Построить линии уровня функции c. Простой класс для построения линий уровня двумерной сеточной функции

При обработке данных в предметных областях, связанных с научной деятельностью, часто возникает необходимость в построении и визуализации функции двух независимых переменных. Типичным примером является необходимость визуального представления результатов решения двумерных дифференциальных уравнений в частных производных, получаемых в виде так называемых сеточных функций.

Предлагается простой класс для построения линий уровня (изолиний) функции: Z=F(X,Y) в виде линий на плоскости X-Y, удовлетворяющих уравнениям Z=const (где const - набор заданных значений).

Предполагается, что функция Z задана в виде массива z на произвольной сетке с четырехугольными ячейками. Сетка задается двумя массивами x, y, где J и K размеры сетки.

Значения функции определены в углах четырехугольной ячейки. В каждой ячейке проверяется прохождение рассчитываемой линии уровня через ее грани и, при условии, что линия проходит через ячейку, вычисляются координаты пересечения линии уровня с гранями. Внутри ячейки линия проводится прямолинейным отрезком.

Исходный текст снабжен подробными комментариями.

Файл LinesLevels.cs:

Using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Windows; namespace WpfLinesLevels { public class LinesOfLevels { private int J, K; private double[,] X; private double[,] Y; private double[,] Z; // Список изолиний public List Lines { get; set; } ///

/// Подготовка ///

/// Массив уровней /// Координаты X области /// Координаты Y области /// Сеточная функция public LinesOfLevels(double _levels, double[,] _x, double[,] _y, double[,] _z) { Lines = new List(_levels.Count()); foreach (double l in _levels) { Lines.Add(new LineLevel(l)); } X = _x; Y = _y; Z = _z; J = X.GetLength(0); K = X.GetLength(1); } ///

/// Расчет изолиний. ///

public void Calculate() { for (int j = 0; j < J - 1; j++) for (int k = 0; k < K - 1; k++) { Ceil ir = new Ceil(j, k, X, Y, Z); for (int l = 0; l < Lines.Count(); l++) ir.AddIntoLineLevel(Lines[l]); } } } ///

/// Одна изолиния ///

public class LineLevel { // Список точек изолинии в виде пар точек // принадлежащих одной четырехугольной ячеейке public ListPairs { get; set; } // Уровень изолинии public double Level { get; set; } public LineLevel(double _level) { Level = _level; Pairs = new List(); } } ///

/// Пара точек изолинии, принадлежащая одной ячейке ///

public class PairOfPoints { public ListPoints { get; set; } public PairOfPoints() { Points = new List(); } } ///

/// Угол ячейки. /// Индексы для определения одного угла четырехугольной ячейки ///

internal struct Dot { internal int j { get; set; } internal int k { get; set; } internal Dot(int _j, int _k) { j = _j; k = _k; } } ///

/// Четырехугольная ячейка сетки. Определяет текущую ячейку. /// Рассчитывает отрезки изолиний в ячейке ///

internal class Ceil { // Углы ячейки private Dot d = new Dot; // Координатные точки углов private Point r = new Point; // Массивы координат всей области private double[,] X; private double[,] Y; // Массив сеточной функции private double[,] Z; ///

/// Определение ячейки /// Определяется левым нижним углом. Циклы перебора индексов должны быть на 1 меньше размерностей J,K массивов ///

/// j - индекс левого нижнего угла /// k - индекс левого нижнего угла /// Массив X /// Массив Y /// Массив сеточной функции Z internal Ceil(int _j, int _k, double[,] _x, double[,] _y, double[,] _z) { d = new Dot(_j, _k); d = new Dot(_j + 1, _k); d = new Dot(_j + 1, _k + 1); d = new Dot(_j, _k + 1); X = _x; Y = _y; Z = _z; r = dotPoint(d); r = dotPoint(d); r = dotPoint(d); r = dotPoint(d); } ///

/// Определение координатной точки Point угла ///

/// Угол, заданный стуктурой Dot /// private Point dotPoint(Dot _d) { return new Point(X[_d.j, _d.k], Y[_d.j, _d.k]); } ///

