Медианный фильтр. Медианная фильтрация. Медианная фильтрация сигналов

Медианная фильтрация нелинейна, так как медиана суммы двух произвольных последовательностей не равна сумме их медиан, что в ряде случаев может усложнять математический анализ сигналов.
Фильтр вызывает уплощение вершин треугольных функций.
Подавление белого и гауссового шума менее эффективно, чем у линейных фильтров. Слабая эффективность наблюдается также при фильтрации флюктуационного шума.
При увеличении размеров окна фильтра происходит размытие крутых изменений сигнала и скачков.

Недостатки метода можно уменьшить, если применять медианную фильтрацию с адаптивным изменением размера окна фильтра в зависимости от динамики сигнала и характера шумов (адаптивная медианная фильтрация). В качестве критерия размера окна можно использовать, например, величину отклонения значений соседних отсчетов относительно центрального ранжированного отсчета /1i/. При уменьшении этой величины ниже определенного порога размер окна увеличивается.

16.2. МЕДИАННая ФИЛЬТРАЦИя изображений .

Шумы в изображениях. Никакая система регистрации не обеспечивает идеального качества изображений исследуемых объектов. Изображения в процессе формирования их системами (фотографическими, голографическими, телевизионными) обычно подвергаются воздействию различных случайных помех или шумов. Фундаментальной проблемой в области обработки изображений является эффективное удаление шума при сохранении важных для последующего распознавания деталей изображения. Сложность решения данной задачи существенно зависит от характера шумов. В отличие от детерминированных искажений, которые описываются функциональными преобразованиями исходного изображения, для описания случайных воздействий используют модели аддитивного, импульсного и мультипликативного шумов.

Наиболее распространенным видом помех является случайный аддитивный шум, статистически независимый от сигнала. Модель аддитивного шума используется тогда, когда сигнал на выходе системы или на каком-либо этапе преобразования может рассматриваться как сумма полезного сигнала и некоторого случайного сигнала. Модель аддитивного шума хорошо описывает действие зернистости фотопленки, флуктуационный шум в радиотехнических системах, шум квантования в аналого-цифровых преобразователях и т.п.

Аддитивный гауссов шум характеризуется добавлением к каждому пикселю изображения значений с нормальным распределением и с нулевым средним значением. Такой шум обычно вводится на этапе формирования цифровых изображений. Основную информацию в изображениях несут контуры объектов. Классические линейные фильтры способны эффективно удалить статистический шум, но степень размытости мелких деталей на изображении может превысить допустимые значения. Для решения этой проблемы используются нелинейные методы, например алгоритмы на основе анизотропной диффузии Перрона и Малика, билатеральные и трилатеральные фильтры. Суть таких методов заключается в использовании локальных оценок, адекватных определению контура на изображении, и сглаживания таких участков в наименьшей степени.

Импульсный шум характеризуется заменой части пикселей на изображении значениями фиксированной или случайной величины. На изображении такие помехи выглядят изолированными контрастными точками. Импульсный шум характерен для устройств ввода изображений с телевизионной камеры, систем передачи изображений по радиоканалам, а также для цифровых систем передачи и хранения изображений. Для удаления импульсного шума используется специальный класс нелинейных фильтров, построенных на основе ранговой статистики. Общей идеей таких фильтров является детектирование позиции импульса и замена его оценочным значением, при сохранении остальных пикселей изображения неизменными.

Двумерные фильтры. Медианная фильтрация изображений наиболее эффективна, если шум на изображении имеет импульсный характер и представляет собой ограниченный набор пиковых значений на фоне нулей. В результате применения медианного фильтра наклонные участки и резкие перепады значений яркости на изображениях не изменяются. Это очень полезное свойство именно для изображений, на которых, как известно, контуры несут основную информацию.

Рис. 16.2.1.

При медианной фильтрации зашумленных изображений степень сглаживания контуров объектов напрямую зависит от размеров апертуры фильтра и формы маски. Примеры формы масок с минимальной апертурой приведены на рис. 16.2.1. При малых размерах апертуры лучше сохраняются контрастные детали изображения, но в меньшей степени подавляется импульсные шумы. При больших размерах апертуры наблюдается обратная картина. Оптимальный выбор формы сглаживающей апертуры зависит от специфики решаемой задачи и формы объектов. Особое значение это имеет для задачи сохранения перепадов (резких границ яркости) в изображениях.

