НТВ плюс 

Из 10 в 5 систему счисления. Основы систем счисления. Перевод правильных десятичных дробей в любую другую систему счисления

Разберем одну из важнейших тем по информатике - . В школьной программе она раскрывается довольно "скромно", скорее всего, из-за недостатка отведенных на нее часов. Знания по этой теме, особенно на перевод систем счисления , являются обязательным условием для успешной сдачи ЕГЭ и поступления в ВУЗы на соответствующие факультеты. Ниже подробным образом рассмотрены такие понятия, как позиционные и непозиционные системы счисления , даны примеры этих систем счисления, представлены правила перевода целых десятичных чисел, правильных десятичных дробей и смешанных десятичных чисел в любую другую систему счисления, перевода чисел из любой системы счисления в десятичную, перевода из восьмеричной и шестнадцатиричной систем счисления в двоичную систему счисления . На экзаменах в большом количестве встречаются задачи по данной теме. Умение их решать – одно из требований к абитуриентам. Скоро: По каждой теме раздела, помимо подробного теоретического материала, будут представлены практически все возможные варианты задач для самостоятельного изучения. Кроме того, у вас появится возможность совершенно бесплатно скачать с файлообменника уже готовые подробные решения к данным задачам, иллюстрирующие различные способы получения верного ответа.

епозиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления - системы счисления, в которых количественное значение цифры не зависит от ее местоположения в числе.

К непозиционным системам счисления относится, например, римская, где вместо цифр - латинские буквы.

I 1 (один)
V 5 (пять)
X 10 (десять)
L 50 (пятьдесят)
C 100 (сто)
D 500 (пятьсот)
M 1000 (тысяча)

Здесь буква V обозначает 5 независимо от ее местоположения. Однако стоит упомянуть о том, что хотя римская система счисления и является классическим примером непозиционной системы счисления, не является полностью непозиционной, т.к. меньшая цифра, стоящая перед большей, вычитается из нее:

IL 49 (50-1=49)
VI 6 (5+1=6)
XXI 21 (10+10+1=21)
MI 1001 (1000+1=1001)

озиционные системы счисления.

Позиционные системы счисления - системы счисления, в которых количественное значение цифры зависит от ее местоположения в числе.

Например, если говорить о десятичной системе счисления, то в числе 700 цифра 7 означает "семь сотен", но эта же цифра в числе 71 означает "семь десятков", а в числе 7020 - "семь тысяч".

Каждая позиционная система счисления имеет свое основание . В качестве основания выбирается натуральное число, большее или равное двум. Оно равно количеству цифр, используемых в данной системе счисления.

    Например:
  • Двоичная - позиционная система счисления с основанием 2.
  • Четверичная - позиционная система счисления с основанием 4.
  • Пятиричная - позиционная система счисления с основанием 5.
  • Восьмеричная - позиционная система счисления с основанием 8.
  • Шестнадцатиричная - позиционная система счисления с основанием 16.

Чтобы успешно решать задачи по теме "Системы счисления", ученик должен знать наизусть соответствие двоичных, десятичных, восьмеричных и шестнадцатиричных чисел до 16 10:

10 с/с 2 с/с 8 с/с 16 с/с
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10

Полезно знать, как получаются числа в этих системах счисления. Можно догадаться, что в восьмеричной, шестнадцатиричной, троичной и других позиционных системах счисления все происходит аналогично привычной нам десятичной системе:

К числу прибавляется единица и получается новое число. Если разряд единиц становится равен основанию системы счисления, мы увеличиваем число десятков на 1 и т.д.

Этот "переход единицы" как раз и пугает большинство учеников. На самом же деле все довольно просто. Переход происходит, если разряд единиц становится равен основанию системы счисления , мы увеличиваем число десятков на 1. Многие, помня старую добрую десятичную систему моментально путаются в разряда и в этом переходе, ведь десятичный и, например, двоичный десятки - разные вещи.

Отсюда у находчивых учеников появляются "свои методики" (на удивление... работающие) при заполнении, например, таблиц истинности, первые столбцы (значения переменных) которых, фактически, заполняются двоичными числами в порядке возрастания.

Для примера разберем получение чисел в восьмеричной системе : К первому числу (0) прибавляем 1, получаем 1. Затем к 1 прибавляем 1, получаем 2 и т.д. до 7. Если мы прибавим к 7 единицу, получим число равное основанию системы счисления, т.е. 8. Тогда нужно увеличить на единицу разряд десятков (получаем восьмеричный десяток - 10). Далее, очевидно, идут числа 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...

