей названия популярной поисковой системой, создателями которой были Ларри Пейдж и Сергей Брин.
Как и ожидалось - то, что можно было решить в MS Excel, можно реализовать и в Google таблицах. Но многочисленные попытки решить проблемы с помощью любимого поисковика приводили только к новым вопросам и почти к нулевым ответам.
Посему, было решено облегчить жизни другим и прославить себя .
Кратко о главном
Для того чтоб Excel, либо spreadsheet (таблица Google) поняли что написанное - это формула, необходимо поставить знак "=" в строку формул (Рисунок 1).- буквенно - цифровое (БУКВА = СТОЛБЕЦ; ЦИФРА = СТРОКА) например «А1».
- стилем R1C1, в системе R1C1 и строки и столбцы обозначаются цифрами.
Там, где мы напишем "= формула", например, =SUM (A1:A10) и будет выводиться наше значение.
Общий принцип работы формул RC показан на Рисунке 2.
Рисунок 2
Как видно из Рисунка 3, значения ячеек идут относительно той ячейки, в которой будет написана формула со знаком равно. Для сохранения эстетичного вида формул, в них прописаны символы , которые можно и не писать: RC = RC.
Рисунок 3
Отличие Рисунка 2 от Рисунка 3 в том, что Рисунок 3 - это универсальная формулировка, не привязанная к строкам и столбцам (смотрите на значения строк и столбцов), чего не скажешь о рисунке 2. Но стиль RC в spreadsheet, в основном, используется для написания скриптов javascript.
Типы ссылок (типы адресации)
Для обращения к ячейкам используются ссылки, которые бывают 3-х типов:- Относительные ссылки (пример, A1);
- Абсолютные ссылки (пример, $A$1);
- Смешанные ссылки (пример, $A1 или A$1, они наполовину относительные, наполовину абсолютные).
Относительные ссылки
Относительная ссылка «запоминает», на каком расстоянии (в строках и столбцах) вы щелкнули ОТНОСИТЕЛЬНО положения ячейки, где поставили "=" (смещение в строках и столбцах). Затем потянуть вниз за маркер автозаполнения, и эта формула скопируется во все ячейки, через которые мы протянули.Абсолютные ссылки
Как было сказано выше, если потянуть за маркер автозаполнения формулу, содержащую относительные ссылки, Таблица пересчитает их адреса. Если же в формуле присутствуют абсолютные ссылки, их адрес останется неизменным. Проще говоря - абсолютная ссылка всегда указывают на одну и ту же ячейку.Чтобы сделать относительную ссылку абсолютной, достаточно поставить знак «$» перед буквой столбца и адресом строки, например $A$1. Более быстрый способ - выделить относительную ссылку и нажать один раз клавишу «F4», при этом spreadsheet сам проставит знак «$». Если второй раз нажать «F4», ссылка станет смешанной типа A$1, если третий раз - $A1, если в четвертый раз - ссылка снова станет относительной. И так по кругу.
Смешанные ссылки
Смешанные ссылки являются наполовину абсолютными и наполовину относительными. Знак доллара в них стоит или перед буквой столбца или перед номером строки. Это самый сложный для понимания тип ссылки. Например, в ячейке записана формула «=A$1». Ссылка A$1 относительная по столбцу A и абсолютная по строке 1. Если мы потянем за маркер автозаполнения эту формулу вниз или вверх, то ссылки во всех скопированных формулах будут указывать на ячейку A1, то есть будут вести себя как абсолютные. Однако, если потянем вправо или влево - ссылки ведут себя как относительные, то есть spreadsheet начнет пересчитывать ее адрес. Таким образом, формулы, созданные автозаполнением, будут использовать один и тот же номер строки ($1), но изменится буквенное значение столбца (A, B, C...).Посмотрим на пример суммирования ячеек с умножением на некий коэффициент.
Данный пример предусматривает наличие значения коэффициента в каждой вычисляемой ячейке (ячейки D8, D9,D10...E8,F8...). (Рисунок 4).
Красные стрелки показывают направление растягивания маркером заполнения формулы, которая находится в ячейки С2. В формуле обратите внимание на изменение ячейки D8. При растягивании вниз меняется лишь число символизирующее строку. При растягивании вправо изменяется лишь столбец.
Рисунок 4
Упростим пример, применив знак $ (Рисунок 5).
Рисунок 5
Но не всегда нужно закреплять все столбцы и строки, иногда используется закрепление только строки или только столбца.(Рисунок 6)
Рисунок 6
Обо всех формулах можно почитать на официальном сайте support.google.com
Важно: Данные, которые необходимо обрабатывать в формулах, не должны находиться в разных документах, это возможно делать только при помощи скриптов.
Ошибки формул
Если вы неправильно напишете формулу, об этом вас известит комментарий о синтаксической ошибке в формуле (Рисунок 7).
Рисунок 7
Хотя ошибки могут быть не только синтаксические, но и, например, математические, такие как деление на 0 (Рисунок 7) и другие (Рисунок 7.1, 7.2, 7.3). Для того чтобы увидеть примечание, в котором показана какая ошибка произошла, наведите курсор на красный треугольник в правом верхнем углу ошибки.
Рисунок 7.1
Рисунок 7.2
Рисунок 7.3
Для удобства восприятия таблицы все ячейки с формулами будем окрашивать в фиолетовый цвет.
Для того чтобы увидеть формулы «в живую» необходимо нажать горячую клавишу Ctrl + или выбрать в меню сверху Вид (Просмотр) > Все формулы. (Рисунок 8).
Рисунок 8
О том, как пишутся формулы
В формулировке формул в справочнике и в формулах, которые используются для работы на данный момент, присутствуют отличия. Они заключаются в том, что вместо «запятой», которая использовалась раньше во многих формулах, уже используется «точка с запятой» (изменения произошли более полугода назад).Для того чтобы посмотреть, на что ссылается формула на данной странице (Рисунок 9), необходимо щелкнуть мышкой в строке формул справа от надписи Fx (Fx находится под основным меню, слева).
Рисунок 9
ВАЖНО:
Для правильного функционирования формул, они должны быть написаны ЛАТИНСКИМИ буквами. Русская (кириллическая) “А” или “С” и латинская “А” или “С” для формулы - это 2 разные буквы.
Формулы
Арифметические формулы.
Расписывать, конечно, вечные операции сложения, вычитания и т.д., никто не будет, но они помогут понять сами азы. На нескольких примерах вы поймете, как они работают в этой среде. В документе, ссылка на который дана в конце статьи, приведены все формулы, мы же просто остановимся на скриншотах.Сложение, вычитание, умножение, деление.
- Описание: формулы сложения, вычитания, умножения и деления.
- Вид формулы: “Ячейка_1+Ячейка_2”, “Ячейка_1-Ячейка_2”, “Ячейка_1*Ячейка_2”, “Ячейка_1/Ячейка_2”
- Сама формула: =E22+F22, =E23-F23, =E24*F24, =E25/F25.
