Задания на системы счисления. Почему двоичная система удобна

СКОЛЬКО ЛЕТ ДЕВОЧКЕ (А. Стариков) Ей было тысяча сто лет, Она в сто первый класс ходила, В портфеле по сто книг носила Все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий. Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали. И десять темно-синих глаз Рассматривали мир привычно, Но станет все совсем обычным, Когда поймете наш рассказ

Система счисления – что это? Система счисления символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Система счисления: даёт представления множества чисел (целых или вещественных); даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление); отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Непозиционные системы счисления В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

Позиционные системы счисления В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации.

Откуда взялись 12 часов и 12 месяцев? Двенадцатеричная система счисления: на ее широкое использование в прошлом явно указывают названия числительных во многих языках, а так же сохранившиеся в ряде стран способы отсчета времени, денег и соотношения между некоторыми единицами времени. Год состоит из 12 месяцев, а половина суток из 12 часов. В русском языке счет часто идет дюжинами. О существовании двенадцатиричной системы счисления говорит тот факт, что сервизы, салфетки, столовые приборы продают наборами по 6 или 12 штук.

И наконец-то десять! Изобретение десятичной системы счисления приписывают древним арабам, развитие – индусам. Появление ее в Европе датируется примерно 1200 годом нашей эры. Десятичными цифрами выражается время, номера домов, телефонов, цены, показания приборов, на них базируется метрическая система мер.

Х х х х 2 Ответ: = = = =

Х х 10 Ответ: = =54 10

РЕШИТЬ ЗАДАЧУ В классе учеников % – учатся на хорошо и отлично. Сколько учеников учатся на 4 и 5?

Задачи обучающие: закрепить сведения о системах счисления, ознакомиться с историей возникновения систем счисления, усовершенствовать навыки использования информационных технологий (навыки работы в текстовом редакторе и графическом редакторе (копирование объектов), использование программы «Калькулятор»), усовершенствовать навыки перевода чисел из одной системы счисления в другую, навыки составления чисел в непозиционной системе счисления, сформировать навыки выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления - на репродуктивном уровне.

Задачи развивающие: развивать внимание, речь, воображение, интерес учеников к изучаемым предметам.

Задачи воспитательные: умственное и эстетическое воспитание учащихся, показать, как ярко оформить устный рассказ.

Основные понятия:
- число;
- цифра;
- система счисления;
- позиционная система счисления;
- непозиционная система счисления.

Ход урока
I. Организационный момент
Учитель: Сегодня, ребята, наш урок будет необычным. Мы проведем совместно урок математики и информатики. Прежде чем начать, давайте проведем интеллектуальную разминку и отгадаем тему сегодняшнего урока. Вам предстоит отгадать кроссворд и ребус.

II. Интеллектуальная разминка
Посмотрите, пожалуйста, на кроссворд (см. презентацию).
По горизонтали:
1. Арифметическое действие (сложение).
2. Информационный процесс (хранение).
3. Устройство компьютера, осуществляющее обработку информации и управление другими устройствами (процессор).
4. Способ формирования изображений, при котором рисунок состоит из простых геометрических фигур и информация об изображении - это координаты и формулы, описывающие эти геометрические фигуры (векторный).
5. Информационный процесс (передача).
6. Общее название ОЗУ, ПЗУ винчестера или основа процесса хранения информации (память).
7. Восемь бит составляют один… (байт).
Какое слово появилось у нас по вертикали? (Система.)
Системы бывают разные. Какие же системы мы будем сегодня продолжать с вами изучать, давайте выясним, отгадав ребус. Что означают запятые, поставленные в начале или конце рисунка? (Столько букв сначала или в конце надо отбросить.) Что означала бы запись «е=и»? (Букву е в слове надо заменить на и.)
Итак, теперь, когда завершилась наша интеллектуальная разминка, мы поняли, что сегодня мы продолжим изучать системы счисления.

