Решение задач линейного программирования. Графический метод решения задач

На этом уроке будем знакомиться с графическим методом решения задач линейного программирования , то есть, таких задач, в которых требуется найти такое решения системы линейных уравнений и (или) неравенств (системы ограничений), при котором функция цели - линейная функция - принимает оптимальное значение.

Ввиду того, что наглядность графического решения достигается лишь на плоскости, мы можем познакомиться с графическим представлением задачи только в двумерном пространстве. Это представление пригодно для системы ограничений-неравенств с двумя переменными или для систем уравнений, в которых число переменных на 2 превышает число уравнений, то есть число свободных переменных равно двум.

Поэтому графический метод имеет такие узкие рамки применения, что о нём как об особом методе решения задач линейного программирования говорить нельзя.

Однако для выработки наглядных представлений о решениях задач линейного программирования графический метод представляет определённый интерес. Кроме того, он позволяет геометрически подтвердить справедливость теорем линейного программирования .

Теоретические основы графического метода

Итак, задача линейного программирования. Требуется найти неотрицательные значения переменных и , удовлетворяющих системе неравенств

при которых линейная форма принимает оптимальное значение.

Пример 3.

Пример 4. Решить графическим методом задачу линейного программирования, в которой требуется найти минимум функции при ограничениях

Продолжаем решать задачи графическим методом вместе

До сих пор полученные выводы были основаны на том, что множество решений задачи линейного программирования сконфигурировано так, что оптимальное решение конечно и единственно. Теперь рассмотрим примеры, когда это условие нарушается. В этих примерах многоугольник решений строится так, как показано в предыдущих примерах, остановимся же на признаках, которые отличают эти исключительные примеры.

Пример 5. Решить графическим методом задачу линейного программирования, в которой требуется найти максимум функции при ограничениях

Решение. На рисунке изображены: неограниченная многогранная область решений данной системы ограничений, исходная линия уровня (чёрного цвета), вектор (бордового цвета), указывающий направление движения исходной линии уровня для нахождения максимума целевой функции.

Легко заметить, что функция F может неограниченно возрастать при заданной системе ограничений, поэтому можно условно записать, что .

Пример 6. Решить графическим методом задачу линейного программирования, в которой требуется найти максимум функции при ограничениях

Краткая теория

Линейное программирование - раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений. Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений.

Графический метод решения задач линейного программирования дает возможность наглядно представить их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств. Задачу линейного программирования с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трехмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность которых больше трех, графическое решение, вообще говоря, невозможно. Случай двух переменных не имеет особого практического значения, однако его рассмотрение проясняет свойства ограничений ЗЛП, приводит к идее ее решения, делает геометрически наглядными способы решения и пути их практической реализации.

Если ограничения и целевая функция содержит более двух переменных, тогда необходимо (или методом последовательного улучшения решения) - он универсален и им можно решить любую ЗЛП. Для некоторых прикладных задач линейного программирования, таких как , разработаны специальные методы решения.

Пример решения задачи

Условие задачи

Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие 1 и Изделие 2. На изготовление единицы Изделия 1 требуется затратить кг сырья первого типа, кг сырья второго типа, кг сырья третьего типа. На изготовление единицы Изделия 2 требуется затратить кг первого типа, сырья второго типа, сырья третьего типа. Производство обеспечено сырьем каждого типа в количестве кг, кг, кг соответственно. Рыночная цена единицы Изделия 1 составляет тыс руб., а единицы Изделия 2 - тыс. руб.

Требуется:

Построить математическую модель задачи.
Составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную выручку от их реализации при помощи графического метода решения задачи линейного программирования.

Чтобы решение задачи по линейному программированию было максимально точным и верным, многие недорого заказывают контрольную работу на этом сайте. Подробно (как оставить заявку, цены, сроки, способы оплаты) можно почитать на странице Купить контрольную работу по линейному программированию...

Решение задачи

Построение модели

Через и обозначим количество выпускаемых изделий 1-го и 2-го типа.

Тогда ограничения на ресурсы:

Кроме того, по смыслу задачи

Целевая функция экономико-математической модели, выражающая получаемую от реализации выручку:

Получаем следующую экономико-математическую модель:

Построение области допустимых решений

Решим полученную задачу линейного программирования графическим способом:

Для построения области допустимых решений строим в системе координат соответствующие данным ограничениям-неравенствам граничные прямые:

Найдем точки, через которые проходят прямые:

Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.

