Коммутатор локальной вычислительной сети назначение. Чем отличается коммутатор от маршрутизатора? Коммутация в городских телефонных сетях

Собственный делитель натурального числа - это любой делитель, кроме самого этого числа. Если число равно сумме своих собственных делителей, то оно называется совершенным . Так, 6 = 3 + 2 + 1 - это наименьшее из всех совершенных чисел (1 не в счет), 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 - это еще одно такое число.

Совершенные числа были известны еще в древности и интересовали ученых во все времена. В «Началах» Евклида доказано, что если простое число имеет вид 2 n – 1 (такие числа называют простыми числами Мерсенна), то число 2 n –1 (2 n – 1) - совершенное. А в XVIII веке Леонард Эйлер доказал, что любое четное совершенное число имеет такой вид.

Задача

Попробуйте доказать эти факты и найти еще пару-тройку совершенных чисел.

Подсказка 1

а) Чтобы доказать утверждение из «Начал» (что если простое число имеет вид 2 n – 1, то число 2 n –1 (2 n – 1) - совершенное), удобно рассмотреть сигма-функцию, которая равна сумме всех положительных делителей натурального числа n . Например, σ (3) = 1 + 3 = 4, а σ (4) = 1 + 2 + 4 = 7. Эта функция обладает полезным свойством: она мультипликативна , то есть σ (ab ) = σ (a )σ (b ); равенство выполняется для любых двух взаимно простых натуральных чисел a и b (взаимно простыми называются числа, у которых нет общих делителей). Это свойство можно попытаться доказать или принять на веру.

При помощи сигма-функции доказательство совершенности числа N = 2 n –1 (2 n – 1) сводится к проверке того, что σ (N ) = 2N . Для этого пригодится мультипликативность этой функции.

б) Другой путь решения не использует никаких дополнительных конструкций вроде сигма-функции. Он опирается только на определение совершенного числа: нужно выписать все делители числа 2 n –1 (2 n – 1) и найти их сумму. Должно получиться это же число.

Подсказка 2

Доказывать, что любое четное совершенное число - это степень двойки, умноженная на простое число Мерсенна, также удобно с помощью сигма-функции. Пусть N - какое-нибудь четное совершенное число. Тогда σ (N ) = 2N . Представим N в виде N = 2 k ·m , где m - нечетное число. Поэтому σ (N ) = σ (2 k ·m ) = σ (2 k )σ (m ) = (1 + 2 + ... + 2 k )σ (m ) = (2 k +1 – 1)σ (m ).

Получается, что 2·2 k ·m = (2 k +1 – 1)σ (m ). Значит, 2 k +1 – 1 делит произведение 2 k +1 ·m , а поскольку 2 k +1 – 1 и 2 k +1 взаимно просты, то m должно делиться на 2 k +1 – 1. То есть m можно записать в виде m = (2 k +1 – 1)·M . Подставив это выражение в предыдущее равенство и сократив на 2 k +1 – 1, получим 2 k +1 ·M = σ (m ). Теперь до окончания доказательства остается всего один, хотя и не самый очевидный, шаг.

Решение

В подсказках содержится значительная часть доказательств обоих фактов. Восполним здесь недостающие шаги.

1. Теорема Евклида.

а) Для начала нужно доказать, что сигма-функция действительно мультипликативна. На самом деле, поскольку каждое натуральное число однозначно раскладывается на простые множители (это утверждение называют основной теоремой арифметики), достаточно доказать, что σ (pq ) = σ (p )σ (q ), где p и q - различные простые числа. Но довольно очевидно, что в этом случае σ (p ) = 1 + p , σ (q ) = 1 + q , а σ (pq ) = 1 + p + q + pq = (1 + p )(1 + q ).

Теперь завершим доказательство первого факта: если простое число имеет вид 2 n – 1, то число N = 2 n –1 (2 n – 1) - совершенное. Для этого достаточно проверить, что σ (N ) = 2N (так как сигма-функция - это сумма всех делителей числа, то есть сумма собственных делителей плюс само число). Проверяем: σ (N ) = σ (2 n –1 (2 n – 1)) = σ (2 n –1)σ (2 n – 1) = (1 + 2 + ... + 2 n –1)·((2 n – 1) + 1) = (2 n – 1)·2 n = 2N . Здесь было использовано, что раз 2 n – 1 - простое число, то σ (2 n – 1) = (2 n – 1) + 1 = 2 n .

б) Доведем до конца и второе решение. Найдем все собственные делители числа 2 n –1 (2 n – 1). Это 1; степени двойки 2, 2 2 , ..., 2 n –1 ; простое число p = 2 n – 1; а также делители вида 2 m ·p , где 1 ≤ m ≤ n – 2. Суммирование всех делителей тем самым разбивается на подсчет сумм двух геометрических прогрессий . Первая начинается с 1, а вторая - с числа p ; у обеих знаменатель равен 2. По формуле суммы элементов геометрической прогрессии сумма всех элементов первой прогрессии равна 1 + 2 + ... + 2 n –1 = (2 n – 1)/2 – 1 = 2 n – 1 (и это равно p ). Вторая прогрессия дает p ·(2 n –1 – 1)/(2 – 1) = p ·(2 n –1 – 1). Итого, получается p + p ·(2 n –1 – 1) = 2 n –1 ·p - то, что надо.

Скорее всего, Евклид не был знаком с сигма-функцией (да и вообще с понятием функции), поэтому его доказательство изложено несколько другим языком и ближе к решению из пункта б). Оно содержится в предложении 36 из IX книги «Начал» и доступно, например, .

2. Теорема Эйлера.

Прежде чем доказывать теорему Эйлера, отметим еще, что если 2 n – 1 - простое число Мерсенна , то n также должно быть простым числом. Дело в том, что если n = km - составное, то 2 km – 1 = (2 k ) m – 1 делится на 2 k – 1 (поскольку выражение x m – 1 делится на x – 1, это одна из формул сокращенного умножения). А это противоречит простоте числа 2 n – 1. Обратное утверждение - «если n - простое, то 2 n – 1 также простое» - не верно: 2 11 – 1 = 23·89.

Вернемся к теореме Эйлера. Наша цель - доказать, что любое четное совершенное число имеет вид, полученный еще Евклидом. В подсказке 2 были намечены первые этапы доказательства, и осталось сделать решающий шаг. Из равенства 2 k +1 ·M = σ (m ) следует, что m делится на M . Но m делится также и на само себя. При этом M + m = M + (2 k +1 – 1)·M = 2 k +1 ·M = σ (m ). Это означает, что у числа m нет других делителей, кроме M и m . Значит, M = 1, а m - простое число, которое имеет вид 2 k +1 – 1. Тогда N = 2 k ·m = 2 k (2 k +1 – 1), что и требовалось.

