Решу егэ информатика задание 2. Объяснение нового материала

Определение 1

Логическая функция – функция, переменные которой принимают одно из двух значений: $1$ или $0$.

Любую логическую функцию можно задать с помощью таблицы истинности: набор всех возможных аргументов записывается в левой части таблицы, а соответствующие значения логической функции – в правой части.

Определение 2

Таблица истинности – таблица, которая показывает, какие значения примет составное выражение при всех возможных наборах значений простых выражений, входящих в него.

Определение 3

Равносильными называются логические выражения, последние столбцы таблиц истинности которых совпадают. Равносильность обозначается с помощью знака $«=»$.

При составлении таблицы истинности важно учитывать следующий порядок выполнения логических операций:

Рисунок 1.

Приоритетом в выполнении порядка выполнения операций пользуются скобки.

Алгоритм построения таблицы истинности логической функции

    Определяют количество строк: кол-во строк = $2^n + 1$ (для строки заголовка) , $n$ – количество простых выражений. Например, для функций двух переменных существует $2^2 = 4$ комбинации наборов значений переменных, для функций трех переменных – $2^3 = 8$ и т.д.

    Определяют количество столбцов: кол-во столбцов = кол-во переменных + кол-во логических операций. При определении количества логических операций учитывают также порядок их выполнения.

    Заполняют столбцы результатами выполнения логических операций в определенной последовательности, учитывая таблицы истинности основных логических операций.

Рисунок 2.

Пример 1

Составить таблицу истинности логического выражения $D=\bar{A} \vee (B \vee C)$.

Решение:

    Определим количество строк:

    кол-во строк = $2^3 + 1=9$.

    Количество переменных – $3$.

    1. инверсия ($\bar{A}$);
    2. дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ($B \vee C$);
    3. дизъюнкция ($\overline{A}\vee \left(B\vee C\right)$) – искомое логическое выражение.

      Кол-во столбцов = $3 + 3=6$.

    Заполним таблицу, учитывая таблицы истинности логических операций.

Рисунок 3.

Пример 2

По данному логическому выражению построить таблицу истинности:

Решение:

    Определим количество строк:

    Количество простых выражений – $n=3$, значит

    кол-во строк = $2^3 + 1=9$.

    Определим количество столбцов:

    Количество переменных – $3$.

    Количество логических операций и их последовательность:

    1. отрицание ($\bar{C}$);
    2. дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ($A \vee B$);
    3. конъюнкция ($(A\vee B)\bigwedge \overline{C}$);
    4. отрицание, которое обозначим $F_1$ ($\overline{(A\vee B)\bigwedge \overline{C}}$);
    5. дизъюнкция ($A \vee C$);
    6. конъюнкция ($(A\vee C)\bigwedge B$);
    7. отрицание, которое обозначим $F_2$ ($\overline{(A\vee C)\bigwedge B}$);
    8. дизъюнкция – искомая логическая функция ($\overline{(A\vee B)\bigwedge \overline{C}}\vee \overline{(A\vee C)\bigwedge B}$).

Построение таблиц истинности сложных высказываний.

Приоритет логических операций

1) инверсия 2) конъюнкция 3) дизъюнкция 4) импликация и эквивалентность

Как составить таблицу истинности?

Согласно определению, таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.

Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений переменных всего четыре:

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений переменных восемь (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1).

Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и т. д.

Удобной формой записи при нахождении значений формулы является таблица, содержащая кроме значений переменных и значений формулы также и значения промежуточных формул.

Примеры.

1. Составим таблицу истинности для формулы 96%" style="width:96.0%">

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y формула принимает значение 1 , то есть является тождественно истинной .

2. Таблица истинности для формулы 96%" style="width:96.0%">

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y формула принимает значение 0 , то есть является тождественно ложной .

3. Таблица истинности для формулы 96%" style="width:96.0%">

Из таблицы видно, что формула 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

Вывод: получили в последнем столбце все единицы. Значит, значение сложного высказывания истинно при любых значениях простых высказываний К и С. Следовательно, учитель рассуждал логически правильно.

