Сколько раз меняется знак в массиве матлаб. В.Г.Потемкин. Введение в MATLAB. Вычисление числа размерностей массива

Все данные MatLab представляет в виде массивов. Очень важно правильно понять, как использовать массивы. Без этого невозможна эффективная работа в MatLab, в частности построение графиков, решение задач линейной алгебры, обработки данных, статистики и многих других. В данном подразделе описаны вычисления с векторами.

Массив - упорядоченная, пронумерованная совокупность однородных данных. У массива должно быть имя. Массивы различаются по числу размерностей или измерений: одномерные, двумерные, многомерные. Доступ к элементам осуществляется при помощи индекса. В MatLab нумерация элементов массивов начинается с единицы. Это значит, что индексы должны быть больше или равны единице.

Важно понять, что вектор, вектор-строка или матрица являются математическими объектами, а одномерные, двумерные или многомерные массивы - способы хранения этих объектов в компьютере. Всюду дальше будут использоваться слова вектор и матрица, если больший интерес представляет сам объект, чем способ его хранения. Вектор может быть записан в столбик (вектор-столбец) и в строку (вектор-строка). Вектор-столбцы и вектор-строки часто будут называться просто векторами, различие будет сделано в тех случаях, если важен способ хранения вектора в MatLab. Векторы и матрицы обозначаются курсивом, а соответствующие им массивы прямым моноширинным шрифтом, например: "вектор а содержится в массиве а", "запишите матрицу R в массив r".

Ввод сложение и вычитание векторов

Работу с массивами начнем с простого примера - вычисления суммы векторов:
, .

Для хранения векторов используйте массивы а и b. Введите массив а в командной строке, используя квадратные скобки и разделяя элементы вектора точкой с запятой:

» a =
a =
1.3000
5.4000
6.9000

Так как введенное выражение не завершено точкой с запятой, то пакет MatLab автоматически вывел значение переменной а. Введите теперь второй вектор, подавив вывод на экран

» b = ;

Для нахождения суммы векторов используется знак +. Вычислите сумму, запишите результат в массив с и выведите его элементы в командное окно:

» с = а + b
с =
8.4000
8.9000
15.1000

Узнайте размерность и размер массива а при помощи встроенных функций ndims и size:

» ndims(a)
ans =
2
» size(a)
ans =
3 1

Итак, вектор а хранится в двумерном массиве а размерностью три на один (вектор-столбец из трех строк и одного столбца). Аналогичные операции можно проделать и для массивов b и c . Поскольку числа в пакете MatLab представляются в виде двумерного массива один на один, то при сложении векторов используется тот же знак плюс, что и для сложения чисел.

Ввод вектор-строки осуществляется в квадратных скобках, однако элементы следует разделять пробелами или запятыми. Операции сложения, вычитания и вычисление элементарных функций от вектор-строк производятся так же, как и с вектор-столбцами, в результате получается вектор-строка того же размера, что и исходные. Например:

» s1 =
s1 =
3 4 9 2
» s2 =
s1 =
5 3 3 2
» s3 = s1 + s2
s3 =
8 7 12 4

Замечание 1

Если размеры векторов, к которым применяется сложение или вычитание, не совпадают, то выдается сообщение об ошибке.

Естественно, для нахождения разности векторов следует применять знак минус, с умножением дело обстоит несколько сложнее.
Введите две вектор-строки:

» v1 = ;
» v2 = ;

Операция.* (не вставляйте пробел между точкой и звездочкой!) приводит к поэлементному умножению векторов одинаковой длины. В результате получается вектор с элементами, равными произведению соответствующих элементов исходных векторов:

» u = v1.*v2
u =
14 -15 -24 9

При помощи.^ осуществляется поэлементное возведение в степень:

» р = v1.^2
p =
4 9 16 1

Показателем степени может быть вектор той же длины, что и возводимый в степень. При этом каждый элемент первого вектора возводится в степень, равную соответствующему элементу второго вектора:

» p = vl.^v2
Р =
128.0000 -243.0000 0.0002 1.0000

Деление соответствующих элементов векторов одинаковой длины выполняется с использованием операции./

