Найти оригиналы соответствующие изображению. Как найти похожую картинку, фотографию, изображение в интернет
Операционное исчисление является одной из глав современного математического анализа. Интегральное преобразование Лапласа и построенное на его базе операционное исчисление – эффективный аппарат решения дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных), дифференциально разностных и интегральных уравнений, к которым приводятся задачи электротехники, радиотехники, электроники, теории автоматического регулирования, теплотехники, механики и других областей науки и техники. Заметим, что операционное исчисление строится и на других преобразованиях, например, Фурье, Ханкеля, Меллина и т.д.
Идея применения операционного метода заключается в следующем. Пусть требуется найти функцию из некоторого уравнения, содержащего эту функцию под знаком производных и интегралов. От искомой функции (ее называют оригиналом) переходят к другой функции (ее называют изображением), являющейся результатом преобразования . В соответствии с правилами операционного исчисления операции над оригиналом заменяют соответствующими операциями над изображением, которые являются более простыми; например, дифференцированию соответствует умножение на , интегрированию –деление на р и т.д. Это позволяет перейти от сложного уравнения относительно к более простому уравнению относительно , называемому операторным; например, от дифференциального уравнения –к алгебраическому. Решив операторное уравнение, от изображения переходят к оригиналу – искомой функции. Решение задачи операционным методом, таким образом, связано с двумя этапами; нахождением изображения искомого решения и обратным переходом к оригиналу.
Применение операционного метода можно сравнить с логарифмированием, которое позволяет сложные действия над числами заменить более простыми действиями над их логарифмами, после чего от найденного логарифма снова переходят к искомому числу. Здесь роль оригиналов играют числа, а роль изображений – их логарифмы.
1.1. Оригинал и изображение
Пусть – действительная функция действительного аргумента , определенная при любых .
Определение. Будем называть оригиналом функцию , если она удовлетворяет следующим условиям.
1. – кусочно-непрерывная функция при ; это значит, что она или непрерывна, или имеет точки разрыва первого рода, число которых конечно на любом конечном интервале;
2. при ;
3.
с возрастанием может возрастать, но не быстрее некоторой показательной функции. Это означает, что существуют такие числа и что для всех выполняется 
, число называется показателем роста функции
. (Для ограниченных функций можно принять ).
Рассмотрим эти условия несколько подробнее. Условия 1 и 3 выполняются для большинства функций, отвечающих физическим процессам, в которых t понимается как время. Условие 2 оправдано тем, что при изучении процесса безразлично, как ведут себя рассматриваемые функции до некоторого начального момента времени, который, разумеется, можно принять за момент .
В связи с условием 2 в дальнейшем изложении, где это потребуется, будем записывать для краткости лишь то выражение
, которое она имеет для , подразумевая, что для 
. Например, запись
должна пониматься так: 
.
Аналогично, если дано выражение , где , то оно имеет место лишь для , тогда как для функция 
.
Заметим, что если функция не удовлетворяет хотя бы одному из указанных трех условий, то она не является оригиналом. Так, для функции нарушено условие 1 (в точке она терпит разрыв второго рода), для функции не выполняется условие 3 (она растет быстрее показательной функции); поэтому эти функции не могут быть оригиналами.
Заметим также, что необязательно считать оригинал
действительной функцией. Функция
может быть и комплексно-значной, т.е. иметь вид 
. При этом действительная и мнимая части и должны быть оригиналами, т.е. удовлетворять условиям 1, 2, 3.
Определение. Изображением функции – оригинала –называется функция комплексного переменного , определяемая интегралом
. (1.1)
Несобственный интеграл в правой части равенства (1.1), называемый интегралом Лапласа, зависит от параметра .
Таким образом, функции действительного переменного поставлена в соответствие функция комплексного переменного .
Соотношение (1.1) осуществляет преобразование одной функции в другую. Операцию перехода от оригинала к изображению в соответствии с формулой (1.1) называют преобразованием Лапласа , или прямым преобразованием Лапласа.