Для определения полуплоскости возьмём любую точку, например , не принадлежащую прямой (1), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к. неравенство верно:

Области решений соответствующего 1-го неравенства соответствует левая полуплоскость

Возьмём любую точку, например , не принадлежащую прямой (2), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к. неравенство верно:

Возьмём любую точку, например , не принадлежащую прямой (3), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к. неравенство верно:

Области решений соответствующего 2-го неравенства соответствует левая полуплоскость

Областью допустимых решений является фигура .

Нахождение решения задачи ЛП

Строим вектор , координаты которого пропорциональны коэффициентам целевой функции. Здесь - коэффициент пропорциональности.

Перпендикулярно к построенному вектору проводим линию уровня .

Перемещаем линию уровня в направлении вектора так, чтобы она касалась области допустимых решений в крайней точке. Решением на максимум является точка , координаты которой находим как точку пересечения прямых (2) и (1).

Ответ

Таким образом необходимо выпускать 56 изделий 1-го вида и 64 изделия 2-го вида. При этом выручка от реализации изделий будет максимальна и составит 5104 ден.ед.

Метод графического решения, если задача с двумя переменными имеет линейные ограничения, а целевая функция - квадратичная, подробно рассмотрен здесь
На странице подробно разобрано решение задачи линейного программирования симплексным методом, кроме того, показано построение двойственной задачи линейного программирования и нахождение ее решения по решению прямой задачи.

Транспортная задача и метод потенциалов
Подробно рассмотрена транспортная задача, ее математическая модель и методы решения - нахождение опорного плана методом минимального элемента и поиск оптимального решения методом потенциалов.

Выпуклое программирование - графический метод
Приведен образец решения задачи квадратичного выпуклого программирования графическим методом.

Рассмотрим сначала простейший случай, когда в ЗЛП включены ровно две переменные:

Каждое из неравенств (a)-(b) системы ограничений задачи (3.8) геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми , Х 1 =0 и Х 2 =0. Каждая из граничных прямых делит плоскость х 1 Ох 2 на две полуплоскости. Все решения исходного неравенства лежат в одной из образованных полуплоскостей (все точки полуплоскости) и, следовательно, при подстановке координат любой ее точки в соответствующее неравенство обращает его в верное тождество. С учетом этого и определяется та полуплоскость, в которой лежат решения неравенства, т.е. путем выбора любой точки из какой-либо полуплоскости и подстановки ее координат в соответствующее неравенство. Если неравенство выполняется для данной точки, то оно выполняется и для любой другой точки из этой же полуплоскости. В противном случае решения неравенства лежат в другой полуплоскости.

В том случае, если система неравенств (a)-(b) совместна, то область её решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Так как множество точек пересечения данных полуплоскостей выпуклое, то область допустимых решений задачи (3.8) является выпуклое множество, которое называется многоугольником решений (введённый ранее термин “многогранник решений” обычно употребляется, если n 3). Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки точных равенств.

Таким образом, исходная ЗЛП состоит в нахождении такой точки многоугольника решений, в которой целевая функция F принимает максимальное (минимальное) значение.

Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нём целевая функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение. Для определения данной вершины строят линию уровня L: c 1 x 1 +c 2 x 2 =h (где h – некоторая постоянная), перпендикулярную вектору-градиенту и проходящую через многоугольник решений, и передвигают её параллельно вдоль вектора-градиента до тех пор, пока она не пройдёт через последнюю её общую точку пересечения с многоугольником решений (при построении вектора-градиента откладывают точку (с 1 ; с 2) в плоскости х 1 Ох 2 и проводят к ней из начала координат направленный отрезок). Координаты указанной точки и определяют оптимальный план данной задачи.

Суммируя все выше изложенное, приведем алгоритм графического метода решения ЗЛП.

Алгоритм графического метода решения ЗЛП

1. Построить многоугольник решений, задаваемый системой ограничений исходной ЗЛП.

2. Если построенный многоугольник решений – пустое множество, то исходная ЗЛП решений не имеет. В противном случае построить вектор-градиент и провести произвольную линию уровня L, перемещая которую при решении задачи на максимум в направлении вектора (или в обратном направлении для задачи на минимум) определить крайнюю точку многоугольника решений, где и достигается максимум (минимум) целевой функции задачи.

3. Вычислить координаты найденной оптимальной точки , решив систему уравнений двух граничных прямых, пересекающихся в ней.

4. Подстановкой найденного оптимального решения в целевую функцию задачи вычислить оптимальное ее значение, т.е.: .

При графическом построении множества допустимых решений ЗЛП (многоугольника решений) возможны следующие ситуации.

