Определитель n го порядка определение и свойства. Перестановки и подстановки. Методы вычисления определителей n-го порядка
Определители n-го порядка
Определитель n–го порядка состоит из n 2 элементов, записанных в n строк и в n столбцов, и имеет вид:
Элемент определителя а i
j стоит в строке с номером i и в столбце с номером j. Индексы i и j могут принимать любые натуральные значения от 1 до n. Так, записав а
i3 (i=1,2,…,n), мы перечислим все элементы, стоящие в столбце с номером 3: а
13 , а
23 , а
33 ,…,а
n3 . Элементы а
ij (при i=j) составляют главную диагональ определителя.
Вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению определителей третьего и второго порядка при помощи следующих свойств.
Свойства определителей:
1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами (не меняя порядка их номеров). Поэтому далее будем говорить о строках, подразумевая сказанное верным и для столбцов.
2. Если поменять местами две строки определителя, то он изменит свой знак.
3. Определитель с двумя одинаковыми (или пропорциональными) строками равен нулю.
4. Общий множитель всех элементов какой-либо его строки можно выносить за знак определителя.
5. Если все элементы какой-либо строки определителя равны нулю, то такой определитель равен нулю.
6. Определитель не изменится, если ко всем элементам какой-либо его строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Примеры.
№ 6. Вычислить определители:
а)
Здесь к элементам первого столбца прибавили элементы третьего столбца.
б)
К элементам первой строки прибавили элементы третьей.
в)
Этот определитель удобнее вычислять по правилу Сарруса, т.к. четыре из шести слагаемых равны нулю.
Вернемся к свойствам определителей. Но введем вначале понятия минора и алгебраического дополнения.
Если из данного определителя n-го порядка вычеркнем строку и столбец, на пересечении которых стоит элемент а
ij , то получим определитель (n-1)-го порядка, который называется минором элемента
а
ij и обозначается М ij. Например, в определителе третьего порядка 
найдем минор М 21 элемента а
21 . Для этого вычеркиваем вторую строку и первый столбец: 
В определителе четвертого порядка можно записать 4х4=16 миноров, каждый из которых будет определителем третьего порядка.
Запишем миноры элементов а
32 и а
44 , например, определителя четвертого порядка:
Алгебраическим дополнением элемента а
ij называется его минор, взятый со знаком (–1) i+ j , и обозначается А ij . Таким образом, А ij =(–1) i+ j ×М ij .
Найдем, например, алгебраические дополнения элементов определителя 
.
.
Рассмотрим, наконец, свойство о разложении определителя
по строке или столбцу.
7. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.
Так, определитель третьего порядка, например, можно вычислить при помощи трех определителей второго порядка:
- разложение по элементам первой строки.
Следствие
. Если все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен произведению отличного от нуля элемента на его алгебраическое дополнение.
Поэтому, например,
№.7
В определителе третьего порядка мы к элементам первого столбца прибавили соответствующие элементы третьего, умноженные на 2.
Итак, с помощью свойств определителя можно разложить определитель любого порядка по строке или столбцу. Последовательно понижая порядок, вычислим определитель непосредственно, применив правило для вычисления определителя третьего или второго порядка.
Рассмотрим определители особого вида: диагональный и треугольный.
Диагональным
определителем называется определитель, диагональные элементы которого отличны от нуля, а все остальные элементы равны нулю.
Треугольным
определителем называется определитель, все элементы которого, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.
№ 8 Вычислить диагональный определитель n-го порядка
Раскладывая определитель по элементам 1 го
столбца, мы получили произведение 
Но определитель (n–1)-го порядка А 11 таким же образом представим в виде произведения 
и т.д.
Таким образом, диагональный определитель равен произведению элементов его главной диагонали.
Легко показать, что и треугольный определитель равен произведению элементов его главной диагонали:
№ 9 Вычислить определители:
1)
Рассматривая развернутое выражение для определителей
замечаем, что в каждое слагаемое входят в качестве сомножителей по одному элементу из каждой строки и по одному из каждого столбца определителя, причем всевозможные произведения этого вида входят в состав определителя со знаком плюс или минус. Это свойство полагается в основу обобщения понятия определителя на квадратные матрицы любого порядка. Именно: определителем квадратной матрицы порядка или, короче, определителем порядка называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца, причем полученные произведения снабжены знаками плюс и минус по некоторому вполне определенному правилу. Это правило вводится
довольно сложным образом, и мы не будем останавливаться на его формулировке. Существенно отметить, что оно устанавливается так, что обеспечивается следующее важнейшее основное свойство определителя:
1. При перестановке двух строк определитель меняет знак на противоположный.