Решение логических выражений принято записывать в виде таблиц истинности – таблиц, в которых по действиям показано, какие значения принимает логическое выражение при всех возможных наборах его переменных.

При составлении таблицы истинности для логического выражения необходимо учитывать порядок выполнения логических операций , а именно:

      1. действия в скобках,
      2. инверсия (отрицание ),
      3. & (конъюнкция ),
      4. v (дизъюнкция ),
      5. => (импликация ),
      6. <=> (эквивалентность ).

Алгоритм составления таблицы истинности :

1. Выяснить количество строк в таблице (вычисляется как 2 n , где n – количество переменных + строка заголовков столбцов).

2. Выяснить количество столбцов (вычисляется как количество переменных + количество логических операций).

3. Установить последовательность выполнения логических операций.

4. Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных.

5. Заполнить таблицу истинности по столбцам.

6. Записать ответ.

Пример 6

Построим таблицу истинности для выражения F =(Av B )&(¬ A v ¬ B ) .

1. Количество строк=2 2 (2 переменных+строка заголовков столбцов)=5.

2. Количество столбцов=2 логические переменные (А, В)+ 5 логических операций (v ,&, ¬ , v , ¬ ) = 7.

3. Расставим порядок выполнения операций: 1 5 2 43

(A v B ) & (¬ A v ¬ B )

4-5. Построим таблицу и заполним ее по столбцам:

А v В

¬ А

¬ В

¬ А v ¬ В

(A v B )&(¬ A v ¬ B )

0

0

0

1

1

0

6. Ответ: F =0, при A= B=0 и A= B=1

Пример 7

Построим таблицу истинности для логического выражения F = X v Y & ¬ Z .

1. Количество строк=2 3 +1=(3 переменных+строка заголовков столбцов)=9.

2. Количество столбцов=3 логические переменные+3 логических операций = 6.

3. Укажем порядок действий: 3 2 1

X v Y & ¬ Z

4-5. Построи м таблицу и заполним ее по столбцам:

¬ Z

Y& ¬ Z

Xv Y & ¬ Z

0

0

0

0

0

0

1

0

6. Ответ:

F =0, при X= Y= Z= 0; при X= Y=0 и Z= 1.

Упражнение 8

Постройте таблицы истинности для следующих логических выражений:

1. F =(Av B )&(¬ A& ¬ B).

2. F = X&¬ Yv Z.

Проверьте себя (эталон ответов)

Обратите внимание!

Наборы входных переменных, во избежание ошибок, рекомендуется перечислять следующим образом:

А) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки нулями, а нижнюю единицами;

Б) разделить колонкузначенийвторой переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами нулей и единиц, начиная с группы нулей;

В) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами нулей или единиц до тех пор, пока группы нулей и единиц не будут состоять из одного символа.

Тавтология - тождественно истинная формула истина " ("1

Противоречие - тождественно ложная формула , или формула принимающая значение "ложь " ("0 ") при любых входящих в нее значениях переменных.

Равносильные формулы - две формулы А и В принимающие одинаковые значения, при одинаковых наборах значений входящих в них переменных. Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом .

Продолжительность урока: 45 мин

Тип урока: комбинированный:

  • проверка знаний – устная работа;
  • новый материал – лекция;
  • закрепление – практические упражнения;
  • проверка знаний – задания для самостоятельной работы.

Цели урока:

  • дать понятие таблицы истинности;
  • закрепление материала предыдущего урока “Алгебра высказываний”;
  • использование информационных технологий;
  • привитие навыка самостоятельного поиска нового материала;
  • развитие любознательности, инициативы;
  • воспитание информационной культуры.

План урока:

  1. Организационный момент (2 мин).
  2. Повторение материала предыдущего урока (устный опрос) (4 мин).
  3. Объяснение нового материала (12 мин).
  4. Закрепление
  • разбор примера (5 мин);
  • практические упражнения (10 мин);
  • задания для самостоятельной работы (10 мин).
  • Обобщение урока, домашнее задание (2 мин).
  • Оборудование и программный материал:

    • белая доска;
    • мультимедийный проектор;
    • компьютеры;
    • редактор презентаций MS PowerPoint 2003;
    • раздаточный справочный материал “Таблицы истинности”;
    • демонстрация презентации “Таблицы истинности”.