/// Определение функции в заданном углу ///

/// Угол, заданный стуктурой Dot /// private double dotZ(Dot _d) { return Z[_d.j, _d.k]; } ///

/// Определение пары точек, через которые проходит линия уровня /// Точки на границах ячейки определяются линейной интераоляцией. ///

/// Значение уровня функции /// private PairOfPoints ByLevel(double _l) { PairOfPoints p = new PairOfPoints(); // Ребро 0 if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d) < _l) || (dotZ(d) > _l && dotZ(d) <= _l)) { double t = (_l - dotZ(d)) / (dotZ(d) - dotZ(d)); double x = r.X * t + r.X * (1 - t); double y = r.Y * t + r.Y * (1 - t); p.Points.Add(new Point(x, y)); } // Ребро 1 if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d) < _l) || (dotZ(d) > _l && dotZ(d) <= _l)) { double t = (_l - dotZ(d)) / (dotZ(d) - dotZ(d)); double x = r.X * t + r.X * (1 - t); double y = r.Y * t + r.Y * (1 - t); p.Points.Add(new Point(x, y)); if (p.Points.Count == 2) return p; } // Ребро 2 if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d) < _l) || (dotZ(d) > _l && dotZ(d) <= _l)) { double t = (_l - dotZ(d)) / (dotZ(d) - dotZ(d)); double x = r.X * t + r.X * (1 - t); double y = r.Y * t + r.Y * (1 - t); p.Points.Add(new Point(x, y)); if (p.Points.Count == 2) return p; } // Ребро 3 if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d) < _l) || (dotZ(d) > _l && dotZ(d) <= _l)) { double t = (_l - dotZ(d)) / (dotZ(d) - dotZ(d)); double x = r.X * t + r.X * (1 - t); double y = r.Y * t + r.Y * (1 - t); p.Points.Add(new Point(x, y)); } return p; } ///

/// Добавление пары точек в линию уравня ///

/// Линия уровня internal void AddIntoLineLevel(LineLevel _lL) { PairOfPoints lp = ByLevel(_lL.Level); if (lp.Points.Count > 0) _lL.Pairs.Add(lp); } } }
Для демонстрации работы класса предлагается небольшое тестовое приложение WPF, которое строит линии уровня для функции вида: z = x^2 + y^2 на сетке 10 на 10.

Файл MainWindow.xaml:

И файл кода MainWindow.xaml.cs:

Using System.Linq; using System.Windows; using System.Windows.Controls; using System.Windows.Media; using System.Windows.Shapes; namespace WpfLinesLevels { ///

/// Логика взаимодействия для MainWindow.xaml ///

public partial class MainWindow: Window { private double Xmax; private double Xmin; private double Ymax; private double Ymin; private double xSt; private double ySt; public MainWindow() { InitializeComponent(); // Определение уровней, которые будут отображаться double levels = { 5, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 }; double[,] X = new double; double[,] Y = new double; double[,] Z = new double; // Переменные для пересчета физических координат в экранные Xmax = 10; Xmin = 0; Ymax = 10; Ymin = 0; xSt = 525 / (Xmax - Xmin); ySt = 525 / (Ymax - Ymin); // Определение массивов координат и функции for (int k = 0; k < 10; k++) for (int j = 0; j < 10; j++) { X = j; Y = k; Z = j * j + k * k; } // Создание изолиний LinesOfLevels lol = new LinesOfLevels(levels, X, Y, Z); // Их расчет lol.Calculate(); // Построение DrowLevelLine(lol, X, Y); } ///