Для определителя 2 и 3-го порядков это свойство легко проверяется непосредственным вычислением. В общем случае оно доказывается на основе не сформулированного нами здесь правила знаков.
Определители обладают целым рядом других замечательных свойств, которые дают возможность с успехом использовать определители в разнообразных теоретических и численных расчетах, несмотря на чрезвычайную громоздкость определителя: ведь определитель n-го порядка содержит, как нетрудно видеть, слагаемых, каждое слагаемое состоит из сомножителей и слагаемые снабжены знаками по некоторому сложному правилу.
Переходим к перечислению основных свойств определителей, не останавливаясь на их подробных доказательствах.
Первое из этих свойств уже сформулировано выше.
2. Определитель не меняется при транспонировании его матрицы, т. е. при замене строк на столбцы с сохранением порядка.
Доказательство основано на подробном исследовании правила расстановки знаков в слагаемых определителя. Это свойство дает возможность всякое утверждение, касающееся строк определителя, перенести на столбцы.
3. Определитель есть линейная функция от элементов какой-либо его строки (или столбца). Подробнее
где представляют собой выражения, не зависящие от элементов строки.
Это свойство с очевидностью следует из того, что каждое слагаемое содержит по одному и только одному сомножителю из каждой, в частности строки.
Равенство (5) называется разложением определителя по элементам строки, а коэффициенты называются алгебраическими дополнениями элементов в определителе.
4. Алгебраическое дополнение элемента равно, с точностью до знака, так называемому минору определителя, т. е. определителю
долю порядка, получающемуся из данного посредством вычеркивания строки и столбца. Для получения алгебраического дополнения минор нужно взять со знаком . Свойства 3 и 4 сводят вычисление определителя порядка к вычислению определителей порядка
Из перечисленных основных свойств вытекает ряд интересных свойств определителей. Перечислим некоторые на них.
5. Определитель с двумя одинаковыми строками равен пулю.
Действительно, если определитель имеет две одинаковые строки, то при их перестановке определитель не изменяется, ибо строки одинаковые, но вместе с тем он, в силу первого свойства, меняет знак на обратный. Следовательно, он равен нулю.
Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю.
Действительно, такай сумма является результатом разложения определителя с двумя одинаковыми строками по одной из них.
Общий множитель элементов какой-либо строки можно вынести за знак определителя.
Это следует из свойства 3.
8. Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.
Достаточно вынести множитель пропорциональности, и мы получим определитель с двумя равными строками.
9. Определитель не меняется, если к элементам какой-либо строки добавить числа, пропорциональные элементам другой строки.
Действительно, в силу свойства 3 преобразованный определитель: равен сумме исходного определителя определителя с двумя пропорциональными строками, который равен нулю.
Последнее свойство дает хорошее средство для вычисления определителей. Используя это свойство можно, не менян величины определителя, преобразовать его матрицу так, чтобы в какой-либо строке (или столбце) все элементы, кроме одного, оказались равными нулю. Затем, разложив определитель но элементам этой строки (столбца), мы сведем вычисление определителя порядка к вычислению одного определителя порядка именно, алгебраического дополнения единственного отличного от нуля элемента выбранной строки.
Для более точного и сложного определения и для того, чтобы говорить об определителях порядка больше третьего, потребуется вспомнить еще кое-что. Нас интересует термин подстановка, даже не столько определение, сколько способ её вычисление.
Для подстановки принята запись:
, т.е. пары чисел, записанные в столбик, причем так, что верхние числа идут последовательно (вообще говоря, столбцы можно менять местами).
Подстановки бывают четными и нечетными. Для того, чтобы выяснить, является данная подстановка четной или нечетной, нужно обратить внимание на вторую строку, а точнее на порядок чисел в ней. Необходимо подсчитать количество пар чисел во второй строке, таких, что число, стоящее левее, больше числа, стоящего правее (). Если количество таких пар нечетно, то и подстановка называется нечетной, и, соответственно, если количество таких пар четно, то и подстановка называется четной.
Пример:
1)
4 стоит левее 3, левее 1, левее 2 — это уже три «неправильные» пары.
3 стоит левее 1 и 2 – еще две пары.
Итого 5 пар, т.е. это нечетная подстановка.
2)
Заметим, что числа в первой строке расположены не по порядку. Выполним перестановку столбцов.
Рассмотрим числа второго ряда.
3 стоит левее 2 и 1 – две пары,
2 стоит левее 1 – одна пара,
5 стоит левее 4 и 1 – две пары,
4 стоит левее1 – одна пара.