Тот факт, что есть изображение (говорят также, изображение по Лапласу), символически записывают так:
.
Отыскание оригинала
по изображению называют обращением преобразования Лапласа
, или обратным преобразованием Лапласа; его обозначают символом 
.
Условились обозначать оригиналы малыми буквами 
а их изображения – соответствующими заглавными буквами 
или теми же буквами, что и оригиналы, но снабжать их черточками сверху: 
.
1.2. Примеры вычисления изображений
Приведем примеры вычисления изображения по Лапласу, исходя из его определения.
1.2.1. Функция Хевисайда и ее изображение.
Найдем изображение функции Хевисайда по формуле (1.1), полагая в ней :
Последнее заключение можно сделать только, в том случае, когда 
. Покажем, что это выполняется. По формуле Эйлера имеем:
Тогда
и т.п.
. Следовательно, оригинал. По формуле (1.1) найдем
Это имеет место, если только 
. Последнее же выполняется, как было показано в предыдущем примере, когда 
, иначе . Таким образом,
. (1.3)
Задача 1. Найти оригинал для изображения
при помощи разложения на простейшие дроби.
Решение.
Разложим
на сумму простейших дробей
.
Найдем неопределенные коэффициенты A , B , C , D . Так как
то, приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях
,
получаем
,
,
,
.
Таким образом,
Свертка оригиналов.
Пусть
и
- функции-ориентиры и
,
.
По определению, сверткой оригиналов
называется интеграл
(3.1)
По теореме сложения изображений свертки
оригиналов
соответствует произведение изображений
Задача 2.
Найти свертку функций
и
.
Решение. Имеем
Задача 3.
Восстановить оригинал по
изображению
при помощи свертки.
Решение.
Представим
как произведение двух функций и используя
теорему умножения, запишем
.
(см. задачу 2)
4. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем.
Рассмотрим применение правил и теорем операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем при заданных начальных условиях. Предлагаем, что искомое решение, его производные и правая часть дифференциального уравнения являются оригиналами.
Схема решения дифференциального уравнения.
Искомая функция, ее производные, входящие в данное уравнение, правая часть уравнения заменяются их изображениями. В результате получается так называемое операторное уравнение.
Решаем операторное уравнение относительно изображения искомой функции.
Переходим от изображения искомой функции к оригиналу.
Схема решения систем дифференциальных уравнений такая же.
Задача 1. Решить дифференциальное уравнение
,
если
,
Решение.
Пусть
- искомое решение.
.
Запишем операторное уравнение
Находим A
,
B
,
C
.
,
,
.
Задача 2. Найти решение системы дифференциальных уравнений
удовлетворяющее начальным условиям
,
,
,
Решение.
Пусть
,
.
Тогда
;
;
;
.
Преобразованная система имеет вид
Определяем
,
по правилу Крамера
;
Вычислим
получим
Вычислим
получим
Рассмотрим решение дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях с использованием интеграла Дюамеля.
Интеграл Дюамеля.
Если
и
,
то
(4.1)
(4.1 ’)
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффицентами
то получим
или
,
где
-
многочленn-ой степени;
(4.2)
Если рассмотреть ещё одно дифференциальное уравнение, у которого правая часть равна единице,
то при тех же нулевых начальных условиях в изображениях получим уравнение
Отсюда
(4.3)
Подставим (4.3) в (4.2), получим
(4.4)
Используя интеграл Дюамеля (4.1’) для
и учитывая, что
,
получаем
Итак, достаточно решить уравнение с правой частью равной единице, чтобы при помощи интеграла (4.5) получить решения при различных правых частях.
Задача 3.