III. Изложение нового материала. Составление учащимися краткого конспекта
Учитель: Кто мне скажет определение систем счисления? (См. презентацию.) Прежде всего нам необходимо совершить путешествие в историю чисел, далее мы с вами вспомним, какие системы счисления называют позиционными, а какие непозиционными, каким образом переводят числа из одной системы счисления в другую, и, наконец, научимся совершать действия с ними. «Все есть число», - говорили мудрецы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в жизни людей (см. презентацию). Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называют цифрами. Слово «цифра» произошло от латинского слова cifra и переводится как «знаки для обозначения чисел» (см. презентацию). Запишите, пожалуйста, к себе в тетрадь это определение.
Люди научились считать очень давно, еще в каменном веке. Сначала они просто различали, один предмет перед ними или больше. Через некоторое время появилось слово для обозначения двух предметов. У некоторых племен Австралии и Полинезии до самого последнего времени было только два числительных: «один» и «два». А все числа больше двух получали названия в виде сочетаний этих двух числительных. Например, три - это «два, один», четыре - «два, два», пять - «два, два, один». Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков: зарубок, черточек, точек. Чтобы два человека могли точно сохранить некоторую числовую информацию, они брали деревянную бирку, делали на ней нужное число зарубок, а потом раскалывали бирку пополам (см. презентацию). Каждый уносил свою половинку и хранил ее. Этот прием позволял избегать «подделки документов». Ведь при возникновении спорной ситуации половинки можно было сложить и сравнить совпадение и число зарубок. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Давайте запишем определение унарной системы счисления к себе в тетрадь: унарной (единичной) называется такая система записи чисел, при которой число образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу.
Приведите мне пример унарной (единичной) системы счисления сегодня (курсант военного училища носит нашивки на рукаве, по ним можно узнать, на каком курсе он учится; малыши показывают на пальцах, сколько им лет, первоклассники учатся считать с помощью счетных палочек).
Скажите, пожалуйста, единичная система - удобный способ записи чисел? Нет, когда надо записывать большие числа. Поэтому с течением времени возникли другие системы счисления, более удобные.
Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т. д. использовались специальные значки - иероглифы (см. презентацию). Все остальные числа составлялись из этих ключевых символов при помощи операции сложения.
А сейчас мы выполним первое практическое задание. Вы должны будете в текстовом процессоре MS Word, используя копирование, составить из символов древнеегипетской системы счисления числа 3252, 727, 99. Проверим результат вашей работы… Кто скажет, какое арифметическое действие используется для формирования числа из цифр? (Сложение.)
Скажите, пожалуйста, зависит ли величина числа от того, в каком порядке располагаются составляющие его знаки? Можно их написать сверху вниз, снизу вверх, справа налево, вперемешку? Как называется система счисления, в которой количественное значение цифры не зависит от места (позиции), которую она занимает в числе? (Непозиционная.)
Скажите, а какая непозиционная система счисления вам давно знакома? С помощью какой непозиционной системы счисления обозначаются главы в книгах? Римской. Давайте вспомним символы, с помощью которых обозначают цифры в римской системе счисления (см. презентацию). Кто сможет записать в римской системе счисления год своего рождения? (Пишут на доске.) А кто сможет записать это же число иначе? А можно записать это же число другим образом? Скажите, пожалуйста, меняется ли значение цифр в зависимости от перестановки в числе? (Нет.) Обратите внимание, если в Древнем Египте числа записывали, используя только сложение, то древние римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: значение каждого меньшего знака, поставленного слева от большего, вычитается из значения большего знака.
Откроем рабочую тетрадь и выполним задание (см. презентацию.)
Говоря о непозиционных системах счисления, нельзя не сказать о славянском цифровом алфавите (см. презентацию).
О ней нам расскажет… (к доске вызывается ученик).

Ученик представляет доклад: Алфавитной нумерацией пользовались как греки, так и южные и восточные славянские народы. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же (в том числе у русских) роль цифр играли не все буквы славянского алфавита, а только те из них, которые имелись и в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок - титло. При этом числовые значения букв возрастали в том же порядке, в каком следовали буквы в греческом алфавите (порядок букв славянского алфавита был несколько иным).