Итого 6 пар – подстановка четная.
Определение 2
(для студентов математических специальностей, раскрывающее всю суть определяемого понятия):
Определителем n-го порядка, соответствующим матрице
,
называется алгебраическая сумма слагаемых, составленная следующим образом: слагаемыми служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем слагаемое берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае.
Замечание:
Объясним это определение на примере определителя третьего порядка, для которого уже известна формула вычисления.
.
1) «алгебраическая сумма слагаемых» — . И да, действительно, здесь шесть слагаемых.
2) «слагаемыми служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца» — рассмотрим например слагаемое . Его первый множитель взят из второй строки, второй – из первой, а третий из третьей. То же самое и со столбцами – первым множитель из первого столбца, второй из третьего, а последний из второго.
3) «причем слагаемое берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае» — рассмотрим для примера слагаемые (со знаком плюс) и (со знаком минус).
Составим перестановки так, что в первой строке будут номера строк сомножителей, а во второй – номера столбцов.
Для слагаемого : (первый столбец – индекс первого сомножителя и т.д.)
Для слагаемого : .
Определим четность этих перестановок:
а) — элементы в первой строке стоят по порядку. Во второй строке не по порядку стоят пары:
2 левее 1 – одна пара,
3 левее 1 – одна пара.
Итого две пары, т.е. количество пар четно, значит перестановка четная, а значит, слагаемое должно входить в сумму со знаком плюс (как оно и есть на самом деле).
б) — элементы в первой строке стоят по порядку. Во второй строке не по порядку стоят пары:
2 левее 1 – одна пара.
Итого, количество пар чисел, стоящих так, что большее левее меньшего – 1 шт., т.е. нечетно, а значит и перестановка называется нечетной, и соответствующее слагаемое должно входить в сумму со знаком минус (да, это так).
Пример
(«Сборник задач по алгебре» под ред. А.И. Кострикина, №1001):
Выяснить, какие из следующих произведений входят в развернутое выражение определителей соответствующих порядков и с какими знаками.
а) 
Обратим внимание на часть определния «по одному из каждой строки и каждого столбца». Все первые индексы сомножителей различны от 1 до 6(1, 2, 3, 4, 5, 6). Все вторые индексы сомножителей различны от 1 до 6 (3, 2, 1, 4, 5, 6).
Вывод – это произведение входит в развернутое выражение определителя 6-го порядка.
3 левее 2, 1 – две пары,
2 левее 1 – одна пара,
6 левее 5, 4 – две пары,
5 левее 4 – одна пара.
Итого 6 пар, т.е. перестановка четная и слагаемое входит в развернутую запись определителя со знаком «плюс».
б)
Все первые индексы сомножителей различны от 1 до 5(3, 1, 5, 4, 2). Все вторые индексы сомножителей различны от 1 до 5 (1, 3, 2, 5, 4).
Вывод – это произведение входит в развернутое выражение определителя 5-го порядка.
Определим знак этого слагаемого, для этого составим перестановку из индексов сомножителей:
Переставим столбцы так, чтобы числа в первой строке шли по порядку от меньшего к большему.
3 левее 1, 2 – две пары.
4 левее 1, 2 – две пары,
5 левее 2 – одна пара.
Итого 5 пар, т.е. перестановка нечетная и слагаемое входит в развернутую запись определителя со знаком «минус».
в) 
— обратим внимание на первый и шестой сомножители: и . Они оба взяты из 4-го столбца, а значит, это произведение не может входить в развернутое выражение определителя 7-го порядка.
Методы вычисления определителей n
–
го порядка
1. Метод приведения к треугольному виду
Этот метод заключается в преобразовании определителя к
такому виду, где
все элементы, лежащие по одну сторону одной из диагоналей, равны
нулю.
Пример 1. Вычислить определитель порядка n
d=
01
01
01
01
11110
xxx
xxx
xxx
xxx
.
Решение. Прибавим первую строку, умноженную на (–
x) ко всем
остальным:
d=
x
x
x
x
−
−
−
−
0001
0001
0001
0001
11110
.
К первому столбцу прибавим все последующие столбцы,
умноженные на (1/x). Получим
d=
.
0000
0000
0000
0000
1111)1(x
x
x
x
x
n
−
−
−
−
−
Мы получили треугольный вид, следовательно, определитель
равен произведению элементов главной диагонали
d=(–
1)
n
–
1
(n
–
1)x
n
–
2
.