/// Метод построения изолиний ///

/// Расчитанный объект с изолиниями /// массив X координат /// массив Y координат private void DrowLevelLine(LinesOfLevels lL, double[,] x, double[,] y) { Canvas can = new Canvas(); foreach (LineLevel l in lL.Lines) { foreach (PairOfPoints pp in l.Pairs) { if (pp.Points.Count() == 2) { Line pl = new Line(); pl.Stroke = new SolidColorBrush(Colors.BlueViolet); pl.X1 = xCalc(pp.Points.X); pl.X2 = xCalc(pp.Points.X); pl.Y1 = yCalc(pp.Points.Y); pl.Y2 = yCalc(pp.Points.Y); can.Children.Add(pl); } } } can.Margin = new Thickness(10, 10, 10, 10); can.VerticalAlignment = VerticalAlignment.Stretch; can.HorizontalAlignment = HorizontalAlignment.Stretch; grid1.Children.Add(can); } ///

/// Пересчет физической координаты X в экранную ///

/// Физическая кордината X /// Экранная координата X private double xCalc(double _x) { return xSt * (_x - Xmin); } ///

/// Пересчет физической координаты Y в экранную ///

/// Физическая кордината Y /// Экранная координата Y private double yCalc(double _y) { return ySt * (Ymax - _y); } } }
Результат работы тестового примера представлен на рисунке.

Чтобы

нескольких функций

скачать график

Построение графика функции онлайн

моментально .

Онлайн сервис моментально рисует график

Поддерживаются абсолютно все математические функции

Тригонометрические функции
		Косеканс	Котангенс	Арксинус	Арккосинус	Арктангенс	Арксеканс	Арккосеканс	Арккотангенс

Гиперболические функции

Прочее
Натуральный логарифм	Логарифм	Квадратный корень				Округление в меньшую сторону		Округление в большую сторону

Минимум				Максимум
min(выражение1,выражение2,…)				max(выражение1,выражение2,…)

Построить график функции

Построение поверхности 3D

Введите уравнение

Построим поверхность, заданную уравнением f(x, y, z) = 0, где a < x < b, c < y < d, m < z < n.

Другие примеры:

y = x^2
z = x^2 + y^2
0.3 * z^2 + x^2 + y^2 = 1
z = sin((x^2 + y^2)^(1/2))
x^4+y^4+z^4-5.0*(x^2+y^2+z^2)+11.8=0

Канонический вид кривой и поверхности

Вы можете определить вид кривой и поверхности 2-го порядка онлайн с подробным решением:

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x| ) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция — экспонента от x (что и e ^x ) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x) , надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x) =log(x)/log(10)) pi Число — "Пи", которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа вводить в виде 7.5 , не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание

Как построить график функции онлайн на этом сайте?

Чтобы построить график функции онлайн , нужно просто ввести свою функцию в специальное поле и кликнуть куда-нибудь вне его. После этого график введенной функции нарисуется автоматически. Допустим, вам требуется построить классический график функции «икс в квадрате». Соответственно, нужно ввести в поле «x^2».

Если вам нужно построить график нескольких функций одновременно, то нажмите на синюю кнопку «Добавить еще». После этого откроется еще одно поле, в которое надо будет вписать вторую функцию. Ее график также будет построен автоматически.

Цвет линий графика вы можете настроить с помощью нажатия на квадратик, расположенный справа от поля ввода функции. Остальные настройки находятся прямо над областью графика. С их помощью вы можете установить цвет фона, наличие и цвет сетки, наличие и цвет осей, наличие рисок, а также наличие и цвет нумерации отрезков графика. Если необходимо, вы можете масштабировать график функции с помощью колесика мыши или специальных иконок в правом нижнем углу области рисунка.

После построения графика и внесения необходимых изменений в настройки, вы можете скачать график с помощью большой зеленой кнопки «Скачать» в самом низу. Вам будет предложено сохранить график функции в виде картинки формата PNG.

Зачем нужно строить график функции?

На этой странице вы можете построить интерактивный график функции онлайн .