Рисунок 10
Прогрессия.
- Описание: формула для увеличения всех последующих ячеек на единицу (нумерация строк и столбцов).
- Вид формулы: =Предыдущая ячейка + 1.
- Сама формула: =D26+1
Рисунок 11
Округление.
- Описание: формула для округления числа в ячейке.
- Вид формулы: =ROUND(ячейка с числом); счетчик (сколько цифр надо округлить после запятой).
- Сама формула: =ROUND(E28;2).
Рисунок 12
Округление “ROUND” происходит по математическим законам, если после запятой стоит цифра 5 или больше, то целая часть увеличивается на единицу, если 4 и меньше, то остается неизменной, также округление можно сделать с помощью меню ФОРМАТ - > Числа -> «1000,12» 2 десятичных знака (Рисунок 13). Если же вам необходимо большее количество знаков, то нужно нажать ФОРМАТ - > Числа -> Персонализированные десятичные -> И указать количество знаков.
Рисунок 13
Сумма, если ячейки идут не последовательно.
Наверное, самая знакомая функция- Описание: суммирование чисел, которые находятся в разных ячейках.
- Вид формулы: =SUM(число_1; число_2;… число_30).
- Сама формула: "=SUM(E30;H30)" пишем через ";" если разные ячейки.
(Рисунок 14).
Сумма, если ячейки идут последовательно.
- Описание: суммирование чисел, которые идут друг за другом (последовательно).
- Вид формулы: =SUM(число_1: число_N).
- Сама формула: =SUM (E31:H31)" пишем через ":" если это непрерывный диапазон.
- Имеем начальные данные в диапазоне ячеек E31:H31, а результат в ячейке D31 (Рисунок15).
Рисунок 15
Среднее арифметическое.
- Описание: суммируется диапазон чисел и делится на количество ячеек в диапазоне.
- Вид формулы: =AVERAGE (ячейка с числом либо число_1; ячейка с числом либо число_2;… ячейка с числом либо число_30).
- Сама формула: =AVERAGE(E32:H32)
Рисунок 16
Конечно, есть и другие, но мы идем дальше.
Текстовые формулы.
Из великого количества текстовых формул, с помощью которых можно сделать все, что угодно с текстом, самая востребованная, на мой взгляд - это формула для «склеивания» текстовых значений. Существует несколько вариантов ее исполнения:Склеивание текстовых значений (формулой).
- Описание: «склеивание» текстовых значений (вариант А).
- Вид формулы: =CONCATENATE(ячейка с числом/текстом либо текст_1; ячейка с числом/текстом либо текст_2; …, ячейка с числом/текстом либо текст_30).
- Сама формула: =CONCATENATE(E36;F36;G36;H36).
С помощью Google документов часто проводят опросы сотрудников или составляют социологические опросы через Google Forms (это специальные формы, которые можно создать через меню Вставка->Форма. После заполнения формы данные представляются в таблице. А далее, используют различные формулы для работы с данными, например, для склеивания Ф.И.О.).
Рисунок 17
Склеивание числовых значений.
- Описание: “склеивание” текстовых значений руками, без использования специальных функций (вариант B - ручное написание формулы, сложность формулы любая.).
- Вид формулы: =ячейка с числом/текстом 1&" "&ячейка с числом/текстом 2&" "&ячейка с числом/текстом 3&" "& ячейка с числом/текстом 4 (" " - пробел, знак & означает склеивание, все текстовые значения пишутся в кавычках “”).
- Сама формула: =E37&" "&F37&" "&G37&" "&H37.
Рисунок 18
Склеивание числовых и текстовых значений.
- Описание:«склеивание» текстовых значений руками, без использования специальных функций (вариант С - смешанный тип, сложность формулы любая).
- Вид формулы: = «текст_1 » &ячейка_1&«текст_2»&ячейка_2&«текст_3»&ячейка_3
- Важно: весь текст, который будет написан в “” будет неизменным для формулы.
- Сама формула: =«Еще 1 » &E38&" использования "&F38&" как НАМ "&G38.
Склеиваем текст и числовые значения.
Рисунок 19
ЛОГИЧЕСКИЕ И ПРОЧИЕ
Перенос данных из любых листов одного и того же файла.
Мы подошли к самым интересным, на мой взгляд, функциям: ЛОГИЧЕСКИЕ И ПРОЧИЕ.Одна из самых нужных формул:
- Описание: перенос данных из любых листов одного и того же файла (для Excel можно как переносить из листа одной книги в другой лист той же книги, так и из листа одной книги в лист другой книги).
- Вид формулы: = «Название_Листа»! ячейка_1
- Сама формула:=Data!A15 (Data - лист, А15 - ячейка на том листе).
Рисунок 20
Рисунок 20.1
Массив формул.
Большинство программ для работы с таблицами содержат два типа формул массива: «для нескольких ячеек» и «для одной ячейки».Таблицы Google разделяют эти типы на две функции: CONTINUE (ПРОДОЛЖИТЬ) и ARRAYFORMULA.
Формулы массива для нескольких ячеек позволяют формуле возвращать несколько значений. Вы можете использовать их, даже не зная этого, просто вводя формулу, возвращающую несколько значений.
Формулы массива «в одной ячейке» позволяют записывать формулы с помощью ввода массива, а не выходных данных. При заключении формулы в состав функции =ARRAYFORMULA можно передать массивы или диапазоны функциям и операторам, которые, как правило, используют только аргументы, не принадлежащие массивам. Данные функции и операторы будут применяться по одному для каждой записи в массиве, и возвращать новый массив со всеми выходными данными.
Если вы хотите изучить вопрос более детально, вам следует посетить support.google .
Говоря простыми словами, для работы с формулами, которые возвращают массивы данных, во избежание синтаксических ошибок, необходимо заключать их в массив формул.
Суммирование ячеек с условием ЕСЛИ.
Для того чтобы оперировать логическими формулами, а они обычно содержат большие массивы данных, их помещают в массив формул ARRAYFORMULA (формула).- Описание: суммирование ячеек с условием ЕСЛИ (формула SUMIF).
- Вид формулы: = SUMIF(‘Лист’! диапазон; критерии; ‘Лист’! суммарный_диапазон)
Задача, какой вид будет иметь фискальный чек, после распечатки (попросту нужно сложить продукты 3-х покупателей и узнать кол-во продуктов в сумме по каждой позиции)?
Рисунок 21
Имеем начальные данные в листе Data (Рисунок 21), а результат на листе Formula в столбце D (Рисунок 22). В столбцах E, F, G показаны аргументы, применяемые в формуле, а в столбце H общий вид формулы, которая находится в столбце D и высчитывает результат.
Рисунок 22
Пример выше показывает общий вид работы формулы “Сумма Если” с одним условием, но чаще всего используется “Сумма ЕСЛИ” (с множеством условий).