Под изображением перепада понимаем изображение, в котором точки по одну сторону от некоторой линии имеют одинаковое значение а , а все точки по другую сторону от этой линии - значение b , b ¹a . Если апертура фильтра симметрична относительно начала координат и содержит его в себе, то медианный фильтр сохраняет любое изображение перепада. Это выполняются для всех апертур с нечетным количеством отсчетов, т.е. кроме апертур (квадратные рамки, колца), которые не содержат начала координат. Тем не менее квадратные рамки и кольца будут лишь незначительно изменять перепад.

Рис. 16.2.2.

Для упрощения дальнейшего рассмотрения ограничимся примером фильтра с квадратной маской размером N × N, при N=3. Скользящий фильтр просматривает отсчеты изображения слева-направо и сверху-вниз, при этом входную двумерную последовательность также представим в виде последовательного числового ряда отсчетов {x(n)} слева-направо сверху-вниз. Из этой последовательности в каждой текущей точке маска фильтра выделяет массив w(n), как W-элементный вектор, который в данном случае содержит все элементы из окна 3×3, центрированные вокруг x(n), и сам центральный элемент, если это предусмотрено типом маски:

w(n) = . (16.2.1)

В этом случае значения x i соответствует отображению слева-направо и сверху-вниз окна 3×3 в одномерный вектор, как показано на рис. 16.2.2.

Элементы данного вектора, как и для одномерного медианного фильтра, также могут быть упорядочены в ряд по возрастанию или убыванию своих значений:

r(n) = , (16.2.2)

определено значение медианы y(n) = med(r(n)), и центральный отсчет маски заменен значением медианы. Если по типу маски центральный отсчет не входит в число ряда 16.2.1, то медианное значение находится в виде среднего значения двух центральных отсчетов ряда 16.2.2.

Приведенные выражения не объясняют способа нахождения выходного сигнала вблизи конечных и пограничных точек в конечных последовательностях и изображениях. Один из простых приемов состоит в том, что нужно находить медиану только тех точек внутри изображения, которые попадают в пределы апертуры. Поэтому для точек, расположенных рядом с границами, медианы будут определены, исходя из меньшего числа точек.

На рис. 16.2.3 приведен пример очистки зашумленного изображения медианным фильтром Черненко /2i/. Зашумление изображения по площади составляло 15%, для очистки фильтр применен последовательно 3 раза.

Рис. 16.1.5.

Медианная фильтрация может выполняться и в рекурсивном варианте, при котором значения сверху и слева от центрального отсчета в маске (в данном случае x 1 (n)-x 4 (n) на рис. 16.2.2) в ряде 16.2.1 заменяются на уже вычисленные в предыдущих циклах значения y 1 (n)-y 4 (n).

Адаптивные двумерные фильтры. Противоречие по зависимости степени подавления шумов и искажения сигнала от апертуры фильтра в некоторой степени сглаживается при применении фильтров с динамическим размером маски, с адаптацией размеров апертуры под характер изображения. В адаптивных фильтрах большие апертуры используются в монотонных областях обрабатываемого сигнала (лучшее подавление шумов), а малые – вблизи неоднородностей, сохраняя их особенности, при этом размер скользящего окна фильтра устанавливается в зависимости от распределения яркости пикселей в маске фильтра. В их основе лежит, как правило, анализ яркости окрестностей центральной точки маски фильтра.

Простейшие алгоритмы динамического изменения апертуры фильтра, симметричного по обеих осям, обычно работают по заданному на основании эмпирических данных пороговому коэффициенту яркости S порог = . В каждом текущем положении маски на изображении итерационный процесс начинается с апертуры минимального размера. Величины отклонения яркости соседних пикселей A(r, n), попавших в окно размером (n x n), относительно яркости центрального отсчета A(r) вычисляются по формуле:

S n (r) = |A(r,n)/A(r) – 1|. (16.2.3)

Критерий, согласно которому производится увеличение размера маски с центральным отсчетом r и выполняется следующая итерация, имеет вид:

max < S порог. (16.2.4)

Максимальный размер маски (количество итераций), как правило, ограничивается. Для неквадратных масок, имеющих размеры (n x m), итерации могут вычисляться с раздельным увеличением параметров n и m, а также с изменением формы масок в процессе итераций.