равила перевода из одной системы счисления в другую.

1 Перевод целых десятичных чисел в любую другую систему счисления.

Число нужно разделить на новое основание системы счисления . Первый остаток от деления - это и есть первая младшая цифра нового числа. Если частное от деления меньше или равно новому основанию, то его (частное) нужно снова разделить на новое основание. Деление нужно продолжать, пока не получим частное меньше нового основания. Это есть старшая цифра нового числа (нужно помнить, что, например, в шестнадцатиричной системе после 9 идут буквы, т.е. если в остатке получили 11, нужно записать его как B).

Пример ("деление уголком"): Переведем число 173 10 в восьмеричную систему счисления.


Таким образом, 173 10 =255 8

2 Перевод правильных десятичных дробей в любую другую систему счисления.

Число нужно умножить на новое основание системы счисления. Цифра, перешедшая в целую часть - старшая цифра дробной части нового числа. для получения следующей цифры дробную часть получившегося произведения опять нужно умножать на новое основание системы счисления, пока не произойдет переход в целую часть. Умножение продолжаем, пока дробная часть не станет равна нулю, либо пока не дойдем до указанной в задаче точности ("... вычислить с точностью, например, двух знаков после запятой").

Пример: Переведем число 0,65625 10 в восьмеричную систему счисления.

Методический комментарий к уроку

Цели учителя: Показать учащимся методы интеграции знаний из различных источников, создать условия для продуктивной работы в группах.

Цели учащихся: Познакомиться с историей появления систем счисления, узнать принципы построения различных систем счисления и области их использования, получить необходимые навыки командной работы с различными источниками информации.

На уроке математике в 5-м классе во время выполнения задания, связанного с разложением по разрядам многозначных чисел, у учащихся возникли вопросы: “Почему мы считаем десятками? Почему нельзя считать по-другому? Есть ли другие способы счёта?”. Учителем было предложено найти ответы на данные вопросы путём поиска, анализа и обобщения информации по данной теме в течение недели, работая в малых группах, сформированных из учащихся класса по желанию. Результаты данной работы должны быть оформлены и представлены на уроке математике через неделю. По окончании урока класс разбился на следующие творческие группы:

  • Системы счисления (общие понятия) – 5 человек
  • Двоичная система – 7 человек (этот вопрос вызвал наибольший интерес)
  • Шестидесятеричная система– 5 человек
  • Десятичная система– 5 человек
  • Другие системы счисления – 3 человека
  • Перевод их одной системы в другую – 5 человек.

В результате поисковой деятельности учащихся получился следующий урок:

“Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир”

(И-В Гёте)

Группами учащихся были представлены результаты поисковой и аналитической работы.

I – Общие понятия

Системой счисления называется совокупность приёмов обозначения чисел – язык, алфавитом которого являются символы (цифры), а синтаксисом – правило, позволяющее сформулировать запись числа однозначно.

Число – это некоторая абстрактная сущность для описания количества

Цифра – это знак, используемый для записи чисел. Цифры бывают разные, самыми распространёнными являются арабские цифры; менее распространёнными римские цифры (можно увидеть на циферблате часов или в обозначении века)

Основание – количество цифр, используемых в системе счисления.

Примеры чисел в различных системах счисления:

11001 2 – число в двоичной системе счисления

221 3 – число в троичной системе счисления

31 8 – число в восьмеричной системе счисления

25 10 – число в десятичной системе счисления

В старых книгах по арифметике, кроме 4 арифметических действий, упоминается и пятое – нумерация. Нумерация (счисление) была одной из первых проблем, с которой столкнулись при построении арифметики.

Существует множество способов записи чисел с помощью цифр. Эти способы можно разделить на три группы:

  • позиционные системы счисления
  • смешанные системы счисления
  • непозиционные системы счисления

Денежные знаки – пример смешанной системы счисления. Сейчас в России используются монеты и купюры следующих номиналов: 1коп., 5коп., 10коп., 50коп., 1руб., 2руб.,5руб., 10руб., 50руб., 100руб., 500руб., 1000руб., 5000руб. Чтобы получить некоторую сумму в рублях, надо использовать некоторое количество денежных знаков различного достоинства. Предположим, что мы покупаем пылесос, который стоит 6379 рублей. Чтобы заплатить за покупку потребуется 6 купюр по 1000 рублей, 3 купюры по 100 рублей, 1 пятидесятирублёвая купюра, две десятки, одна пятирублёвая и две монеты по 2 рубля. Если мы запишем количество купюр и монет, начиная с 100 рублей и заканчивая одной копейкой, заменяя нулями пропущенные номиналы, то мы получим число, представленное в смешанной системе счисления: в нашем случае – 603121200000.