Суммирование ячеек ЕСЛИ, множество условий.
Продолжаем рассматривать задачу с продуктами на другом уровне.Вечеринка только начинается, а после звонка друзей, вы начинаете понимать, что спиртного не хватит. И нужно его докупать. Каждый из друзей должен принести с собой горячительный напиток. Необходимо узнать количество бутылок пива, которое нужно принести, и дать задание своим друзьям.
- Описание: сумма ЕСЛИ (с множеством условий).
- Вид формулы: = SUMIF(‘Data’! диапазон_1&‘Data’! диапазон_2; критерии_1&критерий_2; ‘Data’! суммарный_диапазон).
- Сама формула:=(ARRAYFORMULA(SUMIF((Data!E:E&Data!F:F);(B53&C53);Data!G:G)))
Рисунок 23
Допустим, что на листе Formula, в ячейке В53 (критерий_1 = Пиво) должно быть название напитка, а ячейка С53 (критерий_2 = 2), это количество друзей, которые принесут Пиво. В итоге в ячейке D53 окажется результат, что нам нужно докупить 15 бутылок пива. (Рисунок 23.1) то есть, формула определит сумму по двум критериям - пиво и количество друзей.
Рисунок 23.1
Если таких позиций будет больше, строки 16 и 21(Рисунок 24), то количество пузырей в колонке G суммируется (Рисунок 24.1).
Рисунок 24
Итого:
Рисунок 24.1
Теперь приведем более интересный пример:
Ха… вечеринка продолжается, и вы вспоминаете, что нужен торт, но непростой, а супер – мега торт, с разными специями, которые, как назло, еще и зашифрованы под цифровые обозначения. Задача состоит в том, чтобы купить специи в нужном количестве пакетиков каждой из специи. Нужное количество повар зашифровал в таблицу (Рисунок. 25.1), столбцы A и B (в соседних столбцах делаем наши вычисления).Каждая специя имеет свой порядковый номер: 1,2,3,4. (Рисунок 25).
Рисунок 25
Наша задача посчитать количество повторяющихся значений, в нашем случае, это числа от 1 до 4 в столбце B и определить сколько процентов приходится на каждую из специй.
- Описание: подсчет количества одинаковых цифр в больших массивах при дополнительных условиях.
- Вид формулы: СЧИТАТЬ ЕСЛИ(‘Formula’! диапазон_A55: А61+’Formula’! диапазон_B55:B61; УсловиеА”Специи”+УсловиеБ”число от 1 до 4”; Лист”Formula’! диапазон_B55:B61)/УсловиеБ ”число от 1 до 4”)
- Сама формула: =((ARRAYFORMULA(SUMIF("Formula"!$A$55:$A$61&"Formula"!$B$55:$B$61; $F$55&$E59;"Formula"!$B$55:$B$61)))/$E59)
- Описание: вычисление процента специй.
- Вид формулы: Количество*100%/Общее_количество
- Сама формула: =F58*$G$56/F$56
Рисунок 25.1
В конечном итоге мы имеем сумму повторов и процент.
Для правильного написания формулы, вы должны полностью представлять, что вы ИМЕЕТЕ, что ХОТИТЕ ПОЛУЧИТЬ и в каком виде. Возможно, для этого вам предстоит изменить вид начальных данных.
Переходим к следующему примеру
Подсчет значений в объединенных ячеек.
Если в формулах используются значения в «объединенных ячейках», то указывается первая ячейка для объединенных данных, в нашем случае это столбец F, а ячейка F65 (Рисунок 26)
Рисунок 26.
И наконец мы добрались до самых ужасных формул.
Подсчитывает количество чисел в списке аргументов.
Существует несколько видов таких подсчетов, они подходят для больших таблиц, в которых нужно считать количество одинаковых слов либо количество чисел. Но при правильном понимании этих формул с ними можно творить такие чудеса как, например: подсчет слов без учета слов исключений. Примеры ниже.- Описание: подсчет количества ячеек, содержащих цифры без текстовых переменных.
- Вид формулы: COUNT(значение_1; значение_2; … значение_30)
- Сама формула: =COUNT(E45;F45;G45;H45)
Рисунок 27.
Ячейки, содержащие текст и цифры также не считаются.
Рисунок 27.1.
Подсчет количества ячеек содержащих цифры с текстовыми переменными.
- Описание: подсчет количества ячеек, содержащих цифры с текстовыми переменными.
- Вид формулы: COUNTA(значение_1; значение_2; … значение_30)
- Сама формула: =COUNTA(E46:H46)
Рисунок 28.
Также, формула считает ячейки, содержащие только знаки препинания, табуляции, но не считает пустые ячейки.
Рисунок 28.1
Подстановка значений при условиях.
- Описание: подстановка значений при условиях.
- Вид формулы: "=IF(AND((Условие1);(Условие2)); Результат равен 0, если условие 1 и 2 выполняется; если не выполняется, то результат равен 1)"
- Сама формула: "=IF(AND((F73=5);(H73=5));0;1)"
Рисунок 29.
Рисунок 29.1
Усложним пример.
Посчитать количество ячеек, в которых написаны временные рамки без учета слов «автоответ», «занято», "-".
- Вид формулы:"=COUNTA(Диапазон_А)-COUNTIF(Диапазон_А; «автоответ»)-COUNTIF(Диапазон_А; "-")-COUNTIF(Диапазон_А; «занято»)"
- Сама формула: =COUNTA($E74:$H75)-COUNTIF($E74:$H75; «автоответ»)-COUNTIF($E74:$H75; "-")-COUNTIF($E74:$H75; «занято»)
Рисунок 30
Вот мы и подошли к концу нашего маленького ликбеза по формулам в Google SpreadSheet и у меня большие надежды, что я пролил свет на некоторые аспекты аналитической работы с формулами.
Формулы, честно говоря, были в прямом смысле выстраданы. Каждая из них создавалась в течение долгого времени. Надеюсь, вам понравилась моя статья и примеры, приведенные в ней.
И в завершение, в качестве подарка. И да простят меня разработчики!
Формула «УБИЙЦА ДОКУМЕНТА».
Если Вам необходимо скрыть документ от чужих глаз навсегда, то эта формула для Вас.Сама формула:"=(ARRAYFORMULA(SUMIF($A:$A&$C:$C;$H:$H&F$2; $C:$C)))". $H:$H регулирует распространение формулы. После того как фомлулу запустите (Рисунок 31), ниже в ячейках она начнет размножать следующую функцию CONTINUE(ячейка; строка; столбец).
Рисунок 31
Формула циклически добавляет в весь столбец формулы. Для того чтобы убить документ нужно немножко постараться, создать N-ое количество ячеек и прописать формулу в первых ячейках N-го количества столбцов. Все! Документ больше ни кто исправить и проверить не сможет!
