Что такое условие фано в информатике. Условие фано
Рассмотрим другую кодовую таблицу: А Б В Г Д 000 01 10 011 100 Здесь условие Фано не выполняется, поскольку код буквы Б (01) является началом кода буквы Г (011), а код буквы Д (100) начинается с кода буквы В (10). Тем не менее, можно заметить, что выполнено «обратное» условие Фано: ни один код не является окончанием другого кода (такой код называют постфиксным). Поэтому закодированное сообщение можно однозначно декодировать с конца. Например, рассмотрим цепочку 011000110110. Последней буквой в этом сообщении может быть только В (код 10): В 0110001101 10 Вторая буква с конца – Б (код 01): Б В 01100011 01 10 и так далее: Б Д Г Б В 01 100 011 01 10.
Слайд 26 из презентации «Методы кодирования информации» . Размер архива с презентацией 734 КБ.Методы кодирования
краткое содержание других презентаций«Двоичное кодирование» - Цифры. Двоичное кодирование текстовой информации. Таблица кодировки. Информационный объем текста. Двоичное кодирование в компьютере. Кодирование текстовой информации. Таблица расширенного кода. Символ. Уникальный двоичный код. Буква латинского алфавита. Использование двоичной системы. Компьютеры.
«Кодирование информации в двоичном коде» - Определение. Системы счисления. Двоичная система счисления. Кодирование. Кодирование информации. Приведите примеры кодирования. Десятичная система счисления. Значение цифры. Значение цифры зависит от ее положения. Алфавит. Языки. Римская непозиционная система. Двоичное кодирование. Что здесь зашифровано.
«Способы кодирования» - Номер столбца. Буква исходного текста. Кодирование информации. Способы кодирования информации. Декодируйте информацию. Передаваемая информация. В мире кодов. Автоматическое кодирование. Метод координат. Достоинства и недостатки. Разнообразие кодов. Мальчик. Как можно назвать записную книжку с точки зрения хранения информации. Закодированный текст. Носитель информации. Ключевые слова. Разгадайте ребус.
«Способы кодирования информации» - В памяти компьютера информация представлена в двоичном коде. Кодирование и декодирование. Можно закодировать информацию. Способы кодирования информации. Составим простейшую кодовую таблицу. Чтобы узнать зашифрованное слово, возьмите только первые слоги. Что прочитал Лом на флагах встречной шхуны. Придумайте собственный способ кодирования букв русского алфавита. Задания. Зашифрованная информация. Луи Брайль придумал специальный способ представления информации.
«Методы кодирования информации» - Двоичное кодирование в компьютере. Количество информации. Оптический телеграф Шаппа. Условие Фано. Какой код использовать. Получено сообщение. «Да» или «Нет». Первый телеграф. Способы кодирования информации. Запись информации. Почему двоичное кодирование. Сигнальные флаги. Кодирование. Кодирование и декодирование. Кодирование информации. Выбор способа кодирования. Виды информации. Сколько вариантов.
На тестах для подготовки к ЕГЭ по информатике встречаются задачи на применение условия Фано. Материала в учебниках не нашел. Заходим в Википедию.
Условие Фано (англ. Fano condition, в честь Роберта Фано) - в теории кодирования необходимое условие построения самотерминирующегося кода (в другой терминологии, префиксного кода). Обычная формулировка этого условия выглядит так:
Никакое кодовое слово не может быть началом другого кодового слова.
Более «математическая» формулировка:
Если в код входит слово a, то для любой непустой строки b слова ab в коде не существует.
Алгоритм Шеннона - Фано - один из первых алгоритмов сжатия, который впервые сформулировали американские учёные Шеннон и Роберт Фано. Данный метод сжатия имеет большое сходство с алгоритмом Хаффмана, который появился на несколько лет позже. Алгоритм использует коды переменной длины: часто встречающийся символ кодируется кодом меньшей длины, редко встречающийся - кодом большей длины. Коды Шеннона - Фано префиксные, то есть никакое кодовое слово не является префиксом любого другого. Это свойство позволяет однозначно декодировать любую последовательность кодовых слов.