Найти частное решение дифференциального уравнения, используя интеграл Дюамеля:
(4.7)
Пусть
,
тогда
Получим уравнение для изображения
Возвращаясь к первоначальному уравнению
для
,
Запишем
Следует отметить, что преимущество операционного метода решения дифференциальных уравнений состоит в том, что благодаря этому методу мы заменяем решение дифференциального уравнения на решение алгебраического уравнения, что сильно упрощает вычисление.
Применение методов операционного исчисления в
задачах электротехники .
Методы операционного исчисления широко используются в решениях специальных задач электротехники.
Задача1.
Включение дополнительного источника ЭДС в цепь с ненулевыми начальными условиями.
Рассмотрим электрическую цепь с ненулевыми начальными условиями (рис. 5.1), где r- сопротивление;L- индуктивность;C– ёмкость конденсатора;k– выключатель.
Эта цепь характеризуется тем, что при отключении ЭДС Е в цепи происходит арядка конденсатора. После зарядки конденсатора ток в цепи становится равным нулю. Требуется найти ток i(t) после подключения к цепи дополнительной ЭДС е(t).
По второму закону Кирхгофа (алгебраическая
сумма падения напряжения на сопротивлениях
равна алгебраической сумме действующих
в цепи ЭДС) для момента времени
имеем
,
(5.1)
где
- напряжение на конденсаторе;
(0)
– начальное напряжение на конденсаторе,
обусловленное тем, что конденсатор уже
был ранее заряжен.
Решение.
Применяя к интегро-дифяфференциальному уравнению (5.1) преобразование Лапласа, запишем
где
-
начальный ток в цепи. Используя указанные
соотношения, получаем алгебраическое
уравнение в изобржениях
где неизвестной величиной является
.
Остальные величины известныИз (5.2) получаем
(5.3)
Рассмотрим конкретный пример. Пусть
Применяя преобразование Лапласа,
получаем
следовательно,
С учётом этих условий из (5.3) получаем
Замечание.
Из полученного решения
(5.4) следует, что
,
при
,
т.е.
Это означает что за некоторое время
конденсатор дополнительно зарядится
и ток станет равным нулю.
Задача 2.
Определить ток в цепи, состоящей из последовательно соединённых сопротивления rи конденсатора С, если в моментt=0 цепь подсоединяется к источнику ЭДС (рис 5.2) в виде треугольного импульса (рис 5.3).
рис 5.2 рис 5.3
В задаче задано
Решение.
Используя второй закон Кирхгофа, получим интегральное уравнение для рассматриваемого контура
(5.5)
Решение уравнения (5.5) выразим при помощи интеграла Дюамеля (4.1)
(5.6)
где
- решение вспомогательного уравнения
(5.7)
Применяя преобразование Лапласа, имеем
Уравнение (5.7) преобразуется к алгебраическому уравнению для нахождения J(p)
откуда
(5.8)
Подставляя найденное решение (5.8) вспомогательного уравнения (5.7) в интеграл Дюамеля (5.6) получаем решение исходного уравнения (5.5)
Пример контрольной работы по операционному исчислению
и комплексным числам.
Вариант 1.
3. Найти все значения корней
5. Найти изображение оригинала, заданного графически
6. Решить систему
Вариант 2.
Найти изображение функции:
3. Найти все значения корней
6. Решить систему
Вариант 3.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
4. Представить в алгебраической форме:
6. Решить систему
Вариант 4.
Найти изображение функции:
Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
4. Представить в алгебраической форме:
Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 5.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 6.
Найти изображение функции:
Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 7.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 8.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 9.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 10.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
6. Решить систему
Вариант 11.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 12.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 13.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного
графически:
6. Решить систему
Вариант 14.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 15.
1. Восстановить оригинал по изображению
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 16.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Введение.
Комплексные числа.
Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение.
Нахождение оригинала по изображению.
Решение линейных дифференциальных уравнений и систем.
Применение методов операционного исчисления в задачах электротехники.
Пример контрольной работы по операционному исчислению и комплексным числам.
Литература.