Итак, формулы доказаны. Применим их, чтобы найти какие-нибудь совершенные числа. При n = 2 формула дает 6, а при n = 3 получается 28; это первые два совершенных числа. По свойству простых чисел Мерсенна, нам нужно подобрать такое простое n , что 2 n – 1 будет также простым числом, а составные n можно вообще не рассматривать. При n = 5 получится 2 n – 1 = 32 – 1 = 31, это нам подходит. Вот и третье совершенное число - 16·31 = 496. На всякий случай проверим его совершенность явно. Выпишем все собственные делители 496: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Их сумма равна 496, так что всё в порядке. Следующее совершенное число получается при n = 7, это 8128. Соответствующее простое число Мерсенна равно 2 7 – 1 = 127, и довольно легко проверить, что оно действительно простое. А вот пятое совершенное число получается при n = 13 и равно 33 550 336. Но проверять его вручную уже очень утомительно (однако это не помешало кому-то открыть его еще в XV веке!).

Послесловие

Первые два совершенных числа - 6 и 28 - были известны с незапамятных времен. Евклид (и мы вслед за ним), применив доказанную нами формулу из «Начал», нашел третье и четвертое совершенные числа - 496 и 8128. То есть сначала было известно всего два, а потом четыре числа с красивым свойством «быть равными сумме своих делителей». Больше таких чисел обнаружить не могли, да и эти, на первый взгляд, ничего не объединяло. В эпоху древности люди были склонны вкладывать мистический смысл в таинственные и непонятные явления, поэтому и совершенные числа получили особый статус. Пифагорейцы , оказавшие сильное влияние на развитие науки и культуры того времени, также поспособствовали этому. «Всё есть число», - говорили они; число 6 в их учении обладало особыми магическими свойствами. А ранние толкователи Библии объясняли, что мир был сотворен именно на шестой день, потому что число 6 - самое совершенное среди чисел, ибо оно первое среди них. Также многим казалось неслучайным, что Луна делает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

Пятое совершенное число - 33 550 336 - было найдено только в XV веке. Еще почти через полтора века итальянец Катальди нашел шестое и седьмое совершенные числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Им соответствуют n = 17 и n = 19 в формуле Евклида. Обратите внимание, что счет идет уже на миллиарды, и страшно даже представить, что все вычисления были проделаны без калькуляторов и компьютеров!

Как мы знаем, Леонард Эйлер доказал, что любое четное совершенное число должно иметь вид 2 n –1 (2 n – 1), причем 2 n – 1 должно быть простым. Восьмое число - 2 305 843 008 139 952 128 - нашел тоже Эйлер в 1772 году. Здесь n = 31. После его достижений можно было осторожно сказать, что про четные совершенные числа науке стало что-то понятно. Да, они быстро растут, и их трудно вычислять, но хотя бы ясно, как это делать: надо брать числа Мерсенна 2 n – 1 и искать среди них простые. Про нечетные совершенные числа неизвестно почти ничего. На сегодняшний день не найдено ни одного такого числа, при том что проверены все числа до 10 300 (видимо, нижняя граница отодвинута даже дальше, просто соответствующие результаты еще не опубликованы). Для сравнения: число атомов в видимой части Вселенной оценивается величиной порядка 10 80 . При этом не доказано, что нечетных совершенных чисел не существует, просто это может быть очень большое число. Даже настолько большое, что наши вычислительные мощности никогда до него не доберутся. Существует ли такое число или нет - одна из открытых на сегодня проблем математики. Компьютерным поиском нечетных совершенных чисел занимаются участники проекта OddPerfect.org .

Вернемся к четным совершенным числам. Девятое число было найдено в 1883 году сельским священником из Пермcкой губернии И. М. Первушиным . В этом числе 37 цифр. Таким образом, к началу XX века было найдено всего 9 совершенных чисел. В это время появились механические арифметические машины, а в середине века - и первые компьютеры. С их помощью дело пошло быстрее. Сейчас найдено 47 совершенных чисел. Причем только у первых сорока известны порядковые номера. Еще про семь чисел пока точно не установлено, какие они по счету. В основном поиском новых мерсенновских простых (а с ними - и новых совершенных чисел) занимаются участники проекта GIMPS (mersenne.org).

В 2008 году участниками проекта было найдено первое простое число, в котором больше 10 000 000 = 10 7 цифр. За это они получили приз $100 000. Денежные призы 150 000 и 250 000 долларов также обещаны за простые числа, состоящие из больше чем 10 8 и 10 9 цифр соответственно. Предполагается, что из этих денег получат вознаграждение и те, кто нашел меньшие, но еще не открытые простые числа Мерсенна. Правда, на современных компьютерах проверка чисел такой длины на простоту займет годы, и это, наверное, дело будущего. Самое большое простое число на сегодня равно 2 43112609 – 1. Оно состоит из 12 978 189 цифр. Отметим, что благодаря тесту Люка-Лемера (см. его доказательство: A proof of the Lucas–Lehmer Test) сильно упрощается проверка на простоту чисел Мерсенна: не нужно пытаться найти хотя бы один делитель очередного кандидата (это очень трудоемкая работа, которая для таких больших чисел практически невыполнима сейчас).

У совершенных чисел есть забавные арифметические свойства:

• Каждое четное совершенное число является также треугольным числом , то есть представимо в виде 1 + 2 + ... + k = k (k + 1)/2 для некоторого k .
• Каждое четное совершенное число, кроме 6, является суммой кубов последовательных нечетных натуральных чисел. Например, 28 = 1 3 + 3 3 , а 496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 .
• В двоичной системе счисления совершенное число 2 n –1 (2 n – 1) записывается очень просто: сначала идут n единиц, а потом - n – 1 нулей (это следует из формулы Евклида). Например, 6 10 = 110 2 , 28 10 = 11100 2 , 33550336 10 = 1111111111111000000000000 2 .
• Сумма чисел, обратных всем делителям совершенного числа (само число здесь тоже участвует), равна 2. Например, 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.

Совершенные числа

Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Никомах Герасский, знаменитый философ и математик, писал: " Совершенные числа красивы. Но известно, что вещи редки и немногочисленны, безобразные встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, в то время как совершенных чисел немного" Но, сколько их, Никомах, живший в первом столетии нашей эры не знал.

Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число).

Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число "6". На шестом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем "6", нет, поскольку оно первое среди них.

Рассмотрим число 6. Число имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа 1 + 2 + 3 то мы получим 6. Значит, число 6 дружественно самому себе и является первым совершенным числом.