Вот что говорит страница помощи гугла о загруженности и ограничениях -
Есть числа, которые так неимоверно, невероятно велики, что даже для того чтобы записать их, потребуется вся вселенная целиком. Но вот что действительно сводит с ума… некоторые из этих непостижимо больших чисел крайне важны для понимания мира.
Когда я говорю “наибольшее число во Вселенной’’, в действительности я имею в виду самое большое значимое число, максимально возможное число, которое в некотором роде полезно. Есть много претендентов на этот титул, но я сразу же предупреждаю вас: в самом деле существует риск того, что попытка понять все это взорвет ваш мозг. И кроме того, с излишком математики, вы получите мало удовольствия.
Гугол и гуголплекс
Эдвард Каснер
Мы могли бы начать с двух, весьма вероятно, самых больших чисел, о которых вы когда-либо слышали, и это действительно два самых больших числа, которые имеют общепринятые определения в английском языке. (Имеется довольно точная номенклатура, применяемая для обозначения чисел столь больших, как вам хотелось бы, но эти два числа в настоящее время вы не найдете в словарях.) Гугол, с тех пор как он стал всемирно известным (хотя и с ошибками, примеч. в самом деле это googol) в виде Google, родился в 1920 году как способ заинтересовать детей большими числами.
С этой целью Эдвард Каснер (на фото), взял двух своих племянников, Мильтона и Эдвина Сиротт, на прогулку по Нью-Джерси Palisades. Он предложил им выдвигать любые идеи, и тогда девятилетний Мильтон предложил “гугол’’. Откуда он взял это слово, неизвестно, но Каснер решил, что 
или число, в котором за единицей стоят сто нулей отныне будет называться гугол.
Но молодой Мильтон на этом не остановился, он предложил еще большее число, гуголплекс. Это число, по мнению Мильтона, в котором на первом месте стоит 1, а затем столько нулей, сколько вы могли бы написать до того как устанете. Хотя эта идея очаровательна, Каснер решил, что необходимо более формальное определение. Как он объяснил в своей книге 1940 года издания “Математика и воображение’’, определение Мильтона оставляет открытой рискованную возможность того, что случайный шут может стать математиком, превосходящим Альберта Эйнштейна просто потому, что он обладает большей выносливостью.
Таким образом, Каснер решил, что гуголплекс будет равен , или 1, а затем гугол нулей. Иначе, и в обозначениях, аналогичных тем, с которыми мы будем иметь дело для других чисел, мы будем говорить, что гуголплекс — это . Чтобы показать, насколько это завораживает, Карл Саган однажды заметил, что физически невозможно записать все нули гуголплекса, потому что просто не хватит места во Вселенной. Если заполнить весь объем наблюдаемой Вселенной мелкими частицами пыли размером приблизительно в 1,5 микрона, то число различных способов расположения этих частиц будет примерно равно одному гуголплексу.
Лингвистически говоря, гугол и гуголплекс, вероятно, два самых больших значащих числа (по крайней мере, в английском языке), но, как мы сейчас установим, способов определения “значимости’’ бесконечно много.
Реальный мир
Если мы будем говорить о самом большом значащем числе, существует разумный аргумент, что это в самом деле означает, что нужно найти наибольшее число с реально существующим в мире значением. Мы можем начать с текущей человеческой популяции, которая в настоящее время составляет около 6920 миллионов. Мировой ВВП в 2010 году, по оценкам, составил около 61960 миллиардов долларов, но оба эти числа незначительны по сравнению с примерно 100 триллионами клеток, составляющих организм человека. Конечно, ни одно из этих чисел не может сравниться с полным числом частиц во Вселенной, которое, как правило, считается равным примерно , и это число настолько велико, что наш язык не имеет соответствующего ему слова.
Мы можем поиграть немного с системами мер, делая числа больше и больше. Так, масса Солнца в тоннах будет меньше, чем в фунтах. Прекрасный способ сделать это состоит в использовании системы единиц Планка, которые являются наименьшими возможными мерами, для которых остаются в силе законы физики. Например, возраст Вселенной во времени Планка составляет около . Если мы вернемся в первую единицу времени Планка после Большого Взрыва, то увидим, что плотность Вселенной была тогда . Мы получаем все больше, но мы еще не достигли даже гугола.
Наибольшее число с каким-либо реальным приложением мире — или, в данном случае реальным применением в мирах — вероятно, , — одна из последних оценок числа вселенных в мультивселенной. Это число настолько велико, что человеческий мозг будет буквально не в состоянии воспринять все эти разные вселенные, поскольку мозг способен только примерно на конфигураций. На самом деле, это число, вероятно, самое большое число с каким-либо практическим смыслом, если вы не принимаете во внимание идею мультивселенной в целом. Однако существуют еще намного большие числа, которые там скрываются. Но для того, чтобы найти их, мы должны отправиться в область чистой математики, и нет лучшего начала, чем простые числа.
Простые числа Мерсенна
Часть трудностей состоит в том, чтобы придумать хорошее определение того, что такое “значащее’’ число. Один из способов состоит в том, чтобы рассуждать в терминах простых и составных чисел. Простое число, как вы, наверное, помните из школьной математики, — это любое натуральное число (примеч. не равное единице), которое делится только на и самого себя. Итак, и — простые числа, а и — составные числа. Это означает, что любое составное число может в конечном счете быть представлено своими простыми делителями. В некотором смысле число является более важным, чем, скажем, , потому что нет никакого способа выразить его через произведение меньших чисел.
Очевидно, мы можем пойти немного дальше. , например, на самом деле просто , что означает, что в гипотетическом мире, где наши знания чисел ограничены числом , математик еще может выразить число . Но уже следующее число простое, и это значит, что единственным способом его выразить — непосредственно знать о его существовании. Это означает, что самые большие известные простые числа играют важную роль, а, скажем, гугол – который, в конечном счете просто набор из чисел и , перемноженных между собой — вообще-то и нет. И поскольку простые числа в основном случайные, не известно никаких способов предсказать, что невероятно большое число на самом деле будет простым. По сей день открытие новых простых чисел — это трудное дело.
Математики Древней Греции имели понятие о простых числах, по крайней мере, уже в 500 году до нашей эры, а 2000 лет спустя люди все еще знали, какие числа простые только примерно до 750. Мыслители времен Евклида увидели возможность упрощения, но вплоть до эпохи Возрождения математики не могли действительно использовать это на практике. Эти числа известны как числа Мерсенна, они названы в честь французского ученого XVII века Марина Мерсенна. Идея достаточно проста: число Мерсенна — это любое число вида . Так, например, , и это число простое, то же самое верно и для .
Гораздо быстрее и легче определить простые числа Мерсенна, чем любой другой вид простых чисел, и компьютеры напряженно работают в их поисках на протяжении последних шести десятилетий. До 1952 года крупнейшим известным простым числом было число — число с цифрами. В том же году на компьютере вычислили, что число простое, и это число состоит из цифр, что делает его уже намного больше, чем гугол.