Построить график функции онлайн

Построение графика функции позволяет увидеть геометрический образ той или иной математической функции. Для того чтобы вам было удобнее строить такой график, мы создали специальное онлайн приложение. Оно абсолютно бесплатно, не требует регистрации и доступно для использования прямо в браузере без каких-либо дополнительных настроек и манипуляций. Строить графики для разнообразных функций чаще всего требуется школьникам средних и старших классов, изучающим алгебру и геометрию, а также студентам первых и вторых курсов в рамках прохождения курсов высшей математики. Как правило, данный процесс занимает много времени и требует кучу канцелярских принадлежностей, чтобы начертить оси графика на бумаге, проставить точки координат, объединить их ровной линией и т.д. С помощью данного онлайн сервиса вы сможете рассчитать и создать графическое изображение функции моментально .

Как работает графический калькулятор для графиков функций?

Онлайн сервис работает очень просто. В поле на самом верху вписывается функция (т.е. само уравнение, график которого необходимо построить). Сразу после ввода приложение моментально рисует график в области под этим полем. Все происходит без обновления страницы. Далее, можно внести различные цветовые настройки, а также скрыть/показать некоторые элементы графика функции. После этого, готовый график можно скачать, нажав на соответствующую кнопку в самом низу приложения. На ваш компьютер будет загружен рисунок в формате.png, который вы сможете распечатать или перенести в бумажную тетрадь.

Какие функции поддерживает построитель графиков?

Поддерживаются абсолютно все математические функции , которые могут пригодиться при построении графиков. Тут важно подчеркнуть, что в отличии от классического языка математики принятого в школах и ВУЗах, знак степени в рамках приложения обозначается международным знаком «^». Это обусловлено отсутствием на клавиатуре компьютера возможности прописать степень в привычном формате. Далее приведена таблица с полным списком поддерживаемых функций.

Приложением поддерживаются следующие функции:

Тригонометрические функции
		Косеканс	Котангенс	Арксинус	Арккосинус	Арктангенс	Арксеканс	Арккосеканс	Арккотангенс

Гиперболические функции

Прочее
Натуральный логарифм	Логарифм	Квадратный корень				Округление в меньшую сторону		Округление в большую сторону

Минимум				Максимум
min(выражение1,выражение2,…)				max(выражение1,выражение2,…)

Примеры. Построить линии уровня функций, соответствующие значениям

Построить линии уровня функций, соответствующие значениям .

Полагая , получим уравнения соответствующих линий уровня:

Построив эти линии в декартовой системе координат хОу, получим прямые, параллельные биссектрисе второго и четвертого координатных углов (рис.1)

Напишем уравнения линий уровня:

, , , и .

Построив их в плоскости хОу, получим концентрические окружности с центром в начале координат (рис.2)

Линии уровня этой функции , , , и представляют собой параболы, симметричные относительно Оу с общей вершиной в начале координат (рис. 3).

2. Производная по направлению

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в данном направлении.

Для характеристики скорости изменения поля в направлении вектора вводят понятие производной поля по направлению.

Рассмотрим функцию в точке и точке .

Проведем через точки и вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Пусть: z - переменная величина с областью изменения R; R- числовая прямая; D - область на координатной плоскости R2.

Любое отображение D->R называют функцией двух переменных с областью определения D и пишут z = f(x;y).

Другими словами:

Если каждой паре (х; у) двух независимых переменных из области D по некоторому правилу ставится в соответствие одно определенное значение z из R, то переменную величину z называют функцией двух независимых переменных х и у с областью определения D и пишут

http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" height="32 src=">

П р и м е р 1.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" height="29 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" align="left" width="110" height="89">

Область определения – есть часть плоскости, лежащая внутри круга радиуса г = 3 , с центром в начале координат, см. рисунок.

П р и м е р 3. Найти и изобразить область определения функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" height="32 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" height="30 src=">

2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ

ПЕРЕМЕННЫХ

2.1.График функции двух переменных

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат и область D на плоскости хОу. В каждой точке М(х;у) из этой области восстановим перпендикуляр к плоскости хОу и отложим на нем значение z = f(x; у). Геометрическое место полученных точек

http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" height="23 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" height="23 src=">

Это окружности с центром в начале координат, радиусом R = C1/2 и уравнением

x2 + y2 = R2, см. рисунок.

