Основные свойства функций. Способы заданий функций

В статье покажем, как решать дроби на простых понятных примерах. Разберемся, что такое дробь и рассмотрим решение дробей !

Понятие дроби вводится в курс математики начиная с 6 класса средней школы.

Дроби имеют вид: ±X/Y, где Y - знаменатель, он сообщает на сколько частей разделили целое, а X - числитель, он сообщает, сколько таких частей взяли. Для наглядности возьмем пример с тортом:

В первом случае торт разрезали поровну и взяли одну половину, т.е. 1/2. Во втором случае торт разрезали на 7 частей, из которых взяли 4 части, т.е. 4/7.

Если часть от деления одного числа на другое не является целым числом, ее записывают в виде дроби.

Например, выражение 4:2 = 2 дает целое число, а вот 4:7 нацело не делится, поэтому такое выражение записывается в виде дроби 4/7.

Иными словами дробь - это выражение, которое обозначает деление двух чисел или выражений, и которое записывается с помощью дробной черты.

Если числитель меньше знаменателя - дробь является правильной, если наоборот - неправильной. В состав дроби может входить целое число.

Например, 5 целых 3/4.

Данная запись означает, что для того, чтобы получить целую 6 не хватает одной части от четырех.

Если вы хотите запомнить, как решать дроби за 6 класс , вам надо понять, что решение дробей , в основном, сводится к понимаю нескольких простых вещей.

Дробь по сути это выражение доли. То есть числовое выражение того, какую часть составляет данное значение от одного целого. К примеру дробь 3/5 выражает, что, если мы поделили что то целое на 5 частей и количество долей или частей это этого целого - три.
Дробь может быть меньше 1, например 1/2(или по сути половина), тогда она правильная. Если дробь больше 1, к примеру 3/2(три половины или один с половиной), то она неправильная и для упрощения решения, нам лучше выделить целую часть 3/2= 1 целая 1/2.
Дроби это такие же числа, как 1, 3, 10, и даже 100, только числа это не целые а дробные. С ними можно выполнять все те же операции, что с числами. Считать дроби не сложнее, и далее на конкретных примерах мы это покажем.

Как решать дроби. Примеры.

К дробям применимы самые разные арифметические операции.

Приведение дроби к общему знаменателю

Например, необходимо сравнить дроби 3/4 и 4/5.

Чтобы решить задачу, сначала найдем наименьший общий знаменатель, т.е. наименьшее число, которое делится без остатка на каждый из знаменателей дробей

Наименьший общий знаменатель(4,5) = 20

Затем знаменатель обоих дробей приводится к наименьшему общему знаменателю

Ответ: 15/20

Сложение и вычитание дробей

Если необходимо посчитать сумму двух дробей, их сначала приводят к общему знаменателю, затем складывают числители, при этом знаменатель останется без изменений. Разность дробей считается аналогичным образом, различие лишь в том, что числители вычитаются.

Например, необходимо найти сумму дробей 1/2 и 1/3

Теперь найдем разность дробей 1/2 и 1/4

Умножение и деление дробей

Тут решение дробей несложное, здесь все достаточно просто:

Умножение - числители и знаменатели дробей перемножаются между собой;
Деление - сперва получаем дробь, обратную второй дроби, т.е. меняем местами ее числитель и знаменатель, после чего полученные дроби перемножаем.

Например:

На этом о том, как решать дроби , всё. Если у вас остались какие то вопросы по решению дробей , что то непонятно, то пишите в комментарии и мы обязательно вам ответим.

Если вы учитель, то возможно скачать презентацию для начальной школы (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) будет вам кстати.

Способы заданий функций

Функция считается заданной, если известна область определения и указано правило, по которому для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Такое правило можно указать различными способами. Наиболее распространенные:

1. Аналитический. В этом способе зависимость между переменными х и у выражается в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по заданному значению аргумента найти значение функции.

Например. y = 2x, или y = x 2 и т.д. заданы именно аналитически.

Чем хорош аналитический способ задания функции? Тем, что если у вас есть формула - вы знаете про функцию всё! Вы можете составить таблицу. Построить график. Исследовать эту функцию по полной программе. Точно предсказать, где и как будет вести себя эта функция. Весь матанализ стоит именно на таком способе задания функций.

2. Табличный способ. Заключается в том, что значения аргумента и функции записаны в виде таблицы.

X	- 3	- 1
Y	- 6	- 2

Используются таблицы социологических опросов, экспериментальных измерений, таблицы бухгалтерской отчетности, логарифмические таблицы, тригонометрических функций и т.д.

На табличном способе задания функции основаны реляционные базы данных.

3. Графический способ . Заключается в задании соответствия между х и у при помощи графика.

По оси абсцисс откладывается аргумент (х), а по оси ординат - значение функции (у). По графику можно выбрать любой х и найти соответствующее ему значение у .