Фильтры на основе ранговой статистики . В последние два десятилетия в цифровой обработке изображений активно развиваются нелинейные алгоритмы на основе ранговой статистики для восстановления изображений, поврежденных различными моделями шумов. Подобные алгоритмы позволяют избежать дополнительного искажения изображения при удалении шума, а также значительно улучшить результаты работы фильтров на изображениях с высокой степенью зашумленности.

Сущность ранговой статистики обычно заключается в том, что ряд 16.2.1 не включает центральный отсчет маски фильтра, и по ряду 16.2.2 производится вычисление значения m(n). При N=3 по рис. 16.2.2:

m(n) = (x 4 (n)+x 5 (n))/2. (16.2.5)

Вычисление выходного значения фильтра, которым заменяется центральный отсчет, выполняется по формуле:

y(n) = a x(n) + (1-a) m(n). (16.2.6)

Значение коэффициента доверия a связывается определенной зависимостью со статистикой отсчетов в окне фильтра (например, полной дисперсией отсчетов, дисперсией разностей x(n)-x i (n) или m(n)-x i (n), дисперсией положительных и отрицательных разностей x(n)-x i (n) или m(n)-x i (n), и т.п.). По существу, значение коэффициента a должно задавать степень поврежденности центрального отсчета и, соответственно, степень заимствования для его исправления значения из отсчетов m(n). Выбор статистической функции и характер зависимости от нее коэффициента a может быть достаточно многообразным и зависит как от размеров апертуры фильтра, так и от характера изображений и шумов.

литература

44. Большаков И.А., Ракошиц В.С. Прикладная теория случайных потоков, М.: Сов. радио, 1978,- 248с.

46. Хуанг Т.С. и др. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений. – М.: Радио и связь, 1984. – 224 с.

47. Сойфер В.А. Компьютерная обработка изображений. Часть 2. Методы и алгоритмы. – Соросовский образовательный журнал №3, 1996.

48. Апальков И.В., Хрящев В.В. Удаление шума из изображений на основе нелинейных алгоритмов с использованием ранговой статистики. - Ярославский государственный университет, 2007.

1i. Яровой Н.И. Адаптивная медианная фильтрация. - http://www.controlstyle.ru/articles/science/text/amf/

2i. Черненко С.А. Медианный фильтр. - http://www.logis-pro.kiev.ua/math_power_medianfilter_ru.html.

3i. Радченко Ю.С. Эффективность приема сигналов на фоне комбинированной помехи с дополнительной обработкой в медианном фильтре. – "Журнал радиоэлектроники", №7, 2001. / http://jre.cplire.ru/iso/jul01/2/text.html

О замеченных ошибках и предложениях по дополнению: [email protected].

Медианные фильтры достаточно часто применяются на практике, как средство предварительной обработки цифровых данных. Специфической особенностью и основным достоинством таких фильтров является слабая реакция на отсчеты, резко выделяющиеся на фоне соседних, что позволяет применять медианную фильтрацию для устранения аномальных значений в массивах данных. Характерной особенностью медианного фильтра является его нелинейность. Во многих случаях применение медианного фильтра оказывается более эффективным по сравнению с линейными фильтрами, поскольку процедуры линейной обработки данных являются оптимальными при гауссовом распределении помех, что не всегда характерно для реальных сигналов. В случаях, когда перепады значений сигналов велики по сравнению с дисперсией гауссовского шума, медианный фильтр дает меньшее значение среднеквадратической ошибки выходного сигнала в отношении к входному, незашумленному сигналу при сравнении с оптимальными линейными фильтрами.

Медианный фильтр представляет собой оконный фильтр, последовательно скользящий по массиву сигнала, и возвращающий на каждом шаге один из элементов, попавших в окно (апертуру) фильтра. Выходной сигнал y k скользящего медианного фильтра шириной n для текущего отсчета k формируется из входного временного ряда …, x k -1 , x k , x k +1 ,… в соответствии с формулой:

y k = Me(x k-(n-1)/2 ,…, x k ,…,x k+(n-1)/2 ) ,

где Me(x 1 ,…,x n ) = x ((n+1)/2) – элементы вариационного ряда, т.е. ранжированные в порядке возрастания значений x 1 = min (x 1 ,…, x n ) ≤ x (2) ≤ x (3) ≤ … ≤ x n = max (x 1 ,…, x n ) . Ширина медианного фильтра выбирается с учетом того, что он способен подавить импульс шириной (n-1)/2 отсчетов, при условии, что n – нечетное число.