Следующим совершенным числом, известным древним, было "28". Мартин Гарднер усматривал в этом числе особый смысл. По его мнению, Луна обновляется за 28 суток, потому что число "28" - совершенное. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах. До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть.

Благодаря своей формуле, Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128.

Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа, и никто не знал, могут ли существовать еще числа, которые можно представить в евклидовской формуле, и никто не мог сказать, возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида.

Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел.

Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.

Все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 1 3 + 3 3 + 5 3 …

Сумма обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2.

Кроме того, совершенство чисел тесно связано с двоичностью. Числа: 4=22, 8 = 2? 2? 2, 16 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 и т.д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2n, где n - число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть "не достают" до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа.

Все совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.

Компанейские числа

Понятия совершенных и дружественных чисел часто упоминаются в литературе по занимательной математике. Однако почему-то мало говорится о том, что числа могут дружить и компаниями. Понятие компанейских чисел хорошо раскрывается в англоязычных источниках.

Компанейскими называется такая группа из k чисел, в которых сумма собственных делителей первого числа равна второму, сумма собственных делителей второго - третьему и т.д. А первое число равно сумме собственных делителей k-го числа.

Есть компании по 4, 5, 6, 8, 9 и даже 28 участников, а вот по три не найдено. Пример пятёрки, пока единственной известной: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264.

Лев Николаевич Толстой шутливо «хвастался тем, что дата его рождения (28 августа по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л. Н. Толстого (1828) – тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; а если переставить местами первые две цифры, то получится 8128 – четвертое совершенное число.

Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые вещи редки и немногочисленны. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, а совершенных немного.

«Совершенным называется то, что по достоинствам и ценности не может быть пройдено в своей области» (Аристотель).

Совершенные числа – исключительные числа, недаром еще древние греки видели в них некую совершенную гармонию. Например, число 5 не может быть совершенным числом еще и потому, что пятерочка образует пирамиду, несовершенную фигуру, в которой основание не симметрично боковым сторонам.

Но только два первых числа 6 и 28 месте действительно обожествляли. Есть много примеров: в Древней Греции на 6-ом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый знаменитый и почетный гость, в Древнем Вавилоне круг делили на 6 частей. В Библии утверждается, что мир создан за 6 дней, ведь нет числа совершенней шести. Во-первых, 6 самое меленькое, самое первое совершенное число. Недаром на него обратили внимание великие Пифагор и Евклид, Ферма и Эйлер. Во-вторых, 6 единственное натуральное число, равное произведению своих правильных натуральных делителей: 6=1*2*3. В-третьих, 6 – единственная совершенная цифра. В-четвертых, удивительными свойствами обладает число, состоящее из 3-х шестерок, 666 – число дьявола: 666 равно сумме сумме квадратов первых семи простых чисел и сумме первых 36-ти натуральных чисел:

666=22+32+52+72+112+132+172,

666=1+2+3++34+35+36.

Интересна одна геометрическая интерпретация 6, это правильный шестиугольник. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности. Правильный шестиугольник состоит из шести треугольников, у которых все стороны и углы равны. Правильный шестиугольник встречается в природе, это медовые соты пчел, а мед один из самых полезных продуктов в мире.

Теперь о 28. Древние римляне очень уважали это число, в римских академиях наук было строго по 28 членов, в египетском мере длина локтя 28 пальцев, в лунном календаре 28 дней. А про остальные совершенные числа ничего нет. Почему? Загадка. Совершенные числа вообще загадочные. Многие их загадки до сих пор не могут отгадать, хотя над этим задумывались более двух тысяч лет назад.

Одна из таких загадок, почему смесь совершеннейшего числа 6 и божественного 3, число 666, число дьявола. Вообще есть что-то непонятное между совершенными числами и христианской церковью. Ведь за нахождением хотя бы одного совершенного числа человеку прощались все его прегрешения, и жизнь в раю после смерти. Может церковь знает что-нибудь такое об этих числах, что никому и в голову не придет.

Неразрешимая загадка совершенных чисел, бессилие разума перед их тайной, их непостижимость привели к признаниям божественности этих удивительных чисел. Один из наиболее выдающихся ученых средневековья, друг и учитель Карла Великого, аббат Алкуин, один из виднейших деятелей просвещения, организатор школ и автор учебников по арифметике, был твердо убежден, что человеческий род только по тому несовершенен, в нем только поэтому царят зло, горе и насилие, что он произошел от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге о потопа, а « восемь» - число несовершенное. Род людской до потопа был более совершенен – он произошел от одного Адама, а единица может быть причислена к совершенным числам: она равна самой себе – своему единственному делителю.

После Пифагора многие пытались найти следующие числа или формулу для их выведения, но это удалось только Евклиду через несколько веков после Пифагора. Он доказал, что, если число можно представить в виде 2 р-1(2 р-1), и (2 р -1) – простое, то оно совершенно. Действительно, если р=2, то 2 2-1(2 2 -1)=6, а если р=3, 2 3-1(2 3 -1)=28.

Благодаря этой формуле Евклид нашел еще два совершенных числа, при р=5: 2 5-1(2 5 -1)= 496, 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248, и при р= 7: 2 7-1(2 7 -1)=8128, 8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064.

И опять почти полторы тысячи лет не было просветов на небосклоне скрытных совершенных чисел, пока в 15 веке не было обнаружено пятое число, оно тоже подчинялось правилу Евклида, только при р=13: 2 13-1(2 13 -1)=33550336. Приглядевшись к формуле Евклида, мы увидим связь совершенных чисел с членами геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, эту связь лучше проследить на примере древней легенды, согласно которой Раджа обещал изобретателю шахмат любую награду. Изобретатель попросил положить на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую клетку – два зерна, на третью – четыре, на четвертую – восемь и так далее. На последнюю, 64-ю клетку, должно быть насыпано 264-1 зерен пшеницы. Это больше, чем собрано во всех урожаях за историю человечества. Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел. Например, все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенное число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник. Из той же формулы Евклида следует другое любопытное свойство совершенных чисел: все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13+33+53+ Еще более удивительно, что сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2. Например, взяв делители совершенного числа 28, получим:

Кроме того, интересны представления совершенных чисел в двоичной форме, чередование последних цифр совершенных чисел и другие любопытные вопросы, которые можно найти в литературе по занимательной математике.