Учитель: Посмотрите, пожалуйста, на славянский цифровой алфавит. Например, если записать в славянской нумерации числа 55, 288, 1 и 498, то получится фраза: «Не спи, а учи». В России славянская нумерация сохранялась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах (см. презентацию).
Вместе с непозиционными существуют и позиционные системы счисления. В них количественное значение каждой цифры числа зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) записана та или иная цифра.
Примером позиционной системы счисления является вавилонская система счисления - шестидесятеричная. Кстати, мы с вами тоже ее используем. Вспомните, где? (При измерении времени, углов.)
В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. Например, на Руси счет велся дюжинами. Английский фунт тоже равен 12 шиллингам. А где мы сегодня встречаемся с двенадцатеричной системой счисления?
(Год - 12 месяцев, половина суток - 12 часов, сервизы и столовые приборы рассчитаны на 12 персон.)
Десятичная система счисления появилась в Индии в V в. н. э., и возникла она после появления цифры 0, которую придумали греческие астрономы для обозначения отсутствующей величины. Впоследствии с этой системой счисления ознакомились арабы. Они по достоинству оценили ее, начали использовать и в ХII веке завезли в Европу. И с этого времени человечество пользуется этой системой счисления. Цифры десятичной системы счисления называются арабскими, хотя начало они получили в Индии.
С появлением информатики, вычислительной техники нашла свое применение двоичная система счисления, корни которой уходят в Древний Китай. Система гадания китайской Книги перемен при внимательном анализе обнаруживает в своей основе двоичную систему счисления и позиционный принцип записи чисел.
Ребята, какая система счисления используется в компьютерной технике? (Двоичная.) Что такое двоичное цифровое кодирование? (Представление любого вида информации с помощи последовательности битов.) Для чего нужно представлять любую информацию в виде 0 и 1? (Потому что в компьютере передаваться, храниться и обрабатываться может только информация, представленная в виде 0 и 1.)
В настоящее время наиболее распространены десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.
Количество различных символов, используемых для изображения числа в позиционных системах счисления, называется основанием системы счисления. А множество всех символов, используемых для записи чисел в данной системе счисления, - ее алфавитом. (См. таблицу.)
В десятичной системе счисления цифра в крайней справа позиции обозначает единицы, цифра, смещенная на одну позицию влево, обозначает десятки, еще левее - сотни, затем тысячи и т. д. Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается в числе трижды, причем самая правая обозначает пять единиц, вторая справа - пять десятков и, наконец, третья - пять сотен.
Выше десятичное число 555 было записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10, которое является основанием десятичной системы счисления.
В развернутой форме записи числа умножение цифр числа на основание производится в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:
55510 = 5 х 102 + 5 х 101 + 5 х 100.
Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме будет записываться следующим образом:
555,5510 = 5 х 102 + 5 х 101 + 5 х 100 + 5 х 10-1 + 5 х 10-2.

Выполните задание в тетрадях
1. Записать в развернутой форме числа:
А) 19,9910 Б) 10,102 В) 64,58
Г) 213,224 Д) А54,В716
2. Записать в свернутой форме числа:
А) С8 = 7*83 + 7*82 + 6*81 + 4*80 +1*8-1 (7764,18)
Б) С2 = 1*22 + 0*21 + 1*20 + 0*2-1 + 1*2-2 (101,012)
Обменяться тетрадями, проверить правильность выполнения, выставить оценку.
Учитель: Любое число можно представить в виде суммы произведений значащих цифр числа на степени основания системы счисления. Такое представление называется развернутой формулой записи числа.
15525510=1.105+5.104+5.103+2.102+ 5.101+5.100
На этом принципе основан перевод чисел из любой степени счисления в десятичную степень счисления. Так, для перевода двоичного числа в десятичное нужно записать его в развернутой форме
1111012=1.25+1.24+1.23+1.22+ 0.21+ 1.20=32+16+8+4+1=6110
Пример: перевести число 2510 из десятичной в двоичную:
2510 = 110012
Для обратного перевода десятичного числа в двоичное необходимо делить данное число на 2, фиксируя остатки.
Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше делителя (основание системы).

Загадка поэта
Прочитайте шуточное стихотворение А.Н.Старикова «Необыкновенная девочка» и попробуйте разгадать загадку поэта. Для этого выпишите упомянутые в стихотворении числа и переведите их в десятичную систему счисления.
Работа в парах.

Ей было тысяча сто лет,
Она в сто первый класс ходила,
В портфеле по сто книг носила.
Все это правда, а не бред.

Когда, пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий.

Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И десять загорелых рук
Портфель и поводок держали.

И десять темно-синих глаз

Когда поймете наш рассказ.

Ребята переводят числа в десятичную систему счисления и читают стихотворение:
Ей было 12 лет,
Она в 5-й класс ходила,
В портфеле по четыре книги
носила.
Все это правда, а не бред.

Когда, пыля двумя ногами,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато
четырехногий.

Она ловила каждый звук
Своими двумя ушами,
И две загорелые руки
Портфель и поводок держали.