Пример 2. Вычислить определитель
2221
2212
2122
1222
−
−
−
−
=d
.
Решение. Прибавим к первой строке все остальные, тогда в
первой строке все элементы будут равны 2(n
–
1)
–
1=2n
–
3 и,
следовательно, общий множитель можно вынести за знак
определителя:
.
2221
2212
2122
1111)32(−
−
−
−= nd
Теперь воспользуемся тем, что в первой строке все элементы равны
1. Умножая первую строку на (–
2) и прибавляя её ко всем остальным
строкам, мы получим.
0003
0030
0300
1111)32(−
−
−
−= nd
Побочная диагональ в определитель n-го порядка входит со
знаком
2)1()1(−
−
nn
(это легко проверить, если подсчитать число инверсий в
подста-
новке −− 1...21
...321
nnn
n). Тогда получим
()
()() ()
()
.32313321
1
1
2)1(1
2)1(−−=−−−=
−
−
+
−
−
nnd
n
nn
n
nn
Пример 3. Вычислить определитель.
000
00330
00022
1321
nn
nn
d
−
−
−
−
=
Решение. Прибавим к (n
–
1)-му столбцу n-ый, затем полученный (n
–
1)-ый столбец прибавим к (n
–
2)-му, и т. д. Тогда получим
определитель треугольного вида.
2)1(!
0000
00300
00020
123
2)1(1
2)1(2)1(+
=
−−
+
−
++
=
nn
n
n
nn
nnnnnn
d
2. Разложение определителя по строке (столбцу)
Пример 1. Вычислить определитель d разложением по третьей
строке, если
d=
2164
7295
4173
2152
−
−−
−−
−
.
Решение. Мы знаем, что имеет место, следующее разложение
определителя по i-ой строке: d=a
i1
A
i1
+a
i2
A
i2
+…+a
in
A
in
, где A
ij
, j=
n,1
–
алгебраические дополнения элементов определителя. В нашем
случае формула принимает вид d=a
31
A
31
+a
32
A
32
+a
33
A
33
+a
34
A
34
, т. е.
мы имеем следующее разложение:
d=5∙ (–
1)
3+1
∙
216
417
215
−
−
−
+(–
9)∙(–
1)
3+2
∙ 214
413
212
−−
+2∙(–
1)
3+3
∙
264
473
252
−
−
−
+
+ (-7)∙ (–
1)
3+4
∙
164
173
152
−
−−
−
.
Вычисляя полученные определители третьего порядка,
получим
d=5∙(–
6)+9∙12+2∙(–
54)
+
7∙(–
3)= –51.
Пример 2. Вычислить определитель
d=
78102
4552
5882
6593
−−−
.
Решение. Прибавляя третью строку, умноженную на (–
1) ко всем
остальным, получим
d=
3350
4552
913130
2041
−−−
.
Прибавляя к третьей строке первую, умноженную на (–
2),
получим
d=
3350
0530
913130
2091
−
−−−
.
Разложив этот определитель по первому столбцу,
содержащему лишь один, не равный нулю элемент (с суммой
индексов 1+1=2, т. е. чётной), получим
d=
335
053
91313
−
−−−
.
Преобразуем полученный определитель. Прибавляя к первой
строке третью, умноженную на 3, получим
d=
335
053
042
−
−
.
Полученный определитель в третьем столбце содержит лишь
один, не равный нулю элемент (с суммой индексов 3+3, т. е. чётной).
Поэтому его удобно разложить по третьему столбцу:
d=3
53
42
−
−
=3(10
–
12)=
–
6.
Пример 3. Вычислить определитель.
000
11000
00300
00220
00011
nn
nn
d
−
−−
−
−
=
Решение. Разложим определитель по 1-му столбцу, тогда
()
() ()
.
1100
0030
0022
0001
1
000
1100
0030
0022
1
12
nn
n
n
nn
d
n
−−
−
−
−−+
−−
−
−=
+
В этом равенстве первый и второй определители имеют
треугольный вид, поэтому первый определитель равен n!, а второй
определитель равен
(–
1)(–
2) . . . (1
–
n)=(–
1)
n–1
(n
–
1)!. Тогда получим:
() ()
()
.011!1!!
1212
=−+=−+=
+−++ nnn
nnnd
3. Теорема Лапласа
Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k
строк (или k столбцов), 1≤k≤n
–
1. Тогда сумма произведений всех
миноров k
–
го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их
алгебраические дополнения равна определителю d.
Пример 1. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить
определитель, предварительно преобразовав его.
d=
43220
50300
20100
34523
12532
−
−
−−
−−
.