Еще через двести лет французский математик Марин Мерсенн без каких-либо доказательств заявил, что следующие шесть совершенных чисел должны также иметь евклидовую форму со значениями р, равными 17, 19, 31, 67, 127, 257. Очевидно, что сам Мерсенн не мог проверить непосредственным вычислением свое утверждение, ведь для этого он должен был доказать, что числа 2 р-1(2 р -1) с указанными им значениями р являются простыми, но тогда это было выше человеческих сил. Так до сих пор и неизвестно как рассуждал Мерсенн, когда заявил, что его числа соответствуют совершенным числам Евклида. Есть предположение: если посмотреть на формулу суммы первых k членов геометрической прогрессии 1+2+22++2k-2+2k-1, то видно, что числа Мерсенна есть не что иное, как простые суммы членов геометрической прогрессии с основанием 2:

67=1+2+64 и т. д.

Обобщенным числом Мерсенна можно назвать простое значение суммы членов геометрической прогрессии с основанием а:

1+а+а2++ак-1=(ак-1)/а-1.

Ясно, что множество всех обобщенных чисел Мерсенна совпадает с множеством всех нечетных простых чисел, поскольку если к – простое или к>2, то к=(к-2)к/к-2=(к-1)2-1/(к-1)-1.

Теперь каждый может самостоятельно исследовать и вычислять числа Мерсенна. Вот начало таблицы.

а к- при которых ак-1/а-1 просты

В настоящее время на простых числах Мерсенна основана защита электронной информации, а также они используются в криптографии и других приложениях математики.

Но это только предположение, свою тайну Мерсенн унес с собой в могилу.

Следующим в череде открытий совершенных был великий Леонард Эйлер, он доказал, что все четные совершенные числа имеют вид указанные Евклидом и, что числа Мерсенна 17, 19, 31 и 127 верны, но 67 и 257 не верны.

Р=17,8589869156 (шестое число)

Р=19,137438691328 (седьмое число)

Р=31,2305843008139952128 (восьмое число).

Девятое число в 1883 году нашел, совершив настоящий подвиг, потому что считал без всяких приборов, сельский священник из под Перьми Иван Михеевич Первушин, он доказал что 2р-1, при р=61:

2305843009213693951- простое число, 261-1(261-1)= 2305843009213693951*260 – совершенно в нем 37 цифр.

В начале 20 столетия появились первые механические счетные машины, на этом кончилась эпоха, когда люди считали вручную. При помощи этих механизмов и ЭВМ были найдены все остальные совершенные числа, которые сейчас известны.

Десятое число было найдено в 1911 году, в нем 54 цифры:

618970019642690137449562111*288, р=89.

Одиннадцатое, имеющее 65 цифр, открыли в 1914 году:

162259276829213363391578010288127*2106, р=107.

Двенадцатое также нашли в 1914 году, 77 цифр р=127:2126(2127-1).

Четырнадцатое было обнаружено в тот же день, 366 цифр р=607, 2606(2607-1).

В июне 1952 года найдено 15-ое число 770 цифр р=1279, 21278(21279-1).

Шестнадцатое и семнадцатое открыто в октябре 1952 года:

22202(22203-1), 1327 цифр р=2203 (16-ое число)

22280(22281-1), 1373 цифры р=2281 (17-ое число).

Восемнадцатое число нашли в сентябре 1957 года, 2000 цифр р=3217.

Поиски последующих совершенных чисел требовали все больше объема вычислений, но вычислительная техника непрерывно совершенствовалась, и в 1962 году было найдено 2 числа (р=4253 и р=4423), в 1965 году еще три числа (р=9689, р=9941, р=11213).

Сейчас известно более 30 совершенных чисел, р самого большого равно 216091.

Но это, по сравнению с загадками, которые оставил Евклид: существуют ли нечетные совершенные числа, конечен ли ряд четных евклидовских совершенных чисел и есть ли четные совершенные числа, не подчиняющиеся формуле Евклида – это и есть три самые главные загадки совершенных чисел. Одну из которых разгадал Эйлер, доказав, что четных совершенных чисел, кроме евклидовских не существует. 2 остальные остаются нерешенными даже в 21 веке, когда ЭВМ достигло такого уровня, что могут производить миллионы операций в секунду. Наличие нечетного несовершенного числа и существование наибольшего совершенного числа – до сих пор не решены.

Без сомнений, совершенные числа оправдывают свое название.

Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа. Это такие два числа, каждые из которых равно сумме делителей второго дружественного числа. Наименьшие из дружественных чисел 220 и 284 были известны еще пифагорейцам, которые считали их символом дружбы. Следующие пары дружественных чисел 17296 и 18416 была открыта французским юристом и математиком Пьером Ферма лишь в1636 году, а последующие числа находил Декарт, Эйлер и Лежандр. 16-летний итальянец Никколо Паганини (тезка знаменитого скрипача) в 1867 году потряс математический мир с сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа.

И в конце предлагается решить следующие задачи, связанные с совершенными числами:

1. Докажите, что число вида 2 р-1(2 р -1), где 2к-1 – простое число, является совершенным.

2. Обозначим через, где - натуральное число, сумму всех его делителей числа. Докажите, что если числа - взаимно просты, то.

3. Найдите еще примеры того, что совершенные числа очень почитались древними.

4. Посмотрите внимательно на фрагмент картины Рафаэля «Сикстинская Мадонна». Какое отношение он имеет к совершенным числам.

5. Вычислите первые 15 чисел Мерсенна. Какие из них являются простыми и какие совершенные числа им соответствуют.

6. Используя определение совершенного числа, представьте единицу в виде суммы различных единичных дробей, знаменателями которых являются все делители данного числа.

7. Расставьте 24 человека в 6 рядов так, чтобы каждый ряд состоял из 5 человек.

8. Пользуясь пятью двойками и арифметическими заклинаниями, запишите число 28.

Сейчас, во время всевозможных гаджетов и электронных девайсов, которые переполняют среду обитания обычного человека, актуальна проблема – как эти все интеллектуальные устройства увязать между собой. Почти в любой квартире есть телевизор, компьютер/ноутбук, принтер, сканер, звуковая система, и хочется как-то скоординировать их, а не перекидывать бесконечное количество информации флешками, и при этом не запутаться в бесконечных километрах проводов. Та же самая ситуация касается офисов – с немалым количеством компьютеров и МФУ, или других систем, где нужно увязать разных представителей электронного сообщества в одну систему. Вот тут и возникает идея построения локальной сети. А основа грамотно организованной и структурированной локальной сети – сетевой коммутатор.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Коммутатор , или свитч - прибор, объединяющий несколько интеллектуальных устройств в локальную сеть для обмена данными. При получении информации на один из портов, передает ее далее на другой порт, на основании таблицы коммутации или таблицы MAC-адресов . При этом процесс заполнения таблицы идет не пользователем, а самим коммутатором, в процессе работы – при первом сеансе передачи данных таблица пуста, и изначально коммутатор ретранслирует пришедшую информацию на все свои порты. Но в процессе работы он запоминает пути следования информации, записывает их к себе в таблицу и при последующих сеансах уже отправляет информацию по определенному адресу. Размер таблицы может включать от 1000 до 16384 адресов.