Литература.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981, 448с.
Сборник задач по математике для втузов. Ч.З. Под ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. М.: издательства физико-математической литературы, 2002. 576с.
Краснов М.Л., Киселев А.Н., Макаренко Г.Н. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981. 304с.
Глатенок И.В., Заварзина И.Ф. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление. М.: Московский энергетический институт, 1989. 48с.
Как решить дифференциальное уравнениеметодом операционного исчисления?
На данном уроке будет подробно разобрана типовая и широко распространенная задача комплексного анализа – нахождение частного решения ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом операционного исчисления . Снова и снова избавляю вас от предубеждения, что материал немыслимо сложный и недоступный. Забавно, но для освоения примеров можно вообще не уметь дифференцировать, интегрировать и даже не знать, что такое комплексные числа . Потребуется навык применения метода неопределённых коэффициентов , который детально разобран в статье Интегрирование дробно-рациональных функций . Фактически краеугольным камнем задания являются обычные алгебраические действия, и я уверен, что материал доступен даже для школьника.
Сначала сжатые теоретические сведения о рассматриваемом разделе математического анализа. Основная суть операционного исчисления
состоит в следующем: функция действительной
переменной с помощью так называемого преобразования Лапласа
отображается в функцию комплексной
переменной
:
Терминология и обозначения:
функция называется оригиналом
;
функция называется изображением
;
заглавной буквой обозначается преобразование Лапласа
.
Говоря простым языком, действительную функцию (оригинал) по определённым правилам нужно превратить в комплексную функцию (изображение). Стрелочка обозначает именно это превращение. А сами «определенные правила» и являются преобразованием Лапласа , которое мы рассмотрим лишь формально, чего для решения задач будет вполне достаточно.
Осуществимо и обратное преобразование Лапласа, когда изображение превращается в оригинал:
Зачем всё это нужно? В ряде задач высшей математики бывает очень выгодно перейти от оригиналов к изображениям , поскольку в этом случае решение задания значительно упрощается (шутка). И как раз одну из таких задач мы и рассмотрим. Если вы дожили до операционного исчисления, то формулировка должна быть вам хорошо знакома:
Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях .
Примечание:
иногда дифференциальное уравнение может быть и однородным: 
, для него в вышеизложенной формулировке также применим метод операционного исчисления. Однако в практических примерах однородное ДУ 2-го порядка
встречается крайне редко, и далее речь пойдёт о неоднородных уравнениях.
И сейчас будет разобран третий способ – решение ДУ с помощью операционного исчисления. Ещё раз подчеркиваю то обстоятельство, что речь идёт о нахождении частного решения , кроме того, начальные условия строго имеют вид («иксы» равны нулям).
К слову, об «иксах». Уравнение можно переписать в следующем виде:
, где «икс» – независимая переменная, а «игрек» – функция. Я не случайно об этом говорю, поскольку в рассматриваемой задаче чаще всего используются другие буквы:
То есть роль независимой переменной играет переменная «тэ» (вместо «икса»), а роль функции играет переменная «икс» (вместо «игрека»)
Понимаю, неудобно конечно, но лучше придерживаться обозначений, которые встречаются в большинстве задачников и методичек.
Итак, наша задача с другими буквами записывается следующим образом:
Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях 
.
Смысл задания нисколько не изменился, изменились только буквы.
Как решить данную задачу методом операционного исчисления?
Прежде всего, потребуется таблица оригиналов и изображений . Это ключевой инструмент решения, и без неё не обойтись. Поэтому, по возможности, постарайтесь распечатать указанный справочный материал. Сразу же поясню, что обозначает буква «пэ»: комплексную переменную (вместо привычного «зет»). Хотя для решения задач этот факт не имеет особого значения, «пэ» так «пэ».
С помощью таблицы оригиналы и необходимо превратить в некоторые изображения. Далее следует ряд типовых действий, и используется обратное преобразование Лапласа (тоже есть в таблице). Таким образом, будет найдено искомое частное решение.