Выберем третью и четвёртую строки. В них находится
единственный минор отличный от нуля, поэтому
d=
53
21 −
∙(–
1)
3+4+4+5
∙
320
423
232
−
−−
.
Воспользовавшись формулами для вычисления определителей
второго и третьего порядков, получим d=12–12+16+27=43.
Пример 2. Вычислить определитель.
005000
050000
500000
000500
000010
000001
−
=
d
Решение. Данный определитель имеет вид, указанный в
следствии из теоремы Лапласа, поэтому мы можем этим следствием
воспользоваться. Тогда
()
.51
005
050
500
,5
500
010
001
3
2)4)(3(3
−
−−
−
−==−=−=
n
nn
n
BA
По следствию из теоремы Лапласа имеем:
()
.51
2
2
147
2
−
+−
−==
n
nn
BAd
4. Метод выделения линейных множителей
Определитель рассматривается как многочлен от одной или
нескольких входящих в него букв. Преобразуя его, обнаруживают,
что он делится на ряд линейных множителей, а значит (если эти
множители взаимно просты) и на их произведение. Сравнивая
отдельные члены определителя с членами произведения линейных
множителей, находят частное от деления определителя на это
произведение и тем самым находят выражение определителя.
Пример. Вычислить определитель методом линейных
множителей
d=
2
2
9132
5132
32x-21
3211
x
−
.
Решение. Прибавим к первой строке вторую, умноженную на (–
1), а к третьей –
четвёртую, умноженную на (–
1):
d=
2
2
2
2
9132
4000
32x-21
0010
x
x
x
−
−
−
.
Воспользуемся тем, что в первой строке и в третьей строке
стоит лишь по одному неравному нулю элементу, и обнулим
элементы стоящие во втором и третьем столбцах:
d=
0102
4000
0201
0010
2
2
−
−
x
x
.
Прибавим ко второй строке четвёртую, тогда
d=
0102
4000
0303
0010
2
2
−
−
x
x
.
Из первой строки видно, что определитель делится на x
2
–
1, из
второй строки видно, что определитель делится на 3, а из третьей
строки видно, что он делится на x
2
–
4. Так как все эти множители
взаимно просты, то определитель делится на их произведение 3(x
2
–
1)(x
2
–
4). В данном произведении член x
4
имеет знак «+», а в
определителе он содержится со знаком «
–
», поэтому d= –
3(x
2
–
1)(x
2
–
4).
5. Метод представления определителя в виде суммы
определителей
Некоторые определители легко вычисляются путём
разложения их в сумму определителей того же порядка
относительно строк или столбцов.
Пример. Вычислить определитель
d=
add
acc
abb
aaa
42
32
22
12
+
+
+
+
.
Элементы первого столбца являются суммами двух слагаемых,
это даёт возможность данный определитель представить как сумму
двух определителей:
d=
ad
ac
ab
aa
42
32
22
12
+
add
acc
abb
aaa
4
3
2
1
.
В первом определителе первый и четвёртый столбцы
пропорциональны, следовательно, он равен нулю. Во втором
определителе первый и третий столбцы равны, следовательно, он
тоже равен нулю. Таким образом, d=0.
6. Метод изменения элементов определителя
Этот метод основан на следующем свойстве: если ко всем
элементам определителя D прибавить одно и то же число x, то
определитель увеличится на произведение числа x на сумму
алгебраических дополнений всех элементов определителя D.
D′=D+x
=
n
ji
ij
A
1,
.
Таким образом, вычисление определителя D′ сводится к
вычислению определителя D и суммы его алгебраических
дополнений. Этот метод применяют в тех случаях, когда путём
изменения всех элементов определителя на одно и то же число он
приводится к такому виду, в котором легко сосчитать
алгебраические дополнения всех элементов.
Пример. Вычислить определитель
D=
n
axxxx
xaxx
xxax
xxxa
3
2
1
.
Прибавим ко всем элементам число (–
x), тогда
D′=
xa
xa
xa
xa
n
−
−
−
−
0000
000
000
000
3
2
1
.
Алгебраические дополнения элементов определителя D, не
лежащих на главной диагонали, равны нулю. Остальные
алгебраические дополнения имеют положительный знак, поскольку
все суммы индексов чётные. В нашем случае формула принимает
вид:
D′=(a
1
–
x)…(a
n
–
x),
x
=
n
ji
ij
A
1,
=
–
x)()()()(1
1
11
xaxaxaxa
ni
n
i
i
−…−−…−
+
=
−
.