И двое темно-синих глаз
Рассматривали мир привычно...
Но станет все совсем обычным,
Когда поймете наш рассказ.

IV. Практическая работа
Еще раз проверим себя, на этот раз с помощью компьютерной программы «Калькулятор» (Пуск - Программы - Стандартные - Калькулятор). Убедитесь, что активизирован инженерный вид калькулятора (Вид - Инженерный). Обратите внимание на переключатели Hex (hexadecimal) - шестнадцатеричная, Dec (decimal) - десятичная, Oct (octal) - восьмеричная, Bin (binary) - бинарная. Установим переключатель в положение Dec и введем число 24, а теперь переведем переключатель в положение Bin. Мы видим число 24 в двоичной записи. А теперь поучимся выполнять арифметические операции с числами в двоичной системе счисления. Составить таблицу сложения и умножения двоичных чисел (см. презентацию).

Дополнительные задания из рабочей тетради
Учащиеся выполняют задания в группах за компьютером, используя программу «Инженерный калькулятор».
Переведи в десятичную систему счисления: 345, 110011,012, 1ВС16
Докажите, что:
225338 = 100101010110112
10010101111002 = 12BC16
101010100111002 = 252348
1C6316 = 11100011000112
Поставьте вместо знака? знак <, > или =.
28510? 11D16
(Ответ: 28510 = 28510)
1111112 ? 11118
(Ответ: 6310 < 58510)
6С16 ? 1010012
(Ответ: 10810 > 4110)
5516 ? 1258 (Ответ: 8510 = 8510)
Расположите числа, записанные в различных системах счисления, в порядке возрастания:
3510, 368, 3А16, 1001012, 1304 (Ответ: 1304 , 368, 3510, 1001012, 3А16)
1110012, 648, 9Е16, 2510, 2103
(Ответ: 2103, 2510, 648, 1110012, 9Е16)
728, 15610, 1010012, 8В16, 2325
(Ответ: 1010012, 728, 2325, 8В16, 15610)
12D16, 788, 1000112, 54110, 1245
(Ответ: 1000112, 1245, 788, 12D16, 54110)

V. Подведение итогов

VI. Рефлексия
- Какое задание было самым интересным?
- Какое задание, по вашему мнению, было самым сложным?
- С какими трудностями вы столкнулись, выполняя задания?
- Какие задания вы считаете самыми интересными и какие задания можете предложить сами по данной теме?

Учитель: Вы сегодня работали хорошо, справились с поставленной перед вами задачей, а также показали хорошие знания по теме «Перевод чисел в позиционных системах счисления». За работу на уроке вы получаете следующие оценки (объявляются оценки каждого ученика за работу на уроке).
Спасибо всем за хорошую работу. Молодцы!

VII. Домашнее задание

​Екатерина ЧЕРНОВОЛ, учитель математики и информатики средней школы №4 с углубленным изучением отдельных предметов города Батайска Ростовской области

Все мы хотим, чтобы из наших детей получались натуры творческие и одаренные. Прекрасно понимая, что многим из ребят не хватает порой даже внимания родителей, а не только их понимания и уж тем более творческого воспитания, убеждаемся, что, к сожалению, современное обучение развивает в детях только одну сторону – исполнительские способности, а более сложная и важная сторона – творческие способности, умение логически мыслить, найти нестандартное решение отдаются воле случая и у большинства остаются на плачевном уровне. Поэтому особенное внимание необходимо уделять заданиям к которым необходим творческий подход, умение найти интересное, необычное решение, вызывают интерес у учащихся.

1. Определить в какой системе счисления ведется рассказ:

«Необыкновенная девочка»
Ей было тысяча сто лет,
Она в сто первый класс ходила,
В портфеле по сто книг носила –
Все это правда, а не бред.
Когда, пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий.
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И десять загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И десять темно-синих глаз
Рассматривали мир привычно…
Но станет все сейчас обычным,
Когда поймете мой рассказ

(А.Н.Стариков)

Решение:

Выпишем упомянутые в стихотворении числа: 1, 10, 100, 101,1100. Все встречаемые цифры – 0 или 1. Если предположить, что зашифровано разложение по степеням двойки, то получим:

«Ей было тысяча сто лет» – 1100 = 1 . 23 + 1 . 22 = 8 + 4 = 12 лет
«Она в сто первый класс ходила» – 101 = 1 . 22 + 1 = 4 + 1 = 5 класс
«…пыля десятком ног» – 10 = 21 = 2 ноги
«С одним хвостом, зато стоногий» – 1 = 20 = 1, 100 = 22 = 4 ноги
и т.д. разобранное число 10.

