Определение и структура метрического множества. Вопросы для самоконтроля

Одной из важнейших операций анализа является предельный переход. В основе этой операции лежит тот факт, что на числовой прямой определено расстояние от одной точки до другой. Многие фундаментальные факты анализа не связаны с алгебраической природой действительных чисел (т. е. с тем, что они образуют поле), а опираются лишь на понятие расстояния. Обобщая представление о действительных числах как о множестве, в котором введено расстояние между элементами, мы приходим к понятию метрического пространства - одному из важнейших понятий современной математики.

Метрическим пространством называется пара (Х, r), состоящая из некоторого множества (пространства) Х элементов (точек) и расстояния, т. е. неотрицательной действительной функции r(х,у), определенной для любых х и у из Х и подчиненной следующим трем аксиомам:

1) r(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у,

2) r(х, у) = r(у, х) (аксиома симметрии),

3) r(х, г) ≤ r(х, у) + r (у, г) (аксиома треугольника).

Само метрическое пространство, т. е. пару (Х, ρ), мы будем обозначать, как правило, одной буквой:

R = (X, ρ).

В случаях, когда недоразумения исключены, мы будем зачастую обозначать метрическое пространство тем же символом, что и сам «запас точек» X.

Приведем примеры метрических пространств. Некоторыеизэтих пространств играют в анализе весьма важную роль.

1. Положив для элементов произвольного множества

мы получим, очевидно, метрическое пространство. Его можно назвать пространством изолированных точек.

2. Множество действительных чисел с расстоянием

ρ(х, у) = | х - у |

образует метрическое пространствоR 1 .

3. Множество упорядоченных наборов из п действительных чисел с расстоянием

называется п -мерным арифметическим евклидовым пространством R n .

4. Рассмотрим то же самое множество наборов из п действительных чисел , но расстояние определим в нем формулой

Справедливость аксиом 1)-3) здесь очевидна. Обозначим это метрическое пространство символом R n 1 .

5. Возьмем снова то же самое множество, что и в примерах 3 и 4, и определим расстояние между его элементами формулой

Справедливость аксиом 1)-3) очевидна. Это пространство, которое мы обозначим R n ¥ во многих вопросах анализа не менее удобно, чем евклидово пространство R n .

Последние три примера показывают, что иногда и в самом деле важно иметь различные обозначения для самого метрического пространства и для множества его точек, так как один и тот же запас точек может быть по-разному метризован.

6. Множество С всех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке с расстоянием

также образует метрическое пространство. Аксиомы1)-3) проверяются непосредственно. Это пространство играет очень важную роль в анализе. Мы будем его обозначать тем же символом С , что и само множество точек этого пространства.

7. Рассмотрим, как и в примере 6, совокупность всех функций, непрерывных на отрезке С , но расстояние определим иначе, а именно, положим

Такое метрическое пространство мы будем обозначать С 2 и называть пространством непрерывных функций с квадратичной метрикой.

Модуль 2.

Лекция 17. Функция нескольких переменных

Раздел 17.1. n-мерное пространство

1. Многомерные пространства

2. Понятие расстояния (метрики). Метрическое пространство

3. Принципы кластерного анализа

Раздел 17.2 Функция нескольких переменных

1. Функция нескольких переменных

2. Частные производные

3. Двойной интеграл

4. Полярные координаты и интеграл Эйлера-Пуассона

Программные положения

В лекции рассматриваются вопросы, связанные с пространствами размерности больше двух: введение понятия расстояния, использования расстояния в кластерном анализе, функция нескольких (в нашем случае – двух) переменных, характеристика ее с помощью частных производных, а также вычисления площади и объема. Понятия функции двух переменных и двойного интеграла понадобятся нам при изучении случайных векторов в теории вероятностей. Завершается материал лекции вычислением интеграла Эйлера-Пуассона – одного из основных в теории вероятностей (неопределенный интеграл от функции Гаусса относится к неберущимся, а в случае наличия пределов интегрирования для вычисления подобных интегралов требуется применение неочевидных методов, один из которых и приводится здесь).

Перед изучением материала лекции повторите определение функции, производной, интеграла.

Литература

Б.П.Демидович, В.А.Кудрявцев «Краткий курс высшей математики» Глава ХХ (§1, 2.3,10), Глава XXIV (§1, 2,3,4,7)

Вопросы для самоконтроля

1. Какое пространство называется n-мерным?

2. Каким условиям должно удовлетворять расстояние?

3. Какое пространство называется метрическим?

4. Для чего используется кластерный анализ?