Основные сведения
Кодирование Шеннона- Фано(англ. coding) - алгоритм префиксного неоднородного кодирования. Относится к вероятностным методам сжатия (точнее, методам контекстного моделирования нулевого порядка). Подобно алгоритму Хаффмана, алгоритм Шеннона - Фано использует избыточность сообщения, заключённую в неоднородном распределении частот символов его (первичного) алфавита, то есть заменяет коды более частых символов короткими двоичными последовательностями, а коды более редких символов - более длинными двоичными последовательностями.
Алгоритм был независимо друг от друга разработан Шенноном (публикация «Математическая теория связи», 1948 год) и, позже, Фано (опубликовано как технический отчёт).
1. Основные понятия
Закодировать текст – значит сопоставить ему другой текст. Кодирование применяется при передаче данных – для того, чтобы зашифровать текст от посторонних, чтобы сделать передачу данных более надежной, потому что канал передачи данных может передавать только ограниченный набор символов (например, - только два символа, 0 и 1) и по другим причинам.
При кодировании заранее определяют алфавит, в котором записаны исходные тексты (исходный алфавит) и алфавит, в котором записаны закодированные тексты (коды), этот алфавит называется кодовым алфавитом. В качестве кодового алфавита часто используют двоичный алфавит, состоящий из двух символов (битов) 0 и 1. Слова в двоичном алфавите иногда называют битовыми последовательностями.
2. Побуквенное кодирование
Наиболее простой способ кодирования – побуквенный. При побуквенном кодировании каждому символу из исходного алфавита сопоставляется кодовое слово – слово в кодовом алфавите. Иногда вместо «кодовое слово буквы» говорят просто «код буквы». При побуквенном кодировании текста коды всех символов записываются подряд, без разделителей.
Пример 1. Исходный алфавит – алфавит русских букв, строчные и прописные буквы не различаются. Размер алфавита – 33 символа.
Кодовый алфавит – алфавит десятичных цифр. Размер алфавита - 10 символов.
Применяется побуквенное кодирование по следующему правилу: буква кодируется ее номером в алфавите: код буквы А – 1; буквы Я – 33 и т.д.
Тогда код слова АББА – это 1221.
Внимание: Последовательность 1221 может означать не только АББА, но и КУ (К – 12-я буква в алфавите, а У – 21-я буква). Про такой код говорят, что он НЕ допускает однозначного декодирования
Пример 2. Исходный и кодовый алфавиты – те же, что в примере 1. Каждая буква также кодируется своим номером в алфавите, НО номер всегда записывается двумя цифрами: к записи однозначных чисел слева добавляется 0. Например, код А – 01, код Б – 02 и т.д.
В этом случае кодом текста АББА будет 01020201. И расшифровать этот код можно только одним способом. Для расшифровки достаточно разбить кодовый текст 01020201 на двойки: 01 02 02 01 и для каждой двойки определить соответствующую ей букву.
Такой способ кодирования называется равномерным. Равномерное кодирование всегда допускает однозначное декодирование.
Далее рассматривается только побуквенное кодирование
3. Неравномерное кодирование
Равномерное кодирование удобно для декодирования. Однако часто применяют и неравномерные коды, т.е. коды с различной длиной кодовых слов. Это полезно, когда в исходном тексте разные буквы встречаются с разной частотой. Тогда часто встречающиеся символы стоит кодировать более короткими словами, а редкие – более длинными. Из примера 1 видно, что (в отличие от равномерных кодов!) не все неравномерные коды допускают однозначное декодирование.
Есть простое условие, при выполнении которого неравномерный код допускает однозначное декодирование.
Код называется префиксным, если в нем нет ни одного кодового слова, которое было бы началом (по-научному, - префиксом) другого кодового слова.
Но я хочу продемонстрировать как можно автоматизировать данный процесс.