Тогда искомый определитель
D=D′–x
=
n
ji
ij
A
1,
=(a
1
–
x)…(a
n
–
x)+x)()()()(1
1
11
xaxaxaxa
ni
n
i
i
−…−−…−
+
=
−
=
=x(a
1
–
x)(a
2
–
x)…(a
n
–
x)
−
+…+
−
+
xaxax
n
111
1
.
7. Метод рекуррентных соотношений
Этот метод заключается в том, что данный определитель выражают,
преобразуя и разлагая его по строке или столбцу, через
определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное
равенство называется рекуррентным соотношением. Этот метод
используется для вычисления определителей вида.)(000
00
0
00
21
−−
−+=
+
+
+
+
=
nnn
DDD
αββα
βα
βαα
ββαα
ββα
D
n
–
(α+β)D
n
–
1
+αβD
n
–
2
=0 или, в общем виде D
n
–
pD
n
–
1
+qD
n
–
2
=0, где
p=α+β, q=αβ.
Пусть рекуррентное соотношение имеет вид:
D
n
=pD
n
–
1
–
qD
n
–
2
, n>2, (5)
где p, q – постоянные не зависящие от n.
При q=0 D
n
вычисляется как член геометрической прогрессии:
D
n
=p
1
−
n
D
1
; здесь D
1 – определитель 1
–
го порядка данного вида, т. е.
элемент определителя D
n
, стоящий в левом верхнем углу.
Пусть q>0 и α, β –
корни квадратного уравнения x
2
–
px+q=0. Тогда
р=α+β, q=αβ и равенство (5) можно переписать так:
D
n
–
αD
n
–
1
=β (D
n
–
1
–
αD
n
–
2)
(6)
или
D
n
–
βD
n
–
1
=α(D
n
–
1
–
βD
n
–
2).
(7)
Предположим сначала, что α≠β. По формуле (n
–
1)
–
го члена
геометрической прогрессии находим из равенств (6) и (7):
D
n
–
αD
n
–
1
=β
2
−
n
(D
2
–
αD
1) и D
n
–
βD
n
–
1
=α
2
−
n
(D
2
–
βD
1).
Откуда.)()(12
1
12
1
βα
αββα
−
−−−
=
−−
DDDD
D
nn
n
(8)
Пусть теперь α=β. Равенства (6) и (7) обращаются в одно и то же
D
n
–
αD
n
–
1
=α (D
n
–
1
–
αD
n
–
2),
откуда
D
n
–
αD
n
–
1
=Aα
2
−
n
, (9)
где A=D
2
–
αD
1
.
Заменяя здесь n на n
–
1, получим:
D
n
–
1
–
αD
n
–
2
=Aα
3
−
n
, откуда D
n
–
1
=αD
n
–
2
+Aα
3
−
n
.
Подставляя это выражение в равенство (9), найдём D
n
=α
2
D
n
–
2
+2Aα
2
−
n
. Повторяя тот же приём несколько раз, получим
D
n
=α
1
−
n
D
1
+(n
–
1)Aα
2
−
n
,
где A=D
2
–
αD
1
.
Пример 1. Вычислить определитель методом рекуррентных
соотношений.
d=
21...0000
12...0000
.....................
00...2100
00...1210
00...0121
00...0012
.
Решение. Разложим определитель по первой строке, тогда
D
n
=2(–
1)
1+1
D
n
–
1
+(–
1)
2+1
2...000
...............
0...210
0...120
0...011
.
Определитель в последнем равенстве разложим по первому столбцу,
тогда D
n
примет вид: D
n
=2D
n
–
1
–
D
n
–
2
. Значит p=2, q=1. Решая
уравнение x
2
–
2x+1=0, находим α, β и придём к случаю, когда α=β.
Тогда по формуле
D
n
=α
1
−
n
D
1
+(n
–
1)Aα
2
−
n
, где A=D
2
–
αD
1
находим, при α=1, D
n
=D
1
+(n
–
1)A. В нашем случае D
1
=2, D
2
=3, тогда A=3
–
2=1. Следовательно,
D
n
=2+(n
–
1)=n+1.
Пример 2. Вычислить определитель методом рекуррентных
соотношений:
d=
210...000
121...000
012...000
.....................
000...210
000...122
000...043
.
Решение. Разлагая d по последней строке, получим
D
n
=2(–
1)
nn
+
D
n
–
1
+(–
1))1(−+
nn
110...000
021...000
012...000
.....................
000...210
000...122
000...043
.