В непозиционных системах счисления величина числа не зависит от положения цифр в записи числа. Если бы мы перемешали цифры в числе 603121200000, то мы бы не смогли понять, сколько стоит пылесос; в непозиционной системе цифры можно переставлять, при этом сумма не изменится. Примером непозиционной системы является римская система. Такие системы строятся по принципу аддитивности (англ. аdd. – сумма). Количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр. Например:

В позиционных системах счисления всегда важен порядок расположения цифр в записи числа. (25 и 52 – разные числа)

Любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:

  • возможность представления числа в заданном диапазоне чисел
  • однозначность представления
  • краткость и простоту записи
  • лёгкость овладения системой, а так же простота и удобство оперирования ею

II – Двоичная система счисления

Двоичная система счисления – это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления натуральные числа записываются с помощью двух символов: 1 и 0. Цифра двоичной системы - бит. Восемь цифр – байт.

Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё в XVII-XIX веках. Выдающийся математик Лейбниц говорил: “Вычисление с помощью двоек…является для науки основным и порождает новые открытия… При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок”. Позже двоичная система была забыта, и только в 1936-1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательное применение двоичной системы при конструировании электронных схем.

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой.

Преимущества двоичной системы:

  • Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. Две цифры легко представлены физическими явлениями: есть ток – нет тока; индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет т.д.
  • Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать
  • Двоичная арифметика является довольно простой.
  • Возможно применение аппарата логики для выполнения побитовых операций

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используется таблица степеней числа 2.

III – Шестидесятеричная система счисления

В современное время шестидесятеричная система счисления используется для измерения времени, углов.

В представлении времени используются три позиции: часы, минуты, секунды, так как для каждой позиции приходится использовать 60 цифр, а у нас только 10, то для каждой шестидесятеричной позиции используются две десятичные цифры (00, 01, …), позиции разделяются двоеточием. h:m:s.

Рассмотрим действия в шестидесятеричной системе счисления на двух задачах:

  1. Пирог нужно печь в духовке 45 минут. Сколько секунд потребуется?
  2. Нужно испечь 10 пирогов. Сколько потребуется времени?

Чтобы производить вычисления в шестидесятеричной системе счисления нужно знать таблицы сложения и умножения шестидесятеричных чисел. Каждая таблица очень большая, она размером 60*60, мы то обычную таблицу умножения еле запомнили, а уж выучить шестидесятеричную таблицу нам будет ещё гораздо сложнее. Как же быть? Можно решать эти задачи в десятичной системе счисления, а потом результат перевести в шестидесятеричную.

45 минут=0*3600+45*60+0= 2700 секунд

2700*10=27000 секунд потребуется для выпечки 10 пирогов.

27000/60=450 (остаток 0)

450/60=7 (остаток 30)

7/60=0 (остаток 7) Получилось 07:30:00

IV – Десятичная система счисления

Представление чисел с помощью арабских цифр – самая распространённая позиционная система счисления, она называется “десятичной системой счисления”. Десятичной она называется потому, что использует десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Десятичная система счисления – наиболее известное достижение индийской математики (595год). Система с основанием 10 проникла по караванным путям из Индии во многие области Ближнего Востока. Постепенно эту систему всё шире стали применять в арабском мире, хотя одновременно в ходу оставались и другие системы. “Книга абака” Леонардо Пизанского (1202 год) была одним из источников для проникновения индийско-арабской системы нумерации в Западную Европу. Эта книга была грандиозным по тем временам трудом, в печатном виде она насчитывала 460 страниц. Её автор известен ещё и под именем Фибоначчи. Его книга представляла математическую энциклопедию своего времени. Десятичная система получила распространение и признание в Европе только в эпоху Возрождения.

V – Другие системы счисления

Шестнадцатеричная система счисления – используются следующие знаки для записи чисел: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, А, В, С,D, E, F.