Видеоролик выложу в интернет
Приведу пример из подготовки к ЕГЭ по информатике (фирма 1С - материалы Центра Сертифицированного Обучения):
Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв С, Т, Р, О, К и А, используется неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано, и следовательно, позволяющий однозначно декодировать полученную двоичную последовательность. Вот этот код: С - 000, Т - 001, Р - 010, О - 100, К - 011, А - 11. Можно ли сократить для одной из букв длину кодового слова так, чтобы код по прежнему удовлетворял условию Фано? Коды остальных букв меняться не должны.
Выберите правильный вариант ответа.
Варианты ответов:
1) для буквы Р - 01
2) для буквы О - 10
3) для буквы А - 1
4) это невозможно
Правильный вариант - 2
Решение:
Вариант 1) не подходит - условие Фано будет нарушено для букв Р и К
Вариант 2) подходит - слово 10 не является началом кодовых слов для других букв
Вариант 3) не подходит - условие Фано будет нарушено для букв А и О
Вариант 4) не подходит - см. вариант 2)
Теперь посмотрим, что выдаст программа для автоматизированного решения подобных задач и контроля знаний.
В задании не задана частотность или вероятность появления букв, поэтому в программе примем ее равной 0,01 для всех букв.
Вероятности:
0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.01
Значения:
C, T, P, O, K, A
Результат:
C 000
T 001
P 01
O 100
K 101
A 11
Из решения видно, вариантов решения может быть несколько, но все они отвечают условию Фано.
Полагаю, что подобные программы будут полезны для контроля знаний, а включение подобной функции в язык программирования усилит возможности языка, поэтому включаю данную функцию в язык SmartMath. Программа сама определяет количество символов для анализа, сортирует их в зависимости от частотности и присваивает коды согласно условия Фано. Преимущество автоматизации в создании кода при выполнении условия Фано в том, что можно быстро создавать решения для любой последовательности.
Смотрите ссылку.
Задание 31. Неравномерные коды. Условие Фано
5-54.Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г и Д, решили использовать неравномерный двоичный код, позволяющий однозначно декодировать двоичную последовательность, появляющуюся на приёмной стороне канала связи. Для букв А, Б, В и Г использовали такие кодовые слова: А - 001, Б - 010, В - 000, Г - 011.
Укажите, каким кодовым словом из перечисленных ниже может быть закодирована буква Д.
Код должен удовлетворять свойству однозначного декодирования. Если можно использовать более одного кодового слова, укажите кратчайшее из них.
1) 00 2) 01 3) 0000 4) 101
5-85. Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв У, Ч, Е, Н, И и К, используется неравномерный двоичный префиксный код. Вот этот код: У – 000, Ч – 001, Е – 010, Н – 100, И – 011, К – 11. Можно ли сократить для одной из букв длину кодового слова так, чтобы код по-прежнему остался префиксным? Коды остальных букв меняться не должны. Выберите правильный вариант ответа.
Примечание. Префиксный код – это код, в котором ни одно кодовое слово не является началом другого; такие коды позволяют однозначно декодировать полученную двоичную последовательность.
1) кодовое слово для буквы Е можно сократить до 01
2) кодовое слово для буквы К можно сократить до 1
3) кодовое слово для буквы Н можно сократить до 10
4) это невозможно
5-94. Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г, решили использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для буквы А использовали кодовое слово 1, для буквы Б – кодовое слово 011. Какова наименьшая возможная суммарная длина всех четырёх кодовых слов?
5-74. По каналу связи передаются сообщения, содержащие только 4 буквы: E, Н, О, Т. В любом сообщении больше всего букв О, следующая по частоте буква – Е, затем – Н. Буква Т встречается реже, чем любая другая. Для передачи сообщений нужно использовать неравномерный двоичный код, допускающий однозначное декодирование; при этом сообщения должны быть как можно короче. Шифровальщик может использовать один из перечисленных ниже кодов. Какой код ему следует выбрать?