Ответ: двоичная с/с.

2. «Какое наименьшее число гирь потребуется для взвешивания любого предмета, масса которого равна целому числу фунтов от 1 до 40. Гири разрешено складывать на одну чашу весов». (Задача де Мезириака)

Решение:

Любое натуральное число от 1 до 63 можно записать при помощи 6 знаков в двоичной системе счисления. Массе гирьки соответствует позиционный вес цифры в двоичном числе. (1 – гирька используется, 0 – нет).

Ответ. Гирьки выбираются массой: 1, 2, 4, 8, 16, 32 грамма.

3. «Отгадывая целое число, задуманное в промежутке от 1 до 100 можно задавать вопросы, на которые получаете ответы «да» или «нет». Сколько вопросов минимально необходимо задать, чтобы отгадать это число»

Решение:

Поскольку дана возможность использовать ответы «да» или «нет», то логично предположить, что для кодирования можно использовать двоичную систему счисления. Любое натуральное число от 1 до 100 можно записать при помощи 7 знаков в двоичной системе счисления.

Ответ. Минимально достаточно задать 7 вопросов.

4. «В саду росло 63q фруктовых деревьев, из них 30q яблони, 21q груши, 5q сливы, 4q вишни. В какой системе счисления ведется счет, и сколько было деревьев?»

Решение:

63 q = 30 q + 21 q + 5 q + 4 q
Составим уравнение, согласно правилам записи чисел в позиционных системах счисления
6q + 3 = 3q + 2q + 1 + 5 + 4
q = 7
всего деревьев – 6 . 7 + 3 = 45
яблонь – 3 . 7 = 21
груши – 2 . 7 + 1 = 15
слив – 5
вишен – 4

Ответ. Система счисления – семеричная, яблонь – 21, груш – 15, слив – 5, вишен – 4, всего – 45.

5. «В классе 36 q учеников, из них 21 q девочка и 15 q мальчиков. В какой системе счисления велся отсчет?»

Решение:

36 q = 21 q + 15 q
Составим уравнение, согласно правилам записи чисел в позиционных системах 3q + 6 = 2q + 1 + q + 5
Как видно, оно не имеет однозначного математического решения, логически подбираем корни уравнения

• Основание системы счисления не может быть меньше 6 (т.к. при записи чисел используется цифра 6)
• Предположим оно равно 7, тогда 3 . 7 + 6 = 2 . 7 + 1 + 7 + 5 равенство выполняется? это решение верно.
• Аналогично можно рассуждать для любой системы счисления, основание которой больше 7 .

Ответ: q > 7.

6. «Один мудрец писал «мне 33 года. Моей матери 124 года, а отцу 131 год. Вместе нам 343 года». Какую систему счисления использовал мудрец, и сколько ему лет».

Решение:

33 х + 124 х + 131 х = 343 х
3х + 3 + х 2 + 2х + 4 + х 2 + 3х + 1 = 3х 2 + 4х + 3
х 2 – 4х – 5 = 0
х 1 = 5, х

Ответ: 33 5 = 18, 124 5 = 39, 131 5 = 41, 343 5 = 98

7. «Один человек имел 100 монет. Он поровну разделил их между двумя своими детьми. Каждому досталось по 11 монет и одна осталась лишней. Какая система счисления использовалась, и сколько было монет?»

Решение:

100 х = 11 х + 11 х + 1
х 2 – 2х – 3 = 0
х 1 = 3, х 2 = – 1 (не является решением)

Ответ: 100 3 = 9, 11 3 = 4.

8. «В пробирку посадили некоторое одноклеточное животное, которое размножается делением пополам каждую секунду. Через 16 секунд пробирка оказалась полной. Определить сколько времени понадобилось, чтобы заполнить половину пробирки. Сколько «жителей» было в пробирке через 7 секунд?»

Решение:

Для заполнения половины пробирки понадобится t – 1 секунда, при условии удвоения особей, то есть 15 секунд. Через 7 секунд в пробирке было 27 особей. То есть 128 штук.

Ответ: 15 секунд, 128 штук.

9. «Трехзначное десятичное число начинается с 1, если поменять местами старший и младший разряды, то вновь полученное число будет меньше усемеренного исходного на 48. Найти исходное число».

