Телевизор 

Основные свойства функций. Функция одной переменной и её характеристики

    1) Область определения функции и область значений функции .

    Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.

    В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

    2) Нули функции .

    Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

    3) Промежутки знакопостоянства функции .

    Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

    4) Монотонность функции .

    Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

    Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

    5) Четность (нечетность) функции .

    Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

    Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

    6) Ограниченная и неограниченная функции .

    Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

    7) Периодическость функции .

    Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

    19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.

Основные элементарные функции. Их свойства и графики

1. Линейная функция.

Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.

Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.

Свойства линейной функции

1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R

2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R

3. Функция принимает нулевое значение при или.

4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.

5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .

2. Квадратичная функция.

Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.

Если каждому элементу х множ-ва Х (х є Х) ставится в соответствие вполне определённый элемент у множ-ва У (у є У), то говорят, что на множ-ве Х задана функция у = f(x). При этом х назыв. независимой переменной (или аргументом), у – зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответсвия. Множ-во Х назыв. областью определения, а множ-во У – областью значений функции.

Способы задания фун-ий.

а)аналитический, если фун-ия задана формулой у = f(x)

б)табличный способ. Состоит в том, что фун-ия задаётся таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения фун-ии f(x).

в)графический. Состоит в изображении графика фун-ии – множества точек (х,у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения фун-ии f(x).

г)логический

3 . Односторонний предел. Существование предела в точке.

Число назыв. односторонним пределом слева фун-ии f(x) в точке сгущения x 0, если для ∀ε>0 ∃δ>0, такое, что x∈(x 0 -δ, x 0 ] => f(x)

Число назыв. односторонним пределом справа фун-ии f(x) в точке сгущения х 0 , если если ∀ε>0

∃δ>0, такое, что x∈(x 0 -δ, x 0 ] => f(x)

Число назыв. односторонним пределом справа фун-ии f(x) в точке сгущения х 0 , если если ∀ε>0 ∃δ>0, такое,что х ∈[ x 0, x 0 + δ) =>

Сущ-ие предела в точке. Число А назыв. пределом фун-ии f(x) при х, стремящемся к х 0 (или точке х 0), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдётся такое положительное число δ>0 (зависящее от ε, δ=δ(ε)), что для всех х, не равных х 0 и удовлетворяющее условию , выполняется неравенство

Обозначается или

2. Предел функции и его свойства.

Предельной точной сгущения множества A называется точка x 0 , если в любой окрестности этой точки найдутся такие множества, отличные от x 0 .

Определение предела по Коши. Функция y=f(x), определенная в A, имеет предел С в точке сгущения x 0 , если ∀ε>0 ∃δ>0, такое, что x∈(x 0 -δ, x 0) ∪(x 0 , x 0 +δ) ⇒ f(x)∈(C-ε, С+ε). Существование предела записывают в виде lim x → x 0 f(x)=C или |x-x 0 |<δ⇒|f(x)-C|< ε.

Определение предела по Гейне. Если для различных последовательностей {x n }, стремящихся к x 0 , последовательность значений функции {f(x n)} сходится к некоторому числу C, то это число называется пределом функции f(x).

Определение Коши используется для обоснования существования предела, а опред-ие Гейна – для обоснования отсутствия предела.

Свойства предела: предел единственен и фун-ия в некоторой окрестности предельной точки ограничена.

1)Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине.

Рассмотрим сначала понятие переменной величины, или просто переменной.

Переменная величина х определяется множеством тех значений, которые она может принять в рассматриваемом случае. Это множество X назовем областью изменения значений переменной x .

Главным предметом изучения в математике является, однако, не изменение одной переменной самой по себе, а зависимость между двумя или несколькими переменными при их совместном изменении. Во многих случаях переменные не могут принимать любую пару значений из своих областей изменения; если одной из них придано конкретное значение, то этим уже определяется и значение другой. Тогда первая из них называется независимой , а вторая – зависимой переменной.

Пусть даны две переменные x и y с областями изменения X и Y . Если при этом каждому элементу x X по определенному правилу f поставлен в соответствие единственный элемент y Y , то говорят, что на множестве X задана функция y = f (x ).

Ясно, что при этом переменная x является независимой переменной. Ее часто называют аргументом функции.

Переменная y является зависимой переменной и называется значением функции, или просто функцией .

Множество X называется областью определения функции, а множество Y - областью ее значений .

Существует ряд способов задания функции:

а) наиболее простой - аналитический способ, т. е. задание функции в виде формулы. Если область определения функции X при этом не указана, то под X подразумевается множество значений x , при которых формула имеет смысл;

б) графический способ. Этот способ особенно нагляден. Для функции одной переменной y = f (x ) используется координатная плоскость (xy ).