Таким образом, медианная фильтрация реализуется в виде процедуры локальной обработки отсчетов в скользящем окне, которое включает определенное число отсчетов сигнала. Для каждого положения окна выделенные в нем отсчеты ранжируются по возрастанию или убыванию значений. Средний по своему положению отсчет в ранжированном списке называется медианой рассматриваемой группы отсчетов, если число отсчетов нечетно. Этим отсчетом заменяется центральный отсчет в окне для обрабатываемого сигнала. При четном количестве отсчетов медиана устанавливается, как среднее арифметическое двух средних отсчетов. В качестве начальных и конечных условий фильтрации обычно принимается текущее значение сигнала, либо медиана находится только для тех точек, которые вписываются в пределы апертуры.

Благодаря свои характеристикам, медианные фильтры при оптимально выбранной апертуре могут сохранять без искажений резкие границы объектов, подавляя некоррелированные и слабо коррелированные помехи и малоразмерные детали. Ваналогичных условиях алгоритмы линейной фильтрации неизбежно «смазывают» резкие границы и контуры объектов.

Достоинства медианных фильтров.

Простая структура фильтра, как для аппаратной, так и для программной реализации.

Фильтр не изменяет ступенчатые и пилообразные функции.

Фильтр хорошо подавляет одиночные импульсные помехи и случайные шумовые выбросы отсчетов.

Недостатки медианных фильтров.

Медианная фильтрация нелинейна, так как медиана суммы двух произвольных последовательностей не равна сумме их медиан, что в ряде случаев может усложнять математический анализ сигналов.

Фильтр вызывает уплощение вершин треугольных функций.

Подавление белого и гауссового шума менее эффективно, чем у линейных фильтров. Слабая эффективность наблюдается также при фильтрации флюктуационного шума.

При увеличении размеров окна фильтра происходит размытие крутых изменений сигнала и скачков.

Медианный фильтр реализует нелинейную процедуру подавления шумов. Медианный фильтр представляет собой скользящее по полю изображения окно W, охватывающее нечетное число отсчетов. Центральный отсчет заменяется медианой всех элементов изображения, попавших в окно. Медианой дискретной последовательности x1, x2, ..., xL для нечетного L называют такой ее элемент, для которого существуют (L ? 1)/2 элементов, меньших или равных ему по величине, и (L ? 1)/2 элементов, больших или равных ему по величине. Другими словами, медианой является средний по порядку член ряда, получающегося при упорядочении исходной последовательности.

Например, med(20, 10, 3, 7, 7) = 7.

Двумерный медианный фильтр с окном W определим следующим образом:

Медианный фильтр используется для подавления аддитивного и импульсного шумов на изображении. Характерной особенностью медианного фильтра является сохранение перепадов яркости (контуров). Особенно эффективным медианный фильтр является в случае импульсного шума. На показано воздействие сглаживающего и медианного фильтров с трехэлементным окном на зашумленный аддитивным шумом перепад яркости для одномерного сигнала.

Что касается импульсного шума, то, медианный фильтр с окном 3 x 3 полностью подавляет одиночные выбросы на равномерном фоне, а также группы из двух, трех и четырех импульсных выбросов. В общем случае для подавления группы импульсных помех размеры окна должны быть по меньшей мере вдвое больше размеров группы помех.

Среди медианных фильтров с окном 3х3 наиболее распространены следующие:

Координаты представленных масок означают, сколько раз соответствующий пиксель входит в описанную выше упорядоченную последовательность.

Одним из эффективных путей устранения импульсных шумов на изображении является применение медианного фильтра.

Для каждого пикселя в некотором его окружении (окне) ищется медианное значение и присваивается этому пикселю. Определение медианного значения: если массив пикселей отсортировать по их значению, медианой будет серединный элемент этого массива. Размер окна соответственно должен быть нечетным, чтобы этот серединный элемент существовал.

Медиану также можно определить формулой:

где W - множество пикселей, среди которых ищется медиана, а fi - значения яркостей этих пикселей.

Для цветных изображений используется векторный медианный фильтр (VMF):

где Fi - значения пикселей в трехмерном цветовом пространстве, а d - произвольная метрика (например, евклидова).

Однако в чистом виде медианный фильтр размывает мелкие детали, величина которых меньше размера окна для поиска медианы, поэтому на практике практически не используется.

В настоящее время методы цифровой обработки сигналов получили широкое распространение в телевидении, радиотехнике, системах связи, управления и контроля. Одной из самых распространённых операций при такой обработке является цифровая фильтрация сигналов.