Решение:

Исходное число – 1XY
Новое число – YX1
Соотношение 7 . (1XY) = YX1 + 48 где X, Y – цифры числа

7(10 2 + X . 10 1 + Y . 10 0) = Y . 10 2 + X . 10 1 + 1 . 10 0 + 4 . 10 1 + 8 . 100
7 . 10 2 + 7 . X . 10 1 + 7 . Y . 10 1 – 1 многочлен
Y . 10 2 + (X + 4) . 10 1 + (1 + 8) . 10 0 – 2 многочлен
1) начиная с младшего разряда 7 . Y = 9 + p . 10, где p = 0 6, это возможно только при Y = 7, p = 4
2) 7 . X + p = X + 4
7 . X + 4 = X + 4
7 . X = X при X = 0

Ответ. Исходное число – 107.

10. «Шестизначное десятичное число начинается слева с 1, если переместить ее в младший разряд, то новое число будет втрое больше исходного. Найти исходное число».

Решение:

Исходное число – 1ABCDE
Новое число – ABCDE1
Соотношение 1ABCDE = ABCDE1 . 3 где A, B, C, D, E – цифры числа
Представляем уравнение в виде разрядных слагаемых:
(1 . 10 5 + A . 10 4 + B . 10 3 + C . 10 2 + D . 10 1 + E . 10 0) . 3 = A . 10 5 + B . 10 4 + C . 10 3 + D . 10 2 + E . 10 1 + 1 . 10 0
если равны многочлены, то равны и соответствующие коэффициенты

1) начиная с младшего разряда 3 . E = 1 + p . 10, где p = 0 2, в данном случае это возможно только при E = 7, p = 2

2) для разряда десятков

3 . D + p = E + p1 . 10, где p1 = 0 2
3 . D + 2 = 7 + p1 . 10 это возможно только при D = 5 p1 = 1

3) для разряда сотен

3 . C + p1 = D + p2 . 10, где p2 = 0 2
3 . C + 1 = 5 + p2 . 10 это возможно только при C = 8 p2 = 2

4) для разряда тысяч

3 . B + p2 = C + p3 . 10, где p3 = 0 2
3 . B + 2 = 8 + p3 . 10 это возможно только при B = 2 p3 = 0

5) для разряда десятков тысяч

3 . A + p3 = B + p4 . 10, где p4 = 0 2
3 . A + 0 = 2 + p5 . 10 это возможно только при A = 4 p5 = 1

Все логические предположения о пригодности коэффициентов делаются на основании таблицы умножения.

Ответ. Исходное число – 142857.

«Числа в различных системах счисления» - Страницы истории. Возможности вычислительной техники. Все вещи суть числа. Представление числовой информации. Не согласен. Очевидное является истиной. Система счисления египтян. Существуют системы позиционные и непозиционные. Система счисления ацтеков и майя. Следы различных систем. Система счисления вавилонян.

«Системы счисления урок» - Компьютер работает в двоичной системе счисления. Какие существуют позиционные системы счисления? Как мы представляем числа? Двоичная арифметика (8 сс). Как работает человек? Например переведем 25 из 10сс в2 сс. Человек обрабатывает информацию в 10 сс, а компьютер в 2 сс. Двоичная арифметика (16 сс).

«Представление информации в системах счисления» - Представим числа в разных системах счисления как сумму слагаемых. Перевести следующие числа в десятичную систему счисления. Представление числовой информации с помощью систем счисления. Набор символов, используемый для обозначения цифр. Соотношение 10-тичной, двоичной, 8-ричной, 16-ричной. Система счисления – это совокупность правил записи чисел.

«Разные системы счисления» - Записать римскими цифрами: 29, 57, 128, 1024. Система счисления –. Позиционные Системы счисления. Познакомить учащихся с системами счисления, существовавшими у различных народов. Подведение итогов урока, домашнее задание. Система счисления. Расшифруйте римские цифры: CLIX, CCXXIV, MMDXCVIII. Системы счисления бывают: единичные непозиционные позиционные.

«Запись систем счисления» - Количество предметов = количество каких-нибудь значков (насечек, черточек, точек). Цифры записываются слева направо в порядке убывания. Используют n первых арабских. Позиционные (например: арабская – 1 2 3 4 5 6 7 8 9). Система счисления – это… А как человек записывал числа раньше? Виды систем счисления.