Линии уровня позволяют представить рассматриваемую поверхность, дающую в сечении плоскостями z = C концентрические окружности.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> и найти .

Решение. Воспользуемся методом сечений.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60">– в плоскости – парабола.

– в плоскости –парабола.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" height="24 src=">– окружность.

Искомая поверхность – параболоид вращения.

Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова) пространства называется число

http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 height=24" height="24"> называется открытым кругом радиуса с центром в точке r.

Открытый круг радиуса ε с центром в точке A называется - ε - окрестностью точки А.

3адание

Найти и изобразить графически область определения функции:

Построить линии уровня функций:

3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия математического анализа, введенные для функции одной переменной, распространяются и на функции нескольких переменных.

О п р е д е л е н и е:

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных z = f(x;у) при х -> х0, у -> у0, если для любого

ε >0 существует δ >0 такое, что |f(х; у) - А| < ε , как только

|x - x0| < δ и |у – у0| < δ.

Этот факт обозначается так:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" height="39 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" height="25 src=">. Для функции двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.

П р и м е р 1. Найти .

Решение. Пусть стремление к предельной точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24">. Тогда

http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> зависит от .

П р и м е р 2. Найти .

Решение. По любой прямой предел один и тот же:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29">. Тогда

http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">, (остальное – по аналогии).

О п р е д е л е н и е. Число называют пределом функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство . Этот факт коротко записывают так:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" height="48">.gif" width="236" height="48 src=">;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" height="60 src=">,

где предельная точка http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" height="24 src="> с областью определения и пусть – предельная точка множества , т. е точка, к которой стремятся аргументы х и у .

О п р е д е л е н и е 1. Говорят, что функция непрерывна в точке, если:

1) ;

2) , т. е. .

Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24">непрерывна в точке, если выполняется равенство

http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="15 height=16" height="16"> придадим произвольное приращение . Функция получит частное приращение по х

http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> является функцией одной переменной . Аналогично,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> называется непрерывной в точке по переменной (по переменной ), если

http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" height="36">).

Теорема. Если функция определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных.

Обратное утверждение неверно.

П р и м е р. Докажем, что функция

непрерывна в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 height=16" height="16">.gif" width="57" height="24"> в точке , соответствующее приращению http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" height="36 src=">, а это означает, что непрерывна в точке по переменной .

Аналогично можно доказать непрерывность в точке по переменной .

Покажем, что предел не существует. Пусть точка стремиться к точке по прямой , проходящей через точку . Тогда получим

Таким образом, приближаясь к точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20">, получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке не существует, а значит, функция http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">

Другие обозначения

http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" height="55 src=">

Другие обозначения

http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" height="28 src=">.

Решение . Имеем:

П р и м е р 2.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" height="51 src=">

П р и м е р 3. Найти частные производные функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" height="58 src=">

Пример 4. Найти частные производные функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" height="54 src=">

5.2. Дифференциалы первого порядка функции двух переменных

Частные дифференциалы функции z = f(x, у) по переменным х и у определяются, соответственно по формулам х(x;y) и f"у{x;y) существуют в точке (х0;у0) и в некоторой ее окрестности и непрерывны в этой точке, то по аналогии с функцией одной переменной устанавливается формула для полного приращения функции двух переменных

http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" height="57 src=">

где http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">

Другими словами, функция z = f(x, y) дифференцируема в точке, (х, у), если ее приращение Δz эквивалентно функции:

Выражение

http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" height="57 src=">

С учетом того, что Δх = dx, Δy=dy:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" height="24 src="> дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно, т. е. непрерывность является только необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. Покажем это.

П р и м е р. Найдем частные производные функции http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src=">.

Полученные формулы теряют смысл в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" height="33 src="> не имеет частных производных в точке . В самом деле, . Эта функция одной переменной , как известно, не имеет производной в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> в точке не существует. Аналогично, не существует частная производная . При этом функция , очевидно, непрерывна в точке .

Итак, мы показали, что непрерывная функция может не иметь частных производных. Осталось установить связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.