Медианная фильтрация была предложена Тьюки в качестве инструмента сглаживания временных рядов, встречающихся в экономических исследованиях , а в дальнейшем она стала широко применяться при обработке изображений, речевых сигналов и т. п. Медианная фильтрация осуществляется посредством движения некоторой апертуры вдоль последовательности дискретных отсчётов и замены значения в центре апертуры медианой исходных отсчётов внутри апертуры.

Рис. 1

Cущность медианной фильтрации с трехотсчётным окном иллюстрируется на рис. 1, где “1” - непрозрачная пластина с тремя отверстиями А, В и С; 2 - лента с наносимыми на ней отсчётами и располагаемыми с шагом, равным расстоянию между отверстиями. Лента протягивается дискретно на один шаг за один такт. В отверстиях одновременно наблюдаются три отсчёта, из которых выбирается средний. Не среднее арифметическое значение, не отсчёт в среднем отверстии, а среднее значение из трёх упорядоченно расположенных отсчётов. Так, упорядочив отсчёты, показанные на рис. 1, мы имеем значения 24, 27, 29, то есть средним является отсчёт 27 в отверстии А.

В общем случае медианой последовательности y1, y2, ... , ym (m - нечётное) является средний по значению член ряда, получаемый после упорядочения последовательности по возрастанию. Для чётного m медиана определяется как среднее арифметическое двух средних членов. В литературе можно найти и другие определения, но они мало отличаются друг от друга, а в подавляющем большинстве случаев принимают m нечётным .

Хотя структура одномерного цифрового медианного фильтра с трехотсчётным окном известна , здесь она рассматривается как пример инженерного проектирования цифрового устройства с простым и легко понятным алгоритмом работы, выполненного с применением комбинационных узлов, описанных в предыдущих статьях учебного цикла .

В цифровой системе функции отверстий А, В и С (рис. 1) выполняют три регистра А, В и С (рис. 2). Регистр А является регистром данных какого-либо устройства, работающего в условиях сильных промышленных помех, например, преобразователя температуры в цифру. Все эти регистры имеют единую систему синхронизации, обеспечивающую запись данных в регистр А, загрузку содержимого регистра А в регистр В и содержимого регистра В в регистр С. Перед началом процедуры фильтрации все регистры обнуляются. Началом процедуры является момент появления первого отсчёта в регистре А. Так, например, если входная последовательность имеет вид 22, 29, 24, 27, 31, 40, 28, 32, 29,... (22 - первый отсчёт), то в первом такте будем иметь следующие значения отсчётов: А = 22, В = 0, С = 0, откуда следует, что средний отсчёт равен 0. Во втором такте будем иметь А = 29, В = 22, С = 0, откуда следует, что средний отсчёт равен 22 и т. д. Итак, выходная последовательность будет иметь вид: 0, 22, 24, 27, 27, 31, 31, 32, 29,... .

Рис. 2

Очевидно, что медианный фильтр с трехотсчётным окном осуществляет задержку выходной последовательности на один такт по отношению к входной.

Кроме указанных регистров аппаратная реализация такого фильтра должна включать в себя n-разрядный мультиплексор MS 4->1, в котором будут использоваться только три информационных входа (n - число двоичных разрядов цифрового отсчёта), и три цифровых компаратора, обеспечивающих сравнение каждого отсчёта с каждым, что можно рассматривать как замену процедуры упорядочения. Это позволяет снизить аппаратные затраты и время вычисления медианы. Напомним, что упорядочение требует выполнения операций сравнения и перестановки отсчётов.

Отметим прежде всего, что нет необходимости учитывать отношения равенства отсчётов, так как при равенстве двух или трёх отсчётов любой из них может рассматриваться как средний. Выберем соотношения A > B, A > C, B > C, обозначив соответствующие сигналы с выходов трёх цифровых компараторов переменными x2, x1 и x0. Примем, что если указанные соотношения выполняются, то соответствующие выходные сигналы компараторов принимают значение “1”, если не выполняются, то - “0”. Итак, задача проектирования нашего фильтра сводится к выявлению структуры комбинационной схемы (КС), реализующей адресные переменные а1 и а0 мультиплексора MS 4->1, обеспечивающего автоматическую передачу среднего отсчёта из трёх, поступивших на его информационные входы.