«Запись чисел в системах счисления» - Двоичная система. Алфавитные системы. Десятичная система. Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. Позиционная система счисления. Непозиционные системы. Десятичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала. В алфавитной славянской системе счисления в качестве “цифр” использовалось 27 букв кириллицы.

Посвящается Хоми Гарсии Аскот и Марии Луизе Элио

Много лет спустя, перед самым расстрелом, полковник Аурелиано Буэндия припомнит тот далекий день, когда отец повел его поглядеть на лед.

Макондо был тогда небольшим поселком из двадцати глинобитных, с камышовыми кровлями домишек, стоявших на берегу реки, которая несла свои прозрачные воды по ложу из белых, гладких и огромных, как доисторические яйца, валунов. Мир был таким первозданным, что многие вещи не имели названия и на них просто тыкали пальцем. Каждый год в марте месяце лохмотное цыганское племя ставило свой шатер близ поселка, и под звонкое дребезжание бубнов и визготню свистулек пришельцы показывали жителям новейшие изобретения. Вначале они привезли магнит. Коренастый цыган с кудлатой бородой и воробьиными руками-лапками назвал свое имя – Мелькиадес – и стал демонстрировать обомлевшим зрителям не что иное, как восьмое чудо света, сотворенное, по его словам, учеными-алхимиками из Македонии. Цыган ходил из дома в дом, потрясая двумя брусками железа, и люди вздрагивали от ужаса, видя, как тазы, кастрюли, жаровни и ухваты подпрыгивают на месте, как поскрипывают доски, с трудом удерживая рвущиеся из них гвозди и болты, а вещицы, давным-давно исчезнувшие, объявляются именно там, где все было перерыто в их поисках, и скопом несутся к волшебному железу Мелькиадеса. «Всякая вещь – живая, – объявил цыган категорично и сурово. – Надо только суметь разбудить ее душу». Хосе Аркадио Буэндия, чье необузданное воображение превосходило чудотворный гений самой природы и даже силу магии и волшебства, подумал, что неплохо было бы приспособить это в общем никчемное открытие для выуживания золота из земли. Мелькиадес, будучи человеком порядочным, предупредил: «Ничего не получится». Но Хосе Аркадио Буэндия тогда еще не верил в порядочность цыган и променял своего мула и нескольких козлят на две намагниченные железки. Урсула Игуаран, его жена, хотела за счет домашней скотины увеличить скромный семейный достаток, но все ее уговоры были напрасны. «Скоро золотом дом завалим, девать будет некуда», – отвечал муж. Несколько месяцев кряду он усердно отстаивал неопровержимость своих слов. Шаг за шагом прочесывал местность, даже русло реки, таща за собой на веревке два железных бруска и повторяя громким голосом заклинание Мелькиадеса. Единственное, что ему удалось обнаружить в недрах земных, были насквозь проржавевшие военные доспехи пятнадцатого века, глухо звякавшие при постукивании, как сухая тыква, начиненная камнями. Когда Хосе Аркадио Буэндия и его четверо помощников разобрали находку на части, под латами оказался белесый скелет, на темных позвонках которого болталась ладанка с женским локоном.