Все задачи, что приятно, решаются по достаточно жесткому алгоритму.
Пример 1
, ,
Решение: На первом шаге перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Используем левую сторону .
Сначала разбираемся с левой частью исходного уравнения. Для преобразования Лапласа справедливы правила линейности , поэтому все константы игнорируем и по отдельности работаем с функцией и её производными.
По табличной формуле №1 превращаем функцию:
По формуле №2 
, учитывая начальное условие , превращаем производную:
По формуле №3 , учитывая начальные условия , превращаем вторую производную:
Не путаемся в знаках!
Признаюсь, правильнее говорить не «формулы», а «преобразования», но для простоты время от времени буду называть начинку таблицы формулами.
Теперь разбираемся с правой частью, в которой находится многочлен . В силу того же правила линейности преобразования Лапласа, с каждым слагаемым работаем отдельно.
Смотрим на первое слагаемое: – это независимая переменная «тэ», умноженная на константу. Константу игнорируем и, используя пункт №4 таблицы, выполняем преобразование:
Смотрим на второе слагаемое: –5. Когда константа находится одна-одинёшенька, то пропускать её уже нельзя. С одиночной константой поступают так: для наглядности её можно представить в виде произведения: , а к единице применить преобразование:
Таким образом, для всех элементов (оригиналов) дифференциального уравнения с помощью таблицы найдены соответствующие изображения:
Подставим найденные изображения в исходное уравнение :
Дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить операторное решение через всё остальное, а именно – через одну дробь. При этом целесообразно придерживаться следующего порядка действий:
Для начала раскрываем скобки в левой части:
Приводим подобные слагаемые в левой части (если они есть). В данном случае складываем числа –2 и –3. Чайникам настоятельно рекомендую не пропускать данный этап:
Слева оставляем слагаемые, в которых присутствует , остальные слагаемые переносим направо со сменой знака:
В левой части выносим за скобки операторное решение , в правой части приводим выражение к общему знаменателю:
Многочлен слева следует разложить на множители (если это возможно). Решаем квадратное уравнение:
Таким образом:
Сбрасываем в знаменатель правой части:
Цель достигнута – операторное решение выражено через одну дробь.
Действие второе. Используя метод неопределенных коэффициентов
, операторное решение уравнения следует разложить в сумму элементарных дробей:
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и решим систему:
Если возникли затруднения с , пожалуйста, наверстайте упущенное в статьях Интегрирование дробно-рациональной функции и Как решить систему уравнений? Это очень важно, поскольку разложение на дроби, по существу, самая важная часть задачи.
Итак, коэффициенты найдены: , и операторное решение предстаёт перед нами в разобранном виде:
Обратите внимание, что константы записаны не в числителях дробей. Такая форма записи выгоднее, чем 
. А выгоднее, потому что финальное действие пройдёт без путаницы и ошибок:
Заключительный этап задачи состоит в том, чтобы с помощью обратного преобразования Лапласа перейти от изображений к соответствующим оригиналам. Используем правый столбец таблицы оригиналов и изображений .
Возможно, не всем понятно преобразование . Здесь использована формула пункта №5 таблицы: . Если подробнее: 
. Собственно, для похожих случаев формулу можно модифицировать: . Да и все табличные формулы пункта №5 очень легко переписать аналогичным образом.
После обратного перехода искомое частное решение ДУ получается на блюдечке с голубой каёмочкой:
Было: 
Стало: 
Ответ:
частное решение: 
При наличии времени всегда желательно выполнять проверку. Проверка выполняется по стандартной схеме, которая уже рассматривалась на уроке Неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка . Повторим:
Проверим выполнение начального условия :
– выполнено.
Найдём первую производную:
Проверим выполнение второго начального условия :
– выполнено.