5. Что представляет собой график функции 2 переменных? Что такое линии уровня?

6. Что такое частная производная?

7. Дайте определение двойного интеграла. Как с его помощью вычислить площадь и объем?

8. Найдите расстояние между точками А(1,2,3) и В(5,1,0) (используя разные расстояния)

9.Найти линии уровня функций

z = x + y.

10. Найти частные производные функции

11.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

12. Вычислить

Раздел 17.1. Понятие многомерного пространства

Определение 17.1.1 . n-мерного пространства.

Если на плоскости R2 фиксирована прямоугольная система координат, то между точками плоскости и всевозможными парами чисел (х, у) (х и у - координаты точек) существует взаимно однозначное соответствие. Если в пространстве задана аналогичная система координат, то между точками пространства и их координатами - всевозможными тройками (x,y,z) - также существует взаимно однозначное соответствие.

Расстояние (метрика). Метрическое пространство

Определение 17.1.2

Метрическое пространство (M ,d ) есть множество точек М, на квадрате которого (то есть для любой пары точек из М) задана функция расстояния (метрика) . Она определяется следующим образом:

Для любых точек x , y , z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно и расстояние от x до y такое же, как и от y до x . Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y , а потом от y до z .

Наиболее привычным для нас является евклидово расстояние. Однако, это далеко не единственный способ его задания. Например, будет удовлетворять вышеупомянутым аксиомам такое расстояние: d(x,y) = 1 , если x ≠ y и d(x,y) = 0 , если x = y.

В зависимости от конкретных нужд или свойств пространства можно рассматривать различные метрики.

Рассмотрим несколько примеров расстояний:

Определения 17.1.3.

Евклидово расстояние. Это, по-видимому, наиболее общий тип расстояния. Оно попросту является геометрическим расстоянием в многомерном пространстве и вычисляется следующим образом:

d(x,y) = { i (x i - y i) 2 } 1/2

Заметим, что евклидово расстояние (и его квадрат) вычисляется по исходным, а не по стандартизованным данным. Это обычный способ его вычисления, который имеет определенные преимущества (например, расстояние между двумя объектами не изменяется при введении в анализ нового объекта, который может оказаться выбросом). Тем не менее, на расстояния могут сильно влиять различия между осями, по координатам которых вычисляются эти расстояния. К примеру, если одна из осей измерена в сантиметрах, а вы потом переведете ее в миллиметры (умножая значения на 10), то окончательное евклидово расстояние (или квадрат евклидова расстояния), вычисляемое по координатам, сильно изменится, и, как следствие, результаты кластерного анализа могут сильно отличаться от предыдущих.

Квадрат евклидова расстояния. Стандартное евклидово расстояние возводят в квадрат, чтобы придать большие веса более отдаленным друг от друга объектам. Это расстояние вычисляется следующим образом (к нему также относится замечание о влиянии единиц измерения из предыдущего пункта):

d(x,y) = i (x i - y i) 2

Расстояние городских кварталов (манхэттенское расстояние). Это расстояние является просто средним разностей по координатам. В большинстве случаев эта мера расстояния приводит к таким же результатам, как и для обычного расстояния Евклида. Однако отметим, что для этой меры влияние отдельных больших разностей (выбросов) уменьшается (так как они не возводятся в квадрат). Манхэттенское расстояние вычисляется по формуле:

d(x,y) = i |x i - y i |

Расстояние Чебышева. Это расстояние может оказаться полезным, когда желают определить два объекта как "различные", если они различаются по какой-либо одной координате (каким-либо одним измерением). Расстояние Чебышева вычисляется по формуле:

d(x,y) = max |x i - y i |

(max означает максимум – наибольшее из всех значений модулей разностей)

Степенное расстояние. Иногда желают прогрессивно увеличить или уменьшить вес, относящийся к размерности, для которой соответствующие объекты сильно отличаются. Это может быть достигнуто с использованием степенного расстояния . Степенное расстояние вычисляется по формуле:

d(x,y) = ( i |x i - y i | p) 1/r

где r и p - параметры, определяемые пользователем. Несколько примеров вычислений могут показать, как "работает" эта мера. Параметр p ответственен за постепенное взвешивание разностей по отдельным координатам, параметр r ответственен за прогрессивное взвешивание больших расстояний между объектами. Если оба параметра - r и p , равны двум, то это расстояние совпадает с расстоянием Евклида.

Основные функциональные пространства

Лекция 5

Определение.