5.4. Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.

Теорема 1. Необходимое условие дифференцируемости.

Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке M(x, y), то она имеет в точке M частные производные по каждой переменной и .

Обратная теорема не верна, т. е. существование частных производных является необходимым, но не является достаточным условием дифференцируемости функции.

Теорема 2. Достаточное условие дифференцируемости. Если функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в точке (и ее полный дифференциал в этой точке выражается формулой http://pandia.ru/text/78/481/images/image130.gif" width="101 height=29" height="29">

Пример 2. Вычислить 3,021,97

3адание

Вычислить приближенно при помощи дифференциала:

5.6. Правила дифференцирования сложных и неявных функций. Полная производная.

Случай 1.

z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)

Функции u и v непрерывные функции от аргументов х, у.

Таким образом, функция z есть сложная функция от аргументов х и у: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

Предположим, что функции f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.

Поставим задачу вычислить http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src=">.

Дадим аргументу x приращение Δx, фиксируя значение аргумента y. Тогда функции двух переменных u= φ(x, y) и

v= φ(x, y) получат частные приращения Δxu и Δxv. Следовательно, z=f(u, v) получит полное приращение, определяемое в п.5.2 (дифференциалы первого порядка функции двух переменных):

http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" height="43 src=">

Если xu→ 0, то Δxu → 0 и Δxv → 0 (в силу непрерывности функций u и v). Переходя к пределу при Δx→ 0, получим:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" height="44 src="> (*)

П р и м е р.

Z=ln(u2+v), u=ex+y ² , v=x2 + y;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" height="41 src=">.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" height="44 src=">.gif" width="45" height="44 src=">.

Тогда по формуле (*) получим:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" height="44 src=">.

Для получения окончательного результата в две последние формулы вместо u и v необходимо подставить еx+y² и x2+y, соответственно.

Случай 2.

Функции х и у непрерывные функции.

Таким образом, функция z=f(x, у) зависит через посредство х и у от одной независимой переменной t, т. е. допустим, что х и у суть не независимые переменные, но функции независимой переменной t, и определим производную http://pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" height="44 src=">

Разделим обе части этого равенства на Δt:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" height="44 src="> (**)

Случай 3.

Предположим, теперь, что роль независимой переменной t играет переменная х, т. е. что функция z=f(x, у) зависит от независимой переменной х как непосредственно, так и через посредство переменной у, которая является непрерывной функцией от х.

Принимая во внимание, что http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)

Производная x(x, у)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.

Находим частные производные

http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" height="48 src=">.gif" width="383" height="48 src=">

Доказанное правило дифференцирования сложных функций применяется для нахождения производной, неявной функции.

Производная от функции, заданной неявно.

Положим, что уравнение

определяет у как неявную функцию от х, имеющую производную

у’ = φ’(x)_

Подставляя у = φ (х) в уравнение F(x, y) = 0, мы должны были бы получить тождество 0 = 0, так как у = φ(х) есть решение этого уравнения. Мы видим, таким образом, что постоянную нуль можно рассматривать как сложную функцию от х, которая зависит от х как непосредственно, так и через посредство у =φ(х).

Производная по х от этой постоянной должна равняться нулю; применяя правило (***), получим

F’x(x, y) + F’y(x, y)·y’ = 0,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" height="41 src=">

Следовательно,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> справедливо как для одной, так и для другой функции.

5.7. Полный дифференциал первого порядка. Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Подставим выражения для http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> определенные равенствами (*) (см. случай 1 в п.5.6 «Правила дифференцирования сложных и неявных функций. Полная производная») в формулу полного дифференциала

Gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="140" height="44 src=">

Тогда формула полного дифференциала первого порядка функции двух переменных имеет вид

http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" height="41 src=">

Сравнивая последнее равенство с формулой для первого дифференциала функции двух независимых переменных, можем сказать, что выражение полного дифференциала первого порядка функции нескольких переменных имеет тот же вид, которое он имел бы, если бы u и v были бы независимыми переменными.