Определитель в последнем равенстве разложим по (n
–
1)
–
му столбцу,
тогда D
n
примет вид: D
n
=2D
n
–
1
–
D
n
–
2
. Значит p=2, q=1. Решая
уравнение x
2
–
2x+1=0, находим α, β и придём к случаю, когда α=β.
Тогда по формуле D
n
= α
n
–
1
D
1
+(n
–
1)Aα
n
–
2
, где A=D
2
–
αD
1
находим, при
α=1, D
n
=D
1
+(n
–
1)A. В нашем случае D
1
=3, D
2
=
–
2, тогда A=
–
5.
Следовательно, D
n
=3+(n
–
1)(–
5)=8
–
5n.
8. Определитель Вандермонда
Определителем Вандермонда называется определитель вида.
1111
11
3
1
2
1
1
22
3
2
2
2
1
321
−−−−
=
n
n
nnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
d
Докажем, что при любом n определитель Вандермонда равен
произведению всевозможных разностей a
i
–
a
j
, где 1≤j
Пусть А =
произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.
Определение 7. Определителем матрицы А (определителем
N-го порядка)
Называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. При этом произведение берётся со знаком «+», если подстановка из индексов входящих в него элементов чётная, и со знаком «-» в противном случае.
Обозначение определителя: |А
| = 
.
Например, при n = 6 произведение А21а13а62а34а46а55
является членом определителя, так как в него входит точно по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца. Подстановка, составленная из его индексов будет 
. В ней 4-е инверсии в верхней строке и 2-е инверсии – в нижней. Общее число инверсий равно 6, т. е. подстановка чётная. Следовательно, данное произведение входит в разложение определителя со знаком «+».
Произведение А21а13а62а34а46а15
не является членом определителя, так как в него входят два элемента из первой строки.
Свойства определителей.
10. При транспонировании определитель не меняется (напомним, что транспонирование матрицы и определителя означает перемену строк и столбцов местами).
Действительно, если (-1)к является членом определителя, то все a1, a2, … , an различны и к – число инверсий в перестановке (a1, a2, … , an). При транспонировании номера строк станут номерами столбцов и наоборот. Следовательно, в произведении Все множители будут из разных столбцов и строк, т. е. это произведение будет входить в транспонированный определитель. Знак его будет определяться числом инверсий в подстановке 
. Но это число, очевидно равно к. Итак, (-1)к будет членом транспонированного определителя. Так как мы брали любой член данного определителя, а число членов в данном и транспонированном определителях одинаково, то отсюда и следует их равенство. Из доказанного свойства следует, что всё, что будет доказано для строк определителя, будет верно и для его столбцов.
20. Если все элементы строки (или столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
Это следует из того, что по одному элементу указанной строки (или столбца) будет входить в каждый член определителя.
30. Если все элементы какой-нибудь строки определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
Действительно, если все элементы к-ой строки имеют общий множитель l, то их можно записать в виде . Любой член определителя будет иметь вид (-1)s
. Следовательно, из всех членов определителя можно вынести множитель l.
40. Если две строки определителя поменять местами, то определитель сменит знак.
Действительно, если (-1)к любой член данного определителя, то в новом определителе номера строк р и q поменяются местами, а номера столбцов останутся прежними. Следовательно, в новом определителе это же самое произведение будет входить в виде (-1)s. Так как в номерах строк произошла одна транспозиция, а номера столбцов не изменились, то к и s имеют противоположные чётности. Итак, все члены данного определителя изменили знак, следовательно, и сам определитель изменил знак.
50. Если две строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Действительно, пусть все элементы к-ой строки равны соответствующим элементам р-ой строки, умноженным на l, т. е. |А
| = 
= 
= 0.
60. Если в определителе все элементы к-ой строки есть суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых все строки, кроме к-ой, такие же как и в данном определителе. На месте элементов к-ой строки одного из них стоят первые слагаемые элементов к-ой строки данного определителя, а на месте элементов к-ой строки второго – вторые их слагаемые.
Пусть элементы к-ой строки будут + Ск1,
+ Ск2
, …. , + Скn
. Тогда любой член определителя будет иметь вид
(-1)s= (-1)s
+ (-1)s
.
Собрав все первые слагаемые, мы получим определитель, отличающийся от данного только к-ой строкой. На месте к-ой строки будут стоять ,
, …. , . Собрав все вторые слагаемые, получим определитель тоже отличающийся от данного только к-ой строкой. В к-ой строке будут стоять Ск1, ск2
, …. , Скn
.
70. Если к одной строке определителя прибавить другую его строку, все элементы которой умножены на одно и то же число, то определитель не изменится.
Это свойство является следствием двух предыдущих.