Компьютеры с тех пор были на охоте, и в настоящее время -е число Мерсенна является самым большим простым числом, известным человечеству. Обнаруженное в 2008 году, оно составляет — число с почти миллионами цифр. Это самое большое известное число, которое не может быть выражено через какие-либо меньшие числа, и если вы хотите помочь найти еще большее число Мерсенна, вы (и ваш компьютер) всегда можете присоединиться к поиску на сайте http://www.mersenne.org/.
Число Скьюза
Стэнли Скьюз
Снова обратимся к простым числам. Как я уже говорил, они ведут себя в корне неправильно, это означает, что нет никакого способа предсказать, каким будет следующее простое число. Математики были вынуждены обратиться к некоторым довольно фантастическим измерениям, чтобы придумать какой-нибудь способ предсказать будущие простые числа даже каким-нибудь туманным способом. Наиболее успешной из этих попыток, вероятно, является функция, считающая простые числа, которую придумал в конце XVIII века легендарный математик Карл Фридрих Гаусс.
Я избавлю вас от более сложной математики — так или иначе, у нас много еще впереди — но суть функции заключается в следующем: для любого целого можно оценить, сколько существует простых чисел, меньших . Например, если , функция предсказывает, что должно быть простых чисел, если — простых числа, меньших , и если , то существует меньших чисел, которые являются простыми.
Расположение простых чисел действительно имеет нерегулярный характер, и это всего лишь приближение фактического числа простых чисел. На самом деле мы знаем, что есть простых чисел, меньших , простых чисел меньших , и простых чисел меньших . Это отличная оценка, что и говорить, но это всегда только оценка… и, более конкретно, оценка сверху.
Во всех известных случаях до , функция, находящая количество простых чисел, слегка преувеличивает фактическое количество простых чисел меньших . Математики когда-то думали, что так будет всегда, до бесконечности, что это, безусловно, относится и к некоторым невообразимо огромным числам, но в 1914 году Джон Идензор Литтлвуд доказал, что для какого-то неизвестного, невообразимо огромного числа эта функция начнет выдавать меньшее количество простых чисел, а затем она будет переключаться между оценкой сверху и оценкой снизу бесконечное число раз.
Охота была на точку начала скачков, и вот тут появился Стэнли Скьюз (см. фото). В 1933 году он доказал, что верхняя граница, когда функция, приближающая количество простых чисел впервые дает меньшее значение — это число . Трудно по-настоящему понять даже в наиболее абстрактном смысле, что на самом деле представляет собой это число, и с этой точки зрения это было наибольшее число, когда-либо использованное в серьезном математическом доказательстве. С тех пор математики смогли уменьшить верхнюю границу до относительно маленького числа , но исходное число осталось известно как число Скьюза.
Итак, насколько велико число , которое делает карликом даже могучий гуголплекс? В словаре The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Дэвид Уэллс рассказывает об одном способе, с помощью которого математику Харди удалось осмыслить размер числа Скьюза:
“Харди думал, что это “самое большое число, когда-либо служившее какой-либо определенной цели в математике’’, и предположил, что если играть в шахматы со всеми частицами Вселенной как фигурами, один ход состоял бы в перестановке местами двух частиц, и игра прекращалась бы, когда одна и та же позиция повторялась бы третий раз, то число всех возможных партий было бы равно примерно числу Скьюза’’.
И последнее перед тем как двигаться дальше: мы говорили о меньшем из двух чисел Скьюза. Существует другое число Скьюза, которое математик нашел в 1955 году. Первое число получено на том основании, что так называемая гипотеза Римана истинна — это особенно сложная гипотеза математики, которая остается недоказанной, очень полезна, когда речь идет о простых числах. Тем не менее, если гипотеза Римана является ложной, Скьюз обнаружил, что точка начала скачков увеличивается до .
Проблема величины
Прежде чем мы перейдем к числу, рядом с которым даже число Скьюза выглядит крошечным, нам нужно немного поговорить о масштабе, потому что иначе у нас нет возможности оценить, куда мы собираемся идти. Сначала давайте возьмем число — это крошечное число, настолько малое, что люди могут действительно иметь интуитивное понимание того, что оно значит. Есть очень мало чисел, которые соответствуют этому описанию, так как числа больше шести перестают быть отдельными числами и становятся “несколько’’, “много’’ и т.д.
Теперь давайте возьмем , т.е. . Хотя мы в действительности не можем интуитивно, как это было для числа , понять, что такое , представить себе то, чем является очень легко. Пока все идет хорошо. Но что произойдет, если мы перейдем к ? Это равно , или . Мы очень далеки от способности представить себе эту величину, как и любую другую, очень большую — мы теряем способность постигать отдельные части где-то около миллиона. (Правда, безумно большое количество времени заняло бы, чтобы действительно досчитать до миллиона чего бы то ни было, но дело в том, что мы все еще способны воспринимать это число.)
Тем не менее, хотя мы не можем представить , мы по крайней мере в состоянии понять в общих чертах, что такое 7600 млрд, возможно, сравнивая его с чем-то таким, как ВВП США. Мы перешли от интуиции к представлению и к простому пониманию, но по крайней мере у нас еще есть некоторый пробел в понимании того, что такое число. Это вот-вот изменится, по мере нашего продвижения на еще одну ступень вверх по лестнице.
Для этого нам нужно перейти к обозначению, введенному Дональдом Кнутом, известному как стрелочная нотация. В этих обозначениях можно записать в виде . Когда мы затем перейдем к , число, которое мы получим, будет равно . Это равно где в общей сложности троек. Мы теперь значительно и по-настоящему превзошли все другие числа, о которых уже говорили. В конце концов, даже в самых больших из них было всего три или четыре члена в ряду показателей. Например, даже супер-число Скьюза — это “только’’ — даже с поправкой на то, что и основание, и показатели гораздо больше, чем , оно по-прежнему абсолютно ничто по сравнению с величиной числовой башни с млрд членов.
Очевидно, что нет никакого способа для постижения настолько огромных чисел… и тем не менее, процесс, посредством которого они созданы, еще можно понять. Мы не могли бы понять реальное количество, которое задается башней степеней, в которой млрд троек, но мы можем в основном представить такую башню со многими членами, и действительно приличный суперкомпьютер сможет хранить в памяти такие башни, даже если он не сможет вычислить их действительные значения.
Это становится все более абстрактным, но дальше будет только хуже. Вы можете подумать, что башня степеней , длина показателя которой равна (более того, в предыдущей версии этого поста я сделал именно эту ошибку), но это просто . Другими словами, представьте, что у вас есть возможность вычислить точное значение степенной башни из троек, которая состоит из элементов, а потом вы взяли это значение и создали новую башню с таким количеством в нем,… которое дает .