Иначе говоря, форма первого дифференциала инвариантна, то есть не зависит от того, являются ли переменные u и v независимыми переменными, или зависят от других переменных.

П р и м е р.

Найти полный дифференциал первого порядка сложной функции

z=u2v3, u=x2·sin y , v=x3·ey.

Р е ш е н и е. По формуле для полного дифференциала первого порядка имеем

dz = 2uv3·du+3u2v2·dv =

2uv3·(2x·siny ·dx+x2·cosy ·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).

Это выражение можно переписать так

dz=(2uv3·2x·siny+3u2v2·3x2·ey)·dx+(2uv3x2·cosy+3u2v2x3·ey)·dy=

Свойство инвариантности дифференциала позволяет распространить правило нахождения дифференциала суммы, произведения и частного на случай функции от нескольких переменных:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" height="46 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" height="41 src=">. Эта

функция будет однородной третьей степени при всех вещественных х, у и t. Такой же функцией будет и любой однородный многочлен от х и у третьей степени, т. е. такой многочлен, в каждом члене которого сумма показателей хну равна трем:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" height="47 src=">

суть однородные функции степеней соответственно 1, 0 и (- 1)..jpg" width="36" height="15">. Действительно,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" height="29 src=">

Полагая t=1, находим

http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" height="22 src=">

Частные производные http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">), вообще го-

воря, являются функциями переменных х и у. Поэтому от них можно снова находить частные производные. Следовательно, частных производных второго порядка от функции двух переменных четыре, так как каждую из функций и можно дифференцировать как по х, так и по у.

Вторые частные производные обозначают так:

есть производная n - го порядка; здесь функция z сначала р раз дифференцировалась по х, а потом n - р раз по у.

Для функции любого числа переменных частные производите высших порядков определяются аналогично.

П р и м е р 1. Вычислить частные производные второго порядка от функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" height="87 src=">

П р и м е р 2. Вычислить и http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">

П р и м е р 3. Вычислить , если

http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" height="36 src=">

x, f"y, f"xy и f"yx определены и непрерывны в точке М(х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width="50 height=28" height="28">.jpg" width="523" height="128 src=">

Следовательно,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" height="30 src=">

Решение.

Смешанные производные равны.

5.10. Дифференциалы высших порядков функции n переменных .

Полный дифференциал du функции от нескольких переменных есть в свою очередь функция тех же переменных, и мы можем определить полный дифференциал этой последней функции. Таким образом, мы получим дифференциал второго порядка d2u первоначальной функции и, который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет нас к дифференциалу третьего порядка d3u первоначальной функции и т. д.

Рассмотрим подробнее случай функции u=f(x, у) двух переменных х и у и будем предполагать, что переменные х и у суть независимые переменные. По определению

http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" height="186 src=">

Вычисляя точно так же d3u, мы получим

http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" height="61 src="> (*)-

причем формулу эту надо понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, надо возвести в степень n, применяя Формулу бинома Ньютона, после чего показатели степеней у и http://pandia.ru/text/78/481/images/image235.jpg" width="22" height="21 src=">.gif" width="22" height="27"> с направляющими косинусами cos α, cos β (α + β = 90°). На векторе рассмотрим точку М1(х + Δх; у + Δу). При переходе от точки М к точке М1 функция z = f(x; у) получит полное приращение

http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> стремящемся к нулю (см. рис.).

http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" height="54 src=">

где http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" height="41 src=">, а потому получаем:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" height="41 src="> при Δs->0 называется произ-

водной функции z = f(х; у) в точке (х; у) по направлению вектора и обозначается

http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" height="51 src="> (*)

Таким образом, зная частные производные функции

z = f(x; у) можно найти производную этой функции по любому направлению, а каждая частная производная является частным случаем производной по направлению.

П р и м е р. Найти производную функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" height="56 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" height="59 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" width="253 height=62" height="62">

Следовательно, функция z = f(x;y) в данном направлении возрастает.