Если в определителе |А
| вычеркнуть к-ую строку и р-ый столбец, то останется определитель (n–1)-го порядка. Он называется Минором, дополнительным для элемента
и обозначается Мкр
. Число (-1)к+р×МКр
Называется Алгебраическим дополнением для элемента
и обозначается Акр
.
80. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение не зависит от того, какой элемент стоит в к-ой строке и р-ом столбце определителя.
Лемма 1
D = 
. (8)
Доказательство.
Если А11
= 0, то равенство (8) очевидно. Пусть А11
¹ 0. Так как в каждый член определителя входит точно один элемент из первой строки, то ненулевыми членами определителя могут быть только те, в которые входит А11
. Все они имеют вид 
, где gк и к пробегают значения от 2 до N
. Знак этого члена в определителе D определяется чётностью подстановки s = 
.Таким образом D есть алгебраическая сумма слагаемых вида Со знаками, определяемыми подстановкой s. Если в этой сумме вынести за скобки А11
, то получим, что D = А11
×
S
, где S
Есть алгебраическая сумма слагаемых вида , знак которых определяется подстановкой s. Этих слагаемых, очевидно, (N
– 1)!. Но подстановка s и подстановка 
имеют одинаковую чётность. Следовательно, S
= М
11. Так как А11 =
(-1)1+1×М
11 = М
11, то D = А11
×А11
.
Лемма 2.
D = 
(9)
Доказательство.
В определителе D переставим р-ую строку последовательно с каждой предыдущей. При этом р-ая строка займёт место первой строки, но минор, дополнительный к элементу Арк
не изменится. Всего будет сделано (Р
– 1) перестановка строк. Если новый определитель обозначить D1, то D1 = (-1)р-1×D. В определителе D1 переставим К
-ый столбец последовательно с каждым предыдущим столбцом, при этом будет сделано (К
– 1) перестановка столбцов и минор, дополнительный к Арк
, не изменится. Получится определитель
D2 = 
. Очевидно, D2 = (-1)к-1×D1 = (-1)р+к-2×D = (-1)р+к×D. По лемме 1, D2 = Арк
×М
Рк. Отсюда D = Арк
×
(-1)р+к× М
Рк = Арк
×Арк.
Теорема 3.
Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки на их алгебраические дополнения, т. е. D = Ак1Ак1 + ак2
×Ак2 +…+а
Kn
×А
Kn
(10).
Доказательство.
Пусть D = . Элементы к-ой строки запишем в виде Ак1 =ал1
+ 0 + …+ 0, Ак2
= 0 + Ак2
+ 0 + … + 0, … , А
= 0 + 0 + …+ 0 + А
. Используя свойство 60, получим, что D =
= = Ак1Ак1
+ Ак2Ак2 +
… + АА
(использовали лемму 2).
Теорема 4.
Сумма произведений элементов одной строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.
Доказательство.
Пусть D = 
. По предыдущей теореме
D = . Если взять , то в определителе Dбудет две одинаковые строки, т. е. D будет равен нулю. Следовательно, 0 = , если р ¹ к.
Замечание.
Теоремы 3 и 4 будут верны, если в их формулировках слово «строка» заменить на слово «столбец».
Способ вычисления определителя
N-го порядка.
Для вычисления определителя N
-го порядка достаточно в какой-нибудь строке (или столбце) получить как можно больше нулей, используя свойство 70, а потом использовать теорему 3. При этом вычисление определителя n-го порядка сведётся к вычислению определителя (N
– 1)-го порядка.
Пример.
Вычислите определитель D = 
.
.
Получим нули во второй строке. Для этого Второй столбец
1) умножим на (-2) и прибавим к первому столбцу; 2) прибавим к третьему столбцу; 3) умножим на (-4) и прибавим к четвёртому столбцу. Получим, что D = 
. Разложим полученный определитель по элементам второй строки. При этом произведения всех элементов этой строки на их алгебраические дополнения, кроме элемента 1, равны нулю. Для того, чтобы получить алгебраическое дополнение для элемента 1, нужно вычеркнуть те строку и столбец, где этот элемент стоит, т. е. вторую строку и второй столбец. Знак алгебраического дополнения определяет (-1)2+2 = (-1)4 = +1. Итак, D = + . Получили определитель 3-го порядка. Этот определитель можно вычислить, используя диагонали и треугольники, но можно свести к определителю второго порядка. Умножим Первый столбец
1) на (-4) и прибавим ко второму столбцу, 2) умножим его на 2 и прибавим к третьему столбцу. Получим, что