Двоично-десятичная система счисления. В такой системе каждая десятичная цифра кодируется определённой комбинацией цифр двоичной системы. Обозначение каждой десятичной цифры называется тетрадой. Пример:

125 10 =000100100101 2-10 (3 тетрады)

0000=1 0100=4 1000=8

0001=1 0101=5 1001=9

Пятеричная система счисления – Первые математики умели считать лишь по пальцам одной руки, а если предметов было больше, то говорили так: “пять +один” и т.д. Иногда за основу принимали число 20 – число пальцев на руках и ногах. Из 307 систем счисления первобытных американских народов 146 были десятичными, 106 – пятеричными и десятичными. В более характерной форме система с основанием 20 существовала у майя в Мексике и у кельтов в Европе.

VI – Перевод из одной системы в другую

Связаны ли системы счисления между собой? Возможно, ли перевести число из одной системы в другую? Существует два основных правила перевода из одной системы в другую:

Перевод из любой другой в десятичную систему осуществляется по формулам:

11001 2 – 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25 10

221 3 -2*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =2*9+2*3+1*1=25 10

31 8 – 3*8 1 +1*8 0 =3*8+1*1=25 10

25 10 – 2*10 1 +5*10 0 =2*10+5*1=25 10

Перевод числа из десятичной системы в систему с любым основанием осуществляется по алгоритму:

25 10 перевести в число в двоичной системе

25/2=12 (остаток 1)

12/2=6 (остаток 0)

6/2=3 (остаток 0)

3/2=1 (остаток 1)

1/2=0 (остаток 1) Получили число 11001 2

25 10 перевести в число в троичной системе

25/3=8 (остаток 1)

8/3=2 (остаток 2)

2/3=0 (остаток 2) Получили 221 3

25 10 перевести в число в восьмеричной системе

25/8=3 (остаток 1)

3/8=0 (остаток 3) Получили 31 8

После представления результатов работы творческих групп были оценены все системы счисления по указанным в начале критериям и все пришли к выводу, что в результате исторического развития математики самая удобная система (десятичная) стала самой распространённой. При этом были горячие сторонники двоичной системы, считавшие, что она очень важна для электроники.

Закончен урок был синквейном.

Система счисления – удобная, быстрая, помогает, считает, записывает

“Счёт и вычисления – основа порядка в голове” (И. Песталоцци)

Источники информации

  1. Д.Я. Стройк “Краткий очерк истории математики” (“Наука”, Москва, 1990 г.).
  2. Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова “За страницами учебника математики” (“Просвещение”, Москва, 2008).
  3. А.В. Дорофеева “Страницы истории на уроках математики” (“Просвещение”, Москва, 2007).
  4. Интернет – ресурсы “Википедия”.

1. Порядковый счет в различных системах счисления.

В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».

Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.

Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.

Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):

0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 10 3
4 100 11 4
5 101 12 10
6 110 20 11
7 111 21 12
8 1000 22 13
9 1001 100 14
10 1010 101 20
11 1011 102 21
12 1100 110 22
13 1101 111 23
14 1110 112 24
15 1111 120 30

Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):

0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10
11
12 10
13 11
14 12
15 13

2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.

Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.

Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.

3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.

Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.

Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:

Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.

Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.

Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.

4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).

Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.

Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:

Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.

0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7

Т.е.

Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.

0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7
1000 8
1001 9
1010 A
1011 B
1100 C
1101 D
1110 E
1111 F

5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.

Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.

Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.

Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:



Система счисления (СС)– это совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой СС для представления чисел используются некоторые числа, которые называются базисными числами, а все остальные числа получают в результате каких-либо операций над базисными числами. В современном мире наиболее распространено представление чисел 0. . .9.

СС различаются выбором базисных чисел и правилами образования из них остальных чисел. Например, в римской СС базисными являются: I(1),V(5),X(10),L(50),C(100),D(500),M(1000), а другие получаются путем сложения и вычитания базисных чисел. В римской СС каждый числовой знак имеет одно и тоже значение, т. е. значение числового знака не зависит от его расположения в записи числа: 146 –CXLVI.

Такая СС является непозиционной. В ней удобно записывать небольшие числа. Но выполнять операции над большими числами неудобно.

5.1. Позиционные системы счисления

В настоящее время для представления чисел используются позиционные СС. СС называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Количество цифр, используемых для изображения чисел в позиционной СС, называется ее основанием, т. е. если используется К цифр, то основание СС равно К. Число в позиционной СС можно представить следующим образом:

Позиции перенумерованные таким образом называют разрядами. Каждая из цифр принимает одно из значений
.Kиспользуется для количественной оценки каждого разряда числа. Т. е. число вk-ичной СС можно представить в виде полинома:

Примеры позиционных систем счисления:

Арифметические действия в любой позиционной СС производятся по тем же правилам, что и в десятичной СС, т. к. все они основываются на правилах выполнения действий с соответствующими полиномами. При этом используются таблицы сложения и умножения, которые имеют место при данном основании СС.