Повторите этот процесс с каждым последующим числом (примеч. начиная справа), пока вы не сделаете это раза, и тогда наконец вы получите . Это число, которое просто невероятно велико, но по крайней мере шаги его получения вроде бы понятны, если все делать очень медленно. Мы больше не можем понять числа или представить процедуру, благодаря которой оно получается, но, по крайней мере, мы можем понять основной алгоритм, только в достаточно большой срок.
Теперь подготовим ум к тому, чтобы его действительно взорвать.
Число Грэма (Грехема)
Рональд Грэм
Вот как вы получите число Грэма, которое занимает место в Книге рекордов Гиннеса как самое большое число, которое когда-либо использовали в математическом доказательстве. Совершенно невозможно представить, насколько оно велико, и столь же трудно точно объяснить, что это такое. В принципе, число Грэма появляется, когда имеют дело с гиперкубами, которые являются теоретическими геометрическими формами с более чем тремя измерениями. Математик Рональд Грэм (см. фото) хотел выяснить, при каком наименьшем числе измерений определенные свойства гиперкуба будут оставаться устойчивыми. (Простите за такое расплывчатое объяснение, но я уверен, что нам всем нужно получить по крайней мере две ученые степени по математике, чтобы сделать его более точным.)
В любом случае число Грэма является оценкой сверху этого минимального числа измерений. Итак, насколько велика эта верхняя граница? Давайте вернемся к числу , такому большому, что алгоритм его получения мы можем понять достаточно смутно. Теперь, вместо того, чтобы просто прыгать вверх еще на один уровень до , мы будем считать число , в котором есть стрелки между первой и последней тройками. Теперь мы находимся далеко за пределами даже малейшего понимания того, что такое это число или даже от того, что нужно делать, чтобы его вычислить.
Теперь повторим этот процесс раза (примеч. на каждом следующем шаге мы пишем число стрелок, равное числу, полученному на предыдущем шаге).
Это, дамы и господа, число Грэма, которое примерно на порядка стоит выше точки человеческого понимания. Это число, которое настолько больше, чем любое число, которое можно себе представить — это гораздо больше, чем любая бесконечность, которую вы могли бы когда-либо надеяться себе представить — оно просто не поддается даже самому абстрактному описанию.
Но вот странная вещь. Поскольку число Грэма в основном — это просто тройки, перемноженные между собой, то мы знаем некоторые его свойства без фактического его вычисления. Мы не можем представить число Грэма с помощью любых знакомых нам обозначений, даже если бы мы использовали всю Вселенную, чтобы записать его, но я могу назвать вам прямо сейчас последние двенадцать цифр числа Грэма: . И это еще не все: мы знаем по крайней мере последних цифр числа Грэма.
Конечно, стоит помнить, что это число только верхняя граница в исходной задаче Грэма. Вполне возможно, что фактическое число измерений, необходимых для выполнения нужного свойства гораздо, гораздо меньше. На самом деле, еще с 1980-х годов считалось, по мнению большинства специалистов в этой области, что фактически число измерений всего лишь шесть — число настолько малое, что мы можем понять его на интуитивном уровне. С тех пор нижняя граница была увеличена до , но есть еще очень большой шанс, что решение задачи Грэма не лежит рядом с числом столь же большим, как число Грэма.
К бесконечности
Так есть числа больше, чем число Грэма? Есть, конечно, для начала есть число Грэма . Что касается значащего числа… хорошо, есть некоторые дьявольски сложные области математики (в частности, области, известной как комбинаторика) и информатики, в которых встречаются числа даже большие, чем число Грэма. Но мы почти достигли предела того, что, как я могу надеяться, когда-либо смогут разумно объяснить. Для тех, кто достаточно безрассуден достаточно, чтобы пойти еще дальше, предлагается литература для дополнительного чтения на свой страх и риск.
Ну а сейчас удивительная цитата, которая приписывается Дугласу Рею (примеч. честно говоря, звучит довольно забавно ):
“Я вижу скопления смутных чисел, которые скрывается там, в темноте, за небольшим пятном света, которое дает свеча разума. Они шепчутся друг с другом; сговариваясь кто знает о чем. Возможно, они нас не очень любят за захват их меньших братишек нашими умами. Или, возможно, они просто ведут однозначный числовой образ жизни, там, за пределами нашего понимания’’.
В детстве меня мучил вопрос, какое существует самое большое число, и я изводил этим дурацким вопросом практически всех подряд. Узнав число миллион, я спрашивал, а есть ли число больше миллиона. Миллиард? А больше миллиарда? Триллион? А больше триллиона? Наконец, нашёлся кто-то умный, кто мне объяснил, что вопрос глуп, так как достаточно всего лишь прибавить к самому большому числу единицу, и окажется, что оно никогда не было самым большим, так как существуют число ещё больше.
И вот, спустя много лет, я решил задаться другим вопросом, а именно: какое существует самое большое число, которое имеет собственное название? Благо, сейчас есть инет и озадачить им можно терпеливые поисковые машины, которые не будут называть мои вопросы идиотскими;-). Собственно, это я и сделал, и вот, что в результате выяснил.
| Число | Латинское название | Русская приставка |
| 1 | unus | ан- |
| 2 | duo | дуо- |
| 3 | tres | три- |
| 4 | quattuor | квадри- |
| 5 | quinque | квинти- |
| 6 | sex | сексти- |
| 7 | septem | септи- |
| 8 | octo | окти- |
| 9 | novem | нони- |
| 10 | decem | деци- |
Существуют две системы наименования чисел - американская и английская.
Американская система постороена довольно просто. Все названия больших чисел строятся так: в начале идет латинское порядковое числительное, а в конце к ней добавляется суффикс -иллион. Исключение составляет название "миллион" которое является названием числа тысяча (лат. mille ) и увеличительного суффикса -иллион (см. таблицу). Так получаются числа - триллион, квадриллион, квинтиллион, секстиллион, септиллион, октиллион, нониллион и дециллион. Американская система используется в США, Канаде, Франции и России. Узнать количество нулей в числе, записанном по американской системе, можно по простой формуле 3·x+3 (где x - латинское числительное).
Английская система наименования наиболее распространена в мире. Ей пользуются, например, в Великобритании и Испании, а также в большинстве бывших английских и испанских колоний. Названия чисел в этой системе строятся так: так: к латинскому числительному добавляют суффикс -иллион, следущее число (в 1000 раз большее) строится по принципу - то же самое латинское числительное, но суффикс - -иллиард. То есть после триллиона в английской системе идёт триллиард, а только затем квадриллион, за которым следует квадриллиард и т.д. Таким образом, квадриллион по английской и американской системам - это совсем разные числа! Узнать количество нулей в числе, записанном по английской системе и оканчивающегося суффиксом -иллион, можно по формуле 6·x+3 (где x - латинское числительное) и по формуле 6·x+6 для чисел, оканчивающихся на -иллиард.