    Ход урока

    I. Организационный момент

    Мы продолжаем изучение темы “Основы логики”. На предыдущих уроках мы увидели, что логика достаточно крепко связана с нашей повседневной жизнью, а также увидели, что почти любое высказывание можно записать в виде формулы.

    II. Повторение материала предыдущего урока

    Давайте вспомним основные определения и понятия:

    Вопрос Ответ
    1. Какое предложение является высказыванием? Повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается
    2. На какие виды делятся высказывания по своей структуре? Простые и сложные
    3. Истинность каких высказываний является договорной? Простых
    4. Истинность каких высказываний вычисляется? Сложных
    5. Как обозначаются простые высказывания в алгебре высказываний? Логическими переменными
    6. Как обозначается истинность таких высказываний? 1 и 0
    7. Что связывает переменные в формулах алгебры высказываний? Логические операции
    8. Перечислите их. Инверсия (отрицание)

    Конъюнкция (умножение)

    Дизъюнкция (сложение)

    Импликация (следование)

    Эквиваленция (равносильность)

    9. Определите, соответствует ли формула сложному высказыванию. Назовите простые высказывания. Определите причину несоответствия. (Задание на экране) Нет, неправильно поставлен знак
    10. Определите, соответствует ли формула сложному высказыванию. Назовите простые высказывания. Определите причину несоответствия. (Задание на экране) Да

    III. Объяснение нового материала

    Последние два примера относятся к сложным высказываниям. Как же определить истинность сложных высказываний?

    Мы говорили, что она вычисляется. Для этого в логике существуют таблицы для вычисления истинности составных (сложных) высказываний. Они называются таблицами истинности.

    Итак, тема урока ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ.

    3.1) Определение. Таблица истинности – это таблица, показывающая истинность сложного высказывания при всех возможных значениях входящих переменных (Рисунок 1).

    3.2) Разберем подробнее каждую логическую операцию в соответствии с ее определением:

    1. Инверсия (отрицание) – это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

    Эта операция относится только к одной переменной, поэтому для нее отведено только две строки, т.к. одна переменная может иметь одно из двух значений: 0 или 1.

    2. Конъюнкция (умножение)– это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

    Легко увидеть, что данная таблица действительно похожа на таблицу умножения.

    3. Дизъюнкция (сложение) – это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.

    Можно убедиться, что таблица похожа на таблицу сложения кроме последнего действия. В двоичной системе счисления 1 + 1 = 10, в десятичной – 1 + 1 = 2. В логике значения переменной 2 невозможно, рассмотрим 10 с точки зрения логики: 1 – истинно, 0 – ложно, т.о. 10 – истинно и ложно одновременно, чего быть не может, поэтому последнее действие строго опирается на определение.

    4. Импликация (следование) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие истинное, а следствие ложно.

    5. Эквиваленция (равносильность) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или ложны.

    Последние две операции были разобраны нами на предыдущем уроке.

    3.3) Разберем алгоритм составления таблицы истинности для сложного высказывания:

    3.4) Рассмотрим пример составления таблицы истинности для сложного высказывания:

    Пример. Построить таблицу истинности для формулы: А U В -> ¬А U С.

    Решение (Рисунок 2)

    Из примера видно, что таблицей истинности является не все решение, а только последнее действие (столбец, выделенный красным цветом).

    IV. Закрепление.

    Для закрепления материала вам предлагается решить самостоятельно примеры под буквами а, б, в, дополнительно г–ж (Рисунок 3).

    V. Домашнее задание, обобщение материала.

    Домашнее задание дано вам также на экране монитора (Рисунок 4)

    Обобщение материала: сегодня на уроке мы научились определять истинность составных высказываний, но больше с математической точки зрения, так как вам были даны не сами высказывания, а формулы, отображающие их. На следующих уроках мы закрепим эти умения и постараемся их применить к решению логических задач.