Оформим таблицу, в которой представлены: № набора - десятичный эквивалент двоичного набора трёх переменных x2, x1 и x0; комментарий - это условная гистограмма из трёх отсчётов А, В и С, качественно соответствующая ситуации, отражённой одним из восьми наборов переменных x2, x1 и x0; в столбце “средний отсчёт” указывается средний отсчёт, выявленный из соответствующей гистограммы. Так, в первой строке имеем набор x2x1x0 = 000, из которого следует, что A < B, A < C, B < C. Эта ситуация качественно показана в столбце “комментарий”, из которого следует, что в данном случае средним является отсчёт В. Так как на рис. 2 отсчёт В поступает на вход D1 MS 4->1, то в этой строке указываем значения а1 = 0, а0 = 1 (первый вариант кодирования адресных переменных в таблице). При наборе x2x1x0 = 001 имеем ситуацию A < B, A < C, B > C, которая отражена соответствую-щей гистограммой, а из послед-ней следует, что средним отсчётом в данном случае является отсчёт С. Соответственно устанавливаем а1 = 1, а0 = 0.

Таблица

№ наб.	х2 А>В	х1 А>С	х0 В>С	Средний отсчет	1 вариант		2 вариант
№ наб.	х2 А>В	х1 А>С	х0 В>С	Средний отсчет	а1	а0	а1	а0
0	0	0	0	В	0	1	0	0
1	0	0	1	С	1	0	1	0
2	0	1	0	-	х	х	х	х
3	0	1	1	А	0	0	0	1
4	1	0	0	А	0	0	0	1
5	1	0	1	-	х	х	х	х
6	1	1	0	С	1	0	1	0
7	1	1	1	В	0	1	0	0

Набор x2x1x0 = 010 никогда не будет появляться на выходах цифровых компараторов, так как он соответствует невозможной ситуации A < B, A > C, B < C, поэтому в соответствующей строке таблицы адресные переменные а1 и а0 обозначены крестиком как безразличные значения. Аналогично заполняются все строки таблицы. Рассматривая а1 и а0 как функции алгебры логики от переменных x2, x1 и x0 и используя для их минимизации карты Карно (рис. 3) , получаем

а1 = x1 Е x0 (1)
а0 = x2 Е x0 или x2 Е x0. (2)

Попытаемся устранить инвертор, необходимый для реализации x2 или x0 в формуле (2). Для этого перекодируем адресные переменные а1 и а0, приняв, что отсчёт А подаётся на вход D1, а В - на вход D0 MS 4®1 (второй вариант в таблице). На рис. 4 приведены карты Карно для второго варианта кодирования адресных переменных а1 и а0, из которых следует:

а1 = x1 Е x0 (3)
а0 = x2 Е x1.
(4)


Рис. 3	Рис. 4

Очевидно, что второй вариант кодирования предпочтительнее. Итак, комбинационная схема (КС), структуру которой мы определили, представляет из себя два элемента “сумма по mod2”.

Убедимся в справедливости отмеченного выше замечания о том, что нет необходимости учитывать соотношения равенства. Рассмотрим следующие ситуации:

А = В, A > C, в этом случае x2x1x0 = 011, средний отсчёт А;
А = В, A < C, в этом случае x2x1x0 = 000, средний отсчёт В;
А = С, A > В, в этом случае x2x1x0 = 100, средний отсчёт А;
А = С, A < B, в этом случае x2x1x0 = 001, средний отсчёт C;
B = C, A > B, в этом случае x2x1x0 = 110, средний отсчёт C;
B = C, A < B, в этом случае x2x1x0 = 000, средний отсчёт B;
А = В = C, в этом случае x2x1x0 = 000, средний отсчёт В.

Если на выходах цифровых компараторов используются соотношения “больше или равно”, то будем иметь:

А = В, A > C, в этом случае x2x1x0 = 111, средний отсчёт В;
А = В, A < C, в этом случае x2x1x0 = 100, средний отсчёт А;
А = С, A > В, в этом случае x2x1x0 = 110, средний отсчёт С;
А = С, A < B, в этом случае x2x1x0 = 011, средний отсчёт А;
B = C, A > B, в этом случае x2x1x0 = 111, средний отсчёт В;
B = C, A < B, в этом случае x2x1x0 = 001, средний отсчёт С;
А = В = C, в этом случае x2x1x0 = 111, средний отсчёт В.