Для построения локальных сетей используются и другие устройства – концентраторы (хабы) и маршрутизаторы (роутеры). Сразу, во избежание путаницы, стоит указать на различия между ними и коммутатором.

Концентратор (он же хаб) – является прародителем коммутатора. Время использования хабов фактически ушло в прошлое, из-за следующего неудобства: если информация приходила на один из портов хаба, он тут же ретранслировал ее на другие, «забивая» сеть лишним трафиком. Но изредка они еще встречаются, впрочем, среди современного сетевого оборудования выглядят, как самоходные кареты начала 20-го века среди электрокаров современности.

Маршрутизаторы – устройства, с которыми часто путают коммутаторы из-за похожего внешнего вида, но у них более обширный спектр возможностей работы, и ввиду с этим более высокая стоимость. Это своего рода сетевые микрокомпьютеры, с помощью которых можно полноценно настроить сеть, прописав все адреса устройств в ней и наложив логические алгоритмы работы – к примеру, защиту сети.

Коммутаторы и хабы чаще всего используются для организации локальных сетей, маршрутизаторы – для организации сети, связанной с выходом в интернет. Однако следует заметить, что сейчас постепенно размываются границы между коммутаторами и маршрутизаторами – выпускаются коммутаторы, которые требуют настройки и работают с прописываемыми адресами устройств локальной сети. Они могут выполнять функции маршрутизаторов, но это, как правило, дорогостоящие устройства не для домашнего использования.
Самый простой и дешевый вариант конфигурации домашней локальной сети средних размеров (с количеством объектов более 5), с подключением к интернету, будет содержать и коммутатор, и роутер:

ОСОБЕННОСТИ РАБОТЫ

При покупке коммутатора нужно четко понимать – зачем он вам, как будете им использоваться, как будете его обслуживать. Чтобы выбрать устройство, оптимально отвечающее вашим целям, и не переплатить лишних денег, рассмотрим основные параметры коммутаторов:

• Вид коммутатора – управляемый, неуправляемый и настраиваемый.

1. Неуправляемые коммутаторы – не поддерживают протоколы сетевого управления. Наиболее просты, не требуют особых настроек, стоят недорого: от 440 до 2990 рублей. Оптимальное решение для маленькой локальной сети. Со сборкой локальной сети на их основе справится даже человек, далекий от этих дел – требуется лишь купить сам коммутатор, кабели необходимой длины для подключения оборудования (лучше, в виде атч-корда , т.е. «с вилками» в сборе – не забудьте перед покупкой осмотреть оборудование, к которому будет подключаться кабель, и уточнить, какой именно тип разъема вам понадобится), ну и собрать саму сеть. Простейшая настройка описана в документации к устройству.
2. Управляемые коммутаторы – поддерживают протоколы сетевого управления, обладают более сложной конструкцией, предлагают более широкий функционал – с помощью WEB-интерфейса или специализированных программ ими можно управлять, прописывая параметры подключенной к ним сети, приоритеты отдельных устройств и пр. Именно этот тип коммутаторов может заменять маршрутизаторы. Цена на такие устройства колеблется в диапазоне от 2499 до 14490 рублей. Данный вид коммутаторов представляет интерес для специализированных локальных сетей – видеонаблюдение, промышленная сеть, офисная сеть.
3. Настраиваемые коммутаторы – устройства, которые поддерживают некоторые настройки (к примеру – конфигурирование VLAN (создание подгрупп)), но все равно во многом уступают управляемым коммутаторам. Настраиваемые коммутаторы могут быть как управляемыми, так и неуправляемыми.

• Размещение коммутатора – может быть трех типов:

1. Настольный – компактное устройство, которое можно просто разместить на столе;
2. Настенный – небольшое устройство, которое, как правило, можно расположить как на столе, так и на стене – для последнего предусмотрены специальные пазы/крепления;
3. Монтируемый на стойку – устройство с предусмотренными пазами для монтажа в стойку сетевого оборудования, но которое, как правило, также можно расположить на столе.

• Базовая скорость передачи данных – скорость, с которой работает каждый из портов устройства. Как правило, в параметрах коммутатора указывается сразу несколько цифр, к примеру: 10/100Мбит/сек – это означает, что порт может работать и со скоростью 10Мбит/сек, и 100Мбит/сек, автоматически подстраиваясь под скорость источника данных. Представлены модели с базовой скоростью:

• Общее количество портов коммутатора – один из основных параметров, в принципе именно он больше всего влияет конфигурацию локальной сети, т.к. от него зависит, какой количество оборудования вы сможете подключить. Диапазон лежит в пределах от 5 до 48 портов. Коммутаторы с количеством портов 5-15  наиболее интересны для построения маленькой домашней сети, устройства с количеством портов от 15 до 48  ориентированы уже на более серьезные конфигурации.

• – порты, поддерживающие скорость 100Мбит/сек, бывает до 48 ;
• Количество портов со скоростью 1Гбит/сек – порты, поддерживающие скорость 1Гбит/сек – что особенно актуально для высокоскоростной передачи данных, бывает до 48 ;
• Поддержка РоЕ – если такой параметр есть , то означает, что подключенное к порту с этой опцией устройство можно питать по сетевому кабелю (витой паре), при этом никакого влияния на передающийся сигнал информации не оказывается. Функция особенно привлекательна для подключения устройств, к которым нежелательно, либо невозможно подводить дополнительный кабель питания – к примеру, для WEB-камер.
• SFP-порты  – порты коммутатора для связи с устройствами более высокого уровня, либо с другими коммутаторами. По сравнению с обычными портами могут поддерживать передачу данных на более дальние расстояния (стандартный порт с RJ-45 разъемом и подключенным кабелем «витая пара» поддерживает передачу в пределах 100м). Такой порт не оснащен приемо-передатчиком, это только слот, к которому можно подключить SFP-модуль, представляющий из себя внешний приемо-передатчик для подключения нужного кабеля – оптического, витой пары.

• Скорость обслуживания пакетов – характеристика, обозначающая производительность оборудования, и измеряющаяся в миллионах пакетов в секунду – Мррs. Как правило, подразумеваются пакеты размеров 64 байта (уточняется производителем). Величина этой характеристики различных устройств лежит в пределах от 1,4 до 71,4 Мррs .

ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ

Область применения коммутаторов широка, самые распространенные сферы применения:

• маленькая домашняя локальная сеть , включающая, к примеру, несколько компьютеров, принтер, телевизор и музыкальный центр (при условии, что все оборудование поддерживает сетевое подключение);

Учебное пособие:

Четвертое издание

Москва, 2006

Коммутаторы локальных сетей D-Link

ВВЕДЕНИЕ. КРАТКИЙ ОБЗОР ПРИНЦИПОВ СЕТЕВОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ ...............................
Э ВОЛЮЦИЯ ЛОКАЛЬНЫХ СЕТЕЙ: ОТ РАЗДЕЛЯЕМОЙ СРЕДЫ ПЕРЕДАЧИ ДО КОММУТИРУЕМОЙ....
Компоненты коммутируемой межсетевой модели. ...............................................
К ОММУТАТОРЫ ЛОКАЛЬНОЙ СЕТИ ...
Функционирование коммутаторов локальной сети ..................................................
...................................
Методы коммутации ...............................
Технологии коммутации и модель OSI ...........
Технологическая реализация коммутаторов
Коммутаторы на основе коммутационной матрицы ...........................................
Коммутаторы с разделяемой памятью .......
Коммутаторы с общей шиной ...
Конструктивное исполнение коммутаторов ......
Технология xStack™ ..............
Виртуальный стек. Технология Single IP Management™ .....................................
Х АРАКТЕРИСТИКИ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ КОММУТАТОРОВ............................
Скорость фильтрации и скорость продвижения ......................................................
Размер адресной таблицы .................
Объем буфера кадров ............
П РОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КОММУТАТОРОВ .....
Средства и программное обеспечение сетевого управления............................
О БЩИЕ ПРИНЦИПЫ СЕТЕВОГО ДИЗАЙНА ........................................................................................
Трехуровневая иерархическая модель сети ..............................................................
Уровень ядра ......................
Уровень распределения ...................................................................................................
Уровень доступа .............
П РОДУКТЫ D-L INK ...........
Коммутаторы уровня доступа ...........................................................................................
Коммутаторы уровня распределения ............................................................................
Коммутаторы уровня ядра ..................................................................................................
НАСТРОЙКА КОММУТАТОРА ................................................................................................
П ОНЯТИЕ НЕУПРАВЛЯЕМЫХ, УПРАВЛЯЕМЫХ И НАСТРАИВАЕМЫХ КОММУТАТОРОВ....................
П ОДКЛЮЧЕНИЕ К КОММУТАТОРУ .....................................................................................................
П ОДКЛЮЧЕНИЕ К ЛОКАЛЬНОЙ КОНСОЛИ КОММУТАТОРА .............................................................
Н АЧАЛЬНАЯ КОНФИГУРАЦИЯ КОММУТАТОРА ..................................................................................
Вызов помощи по командам ..............................................................................................
Базовая конфигурация коммутатора .............................................................................
Подключение к Web-интерфейсу управления коммутатора..............................
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ КОММУТАТОРОВ ..................................................
В ИРТУАЛЬНЫЕ ЛОКАЛЬНЫЕ СЕТИ VLAN ........................................................................................
Типы VLAN ..................................................................................................................................
VLAN на базе портов .........................................................................................................

Коммутаторы локальных сетей D-Link
VLAN на базе MAC-адресов ............................................................................................
VLAN на базе меток – стандарт IEEE 802.1Q .........................................................
Определения IEEE 802.1Q ..............................................................................................
Продвижение пакетов VLAN 802.1Q ..........................................................................
Теги IEEE 802.1Q VLAN ....................................................................................................
Port VLAN ID ..........................................................................................................................
Tagged и Untagged .............................................................................................................
Фильтрация входящего трафика .................................................................................
Создание VLAN с помощью команд CLI .......................................................................
Асимметричные VLAN ............................................................................................................
Пример 1. Конфигурирование асимметричных VLAN в пределах одного
коммутатора ..........................................................................................................................
Пример 2. Конфигурирование асимметричных VLAN на двух автономных
коммутаторах ........................................................................................................................
О БЪЕДИНЕНИЕ ПОРТОВ И СОЗДАНИЕ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ СЕТЕВЫХ МАГИСТРАЛЕЙ..............
Создание агрегированного канала с помощью команд CLI ...........................
Пример 1. Статическое агрегирование каналов.....................................................................
Пример 2. Создание группы агрегированного канала в соответствии со
стандартом IEEE 802.3ad ................................................................................................
S PANNING T REE P ROTOCOL (IEEE 802.1 D ) .................................................................................
Понятие петель ........................................................................................................................
Широковещательный шторм .........................................................................................
Множественные копии кадров .....................................................................................
Множественные петли ......................................................................................................
Пример работы STP ................................................................................................................
Rapid Spanning Tree Protocol (IEEE 802.1w) ...............................................................
Сходимость IEEE 802.1w .................................................................................................
Последовательность предложений/соглашений ..................................................
Механизм изменения топологии ..................................................................................
Совместимость IEEE 802.1d/IEEE 802.1w ..............................................................
Максимальный диаметр сети .......................................................................................
Сравнение протоколов STP 802.1d и RSTP 802.1w ..........................................
Конфигурирование STP с помощью команд CLI .................................................
К АЧЕСТВО СЕРВИСА (Q O S) ...........................................................................................................
Приоритетная обработка кадров (IEEE 802.1р) .....................................................
Конфигурирование приоритетной обработки кадров с помощью CLI.....
Контроль полосы пропускания ......................................................................................
Конфигурирование полосы пропускания с помощью команд CLI.............
О ГРАНИЧЕНИЕ ДОСТУПА К СЕТИ ....................................................................................................
Port Security и таблица фильтрации коммутатора ................................................
Настройка Port Security с помощью CLI .................................................................
С ЕГМЕНТАЦИЯ ТРАФИКА .................................................................................................................
Конфигурирование Traffic Segmentation с помощью CLI...............................
П РОТОКОЛ IEEE 802.1 Х ..............................................................................................................
Роли устройств .......................................................................................................................
Состояние портов коммутатора .....................................................................................
Ограничения аутентификации IEEE 802.1х .........................................................
Конфигурирование IEEE 802.1х с помощью CLI ................................................
A CCESS C ONTROL L ISTS (ACL) .....................................................................................................
Алгоритм создания профиля доступа .........................................................................

Коммутаторы локальных сетей D-Link
Создание профилей доступа (с использованием Web-интерфейса) ...........
Конфигурирование Access Control Lists (ACL) с помощью CLI....................
Примеры профилей доступа ........................................................................................
МАС-адреса групповой рассылки .................................................................................
Подписка и обслуживание групп ..................................................................................
Протокол IGMP v1 .............................................................................................................
Протокол IGMP v2 .............................................................................................................
Конфигурирование IGMPsnooping с помощью CLI.........................................
ЛИТЕРАТУРА: ...............................................................................................................................
ПРИЛОЖЕНИЕ А. СИНТАКСИС КОМАНД. ....................................................................
ПРИЛОЖЕНИЕ В. ГЛОССАРИЙ ..........................................................................................