    Проблема определения истинности выражения встаёт перед многими науками. Любая доказательная дисциплина должна опираться на некоторые критерии истинности доказательств. Наука, изучающая эти критерии, называется алгеброй логики. Основной постулат алгебры логики заключается в том, что любое самое витиеватое утверждение может быть представлено в виде алгебраического выражения из более простых утверждений, истинность или ложность которых легко определить.

    Для любого "алгебраического" действия над утверждением задаётся правило определения истинности или ложности измененного утверждения, исходя из истинности или ложности исходного утверждения. Эти правила записываются через таблицы истинности выражения . Прежде, чем составлять таблицы истинности, надо поближе познакомиться с алгеброй логики.

    Алгебраические преобразования логических выражений

    Любое логическое выражение, как и его переменные (утверждения), принимают два значения: ложь или истина . Ложь обозначается нулём, а истина - единицей. Разобравшись с областью определения и областью допустимых значений, мы можем рассмотреть действия алгебры логики.

    Отрицание

    Отрицание и инверсия - самое простое логическое преобразование. Ему соответствует частица "не." Это преобразование просто меняет утверждение на противоположное. Соответственно, значение утверждения тоже меняется на противоположное. Если утверждение А истинно, то "не А" - ложно. Например, утверждение "прямой угол - это угол, равный девяносто градусов" - истина. Тогда его отрицание "прямой угол не равен девяноста градусам" - ложь.

    Таблица истинности для отрицания будет такова:

    Дизъюнкция

    Эта операция может быть обычной или строгой , их результаты будут различаться.

    Обычная дизъюнкция или логическое сложение соответствует союзу "или". Она будет истинной если хотя бы одно из утверждений, входящих в неё - истина. Например, выражение "Земля круглая или стоит на трёх китах" будет истинным, так как первое утверждение - истинно, хоть второе и ложно.В таблице это будет выглядеть так:

    Строгую дизъюнкцию или сложение по модулю также называют "исключающим или" . Эта операция может принимать вид грамматической конструкции "одно из двух: либо..., либо...". Здесь значение логического выражения будет ложным, если все утверждения, входящие в него, имеют одинаковую истинность. То есть, оба утверждения либо вместе истинны, либо вместе ложны.

    Таблица значений исключающего или

    Импликация и эквивалентность

    Импликация представляет собой следствие и грамматически может быть выражена как "из А следует Б". Здесь утверждение А будет называться предпосылкой, а Б - следствием. Импликация может быть ложной, только в одном случае: если предпосылка истинна, а следствие ложно. То есть, ложь не может следовать из истины. Во всех остальных случаях импликация истинна. Варианты, когда оба утверждения имеют одинаковую истинность, вопросов не вызывают. Но почему верное следствие из неверной предпосылки - истина? Дело в том, что из ложной предпосылки может следовать что угодно. Это и отличает импликацию от эквивалентности.

    В математике (и других доказательных дисциплинах) импликация используется для указания необходимого условия. Например, утверждение А - "точка О - экстремум непрерывной функции", утверждение Б - "производная непрерывной функции в точке О обращается в ноль". Если О, действительно, точка экстремума непрерывной функции, то производная в этой точке будет, и вправду, равна нулю. Если же О не является точкой экстремума, то производная в этой точке может быть нулевой, а может не быть. То есть Б необходимо для А, но не достаточно.

    Таблица истинности для импликации выглядит следующим образом:

    Логическая операция эквивалентность, по сути, является взаимной импликацией . "А эквивалентно Б" означает, что "из А следует Б" и "из Б следует А" одновременно. Эквивалентность верна, когда оба утверждения либо одновременно верные, либо одновременно неверные.

    В математике эквивалентность используется для определения необходимого и достаточного условия. Например, утверждение А - "Точка О является точкой экстремума непрерывной функции", утверждение Б - "В точке О производная функции обращается в ноль и меняет знак". Эти два утверждения эквивалентны. Б содержит необходимое и достаточное условие для А. Обратите внимание, что в данном примере утверждений Б на самом деле является конъюнкцией двух других: "производная в точке О обращается в ноль" и "производная в точке О меняет знак".