Таблицы сложения и умножения в двоичной СС имеют вид:

Для физического представления чисел необходимы элементы, которые способны находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию принятой СС, тогда каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной СС. Для реализации десятичной системы СС потребуются элементы, имеющие 10 устойчивых состояний. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний, например, электромагнитное реле (состояния «замкнуто»-«разомкнуто»), ферромагнитная поверхность (намагничена – размагничена), транзисторный ключ и т. д. Одно из этих состояний можно обозначить цифрой –0, а другое – 1.

С двоичной СС связаны и другие преимущества. Она обеспечивает максимальную помехоустойчивость в процессе передачи информации. В ней предельно просто выполняются арифметические и логические операции. Благодаря этому двоичная СС стала стандартом в современной вычислительной технике.

Недостатком двоичной СС является большое число разрядов двоичного кода.

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами ), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

Система называется позиционной , если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления . Если количество таких цифр равно P , то система счисления называется P -ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.

Запись произвольного числа x в P -ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена

x = a n P n + a n -1 P n -1 + ... + a 1 P 1 + a 0 P 0 + a -1 P -1 + ... + a -m P -m

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм:

1) если переводится целая часть числа, то она делится на P , после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P , остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;

2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P , после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая дробь в системе счисления с основанием P . Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P .

Кодирование чисел

Чтобы использовать числа, нужно их как-то называть и записывать, нужна система нумерации. Различные системы счёта и записи чисел тысячелетиями сосуществовали и соревновались между собой, но к концу "докомпьютерной эпохи" особую роль при счёте стало играть число "десять", а самой популярной системой кодирования оказалась позиционная десятичная система. В этой системе значение цифры в числе зависит от её места (позиции) внутри числа. Десятичная система счисления пришла из Индии (не позднее VI века нашей эры). Алфавит этой системы: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - всего 10 цифр, таким образом основание системы счисления - 10. Число записывается как комбинация единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. Пример: 1998=8*10 0 + 9*10 1 + 9*10 2 + 1*10 3 .

В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д.

333 10 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3

Заметим, что выбор числа 10 в качестве основания системы счисления объясняется традицией, а не какими-то замечательными свойствами числа 10. Вообще, представление числа N в р-ричной системе счисления, это:

N=a n *p n +a n-l *p n-l +...+a l *p l +a o , где а ¹ 0, а i Î {0, 1, 2, ..., а i }.

В Вавилоне, например, использовалась 60-ричная система счисления, алфавит содержал цифры от 1 до 59, числа 0 не было, таблицы умножения были очень громоздкими, поэтому очень скоро она была забыта, но отголоски её былой распространённости можно наблюдать и сейчас - деление часа на 60 минут, деление круга на 360 градусов.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII - XIX вв.). Выдающийся математик Лейбниц говорил: "Вычисление с помощью двоек... является для науки основным и порождает новые открытия... При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок". Позже двоичная система была забыта, и только в 1936 - 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем. Рассмотрим пример представления числа в двоичной системе счисления:

Пример 2.1.1. Переведём число 2000 в двоичную систему.

1. Делим 2000 на основание новой системы счисления - 2:

2000:2=1000(0 - остаток),

2. Собираем последнее частное от деления (всегда равно 1) и остатки от деления и записываем их по порядку, начиная снизу:

2000 10 ==11111010000 2

Для проверки переведём полученное число в десятичную систему счисления, для этого:

1. Выделим двоичные разряды числа, то есть, степени числа 2, начиная с 0-й:

2. Запишем сумму произведений 0 и 1 на соответствующую степень числа 2 (см. представление числа в р-ричной системе счисления):

0*2 0 +0*2 1 +0*2 2 +0*2 3 +l*2 4 +0*2 5 +l*2 6 +l*2 7 +l*2 8 +l*2 9 +l*210= 16+64+128+256+512+1024=2000

Существуют системы счисления, родственные двоичной. При работе с компьютерами иногда приходится иметь дело с двоичными числами, так как двоичные числа заложены в конструкцию компьютера. Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека - слишком длинные числа неудобно записывать и запоминать. На помощь приходят системы счисления, родственные двоичной - восьмеричная и шестнадцатеричная.