Совокупность точек y , соответствующих заданным значениям x , определяет график функции на плоскости (xy );

в) табличный способ. Он часто используется, когда независимая переменная x принимает лишь конечное число значений.


5.2. Основные свойства функций

Рассмотрим основные свойства функций, которые упрощают проведение их исследования:

Четность. Функция y = f (x ) называется четной , если для любого значения x , принадлежащего области определения функции X , значение (–x ) тоже принадлежит X и при этом выполняется

f (–x ) = f (x ).

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция y = f (x ) называется нечетной , если для любого x X следует (–x ) X и при этом

f (–x ) = –f (x ).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если функция y = f (x ) не является ни четной, ни нечетной, то ее часто называют функцией общего вида .

Монотонность. Функция y = f (x ) называется возрастающей на некотором интервале (a , b ), если для любых x 1 , x 2 (a , b ), таких,

что x 1 < x 2 , следует, что f (x 1) < f (x 2), и убывающей , если f (x 1) > f (x 2).

Возрастающую и убывающую на интервале (a,b ) функции называют монотонными на этом интервале, а сам интервал (a,b ) - интервалом монотонности этих функций.

В некоторых учебниках такие функции называют строго монотонными , а монотонными называют неубывающую и невозрастающую на рассматриваемом интервале функции (вместо строгих неравенств для функций пишутся нестрогие).

Ограниченность. Функция y = f (x ) называется ограниченной на интервале (a , b ), если существует такое число С > 0, что для любого x (a , b ) следует |f (x )| < C , и неограниченной в противном случае, т. е. если для любого числа C > 0 существует такой x (a , b ), что |f (x )| > C. На рис. 5.1 показан график функции, ограниченной на интервале (a , b ).

Аналогичное определение ограниченности можно дать для любого вида промежутка.

Периодичность. Функция y = f (x ) называется периодической , если существует такое число t , что для любого x X выполняется

f (x + t ) = f (x ).

Наименьшее из таких чисел t называется периодом функции и обозначается Т .

Характерным признаком периодичности функций является наличие в их составе тригонометрических функций.

5.3. Элементарные функции и их графики

К элементарным функциям относятся:

а) простейшие элементарные функции

1. Константа y = c , где с - постоянное для данной функции действительное число, одно и то же для всех значений x .


2. Степенная функция , где - любое постоянное действительное число, кроме нуля. Вид графиков функций при некоторых целых положительных ( = n ), целых отрицательных ( = –n ) и дробных ( = 1/n ) значениях представлен ниже.


4. Логарифмическая функция y = log a x (a > 0; a 1).


5. Тригонометрические функции : y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x .


6. Обратные тригонометрические функции .

y = arcsin x y = arccos x


y = arctg x y = arcctg x


б) сложные функции

Кроме перечисленных простейших элементарных функций аргумента x к элементарным функциям также относятся функции, аргументами которых являются тоже элементарные функции, а также функции, полученные путем выполнения конечного числа арифметических действий над элементарными функциями. Например, функция

тоже является элементарной функцией.

Функции, аргументами которых являются не независимые переменные, а другие функции, называются сложными функциями или суперпозициями функций. Пусть даны две функции: y = sinx и z = log 2 y . Тогда сложная функция (суперпозиция функций) может иметь вид

z = log 2 (sin x ).

Также можно ввести понятиеобратной функции .Пусть y = f (x ) задана в области определения X , а Y - множество ее значений. Выберем какое-нибудь значение y = y 0 и по нему найдем x 0 так, чтобы y 0 было равно f (x 0).Подобных значений x 0 может оказаться и несколько.

Таким образом, каждому значению y из Y ставится в соответствие одно или несколько значений x . Если такое значение x только одно, то в области Y может быть определена функция x = g (y ), которая называется обратной для функции y = f (x ).

Найдем, например, обратную функцию для показательной функции y = a x . Из определения логарифма следует, что если задано значение y , то значение x , удовлетворяющее условию y = a x , находится по формуле x = log a y . То есть каждому y из Y можно поставить в соответствие одно определенное значение x = log a y .

Следовательно, функция x = log a y является обратной для функции y = a x на множествах X и Y . Так как принято у любой функции независимую переменную обозначать x , то в этом случае говорят, что y = f (x ) и y = g (x ) - обратные функции.

Графики функции y = f (x ) и обратной ей функции y = g (x ) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Основные определения и понятия

Одним из основных понятий математики является число. Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, вместе с числом ноль называются рациональными числами. Рациональные числа могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических дробей. Числа, которые представляются в виде бесконечных, но непериодических дробей, называются иррациональными .

Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных , или вещественных чисел. Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой выбраны:

1) некоторая точка О, называемая началом отсчёта;

2) положительное направление, указываемое стрелкой;

3) масштаб для измерения длин.

Между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно-однозначное соответствие , т.е. каждому действительному числу соответствует точка числовой оси и наоборот.

Абсолютной величиной (или модулем ) действительного числа x называется неотрицательное действительное число Рx Р, определяемое следующим образом: Рx Р = x , если x ? 0, и Рx Р = -x , если x < 0.

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения. Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной.

упорядоченной , если известна область её изменения и про каждое из двух любых её значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее. Частным случаем такой величины является числовая последовательность

Переменная величина называется возрастающей (убывающей ), если каждое её последующее значение больше (меньше) предыдущего. Возрастающие и убывающие переменные величины называются монотонными . Переменная величина называется ограниченной , если существует такое постоянное число M > 0, что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют условию:

M ? x ? M, т.е. Рx Р? M.

Переменная величина y называется (однозначной) функцией переменной величины x, если каждому значению переменной величины x, принадлежащему множеству действительных чисел X, соответствует одно определённое действительное значение переменной величины y .

Переменная x называется в этом случае аргументом , или независимой переменной , а множество X - областью определения функции.

Запись y = f(x) означает, что y является функцией x . Значение функции f(x) при x = a обозначают через f(a).

Область определения функции в простейших случаях представляет собой: интервал (открытый промежуток ) (a, b ), т.е. совокупность значений x , удовлетворяющих условию a < x < b ; сегмент (отрезок или замкнутый промежуток ) , т.е. совокупность значений x , удовлетворяющих условию a ? x ? b ; полуинтервал (т.е. a < x ? b ) или (т.е. a ? x < b ); бесконечный интервал (a, + ?) (т.е. a < x < + ?) или (- ?, b ) (т.е. - ? < x < b ) или (- ?, + ?) (т.е. - ? < x < + ?); совокупность нескольких интервалов или сегментов и т. п.

Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению y = f(x).

Функция f(x) называется чётной, если для любого значения x . График чётной функции расположен симметрично относительно оси ординат. Функция f(x) называется нечётной , если для любого значения x . График нечётной функции расположен симметрично относительно начала координат.

Функция f(x) называется периодической , если существует такое положительное число T, называемое периодом функции, что для любого значения x выполняется равенство.

Наименьшим же периодом функции называется наименьшее положительное число?, для которого f(x + ?) = f(x) при любом x . Следует иметь в виду, что f(x + k?) = f(x) , где k - любое целое число.

Функции задаются:

1) аналитически (в виде формулы), например, ;

2) графически (в виде графика);

3) таблично (в виде таблицы), например таблица логарифмов.

Основными элементарными функциями являются следующие, аналитически заданные функции:

1. Степенная функция : , где? - действительное число.

2. Показательная функция : , где a > 0, a ? 1.

3. Логарифмическая функция : , где a > 0, a ? 1.

4. Тригонометрические функции : y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x ,

y = sec x, y = cosec x.

5. Обратные тригонометрические функции :

y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x ,

y = arccosec x .

Если y является функцией от u , а u есть функция от x , то y также зависит от x . Пусть y = F(u ), u = ?(x ). Тогда y = F(?(x )). Последняя функция называется функцией от функции , или сложной функцией. Например, y = sin u , u = . Функция y = sin () есть сложная функция от x .

Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида y = f(x) , где выражение f(x) составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Например, y = Рx Р = ; ; .

Пример 1 . Найти, если.

Решение . Найдём значения данной функции при x = a и x = b :

Тогда получим

Пример 2 . Определить, какая из данных функций чётная или нечётная:

Решение . а) Так как, то

т.е. f(- x) = - f(x). Следовательно, функция нечётная.

б) Имеем, т.е.

f(- x) = f(x). Следовательно, функция чётная.

в) Здесь,т.е.

f(- x) = f(x). Следовательно, функция чётная.

г) Здесь. Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Пример 3

Решение . Функция определена, если 2x - 1 ? 0, т.е. если. Таким образом, областью определения функции является совокупность двух интервалов:

Пример 4 . Найти область определения функции.

Решение . Функция определена, если x - 1 ? 0 и 1+ x > 0, т.е. если x ? 1 и x > - 1. Область определения функции есть совокупность двух интервалов: (- 1, 1) и (1, + ?).

Пример 5. Найти область определения функции

Решение. Первое слагаемое принимает вещественные значения при 1 -2x ? 0, а второе при. Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств: Получаем

Следовательно, областью определения будет сегмент