Метрическим пространством называется пара (X, ρ) , состоящая из некоторого множества (пространства) X элементов (точек) и расстояния, т. е. однозначной, неотрицательной, действительной функции ρ(х,у) , определенной для любых x и y из X и подчиненной следующим аксиомам;

1. ρ(х,у) ≥ 0 для всех х,у,

2. ρ(х,у) = 0 тогда и только тогда, когда х=у ,

3. ρ(х,у) = ρ(y,x) (аксиома симметрии),

4. ρ(х,z) £ ρ(х,у) + ρ(у,z) (аксиома треугольника).

Само метрическое пространство, т. е. пару (X, ρ) , мы будем обозначать, как правило, одной буквой R = (X, ρ) .

Приведем примеры метрических пространств. Некоторые из этих пространств играют в анализе весьма важную роль.

1. Положив для элементов произвольного множества

мы получим, очевидно, метрическое пространство. Его можно назвать пространством изолированных точек.

2. Множество действительных чисел с расстоянием

образует метрическое пространство R 1 .

3. Множество упорядоченных групп из n действительных чисел x = (х 1 , …, x n) с расстоянием

(1)

называется n -мерным арифметическим евклидовым пространством R n . Справедливость аксиом 1) - 3) для R n очевидна. Покажем, что в R n выполнена и аксиома треугольника.

Пусть x = (x 1 ,…, x n), y = (y 1 ,…, y n),

z = (z 1 ,…, z n) ;

тогда аксиома треугольника записывается в виде

Полагая , получаем , а неравенство (2) принимает при этом вид

(3)

Но это неравенство сразу следует из известного неравенства Коши-Буняковского

(4)

Действительно, в силу этого неравенства имеем

тем самым неравенство (3), а следовательно и (2), доказано.

4. Рассмотрим то же самое множество упорядоченных групп из n действительных чисел x = (x 1 ,…, x n) но расстояние определим в нем формулой

. (5)

Справедливость аксиом здесь очевидна.

Задача. Доказать аксиому 4.

Обозначим это метрическое пространство символом .

. (6)

Справедливость аксиом 1) - 3) очевидна.

Задача. Доказать аксиому 4.

Это пространство, которое мы обозначим , во многих вопросах анализа не менее удобно, чем евклидово пространство R n .

6. Множество C всех непрерывных действительных функций, определенных на сегменте , с расстоянием

(7)

также образует метрическое пространство. Аксиомы 1) - 3) проверяются непосредственно.

Задача. Доказать аксиому 4.

Это пространство играет очень важную роль в анализе. Мы будем его обозначать тем же символом C , что и само множество точек этого пространства. Вместо C мы будем писать просто С .

7. Обозначим через l 2 метрическое пространство, точками которого служат всевозможные последовательности х=(x 1 ,…,х n , …) действительных чисел, удовлетворяющие условию ,

а расстояние определяется формулой

. (8)

Из элементарного неравенства следует, что функция ρ(х,у) имеет смысл для всех сходится, если

Покажем теперь, что функция (8) удовлетворяет аксиомам метрического пространства. Аксиомы 1) - 3) очевидны, а аксиома треугольника принимает здесь вид

В силу сказанного выше каждый из трех написанных здесь рядов сходится. С другой стороны, при каждом n справедливо неравенство

(см. пример 4). Переходя здесь к пределу при n®∞ получаем (8), т.е. неравенство треугольника в l 2 .

8. Рассмотрим, как и в примере 6, совокупность всех функций, непрерывных на отрезке , но расстояние определим иначе, а именно, положим

. (10)

Такое метрическое пространство мы будем обозначать С 2 и называть пространством непрерывных функций с квадратичной метрикой. Здесь все аксиомы метрического пространства очевидны, а аксиома треугольника непосредственно вытекает из интегральной формы неравенства Коши - Буняковского

9. Рассмотрим множество всех ограниченных последовательностей x = (x 1 ,…, x n , …) действительных чисел.

, (11)

мы получим метрическое пространство, которое обозначим m . Справедливость аксиом очевидна.

10. Множество упорядоченных групп из n действительных чисел с расстоянием

, (12)

где р - любое фиксированное число ≥ 1 , представляет собой метрическое пространство, которое мы обозначим .

Проверим аксиому 4.

Пусть x=(x 1 ,…,x n), y=(y 1 ,…,y n), z=(z 1 ,…,z n).

Положим , тогда неравенство

справедливость которого мы должны установить, примет вид

(13)

Это - так называемое неравенство Минковского. При p= 1 неравенство Минковского очевидно (модуль суммы не превосходит суммы модулей), поэтому будем считать, что р > 1 .