Коммутаторы локальных сетей D-Link

ВВЕДЕНИЕ. Краткий обзор принципов сетевого проектирования

Эволюция локальных сетей: от разделяемой среды передачи до коммутируемой

Еще десять лет назад для создания кампусных сетей у разработчиков имелось ограниченное количество аппаратных средств. В серверных комнатах устанавливались концентраторы, а в центрах обработки данных и на магистралях сети использовались маршрутизаторы. Увеличивающаяся мощность процессоров рабочих станций, появление мультимедийных приложений и приложений клиент-сервер требовали большей полосы пропускания, чем могла обеспечить традиционная сеть с разделяемой средой передачи. Эти требования подтолкнули проектировщиков к замене концентраторов, установленных в коммутационных отсеках на коммутаторы.

Рисунок 1 Эволюция ЛВС

Эта стратегия позволила защитить инвестиции, вложенные в кабельную систему и увеличить производительность сети, благодаря предоставлению каждому пользователю выделенной полосы пропускания.

Создание таких технологий, как коммутация 3-го уровня, виртуальные локальные сети VLAN и др. сделало построение кампусных сетей более сложным процессом, чем ранее.

Большинство проектировщиков сетей начали интегрировать коммутирующие устройства в сети с разделяемой средой передачи для достижения следующих целей:

Увеличения полосы пропускания доступной каждому пользователю сети, уменьшая при этом перегрузку в сетях с разделяемой полосой пропускания.

Создания виртуальных локальных сетей VLAN (Virtual Local Area Network) путем организации пользователей в логические группы,

Коммутаторы локальных сетей D-Link

независимые от физической топологии с целью уменьшения расходов на перемещение, добавление и изменение и повышения гибкости сети.

Развертывания новых мультимедийных приложений на коммутаторах различных платформ и технологий, делая их доступными различным пользователям.

Обеспечения простого перехода к новым высокоскоростным технологиям, таким как Fast Ethernet, Gigabit Ethernet.

В 1990-х годах традиционные кампусные сети появлялись в виде единой локальной вычислительной сети и разрастались до тех пор, пока для поддержания их функциональности не понадобиласьсегментация . Сегментация позволила делить пользователей сети на несколько групп (сегментов) в соответствии с их физическим размещением, уменьшая количество клиентов соперничающих за полосу пропускания в каждой из них. Сегменты локальной сети объединялись с помощью межсетевых устройств, которые передавали межсегментный трафик и блокировали весь остальной.

Коммутаторы локальных сетей разрабатывались с учетом этой тенденции. Они используют микросегментацию , которая позволяет создать частные или выделенные сегменты локальной сети – по одной рабочей станции на сегмент (к порту коммутатора подключается не сегмент, а только рабочая станция). При этом каждая рабочая станция получает доступ сразу ко всей полосе пропускания, и ей не приходится конкурировать с другими станциями.

Коммутаторы объединяют различные сегменты локальной сети и выполняют интеллектуальное управление трафиком. Помимо этого коммутаторы обычно обеспечивают неблокирующие сервисы, что позволяет выполнять одновременную передачу потока данных от всех портов устройства.

Технология коммутации быстро стала предпочтительным решением для повышения гибкости управления трафиком локальной сети по следующим причинам:

В отличие от концентраторов и повторителей, коммутаторы позволяют одновременную передачу множества потоков данных.

Благодаря микросегментации коммутаторы поддерживают высокую скорость передачи и имеют возможность предоставлять выделенную полосу пропускания приложениям, чувствительным к задержкам.

Коммутаторы обеспечивают пользователям выделенную полосу пропускания.

Компоненты коммутируемой межсетевой модели.

Коммутируемая сеть состоит из следующих основных компонентов:

Коммутаторов локальной сети;

Программного обеспечения коммутаторов;

Средств сетевого управления.

Компания D-Link предоставляет сетевым проектировщикам полный набор средств для создания и управления масштабируемой, надежной коммутируемой сети.

Коммутаторы локальных сетей D-Link

Коммутаторы локальной сети

Первым компонентом коммутируемой межсетевой модели являются коммутаторы локальной сети.

Функционирование коммутаторов локальной сети

Коммутаторы – это устройства канального уровня, которые позволяют соединить несколько физических сегментов локальной сети в одну большую сеть. Коммутация локальных сетей обеспечивает взаимодействие сетевых устройств по выделенной линии без возникновения коллизий, с параллельной передачей нескольких потоков данных.

Коммутаторы локальных сетей обрабатывают кадры на основе алгоритма прозрачного моста (transparent bridge) IEEE 802.1, который применяется в основном в сетях Ethernet. При включении питания коммутатор начинает изучать расположение рабочих станций всех присоединенных к нему сетей путем анализа МАС-адресов источников входящих кадров. Например, если на порт 1 коммутатора поступает кадр от узла 1, то он запоминает номер порта, на который этот кадр пришел и добавляет эту информацию втаблицу коммутации (forwarding database). Адреса изучаютсядинамически . Это означает, что, как только будет прочитан новый адрес, то он сразу будет занесен в контентно-адресуемую память (content-addressable memory, CAM). Каждый раз, при занесении адреса в таблицу коммутации, ему присваивается временной штамп. Это позволяет хранить адреса в таблице в течение определенного времени. Каждый раз, когда идет обращение по этому адресу, он получает новый временной штамп. Адреса, по которым не обращались долгое время, из таблицы удаляются.

Рисунок 2 Построение таблицы коммутации

Коммутаторы локальных сетей D-Link

Коммутатор использует таблицу коммутации для пересылки трафика. Когда на один из его портов поступает пакет данных, он извлекает из него информацию о МАС-адресе приемника и ищет этот МАС-адрес в своей таблице коммутации. Если в таблице есть запись, ассоциирующая МАС-адрес приемника с одним из портов коммутатора, за исключением того, на который поступил кадр, то кадр пересылается через этот порт. Если такой ассоциации нет, кадр передается через все порты, за исключением того, на который он поступил. Это называетсялавинным распространением (flooding).

Широковещательная и многоадресная рассылка выполняется также путем лавинного распространения. С этим связана одна из проблем, ограничивающая применение коммутаторов. Наличие коммутаторов в сети не препятствует распространению широковещательных кадров (broadcast) по всем сегментам сети, сохраняя ее прозрачность. В случае если в результате каких-либо программных или аппаратных сбоев протокол верхнего уровня или сам сетевой адаптер начнет работать не правильно, и будет постоянно генерировать широковещательные кадры, коммутатор в этом случае будет передавать кадры во все сегменты, затапливая сеть ошибочным трафиком.