1) Е – 0, Н – 1, О – 00, Т – 11 2) О – 1, Н – 0, Е – 01, Т – 10
3) Е – 1, Н – 01, О – 001, Т – 000 4) О – 0, Н – 10, Е – 111, Т – 110
5-105. По каналу связи передаются сообщения, каждое из которых содержит 15 букв А, 10 букв Б, 6 букв В и 4 буквы Г (других букв в сообщениях нет). Каждую букву кодируют двоичной последовательностью. При выборе кода учитывались два требования:
а) ни одно кодовое слово не является началом другого (это нужно, чтобы код допускал однозначное декодирование);
б) общая длина закодированного сообщения должна быть как можно меньше.
Какой код из приведённых ниже следует выбрать для кодирования букв А, Б, В и Г?
1) А:1, Б:01, В:001, Г:111
2) А:1, Б:01, В:10, Г:111
3) А:00, Б:01, В:10, Г:11
4) А:100, Б:101, В:11, Г:0
5-102. В сообщении встречается 10 разных букв. При его передаче использован неравномерный двоичный префиксный код. Известны коды трех букв: 11, 100, 101. Коды остальных семи букв имеют одинаковую длину. Какова минимальная суммарная длина всех 10-ти кодовых слов?
5-104. В сообщении встречается 50 букв А, 30 букв Б, 20 букв В и 5 букв Г. При его передаче использован неравномерный двоичный префиксный код, который позволил получить минимальную длину закодированного сообщения. Какова она в битах?
По каналу связи передаются сообщения, содержащие только пять букв: A, B, С, D, E. Для передачи используется двоичный код, допускающий однозначное декодирование. Для буквA, B, C используются такие кодовые слова: A – 111, B – 0, C – 100.
Укажите кратчайшее кодовое слово для буквыD, при котором код будет допускать однозначное декодирование. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим числовым значением.
9-1-23. После преобразования растрового 256-цветного графического файла в 16-цветный формат его размер уменьшился на 15 Кбайт. Каков был размер исходного файла в Кбайтах?
9-1-25. После преобразования растрового графического файла его объем уменьшился в 1,5 раза. Сколько цветов было в палитре первоначально, если после преобразования было получено растровое изображение того же разрешения в 16-цветной палитре?
13-37. При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся идентификатор, состоящий из 8 символов, первый и последний из которых – одна из 18 букв, а остальные – цифры (допускается использование 10 десятичных цифр). Каждый такой идентификатор в компьютерной программе записывается минимально возможным и одинаковым целым количеством байт (при этом используют посимвольное кодирование; все цифры кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит, все буквы также кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит). Определите объём памяти в байтах, отводимый этой программой для записи 500 паролей.
13-38. При регистрации в компьютерной системе, используемой при проведении командной олимпиады, каждому ученику выдается уникальный идентификатор – целое число от 1 до 1000. Для хранения каждого идентификатора используется одинаковое и минимально возможное количество бит. Идентификатор команды состоит из последовательно записанных идентификаторов учеников и 8 дополнительных бит. Для записи каждого идентификатора команды система использует одинаковое и минимально возможное количество байт. Во всех командах равное количество участников. Сколько участников в каждой команде, если для хранения идентификаторов 20 команд-участниц потребовалось 180 байт?
13-50. При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, состоящий из 15 символов и содержащий только символы из 12-символьного набора: А, В, C, D, Е, F, G, H, K, L, M, N. В базе данных для хранения сведений о каждом пользователе отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт. При этом используют посимвольное кодирование паролей, все символы кодируют одинаковым и минимально возможным количеством бит. Кроме собственно пароля, для каждого пользователя в системе хранятся дополнительные сведения, для чего выделено целое число байт; это число одно и то же для всех пользователей. Для хранения сведений о 20 пользователях потребовалось 300 байт. Сколько байт выделено для хранения дополнительных сведений об одном пользователе? В ответе запишите только целое число – количество байт.