Доказательство неравенства (13) при р>1 основано на так называемом неравенстве Гёльдера

(14)

где числа р > 1 и q > 1 связаны условием

(15)

Заметим, что неравенство (14) однородно. Это значит, что если оно выполнено для каких-либо двух векторов a = (a 1 ,…, a n), и b = (b 1 ,…, b n), то оно выполнено и для векторов λa и μb , где λ и μ - произвольные числа. Поэтому неравенство (14) достаточно доказать для случая, когда

(16)

Итак, пусть выполнено условие (16); докажем, что

(17)

Рассмотрим на плоскости (ξ,η) кривую, определяемую уравнением η = ξ p -1 (ξ>0) , или, что то же самое, уравнением ξ p -1 (η >0) (рис. 1). Из рисунка ясно, что при любом выборе положительных значений a и b будет S 1 + S 2 > ab . Вычислим площади S 1 и S 2 :

Таким образом, справедливо числовое неравенство

Заменив здесь a на |a k | и b на |b k | и суммируя по k от 1 до n , получим, учитывая (15) и (16),

Неравенство (17), а, следовательно, и общее неравенство (14) доказаны.

При р = 2 неравенство Гёльдера (14) переходит в неравенство Коши - Буняковского (4).

Перейдем теперь к доказательству неравенства Минковского. Для этого рассмотрим тождество

Заменяя в написанном тождестве a на a k и b на b k и суммируя по k от 1 до n получим

Применяя теперь к каждой из двух сумм, стоящих справа, неравенство Гёльдера и учитывая, что (p - 1)q = p , получим

Формальное определение

Метрическое пространство M есть множество точек с расстояния (также называется метрикой ) d:M\times M\to \mathbb{R} (где \mathbb{R} обозначает множество ). Для любых точек x , y , z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

d (x , y ) ≥ 0
d (x , x ) = 0
d (x , y ) = 0 \Leftrightarrow x = y .
d (x , y ) = d (y , x ) (симметрия )
d (x , z ) ≤ d (x , y ) + d (y , z ) ().

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть положительно и расстояние от x до y такое же, как и от y до x . Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y , а потом от y до z .

Примеры

Дискретная метрика: d (x ,y ) = 0, если x =y , и d (x ,y ) = 1 во всех остальных случаях.
с функцией расстояния d (x , y ) = |y - x | и являются полными метрическими пространствами.
Манхеттенская, или городская метрика: координатная плоскость, на которой расстояние определено как сумма расстояний между координатами. Более общий пример: любое можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния d (x , y ) = ||y - x ||, в случае конечной размерности это называется пространством Минковского (не надо путать с другим ).
Любое связное M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как длин путей, соединяющих пару точек.
Множество вершин любого связного G можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины.
Множество подмножеств K (M ) любого метрического пространства M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой . В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

D (X , Y ) = inf{r : для всех x в X существует y в Y с d (x , y ) < r и для любого y в Y существует x в X такое, что d (x , y ) < r )}.

Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до ) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова - Хаусдорффа.

Связанные определения

Метрическое пространство называется полным , если любая сходится к некоторому элементу этого пространства.
Метрика d на M называется внутренней, если любые две точки x и y в M можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к d (x , y ).
Любое метрическое пространство обладает естественной , базой для которой служит множество открытых шаров , т.е. множеств следующего типа:

B(x ; r ) = {y в M : d(x ,y ) < r }, где x есть точка в M и r - положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество O является открытым, если для любой точки x\in O найдётся положительное число r , такое, что множество точек на расстоянии меньше r от x принадлежит O .

Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными .
Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется .
Метрика на пространстве называется ультраметрикой , если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника :

Для всех x , y и z в M , d (x , z ) ≤ max(d (x , y ), d (y , z )).

Расстояние d (x ,S ) от точки x до подмножества S в M определяется по формуле:

d (x ,S ) = inf{d (x ,s ) : s ∈ S } Тогда d (x , S ) = 0, только если x принадлежит S .

Иногда рассматривают метрики со значениями . Для любой такой метрики можно рассмотреть конечную метрику d "(x , y ) = d (x , y ) / (1 + d (x , y )) или d ""(x , y ) = min(1, d (x , y ))). Эти метрические пространства имеют одну и ту же топологию.

Свойства

Метрическое пространство тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Метрическое пространство может не иметь счётной , но всегда удовлетворяет - имеет счётную базу в каждой точке.
- Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
- Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов - точечно-счётная база (но это свойство слабее