Наиболее простым и наглядным методом решения задачи линейного программирования (ЗЛП) является графический метод. Он основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется при решении ЗЛП с двумя неизвестными:

Будем рассматривать решение этой задачи на плоскости. Каждое неравенство системы функциональных ограничений геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой а п х, + + a j2 х 2 = b n i = 1, т. Условия неотрицательности определяют полуплоскости с граничными прямыми х { = 0, х 2 = 0 соответственно. Если система совместна, то полуплоскости, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек; координаты каждой из этих точек являются решением данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, ограниченным и неограниченным многоугольником.

Геометрически ЗЛП представляет собой отыскание такой угловой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют максимальное (минимальное) значение линейной целевой функции, причем допустимыми решениями являются все точки многоугольника решений.

Линейное уравнение описывает множество точек, лежащих на одной прямой. Линейное неравенство описывает некоторую область на плоскости.

Определим, какую часть плоскости описывает неравенство 2х { + Зх 2 12.

Во-первых, построим прямую 2х, + Зх 2 = 12. Она проходит через точки (6; 0) и (0; 4). Во-вторых, определим, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству. Для этого выбираем любую точку на графике, не принадлежащую прямой, и подставляем ее координаты в неравенство. Если неравенство будет выполняться, то данная точка является допустимым решением и полуплоскость, содержащая точку, удовлетворяет неравенству. Для подстановки в неравенство удобно использовать начало координат. Подставим х { = х 2 = 0 в неравенство 2х, + Зх 2 12. Получим 2 0 + 3 0

Аналогично графически можно изобразить все ограничения задачи линейного программирования.

Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений (ОДР) или областью определения.

Необходимо помнить, что область допустимых решений удовлетворяет условиям неотрицательности (Xj > 0, j = 1, п). Координаты любой точки, принадлежащей области определения, являются допустимым решением задачи.

Для нахождения экстремального значения целевой функции при графическом решении ЗЛП используют вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции:

Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой функции. Прямая c [ x l + с 2 х 2 = f(x 0), перпендикулярная вектору-градиенту, является линией уровня целевой функции (рис. 2.2.2). В любой точке линии уровня целевая функция принимает одно и то же значение. Приравняем целевую функцию постоянной величине а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.

Рис. 2.2.2.

Важное свойство линии уровня линейной функции состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уровень только возрастает, а при смещении в д р у г у ю сторону - только убывает.

Графический метод решения ЗЛП состоит из четырех этапов:

1. Строится область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.
2. Строится вектор-градиент целевой функции (ЦФ) с началом в точке х 0 (0; 0): V = (с, с 2).
3. Линия уровня CjXj + с 2 х 2 = а (а - постоянная величина) - прямая, перпендикулярная вектору-градиенту V, - передвигается в направлении вектора-градиента в случае максимизации целевой функции f(x v х 2) до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. При минимизации /(*, х 2) линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Крайняя точка (или точки) ОДР при этом движении и является точкой максимума (минимума) f(x p jc 2).

Если прямая, соответствующая линии уровня, при своем движении не покидает ОДР, то минимума (максимума) функции f(x р х 2) не существует.

Если линия уровня целевой функции параллельна функциональному ограничению задачи, на котором достигается оптимальное значение ЦФ, то оптимальное значение ЦФ будет достигаться в любой точке этого ограничения, лежащей между двумя оптимальными угловыми точками, и, соответственно, любая из этих точек является оптимальным решением ЗЛП.

4. Определяются координаты точки максимума (минимума). Для этого достаточно решить систему уравнений прямых, дающих в пересечении точку максимума (минимума). Значение f(x { , х 2), найденное в полученной точке, является максимальным (минимальным) значением целевой функции.

Возможные ситуации графического решения ЗЛП представлены в табл. 2.2.1.

Таблица 2.2.1

Вид ОДР	Вид оптимального решения
Ограниченная	Единственное решение
Ограниченная	Бесконечное множество решений
Неограниченная	ЦФ не ограничена снизу
	ЦФ не ограничена сверху
	Единственное решение
	Бесконечное множество решений
	Единственное решение
	Бесконечное множество решений

Пример 2.2.1. Планирование выпуска продукции пошивочного предприятия (задача о костюмах).

Намечается выпуск двух видов костюмов - мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человекодень трудозатрат; на мужской - 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человекодень трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человекодней трудозатрат.

Требуется определить, сколько костюмов каждого вида необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 ден. ед., а от мужского - 20 ден. ед. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов.

Экономико-математическая модель задачи

Переменные : х, - число женских костюмов; х 2 - число мужских костюмов.