Такая ситуация называется широковещательным штормом (broadcast storm).

Коммутаторы надежно изолируют межсегментный трафик, уменьшая таким образом трафик отдельных сегментов. Этот процесс называется фильтрацией (filtering) и выполняется в случаях, когда МАС-адреса источника и приемника принадлежат одному сегменту. Обычно фильтрация повышает скорость отклика сети, ощущаемую пользователем.

Дуплексный и полудуплексный режим работы коммутатора

Коммутаторы локальных сетей поддерживают два режима работы:

полудуплексный режим и дуплексныйрежим.

Полудуплексный режим - это режим, при котором, только одно устройство может передавать данные в любой момент времени в одном домене коллизий1 .

Дуплексный режим – это режим работы, который обеспечивает одновременную двухстороннюю передачу данных между станциейотправителем и станцией-получателем на МАС - подуровне. При работе в дуплексном режиме, между сетевыми устройствами повышается количество передаваемой информации. Это связано с тем, что дуплексная передача не вызывает в среде передачи коллизий, не требует составления расписания повторных передач и добавления битов расширения в конец коротких кадров. В результате не только увеличивается время, доступное для передачи данных, но иудваивается полезная полоса пропускания канала, поскольку каждый канал обеспечивает полноскоростную одновременную двустороннюю передачу2 .

1 Доменом коллизий (collision domain) называется часть сети Ethernet, все узлы которой распознают коллизию независимо от того, в какой части сети эта коллизия возникла.

2 Дуплексный режим работы поддерживают коммутаторы и практически все современные адаптеры. Концентраторы не поддерживают работу в этом режиме.

Коммутаторы локальных сетей D-Link

Управление потоком IEEE 802.3x в дуплексном режиме

Дуплексный режим работы требует наличия такой дополнительной функции, как управление потоком. Она позволяет принимающему узлу (например, порту сетевого коммутатора) в случае переполнения дать узлуисточнику команду (например, файловому серверу) приостановить передачу кадров на некоторый короткий промежуток времени. Управление осуществляется между МАС-уровнями с помощью кадра-паузы, который автоматически формируется принимающим МАС уровнем. Если переполнение будет ликвидировано до истечения периода ожидания, то для того, чтобы восстановить передачу, отправляется второй кадр-пауза с нулевым значением времени ожидания (см.Рисунок 3 ).

Рисунок 3 Последовательность управления потоком IEEE 802.3x

Дуплексный режим работы и сопутствующее ему управление потоком являются дополнительными режимами для всех МАС-уровней Ethernet независимо от скорости передачи. Кадры-паузы идентифицируются как управляющие МАС-кадры по индивидуальным (зарезервированным) значениям поля длины/типа. Им также присваивается зарезервированное значение адреса приемника, чтобы исключить возможность передачи входящего кадра-паузы протоколам верхних уровней или на другие порты коммутатора.

Методы коммутации

В коммутаторах локальных сетей могут быть реализованы различные методы передачи кадров.

При коммутации с промежуточным хранением (store-and-forward) –

коммутатор копирует весь принимаемый кадр в буфер и производит его проверку на наличие ошибок. Если кадр содержит ошибки (не совпадает контрольная сумма, или кадр меньше 64 байт или больше 1518 байт), то он отбрасывается. Если кадр не содержит ошибок, то коммутатор находит адрес приемника в своей таблице коммутации и определяет исходящий интерфейс. Затем, если не определены никакие фильтры, он передает этот кадр приемнику.

Этот способ передачи связан с задержками - чем больше размер кадра, тем больше времени требуется на его прием и проверку на наличие ошибок.

Коммутаторы локальных сетей D-Link

Коммутация без буферизации (cut-through) – коммутатор локальной сети копирует во внутренние буферы только адрес приемника (первые 6 байт после префикса) и сразу начинает передавать кадр, не дожидаясь его полного приема. Это режим уменьшает задержку, но проверка на ошибки в нем не выполняется. Существует две формы коммутации без буферизации:

Коммутация с быстрой передачей (fast-forward switching)– эта форма коммутации предлагает низкую задержку за счет того, что кадр начинает передаваться немедленно, как только будет прочитан адрес назначения. Передаваемый кадр может содержать ошибки. В этом случае сетевой адаптер, которому предназначен этот кадр, отбросит его, что вызовет необходимость повторной передачи этого кадра.

Коммутация с исключением фрагментов (fragment-free switching)–

коммутатор фильтрует коллизионные кадры, перед их передачей. В правильно работающей сети, коллизия может произойти во время передачи первых 64 байт. Поэтому, все кадры, с длиной больше 64 байт считаются правильными. Этот метод коммутации ждет, пока полученный кадр не будет проверен на предмет коллизии, и только после этого, начнет его передачу. Такой метод коммутации уменьшает количество пакетов передаваемых с ошибками.

Технологии коммутации и модель OSI

Коммутаторы локальных сетей можно классифицировать в соответствии с уровнями модели OSI, на которых они передают, фильтруют и коммутируют кадры. Различают коммутаторы уровня 2 (Layer 2 Switch), коммутаторы уровня 2 со свойствами уровня 3 (Layer 3 Switch) и многоуровневые коммутаторы.

Коммутаторы уровня 2 анализируют входящие кадры, принимают решение об их дальнейшей передаче и передают их пунктам назначения на основе МАС – адресов канального уровня модели OSI. Основное преимущество коммутаторов уровня 2 – прозрачность для протоколов верхнего уровня. Поскольку коммутатор функционирует на 2-м уровне, ему нет необходимости анализировать информацию верхних уровней модели OSI.

Коммутация 2-го уровня – аппаратная. Она обладает высокой производительностью, поскольку пакет данных не претерпевает изменений. Передача кадра в коммутаторе может осуществляться специализированным контроллером, называемым Application-Specific Integrated Circuits (ASIC). Эта технология, разработанная для коммутаторов, позволяет обеспечивать высокие скорости коммутации с минимальными задержками.

Существуют 2 основные причины использования коммутаторов 2-го уровня – сегментация сети и объединение рабочих групп. Высокая производительность коммутаторов позволяет разработчикам сетей значительно уменьшить количество узлов в физическом сегменте. Деление крупной сети на логические сегменты повышает производительность сети (за счет уменьшения объема передаваемых данных в отдельных сегментах), а также гибкость построения сети, увеличивая степень защиты данных, и облегчает управление сетью.

Несмотря на преимущества коммутации 2-го уровня, она все же имеет некоторые ограничения. Наличие коммутаторов в сети не препятствует