16-165. Значение арифметического выражения: 9 22 + 3 66 – 18 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Здравствуйте! Меня зовут Александр Георгиевич и я являюсь московским профессиональным репетитором по информатике и программированию. Вам попалась задача, связанная с кодированием и , и вы запутались в алгоритме ее решения? Вам срочно нужно познакомиться с условием Фано , а также записаться ко мне на индивидуальные уроки. На своих уроках я акцентирую внимание на решении тематических простых и сложных упражнений.
В чем смысл прямого условия Фано?
Условие Фано названо в честь его создателя, итальянско-американского ученого Роберта Фано. Условие является необходимым в теории кодирования при построении самотерминирующегося кода. Учитывая другую терминологию, такой код называется префиксным.
Сформулировать данное условие можно следующим образом: «ни одно кодовое слово не может выступать в качестве начала любого другого кодового слова ».
С математической точки зрения условие можно сформулировать следующим образом: «если код содержит слово B, то для любой непустой строки C слова BC не существует в коде ».
В чем смысл обратного условия Фано?
Существует также и обратное правило Фано, формулировка которого звучит следующим образом: «ни одно кодовое слово не может выступать в качестве окончания любого другого кодового слова ».
С математической точки зрения обратное условие можно сформулировать следующим образом: «если код содержит слово B, то для любой непустой строки C слова CB не существует в коде ».
Практическое применение условия Фано
Рассмотрим телефонные номера в традиционной телефонии. Если уже существует номер «102», то номер «1029876» попросту не будет выдан. В случае набора первых трех цифр АТС перестает распознавать и принимать все остальные цифры, соединяя с абонентом по номеру 102. Однако это правило не является действительным для операторов мобильной связи. Связано это с тем, что для набора номера необходимо нажатие соответствующей клавиши, которой, в основном, является клавиша с изображением зеленой телефонной трубки. По этой причине, номера «102», «1020» и «1029876» могут существовать и быть закрепленными за разными адресатами.
Условие задачи: дана последовательность, которая состоит из букв «A», «B», «C», «D» и «E». Для кодирования приведенной последовательности применяется неравномерный двоичный код, при помощи которого можно осуществить однозначное декодирование.
Вопрос : есть ли возможность для одного из символов сократить длину кодового слова таким образом, чтобы сохранить возможность однозначного декодирования? При этом коды остальных символов должны остаться неизменными.
Решение : для того, чтобы сохранилась возможность декодирования, достаточным является соблюдение прямого или обратного условия Фано . Проведем последовательную проверку вариантов 1, 3 и 4. В случае если ни один из вариантов не подойдет, правильным ответом будет вариант 2 (не представляется возможным).
Вариант 1. Код: A - 00, B - 01, C - 011, D - 101, и E - 111. Прямое условие Фано не выполняется: код символа «B» совпадает с началом кода символа «C». Обратное правило Фано не выполняется: код символа «B» совпадает с окончанием кода символа «D». Вариант не является подходящим.
Вариант 3. Код: A - 00, B - 010, C - 01, D - 101, и E - 111. Прямое условие Фано не выполняется: код символа «C» совпадает с началом кода символа «B». Обратное условие также не выполняется: код символа «C» совпадает с окончанием кода символа «D». Вариант не является подходящим.
Вариант 4. Код: A - 00, B - 010, C - 011, D - 01, и E - 111. Прямое условие Фано не выполняется: код символа «D» совпадает с началом кода символов «B» и «C». Однако наблюдается выполнение обратного правила Фано: код символа «D» не совпадает с окончанием кода всех остальных символов. По этой причине, вариант является подходящим.
После проверки вариантов решения задачи на соответствие прямому и обратному условию Фано , было установлено, что правильным является вариант 4.
Ответ : 4
А сейчас я вам предлагаю ознакомиться с мультимедийным решением задачи, которая была предложена в демонстрационном варианте ЕГЭ по информатике и ИКТ. Кстати, данная задача относится к типу задач, решаемых с использованием условия Фано .
Остались вопросы?
Если после прочтения данной публикации у вас все равно остались какие-то вопросы, непонимания или вы хотите закрепить пройденный материал практическими решениями, то звоните и записывайтесь ко мне на частные уроки по информатике и ИКТ.