5. 12 . Градиент

Градиентом функции z = f(x; у) называется вектор , координатами которого являются соответствующие частные производные данной функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" height="56 src=">

т. е..jpg" width="89" height="33 src=">

в точке М(3;4).

Р е ш е н и е.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" height="56 src=">

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО МАТАНАЛИЗУ

Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.

Определение 1.1. Переменная z (с областью изменения Z ) называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М , если каждой паре (х,у ) из множества М z из Z .

Определение 1.2. Множество М , в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции , а сами х,у – ее аргументами .

Обозначения: z = f (x , y ), z = z (x , y ).

Примеры.

Замечание. Так как пару чисел (х,у ) можно считать координатами некоторой точки на плоскости, будем впоследствии использовать термин «точка» для пары аргументов функции двух переменных, а также для упорядоченного набора чисел
, являющихся аргументами функции нескольких переменных.

Определение 1.3. . Переменная z (с областью изменения Z ) называется функцией нескольких независимых переменных
в множествеМ , если каждому набору чисел
из множестваМ по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z . Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных.

Обозначения: z = f
,z = z
.

Геометрическое изображение функции двух переменных.

Рассмотрим функцию

z = f (x , y ) , (1.1)

определенную в некоторой области М на плоскости Оху . Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами (x , y , z ) , где , является графиком функции двух переменных. Поскольку уравнение (1.1) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции.

z = f(x,y)

M y

Замечание . Для функции трех и более переменных будем пользоваться термином «поверхность в n -мерном пространстве», хотя изобразить подобную поверхность невозможно.

Линии и поверхности уровня.

Для функции двух переменных, заданной уравнением (1.1), можно рассмотреть множество точек (х,у) плоскости Оху , для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня .

Пример.

Найдем линии уровня для поверхности z = 4 – x ² - y ². Их уравнения имеют вид x ² + y ² = 4 – c (c =const) – уравнения концентрических окружностей с центром в начале координат и с радиусами
. Например, прис =0 получаем окружность x ² + y ² = 4 .

Для функции трех переменных u = u (x , y , z ) уравнение u (x , y , z ) = c определяет поверхность в трехмерном пространстве, которую называют поверхностью уровня .

Пример.

Для функции u = 3x + 5y – 7z –12 поверхностями уровня будет семейство параллельных плоскостей, задаваемых уравнениями

3x + 5y – 7z –12 + с = 0.

Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Введем понятие δ-окрестности точки М 0 (х 0 , у 0 ) на плоскости Оху как круга радиуса δ с центром в данной точке. Аналогично можно определить δ-окрестность в трехмерном пространстве как шар радиуса δ с центром в точке М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ) . Для n -мерного пространства будем называть δ-окрестностью точки М 0 множество точек М с координатами
, удовлетворяющими условию

где
- координаты точкиМ 0 . Иногда это множество называют «шаром» в n -мерном пространстве.

Определение 1.4. Число А называется пределом функции нескольких переменных f
в точкеМ 0 , если

такое, что | f (M ) – A | < ε для любой точки М из δ-окрестности М 0 .

Обозначения:
.

Необходимо учитывать, что при этом точка М может приближаться к М 0 , условно говоря, по любой траектории внутри δ-окрестности точки М 0 . Поэтому следует отличать предел функции нескольких переменных в общем смысле от так называемых повторных пределов , получаемых последовательными предельными переходами по каждому аргументу в отдельности.

Примеры.

Замечание . Можно доказать, что из существования предела в данной точке в обычном смысле и существования в этой точке пределов по отдельным аргументам следует существование и равенство повторных пределов. Обратное утверждение неверно.

Определение 1.5. Функция f
называетсянепрерывной в точке М 0
, если
(1.2)

Если ввести обозначения

То условие (1.2) можно переписать в форме

(1.3)

Определение 1.6. Внутренняя точка М 0 области определения функции z = f (M ) называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполняются условия (1.2), (1.3).

Замечание. Множество точек разрыва может образовывать на плоскости или в пространстве линии или поверхности разрыва .