Из английской системы в русский язык перешло только число миллиард (10 9), которое всё же было бы правильнее называть так, как его называют американцы - биллионом, так как у нас принята именно американская система. Но кто у нас в стране что-то делает по правилам! ;-) Кстати, иногда в русском языке употребляют и слово триллиард (можете сами в этом убедиться, запустив поиск в Гугле или Яндексе) и означает оно, судя по всему, 1000 триллионов, т.е. квадриллион.
Кроме чисел, записанных при помощи латинских префиксов по американской или англйской системе, известны и так называемые внесистемные числа, т.е. числа, которые имеют свои собственные названия безо всяких латинских префиксов. Таких чисел существует несколько, но подробнее о них я расскажу чуть позже.
Вернемся к записи при помощи латинских числительных. Казалось бы, что ими можно записывать числа до бессконечности, но это не совсем так. Сейчас объясню почему. Посмотрим для начала как называются числа от 1 до 10 33:
| Название | Число |
| Единица | 10 0 |
| Десять | 10 1 |
| Сто | 10 2 |
| Тысяча | 10 3 |
| Миллион | 10 6 |
| Миллиард | 10 9 |
| Триллион | 10 12 |
| Квадриллион | 10 15 |
| Квинтиллион | 10 18 |
| Секстиллион | 10 21 |
| Септиллион | 10 24 |
| Октиллион | 10 27 |
| Нониллион | 10 30 |
| Дециллион | 10 33 |
И вот, теперь возникает вопрос, а что дальше. Что там за дециллионом? В принципе, можно, конечно же, при помощи объединения приставок породить такие монстры, как: андецилион, дуодециллион, тредециллион, кваттордециллион, квиндециллион, сексдециллион, септемдециллион, октодециллион и новемдециллион, но это уже будут составные названия, а нам были интересны именно собственные названия чисел. Поэтому собственных имён по этой системе, помимо указанных выше, ещё можно получить лишь всего три - вигинтиллион (от лат. viginti - двадцать), центиллион (от лат. centum - сто) и миллеиллион (от лат. mille - тысяча). Больше тысячи собственных названий для чисел у римлян не имелось (все числа больше тысячи у них были составными). Например, миллион (1 000 000) римляне называли decies centena milia , то есть "десять сотен тысяч". А теперь, собственно, таблица:
Таким образом, по подобной системе числа больше, чем 10 3003 , у которого было бы собственное, несоставное название получить невозможно! Но тем не менее числа больше миллеиллиона известны - это те самые внесистемные числа. Расскажем, наконец-то, о них.
| Название | Число |
| Мириада | 10 4 |
| Гугол | 10 100 |
| Асанкхейя | 10 140 |
| Гуголплекс | 10 10 100 |
| Второе число Скьюза | 10 10 10 1000 |
| Мега | 2 (в нотации Мозера) |
| Мегистон | 10 (в нотации Мозера) |
| Мозер | 2 (в нотации Мозера) |
| Число Грэма | G 63 (в нотации Грэма) |
| Стасплекс | G 100 (в нотации Грэма) |
Самое маленькое такое число - это мириада (оно есть даже в словаре Даля), которое означает сотню сотен, то есть - 10 000. Слово это, правда, устарело и практически не используется, но любопытно, что широко используется слово "мириады", которое означает вовсе не определённое число, а бесчисленное, несчётное множество чего-либо. Считается, что слово мириада (англ. myriad) пришло в европейские языки из древнего Египта.
Гугол (от англ. googol) - это число десять в сотой степени, то есть единица со ста нулями. О "гуголе" впервые написал в 1938 году в статье "New Names in Mathematics" в январском номере журнала Scripta Mathematica американский математик Эдвард Каснер (Edward Kasner). По его словам, назвать "гуголом" большое число предложил его девятилетний племянник Милтон Сиротта (Milton Sirotta). Общеизвестным же это число стало благодаря, названной в честь него, поисковой машине Google . Обратите внимание, что "Google" - это торговая марка, а googol - число.
В известном буддийском трактате Джайна-сутры, относящегося к 100 г. до н.э., встречается число асанкхейя (от кит. асэнци - неисчислимый), равное 10 140 . Считается, что этому числу равно количество космических циклов, необходимых для обретения нирваны.
Гуголплекс (англ. googolplex ) - число также придуманное Каснером со своим племянником и означающее единицу с гуголом нулей, то есть 10 10 100 . Вот как сам Каснер описывает это "открытие":
Words of wisdom are spoken by children at least as often as by scientists. The name "googol" was invented by a child (Dr. Kasner"s nine-year-old nephew) who was asked to think up a name for a very big number, namely, 1 with a hundred zeros after it. He was very certain that this number was not infinite, and therefore equally certain that it had to have a name. At the same time that he suggested "googol" he gave a name for a still larger number: "Googolplex." A googolplex is much larger than a googol, but is still finite, as the inventor of the name was quick to point out.
Mathematics and the Imagination (1940) by Kasner and James R. Newman.
Еще большее, чем гуголплекс число - число Скьюза (Skewes" number) было предложено Скьюзом в 1933 году (Skewes. J. London Math. Soc. 8 , 277-283, 1933.) при доказательстве гипотезы Риманна , касающейся простых чисел. Оно означает e в степени e в степени e в степени 79, то есть e e e 79 . Позднее, Риел (te Riele, H. J. J. "On the Sign of the Difference П (x)-Li(x)." Math. Comput. 48 , 323-328, 1987) свел число Скьюза к e e 27/4 , что приблизительно равно 8,185·10 370 . Понятное дело, что раз значение числа Скьюза зависит от числа e , то оно не целое, поэтому рассматривать мы его не будем, иначе пришлось бы вспомнить другие ненатуральные числа - число пи, число e, число Авогадро и т.п.
Но надо заметить, что существует второе число Скьюза, которое в математике обозначается как Sk 2 , которое ещё больше, чем первое число Скьюза (Sk 1). Второе число Скьюза , было введённо Дж. Скьюзом в той же статье для обозначения числа, до которого гипотеза Риманна справедлива. Sk 2 равно 10 10 10 10 3 , то есть 10 10 10 1000 .
Как вы понимаете чем больше в числе степеней, тем сложнее понять какое из чисел больше. Например, посмотрев на числа Скьюза, без специальных вычислений практически невозможно понять, какое из этих двух чисел больше. Таким образом, для сверхбольших чисел пользоваться степенями становится неудобно. Мало того, можно придумать такие числа (и они уже придуманы), когда степени степеней просто не влезают на страницу. Да, что на страницу! Они не влезут, даже в книгу, размером со всю Вселенную! В таком случае встаёт вопрос как же их записывать. Проблема, как вы понимаете разрешима, и математики разработали несколько принципов для записи таких чисел. Правда, каждый математик, кто задавался этой проблемой придумывал свой способ записи, что привело к существованию нескольких, не связанных друг с другом, способов для записи чисел - это нотации Кнута, Конвея, Стейнхауза и др.