Целевая функция :

Ограничения :

Первое ограничение (по шерсти) имеет вид х { + 3,5х 2 х { + 3,5х 2 = 350 проходит через точки (350; 0) и (0; 100). Второе ограничение (по лавсану) имеет вид 2х { + 0,5х 2 2х х + 0,5х 2 = 240 проходит через точки (120; 0) и (0; 480). Третье ограничение (по труду) имеет вид х у +х 2 150. Прямая х { + х 2 = 150 проходит через точки (150; 0) и (0; 150). Четвертое ограничение (по количеству мужских костюмов) имеет вид х 2 > 60. Решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая выше прямой х 2 = 60.

В результате пересечения построенных четырех полуплоскостей получаем многоугольник, который и является областью допустимых решений нашей задачи. Любая точка этого многоугольника удовлетворяет всем четырем функциональным неравенствам, а для любой точки вне этого многоугольника хотя бы одно неравенство будет нарушено.

На рис. 2.2.3 затенена область допустимых решений (ОДР). Для определения направления движения к оптимуму построим вектор- градиент V, координаты которого являются частными производными целевой функции:

Чтобы построить такой вектор, нужно соединить точку (10; 20) с началом координат. Для удобства можно строить вектор, пропорциональный вектору V. Так, на рис. 2.2.3 изображен вектор (30; 60).

Затем построим линию уровня 10xj + 20х 2 = а. Приравняем целевую функцию постоянной величине а. Меняя значение а , получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.

В линейном программировании используется графический метод, с помощью которого определяют выпуклые множества (многогранник решений). Если основная задача линейного программирования имеет оптимальный план, то целевая функция принимает значение в одной из вершин многогранника решений (см. рисунок).

Назначение сервиса . С помощью данного сервиса можно в онлайн режиме решить задачу линейного программирования геометрическим методом, а также получить решение двойственной задачи (оценить оптимальность использования ресурсов). Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Инструкция . Выберите количество строк (количество ограничений).

Если количество переменных больше двух, необходимо систему привести к СЗЛП (см. пример и пример №2). Если ограничение двойное, например, 1 ≤ x 1 ≤ 4 , то оно разбивается на два: x 1 ≥ 1 , x 1 ≤ 4 (т.е. количество строк увеличивается на 1).
Построить область допустимого решения (ОДР) можно также с помощью этого сервиса .

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Симплексный метод решения ЗЛП

Решение транспортной задачи
Решение матричной игры
С помощью сервиса в онлайн режиме можно определить цену матричной игры (нижнюю и верхнюю границы), проверить наличие седловой точки, найти решение смешанной стратегии методами: минимакс, симплекс-метод, графический (геометрический) метод, методом Брауна.
Экстремум функции двух переменных
Вычисление пределов

Решение задачи линейного программирования графическим методом включает следующие этапы :

На плоскости X 1 0X 2 строят прямые.
Определяются полуплоскости.
Определяют многоугольник решений;
Строят вектор N(c 1 ,c 2), который указывает направление целевой функции;
Передвигают прямую целевую функцию c 1 x 2 + c 2 x 2 = 0 в направлении вектора N до крайней точки многоугольника решений.
Вычисляют координаты точки и значение целевой функции в этой точке.

При этом могут возникать следующие ситуации:

Пример . Компания изготавливает два вида продукции - П1 и П2. Для производства продукции используются два вида сырья - С1 и С2. Оптовые цены единицы продукции равна: 5 д.е. для П1 и 4 д.е. для П2. Расход сырья на единицу продукции вида П1 и вида П2 дан в таблице.
Таблица - Расход сырья на производство продукции

Установлены ограничения на спрос продукции: ежедневный объем производства продукции П2 не должен превышать ежедневный объем производства продукции П1 не более чем на 1 тонну; максимальный ежедневный объем производства П2 не должен превышать 2 т.
Требуется определить:
Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Сформулировать математическую модель задачи линейного программирования.
Решить задачу линейного программирования графическим способом (для двух переменных).

Решение.
Сформулируем математическую модель задачи линейного программирования.
x 1 - производство продукции П1, ед.
x 2 - производство продукции П2, ед.
x 1 , x 2 ≥ 0

Ограничения по ресурсам
6x 1 + 4x 2 ≤ 24
x 1 + 2x 2 ≤ 6

Ограничения по спросу
x 1 +1 ≥ x 2
x 2 ≤ 2

Целевая функция
5x 1 + 4x 2 → max

Тогда получаем следующую ЗЛП:
6x 1 + 4x 2 ≤ 24
x 1 + 2x 2 ≤ 6
x 2 - x 1 ≤ 1
x 2 ≤ 2
x 1 , x 2 ≥ 0
5x 1 + 4x 2 → max