Найдём вторую производную:
Подставим 
, 
и в левую часть исходного уравнения :
Получена правая часть исходного уравнения.
Вывод: задание выполнено правильно.
Небольшой пример для самостоятельного решения:
Пример 2
С помощью операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.
Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.
Наиболее частный гость в дифференциальных уравнениях, как многие давно заметили, экспоненты, поэтому рассмотрим несколько примеров с ними, родными:
Пример 3
, ,
Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа (левая часть таблицы) перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям.
Сначала рассмотрим левую часть уравнения. Там отсутствует первая производная. Ну и что из того? Отлично. Работы поменьше. Учитывая начальные условия , по табличным формулам №№1,3 находим изображения:
Теперь смотрим на правую часть: – произведение двух функций. Для того чтобы воспользоваться свойствами линейности
преобразования Лапласа, нужно раскрыть скобки: . Так как константы находятся в произведениях, то на них забиваем, и, используя группу №5 табличных формул, находим изображения:
Подставим найденные изображения в исходное уравнение:
Напоминаю, что дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить операторное решение через единственную дробь.
В левой части оставляем слагаемые, в которых присутствует , остальные слагаемые переносим в правую часть. Заодно в правой части начинаем потихоньку приводить дроби к общему знаменателю:
Слева выносим за скобки, справа приводим выражение к общему знаменателю:
В левой части получен неразложимый на множители многочлен . Если многочлен не раскладывается на множители, то его, бедолагу, сразу нужно сбросить на дно правой части, забетонировав ноги в тазике. А в числителе раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: 
Наступил самый кропотливый этап: методом неопределенных коэффициентов
разложим операторное решение уравнения в сумму элементарных дробей:
Таким образом:
Обратите внимание, как разложена дробь: 
, скоро поясню, почему именно так.
Финиш: перейдем от изображений к соответствующим оригиналам, используем правый столбец таблицы:
В двух нижних преобразованиях использованы формулы №№6,7 таблицы, и дробь предварительно раскладывалась как раз для «подгонки» под табличные преобразования.
В результате, частное решение:
Ответ: искомое частное решение:
Похожий пример для самостоятельного решения:
Пример 4
Найти частное решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления.
Краткое решение и ответ в конце урока.
В Примере 4 одно из начальных условий равно нулю. Это, безусловно, упрощает решение, и самый идеальный вариант, когда оба начальных условия нулевые: 
. В этом случае производные преобразуются в изображения без хвостов:
Как уже отмечалось, наиболее сложным техническим моментом задачи является разложение дроби методом неопределенных коэффициентов , и в моём распоряжении есть достаточно трудоёмкие примеры. Тем не менее, монстрами запугивать никого не буду, рассмотрим ещё пару типовых разновидностей уравнения:
Пример 5
Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
, ,
Решение:
С помощью таблицы преобразований Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Учитывая начальные условия 
:
С правой частью тоже никаких проблем:
(Напоминаю, что константы-множители игнорируются)
Подставим полученные изображения в исходное уравнение и выполняем стандартные действия, которые, я надеюсь, вы уже хорошо отработали:
Константу в знаменателе выносим за пределы дроби, главное, потом про неё не забыть:
Думал, выносить ли ещё дополнительно двойку из числителя, однако, прикинув, пришел к выводу, что данный шаг практически не упростит дальнейшего решения.
Особенностью задания является полученная дробь. Кажется, что её разложение будет долгим и трудным, но впечатление обманчиво. Естественно, бывают сложные вещи, но в любом случае – вперёд, без страха и сомнений: 
То, что некоторые коэффициенты получились дробными, смущать не должно, такая ситуация не редкость. Лишь бы техника вычислений не подвела. К тому же, всегда есть возможность выполнить проверку ответа.
В результате, операторное решение:
Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:
Таким образом, частное решение:
Как вставить математические формулы на сайт?
Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.
Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.
Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.
Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :
Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.
Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.
Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.
Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.