Достоинства и недостатки медианных фильтров

Достоинства

простота пструктуры, позволяющая легко реализовать фильтр как аппаратными, так и программными средствами;
медианный фильтр не влияет на ступенчатые и пилообразные функции;
этот фильтр хорошо подавляет одиночные импульсные помехи (случайные шумовые выбросы отсчетов и промахи);
концепцию медианного фильтра легко обобщить на два измерения, применяя двухмерное окно желаемой формы (прямоугольное, крестообразное, кольцевое, круговое).

Недостатки

медианная фильтрация - метод нелинейной обработки сигналов, так как медиана суммы двух произвольных последовательностей не равна сумме их медиан. Это усложняет математический анализ их характеристик. Нельзя разграничить влияние этих фильтров на сигнал и шум, что для линейных фильтров делается очень просто;
фильтр вызывает уплощение вершин треульной функции;
подавление гауссовского шума менее эффективно, чем у линейных фильтров;
двумерная обработка приводит к более существенному ослаблению сигнала

Проведённый анализ подтверждает то, что при проектировании структуры комбинационной схемы КС можно использовать на выходах цифровых компараторов любые комбинации соотношений “больше”, “больше или равно”, “меньше”, “меньше или равно”.

Литература

Tukey J.W. Exploratory Data Analisis (Addison - Wesley, Reading, Mass., 1971).
Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений / Т.С. Хуанг, Дж.-О. Эклунд, Г.Дж. Нуссбаумер и др.; Под ред. Т.С. Хуанга: Пер. с англ. - М.: Радио и связь. - 1984. -224 с.
Устройство для выделения медианы трех чисел. А. С. №1575168.
Воробьев Н.В. Мультиплексоры // Chip News. - 1998. - № 11-12. - С. 38–41.
Воробьев Н.В. Мультиплексор как многофункциональный узел // Chip News. - 1999. - № 2. - С. 36–41.
Воробьев Н.В. Цифровые компараторы // Chip News. - 1999. - № 5. - С. 8–14.
Воробьев Н.В. Цифровые компараторы (продолжение) // Chip News. - 1999. - № 7. - С. 35–38.
Воробьев Н.В. Минимизация функций алгебры логики // Chip News. - 1997. - № 9-10. - С. 54–60.
Прэтт У. Цифровая обработка изображений: Пер. с англ. - М.: Мир. - 1982. - Кн. 2. - 480 с. (Кн. 1. - 312 с.).

Для уменьшения уровня шума . Медианный фильтр является нелинейным КИХ-фильтром .

Значения отсчётов внутри окна фильтра сортируются в порядке возрастания (убывания); и значение, находящееся в середине упорядоченного списка, поступает на выход фильтра. В случае четного числа отсчетов в окне выходное значение фильтра равно среднему значению двух отсчетов в середине упорядоченного списка. Окно перемещается вдоль фильтруемого сигнала и вычисления повторяются.

Медианная фильтрация - эффективная процедура обработки сигналов, подверженных воздействию импульсных помех.

Примеры

Пример 1

Ниже рассматривается пример применения медианного фильтра для одномерного сигнала с окном размером в три отсчёта ко входному массиву x (искусственно введённые продублированные значения показаны полужирно ):

y = медиана[2 2 80] = 2
y = медиана = медиана = 6
y = медиана = медиана = 6
y = медиана = медиана = 3

и в итоге:

y = - выход медианного фильтра

Пример 2

Медианный фильтр $M$ из входящего сигнала $C$ , создаёт медианный образ сигнала $\widetilde{C}$ . Входящий сигнал $C$ , подаётся на медианный фильтр $M:C \rightarrow \widetilde{C}$ .
В медианном фильтре сначала производится выбор значений попавших в окно фильтра при нахождении окна в точке $x$ , $\hat{O}(x):C \rightarrow O$ .
Далее производится сортировка значений окна $O$ , функцией сравнения значений $\Phi$ , и строится упорядоченное множество , а после выбирается медианное значение (медиана ): и записывается в $\widetilde{C}(x)= o_{m}$ .

Таким образом медианный фильтр $M:C \rightarrow \widetilde{C}$ , является последовательностью трёх действий:

Выбор значений попавших в окно фильтра $\hat{O}(x):C \rightarrow O$ .
Сортировка значений окна $\Phi(O) \rightarrow \widetilde{O}$ .
Выбора из $\widetilde{O}$ медианного значения $m(\widetilde{O}) \rightarrow o_{m}$ и запись его в медианный образ сигнала $\widetilde{C}$ в точку с координатой $x$ , $\widetilde{C}(x) = o_{m}$ .