В марте цыгане пришли опять. На этот раз они принесли подзорную трубу и лупу величиной с бубен и выдавали их за последнее изобретение евреев из Амстердама. Они посадили в другом конце поселка свою цыганку, а трубу поставили у входа в шатер. Уплатив пять реалов, люди прилипали глазом к трубе и видели перед собой цыганку в мельчайших подробностях. «Для науки нет расстояний, – вещал Мелькиадес. – Скоро человек, не выходя из дому, увидит все, что творится в любом уголке земли». Однажды в жаркий полдень цыгане, манипулируя своей огромной лупой, устроили потрясающее зрелище: на охапку сена, брошенного среди улицы, они направили пучок солнечных лучей, и сено полыхнуло огнем. Хосе Аркадио Буэндия, который не мог успокоиться после провала своей затеи с магнитами, тотчас сообразил, что это стекло можно использовать как боевое оружие. Мелькиадес снова попытался отговорить его. Но в конечном счете цыган согласился отдать ему лупу в обмен на два магнита и три золотые колониальные монеты. Урсула рыдала от горя. Эти деньги пришлось вытаскивать из сундучка с золотыми дублонами, которые ее отец копил всю свою жизнь, отказывая себе в лишнем куске, и которые она хранила в дальнем углу под кроватью в надежде, что подвернется счастливый случай для их удачного применения. Хосе Аркадио Буэндия не соизволил даже утешить жену, отдавшись своим нескончаемым экспериментам с пылом истого исследователя и даже с риском для собственной жизни. Стремясь доказать губительное воздействие лупы на живую силу противника, он сфокусировал солнечные лучи на себе самом и получил сильнейшие ожоги, обратившиеся в язвы, которые с трудом заживали. Да что там, – он не пожалел бы и собственный дом, если бы не бурные протесты жены, устрашенной его опасными трюками. Долгие часы проводил Хосе Аркадио в своей комнате, рассчитывая стратегическую боеспособность новейшего оружия, и даже написал наставление, как его применять. Это удивительно доходчивое и неотразимо обоснованное наставление он отправил властям вместе с многочисленными описаниями своих опытов и несколькими рулонами пояснительных чертежей. Его гонец перебрался через горы, чудом вылез из бескрайней трясины, переплыл бурные реки, едва спасся от диких зверей и чуть не погиб от отчаяния и всякой заразы, прежде чем доплелся до дороги, где возили почту на мулах. Хотя поездка в столицу была по тем временам затеей почти нереальной, Хосе Аркадио Буэндия обещал приехать по первому распоряжению Правительства, чтобы продемонстрировать военным властям свое изобретение на практике и лично обучить их сложному искусству солнечных войн. Несколько лет ждал он ответа. Наконец, отчаявшись чего-нибудь дождаться, он поделился с Мелькиадесом своим горем, и тут цыган предъявил неоспоримое доказательство своей порядочности: забрав назад лупу, вернул ему золотые дублоны, да еще дал несколько португальских мореходных карт и кое-какие навигационные приборы. Цыган собственноручно написал для него краткий конспект поучений монаха Германа, как пользоваться астролябией, буссолью и секстантом. Хосе Аркадио Буэндия провел долгие месяцы дождливого сезона, запершись в сарае, специально пристроенном к дому, чтобы никто не мешал ему в его изысканиях. В сухую пору, полностью забросив домашние дела, он проводил ночи напролет в патио, наблюдая за ходом небесных тел, и едва не получил солнечный удар, стараясь точно определить зенит. Когда он в совершенстве овладел знаниями и инструментами, у него появилось блаженное ощущение необъятности пространства, что позволяло ему плавать по незнакомым морям и океанам, бывать на необитаемых землях и вступать в сношения с восхитительными созданиями, не покидая своего научного кабинета. Именно в это время он приобрел привычку разговаривать сам с собой, прохаживаясь по дому и никого не замечая, тогда как Урсула в поте лица своего трудилась с детьми на земле, выращивая маниоку, ямс и малангу, тыквы и баклажаны, ухаживая за бананами. Однако ни с того ни с сего лихорадочная деятельность Хосе Аркадио Буэндии вдруг прекратилась, уступив место странному оцепенению. Несколько дней он сидел как завороженный и непрерывно шевелил губами, словно повторял какую-то поразительную истину и сам не мог поверить себе. Наконец, в один из декабрьских вторников, за обедом он разом сбросил с себя груз тайных переживаний. Его дети до конца жизни будут помнить ту величественную торжественность, с какой их отец занял место во главе стола, трясясь как в лихорадке, изнуренный бессонницей и бешеной работой мозга, и сообщил о сделанном им открытии: «Наша земля кругла, как апельсин». Терпение Урсулы лопнуло: «Если ты хочешь вконец спятить – дело твое. Но детям не забивай мозги цыганской брехней». Хосе Аркадио Буэндия, однако, и глазом не моргнул, когда жена в гневе грохнула астролябию об пол. Он смастерил другую, собрал в сарайчике односельчан и, опираясь на теорию, в которой никто из них ничего не смыслил, рассказал, что, если все время плыть на восток, можно опять оказаться в точке отправления.

Поселок Макондо уже склонялся к тому, что Хосе Аркадио Буэндия сошел с ума, но тут явился Мелькиадес и все расставил по местам. Он публично воздал должное разуму человека, который, наблюдая за ходом небесных светил, теоретически доказал то, что практически уже давно доказано, хотя пока еще и не известно жителям Макондо, и в знак своего восхищения преподнес Хосе Аркадио Буэндии подарок, которому было суждено определить будущее поселка: полный набор алхимической утвари.