Рассмотрим нотацию Хьюго Стенхауза (H. Steinhaus. Mathematical Snapshots , 3rd edn. 1983), которая довольно проста. Стейн хауз предложил записывать большие числа внутри геометрических фигур - треугольника, квадрата и круга:
Стейнхауз придумал два новых сверхбольших числа. Он назвал число - Мега , а число - Мегистон.
Математик Лео Мозер доработал нотацию Стенхауза, которая была ограничена тем, что если требовалаось записывать числа много больше мегистона, возникали трудности и неудобства, так как приходилось рисовать множество кругов один внутри другого. Мозер предложил после квадратов рисовать не круги, а пятиугольники, затем шестиугольники и так далее. Также он предложил формальную запись для этих многоугольников, чтобы можно было записывать числа, не рисуя сложных рисунков. Нотация Мозера выглядит так:
Таким образом, по нотации Мозера стейнхаузовский мега записывается как 2, а мегистон как 10. Кроме того, Лео Мозер предложил называть многоугольник с числом сторон равным меге - мегагоном. И предложил число "2 в Мегагоне", то есть 2. Это число стало известным как число Мозера (Moser"s number) или просто как мозер .
Но и мозер не самое большое число. Самым большим числом, когда-либо применявшимся в математическом доказательстве, является предельная величина, известная как число Грэма (Graham"s number), впервые использованная в 1977 года в доказательстве одной оценки в теории Рамсея. Оно связано с бихроматическими гиперкубами и не может быть выражено без особой 64-уровневой системы специальных математических символов, введённых Кнутом в 1976 году.
К сожалению, число записанное в нотации Кнута нельзя перевести в запись по системе Мозера. Поэтому придётся объяснить и эту систему. В принципе в ней тоже нет ничего сложного. Дональд Кнут (да, да, это тот самый Кнут, который написал "Искусство программирования" и создал редактор TeX) придумал понятие сверхстепень, которое предложил записывать стрелками, направленными вверх:
В общем виде это выглядит так:
Думаю, что всё понятно, поэтому вернёмся к числу Грэма. Грэм предложил, так называемые G-числа:
Число G 63 стало называться числом Грэма (обозначается оно часто просто как G). Это число является самым большим известным в мире числом и занесёно даже в "Книгу рекордов Гинесса". А, вот , что число Грэма больше числа Мозера.
P.S. Чтобы принести великую пользу всему человечеству и прославиться в веках, я решил сам придумать и назвать самое большое число. Это число будет называться стасплекс и оно равно числу G 100 . Запомните его, и когда ваши дети будут спрашивать какое самое большое в мире число, говорите им, что это число называется стасплекс .
Update (4.09.2003): Спасибо всем за комментарии. Оказалось, что при написании текста я допустил несколько ошибок. Попробую сейчас исправить.
- Я сделал сразу несколько ошибок, просто упомянув число Авогадро. Во-первых, несколько человек указали мне, что на самом деле 6,022·10 23 - самое, что ни на есть натуральное число. А во-вторых, есть мнение и оно мне кажется верным, что число Авогадро вообще не является числом в собственном, математическом смысле слова, так как оно зависит от системы единиц. Сейчас оно выражается в "моль -1 ", но если его выразить, к примеру в молях или ещё в чём-нибудь, то оно будет выражаться совсем другой цифрой, но числом Авогадро от этого быть совсем не перестанет.
-
10 000 - тьма
100 000 - легион
1 000 000 - леодр
10 000 000 - ворон или вран
100 000 000 - колода
Что интересно, древние славяне тоже любили большие числа умели считать до миллиарда. Причём такой счёт назывался у них "малый счёт". В некоторых же рукописях авторами рассматривался и "великий счёт", доходивший до числа 10 50 . Про числа больше, чем 10 50 говорилось: "И более сего несть человеческому уму разумети". Названия употреблявшиеся в "малом счёте", переносились на "великий счет", но с другим смыслом. Так, тьма означала уже не 10 000, а миллион, легион - тьму тем (миллион миллионов); леодр - легион легионов (10 в 24 степени), дальше говорилось - десять леодров, сто леодров, ... , и, наконец, сто тысяч тем легион леодров (10 в 47); леодр леодров (10 в 48) назывался ворон и, наконец, колода (10 в 49). - Тему национальных названий чисел можно
расширить, если вспомнить и про забытую мной
японскую систему наименования чисел, которая
сильно отличается от английской и американской
системы (иероглифы я рисовать не буду, если
кому-то интересно, то они ):
10 0 - ichi
10 1 - jyuu
10 2 - hyaku
10 3 - sen
10 4 - man
10 8 - oku
10 12 - chou
10 16 - kei
10 20 - gai
10 24 - jyo
10 28 - jyou
10 32 - kou
10 36 - kan
10 40 - sei
10 44 - sai
10 48 - goku
10 52 - gougasya
10 56 - asougi
10 60 - nayuta
10 64 - fukashigi
10 68 - muryoutaisuu - По поводу чисел Хьюго Стейнхауза (в России его имя переводили почему-то как Гуго Штейнгауз). botev уверяет, что идея записывать сверхбольшие числа в виде чисел в кружочках, принадлежит не Стейнхаузу, а Даниилу Хармсу, который задолого до него опубликовал эту идею в статье "Поднятие числа". Также хочу поблагодарить Евгения Скляревского, автора самого интересного сайта по занимательной математике в русскоязычном интернете - Арбуза , за информацию, что Стейнхауз придумал не только числа мега и мегистон, но и предложил ещё число медзон , равное (в его нотации) "3 в кружочке".
- Теперь о числе мириада
или мириои.
Насчёт происхождения этого числа существуют
разные мнения. Одни считают, что оно возникло в
Египте, другие же полагают, что оно родилось лишь
в Античной Греции. Как бы то ни было на самом деле,
но известность мириада получила именно
благодаря грекам. Мириада являлось названием для
10 000, а для чисел больше десяти тысяч названий не
было. Однако в заметке "Псаммит" (т.е.
исчисление песка) Архимед показал, как можно
систематически строить и называть сколь угодно
большие числа. В частности, размещая в маковом
зерне 10 000 (мириада) песчинок, он находит, что во
Вселенной (шар диаметром в мириаду диаметров
Земли) поместилось бы (в наших обозначениях) не
более чем 10 63 песчинок. Любопытно, что
современные подсчеты количества атомов в
видимой Вселенной приводят к числу 10 67
(всего в мириаду раз больше). Названия чисел
Архимед предложил такие:
1 мириада = 10 4 .
1 ди-мириада = мириада мириад = 10 8 .
1 три-мириада = ди-мириада ди-мириад = 10 16 .
1 тетра-мириада = три-мириада три-мириад = 10 32 .
и т.д.
Если есть замечания -