Эта кривая – и есть закон, по которому можно перевести икс в игрек.

Графический способ хорош своей наглядностью. Сразу видно, как ведёт себя функция. График функции позволяет не только с его помощью находить значения функции, но и видеть многие её свойства: в каких точках функция обращается в нуль, на каких промежутках она принимает отрицательные или положительные значения, где она возрастает или убывает и др. А уж в теме с производной, задания с графиками - сплошь и рядом! Недостаток – ограниченная точность значений/

Вообще, аналитический и графический способы задания функции идут рука об руку. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь.

4. Словесный способ . Функция описывается правилом ее составления с помощью естественного языка.

Например: «Каждому отрицательному числу соответствует -1, нулю – число 0, а каждому положительному – число 1».

Обычно эту функцию обозначают так: Y=sign X (читают: «Игрек равен сигнум Х»). Латинское слово signum переводится как «знак» и указывает знак числа. Эту функцию можно задать так:

1, если Х<0

Y= 0, если Х=0

1, если Х>0

Основные свойства функции

6.1. Монотонность (возрастание, убывание на интервале)

Функция у = f (x) называется возрастающей на некотором интервале, если для любых х из этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. при х 1 < x 2 , имеет место неравенство

f (x 1) < f (x 2).

Функция y=f (x) называется убывающей на некотором интервале, если для любых х из этого интервала большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. при х 1 < x 2 , имеет место неравенство

f (x 1) > f (x 2).

Если же при любых значениях х взятых из некоторого промежутка и удовлетворяющих условию х 1 < x 2 вытекает нестрогое неравенство f (x 1) £ f (x 2) илиf (x 1) ³ f (x 2) , то функция называется неубывающей (невозрастающей).

Функции только убывающие или только возрастающие называют монотонными .

6.2. Четность и нечетность функции

Функцию у = f (x), х є Х, называют четной , если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х) , т.е. при изменении знака аргумента значение функции не изменяется.

Функцию у = f (x), х є X, называют нечетной , если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = - f (х) , т.е. при изменении знака аргумента меняется только знак функции.

Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).

Алгоритм исследования функции у = f(х) на четность

1. Найти f (-х).

3. Сравнить f (x) = f (-x)

а) если f(-х) = f(х), то функция – четная,

б) если f(-х) = -f(х), то функция – нечетная;

в) если хотя бы в одной точке х є Х выполняется соотношение f(-х) = f(х) и хотя бы в одной точке х є X выполняется соотношение f(-х) = -f(х), то функция не является ни четной, ни нечетной.

6.3. Периодичность

Функция f (x) называется периодической, если существует такое число l ¹0 (называемое периодом), что в каждой точке области определения функции выполняется условие f (x+l) = f (x) .

Например, функции у= sin x, y=tg x являются периодическими с периодами p и 2p: sin (x+2p)=sin x; tg (x+p)=tg (x).

6.4. Ограниченность

Функция у= f (x) называется ограниченной, если ее область значений ограничена, т.е. все ее значения лежат на некотором конечном промежутке.

Функция у= f (x) называется ограниченной на всей области определения D(f), если существует такое число М > 0, такое что ½f (x)½£ М для любого хÎХ.

Пример, у=cos x является ограниченной, так как ½cos x½£ 1 для любого хÎR.

Классификация функций

7.1. Основные элементарные функции:

а) Линейная функция у=kx+b. Графиком линейной функции является прямая.

б) Степенная функция у=х 2 . Например, при n=2 получим квадратичную функцию, графиком которой является парабола. При n=3 – кубическая парабола.

в) Показательная функция у=а х, где а – данное положительное число не равное единице, х – переменная величина, которая может принимать любые действительные значения. г) Логарифмическая функция у=log a x (а>0, а¹1). Является обратной по отношению к показательной функции, так как если у=log a x, то х=а у.

д) Тригонометрические функции: у=cos x, y=sin x, y=tg x, y=ctg x.

е) Обратные тригонометрические функции: y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg, y=arcctg.

Таким образом, элементарными называются функции , которые получаются из основных функций с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций (формирование сложных функций), примененных конечное число раз.

7.2. Рациональные функции.

а) Целая рациональная функция (многочлен) – такая функция, над значениями аргумента х которой и некоторыми постоянными числами выполняются операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведение в степень. Пример целой рациональной функции: .

б) Дробно-рациональная функция – представлена в виде частного от деления двух целых рациональных функций. Пример дробно-рациональной функции: .

7.3. Иррациональные функции – алгебраические функции, содержащие аргумент под знаком радикала (корня).

Примером может являться функция .

7.4. Сложная функция. Сложная функция - это функция от функции. Если u - функция от x, то есть u=u(x), а f - функция от u: f=f(u), то функция y=f(u) - сложная. Пример, у=sin 2 x – сложная функция, ее можно представить так y=u 2 , где u=sin x.