    Прочие логические функции

    Выше были рассмотрены основные логические операции, которые часто используются. Есть и другие функции, которые используются:

    • Штрих Шеффера или несовместимость представляет собой отрицание конъюнкции А и Б
    • Стрелка Пирса представляет сбой отрицание дизъюнкции.

    Построение таблиц истинности

    Чтобы построить таблицу истинности для какого-либо логического выражения, надо действовать в соответствии с алгоритмом:

    1. Разбить выражение на простые утверждения и обозначить каждое из них как переменную.
    2. Определить логические преобразования.
    3. Выявить порядок действий этих преобразований.
    4. Сосчитать строки в будущей таблице. Их количество равно два в степени N, где N - число переменных, плюс одна строка для шапки таблицы.
    5. Определить число столбцов. Оно равно сумме количества переменных и количества действий. Можно представлять результат каждого действия в виде новой переменной, если так будет понятней.
    6. Шапка заполняется последовательно, сначала все переменные, потом результаты действий в порядке их выполнения.
    7. Заполнение таблицы надо начать с первой переменной. Для неё количество строк делится пополам. Одна половина заполняется нулями, вторая - единицами.
    8. Для каждой следующей переменной нули и единицы чередуются вдвое чаще.
    9. Таким образом заполняются все столбцы с переменными и для последней переменной значение меняется в каждой строке.
    10. Потом последовательно заполняются результаты всех действий.

    В итоге последний столбец отобразит значение всего выражения в зависимости от значения переменных.

    Отдельно следует сказать о порядке логических действий . Как его определить? Здесь, как и в алгебре, есть правила, задающие последовательность действий. Они выполняются в следующем порядке:

    1. выражения в скобках;
    2. отрицание или инверсия;
    3. конъюнкция;
    4. строгая и обычная дизъюнкция;
    5. импликация;
    6. эквивалентность.

    Примеры

    Для закрепления материала можно попробовать составить таблицу истинности для ранее упомянутых логических выражений. Рассмотрим три примера:

    • Штрих Шеффера.
    • Стрелка Пирса.
    • Определение эквивалентности.

    Штрих Шеффера

    Штрих Шеффера - это логическое выражение, которое можно записать в виде "не (А и Б)". Здесь две переменные, и два действия. Конъюнкция в скобках, значит, она выполняется первой. В таблице будет шапка и четыре строки со значениями переменных, а также четыре столбца. Заполним таблицу:

    А Б А и Б не (А и Б)
    Л Л Л И
    Л И Л И
    И Л Л И
    И И И Л

    Отрицание конъюнкции выглядит как дизъюнкция отрицаний. Это можно проверить, если составить таблицу истинности для выражения "не А или не Б". Проделайте это самостоятельно и обратите внимание, что здесь будет уже три операции.

    Стрелка Пирса

    Рассматривая Стрелку Пирса, которая представляет собой отрицание дизъюнкции "не (А или Б)", сравним её с конъюнкцией отрицаний "не А и не Б". Заполним две таблицы:

    А Б не А не Б не А и не Б
    Л Л И И И
    Л И И Л Л
    И Л Л И И
    И И Л Л Л

    Значения выражений совпали. Изучив два эти примера, можно прийти к выводу, как раскрывать скобки после отрицания: отрицание применяется ко всем переменным в скобках, конъюнкция меняется на дизъюнкцию, а дизъюнкция - на конъюнкцию.

    Определение эквивалентности

    Про утверждения А и Б можно сказать, что они эквивалентны, тогда и только тогда, когда из А следует Б и из Б следует А. Запишем это как логическое выражение и построим для него таблицу истинности. "(А эквивалентно Б) эквивалентно (из А следует Б) и (из Б следует А)".

    Здесь две переменных и пять действий. Строим таблицу:

    В последнем столбце все значения истинные. Это значит, что приведенное определение эквивалентности верно при любых значениях А и Б. Значит, оно всегда истинно. Именно так с помощью таблицы истинности можно проверить корректность любых определений и логических построений.