Данные действия повторяются для каждой точки входящего сигнала.

2D Медианный фильтр (псевдокод)

Алгоритм примитивного 2D Медианного фильтра выглядит примерно так:

Allocate outputPixelValue edgex:= (window width / 2) rounded down edgey:= (window height / 2) rounded down for x from edgex to image width - edgex for y from edgey to image height - edgey allocate colorArray for fx from 0 to window width for fy from 0 to window height colorArray := inputPixelValue sort all entries in colorArray outputPixelValue[x][y] := colorArray

Особенности этого алгоритма:

Применяется лишь к одному цветовому каналу,
Не применяется к крайним пикселям.

См. также

Напишите отзыв о статье "Медианный фильтр"

Ссылки

(англ.)

Отрывок, характеризующий Медианный фильтр

– Как что? – заговорил князь Андрей, останавливаясь от волнения. – Да ты пойми, что мы, или офицеры, которые служим своему царю и отечеству и радуемся общему успеху и печалимся об общей неудаче, или мы лакеи, которым дела нет до господского дела. Quarante milles hommes massacres et l"ario mee de nos allies detruite, et vous trouvez la le mot pour rire, – сказал он, как будто этою французскою фразой закрепляя свое мнение. – C"est bien pour un garcon de rien, comme cet individu, dont vous avez fait un ami, mais pas pour vous, pas pour vous. [Сорок тысяч человек погибло и союзная нам армия уничтожена, а вы можете при этом шутить. Это простительно ничтожному мальчишке, как вот этот господин, которого вы сделали себе другом, но не вам, не вам.] Мальчишкам только можно так забавляться, – сказал князь Андрей по русски, выговаривая это слово с французским акцентом, заметив, что Жерков мог еще слышать его.
Он подождал, не ответит ли что корнет. Но корнет повернулся и вышел из коридора.

Гусарский Павлоградский полк стоял в двух милях от Браунау. Эскадрон, в котором юнкером служил Николай Ростов, расположен был в немецкой деревне Зальценек. Эскадронному командиру, ротмистру Денисову, известному всей кавалерийской дивизии под именем Васьки Денисова, была отведена лучшая квартира в деревне. Юнкер Ростов с тех самых пор, как он догнал полк в Польше, жил вместе с эскадронным командиром.
11 октября, в тот самый день, когда в главной квартире всё было поднято на ноги известием о поражении Мака, в штабе эскадрона походная жизнь спокойно шла по старому. Денисов, проигравший всю ночь в карты, еще не приходил домой, когда Ростов, рано утром, верхом, вернулся с фуражировки. Ростов в юнкерском мундире подъехал к крыльцу, толконув лошадь, гибким, молодым жестом скинул ногу, постоял на стремени, как будто не желая расстаться с лошадью, наконец, спрыгнул и крикнул вестового.
– А, Бондаренко, друг сердечный, – проговорил он бросившемуся стремглав к его лошади гусару. – Выводи, дружок, – сказал он с тою братскою, веселою нежностию, с которою обращаются со всеми хорошие молодые люди, когда они счастливы.
– Слушаю, ваше сиятельство, – отвечал хохол, встряхивая весело головой.
– Смотри же, выводи хорошенько!
Другой гусар бросился тоже к лошади, но Бондаренко уже перекинул поводья трензеля. Видно было, что юнкер давал хорошо на водку, и что услужить ему было выгодно. Ростов погладил лошадь по шее, потом по крупу и остановился на крыльце.
«Славно! Такая будет лошадь!» сказал он сам себе и, улыбаясь и придерживая саблю, взбежал на крыльцо, погромыхивая шпорами. Хозяин немец, в фуфайке и колпаке, с вилами, которыми он вычищал навоз, выглянул из коровника. Лицо немца вдруг просветлело, как только он увидал Ростова. Он весело улыбнулся и подмигнул: «Schon, gut Morgen! Schon, gut Morgen!» [Прекрасно, доброго утра!] повторял он, видимо, находя удовольствие в приветствии молодого человека.
– Schon fleissig! [Уже за работой!] – сказал Ростов всё с тою же радостною, братскою улыбкой, какая не сходила с его оживленного лица. – Hoch Oestreicher! Hoch Russen! Kaiser Alexander hoch! [Ура Австрийцы! Ура Русские! Император Александр ура!] – обратился он к немцу, повторяя слова, говоренные часто немцем хозяином.