Например, в шестнадцатеричной системе для записи чисел предназначены 10 арабских цифр и буквы латинского алфавита {А, В, С, D, Е, F}. Чтобы записать число в этой системе счисления, удобно воспользоваться двоичным представлением числа. Возьмём для примера то же число - 2000 или 11111010000 в двоичной системе. Разобьём его на четвёрки знаков, двигаясь справа налево, в последней четвёрке слева припишем незначащий 0, чтобы количество знаков в триадах было по четыре: 0111 1101 0000. Начнём перевод - числу 0111 в двоичной системе соответствует число 7 в десятичной (7 10 =1*2 0 +1*2 1 +1*2 2), в шестнадцатеричной системе счисления цифра 7 есть; числу 1101 в двоичной системе соответствует число 13 в десятичной (13=1*2 0 + 0*2 1 + 1*2 2 + 1*2 3), в шестнадцатеричной системе этому числу соответствует цифра D, и, наконец, число 0000 - в любой системе счисления 0. Запишем теперь результат:

11111010000 2 = 7D0 16 .

ДВЕНАДЦАТИРИЧНАЯ И ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Хотя десятичная система счисления является наиболее широко применимой, это отнюдь не означает, что она самая лучшая. Широкое распространение во многом объясняется тем анатомическим обстоятельством, что у нас на руках и ногах по десять пальцев. Что же касается позиционного принципа и цифровых обозначений, то они с равным успехом могут быть приспособлены к системе счисления с любым основанием, независимо от того, равно ли оно 2, 10 или какому-нибудь другому целому положительному числу, кроме единицы. Например, подставив в полиномиальное представление 7x 2 + 6x 1 + 5x 0 + 4x –1 + 3x –2 вместо x значение 10, мы получим число 765,43 в нашей обычной десятичной системе. Но без малейшего ущерба для позиционного принципа обозначения целых чисел и дробей вместо x можно подставить и любое другое целое положительное число. Вместо числа 10 в качестве основания системы счисления чаще других предлагалось использовать числа 8 и 12. Системы, получающиеся при таких заменах, известны под названием восьмеричной и двенадцатеричной. В восьмеричной системе вместо переменной x в полиномиальном представлении следует подставить 8, и тогда число, равное в десятичной системе 765,43, в восьмеричной системе окажется равным (8 2) + 6(8 1) + 5(8 0) + 4(8 –1) + 3(8 –2), т.е. числу. В двенадцатеричной системе то же самое полиномиальное представление при x = 12 дает (12 2) + 6(12 1) + 5(12 0) + 4(12 –1) + 3(12 –2), или в наших обычных обозначениях. Что касается вычислений, то они во всех трех системах счисления, десятичной, восьмеричной и двенадцатиричной, производятся практически одинаково и с одной и той же легкостью. Различие в основном заключается в таблицах сложения и умножения, поскольку они изменяются от одной системы счисления к другой. Например, сумма семь плюс семь равна сумме восемь плюс шесть в восьмеричной системе, десять плюс четыре – в десятичной и двенадцать плюс два – в двенадцатиричной. Символически эти суммы и произведения можно записать следующим образом:

Мы видим, что переход от десятичной системы к восьмеричной или двенадцатиричной действительно требует полного пересмотра таблиц сложения и умножения; это объясняет, почему предложения о переходе к этим системам счисления не получили широкого признания. Преимущества, которые сулит этот переход, сводятся на нет сопряженными с ним трудностями. Главные преимущества восьмеричной и двенадцатиричной систем счисления связаны с делимостью их оснований. Рассматривая только целые числа, меньшие половины основания (поскольку ни одно число не может быть делителем основания, если это число больше половины основания, но меньше его), нетрудно понять, что число 10 имеет два неделителя – числа 3 и 4, тогда как в восьмеричной системе единственный неделитель, меньший половины основания, есть число 3, а в двенадцатиричной системе единственный неделитель основания равен числу 5. Иначе говоря, преимущество числа 12 как основания системы счисления заключается в том, что оно имеет делителями числа 2, 3, 4 и 6, тогда как число 10 имеет делителями числа 2 и 5. Число 8 имеет делителями только числа 2 и 4, однако его основное преимущество перед другими в том, что непрерывное деление пополам неизменно приводит к «одноместному» дробному представлению в полиномиальной форме. Например, если 8 разделить на 2 10 , то результат окажется в точности равным (0,004) 8 , тогда как если 12 разделить на 2 10 , то получится (приближенно) (0,0183) 12 , а при делении на 2 10 числа 10 результат (также приближенный) будет равным (0,0097656) 10 .