» d = v1./v2
d =
0.2857 -0.6000 -0.6667 0.1111

Обратное поэлементное деление (деление элементов второго вектора на соответствующие элементы первого) осуществляется при помощи операции.\

» dinv = vl.\v2
dinv =
3.5000 -1.6667 -1.5000 9.0000

Итак, точка в MatLab используется не только для ввода десятичных дробей, но и для указания того, что деление или умножение массивов одинакового размера должно быть выполнено поэлементно.
К поэлементным относятся и операции с вектором и числом. Сложение вектора и числа не приводит к сообщению об ошибке. MatLab прибавляет число к каждому элементу вектора. То же самое справедливо и для вычитания:

» v = ;
» s = v + 1.2
s =
5.2000 6.2000 9.2000 11.2000
» r = 1.2 - v
r =
-2.8000 -4.8000 -6.8000 -8.8000
» r1 = v - 1.2
r1 = 2.8000 4.8000 6.8000 8.8000

Умножать вектор на число можно как справа, так и слева:

» v = ;
» p = v*2
р =.
8 12 16 20
» pi = 2*v
pi =
8 12 16 20

Делить при помощи знака / можно вектор на число:

» р = v/2
p =
2 3 4 5

Попытка деления числа на вектор приводит к сообщению об ошибке:

» р = 2/v
??? Error using ==> /
Matrix dimensions must agree.

Если требуется разделить число на каждый элемент вектора и записать результат в новый вектор, то следует использовать операцию./

» w = ;
» d = 12./w
d =
3 6 2

Все вышеописанные операции применимы как к вектор-строкам, так и к вектор-столбцам.
Особенность MatLab представлять все данные в виде массивов является очень удобной. Пусть, например, требуется вычислить значение функции sin сразу для всех элементов вектора с (который хранится в массиве с) и записать результат в вектор d. Для получения вектора d достаточно использовать один оператор присваивания:

» d = sin(с)
d =
0.8546
0.5010
0.5712

Итак, встроенные в MatLab элементарные функции приспосабливаются к виду аргументов; если аргумент является массивом, то результат функции будет массивом того же размера, но с элементами, равными значению функции от соответствующих элементов исходного массива. Убедитесь в этом еще на одном примере. Если необходимо найти квадратный корень из элементов вектора d со знаком минус, то достаточно записать:

» sqrt(-d)
ans =
0 + 0.9244i
0 + 0.7078i
0 + 0.7558i

Оператор присваивания не использовался, поэтому пакет MatLab записал ответ в стандартную переменную ans.

Для определения длины вектор-столбцов или вектор-строк служит встроенная функция length:

» length(s1)
ans =
4

Из нескольких вектор-столбцов можно составить один, используя квадратные скобки и разделяя исходные вектор-столбцы точкой с запятой:

» v1 = ;
» v2 = ;
» v =
v =
1
2
3
4
5

Для сцепления вектор-строк также применяются квадратные скобки, но сцепляемые вектор-строки отделяются пробелами или запятыми:

» v1 = ;
» v2 = ;
» v =
v =
1 2 3 4 5

Работа с элементами векторов

Доступ к элементам вектор-столбца или вектор-строки осуществляется при помощи индекса, заключаемого в круглые скобки после имени массива, в котором хранится вектор. Если среди переменных рабочей среды есть массив v, определенный вектор-строкой

» v = ;

то для вывода, например его четвертого элемента, используется индексация:

» v(4)
ans =
8.2000

Появление элемента массива в левой части оператора присваивания приводит к изменению в массиве

» v(2) = 555
v =
1.3000 555.0000 7.4000 8.2000 0.9000

Из элементов массива можно формировать новые массивы, например

» u =
u =
7.4000
555.0000
1.3000

Для помещения определенных элементов вектора в другой вектор в заданном порядке служит индексация при помощи вектора . Запись в массив w четвертого, второго и пятого элементов v производится следующим образом:

» ind = ;
» w = v(ind)
w =
8.2000 555.0000 0.9000

MatLab предоставляет удобный способ обращения к блокам последовательно расположенных элементов вектор-столбца или вектор-строки. Для этого служит индексация при помощи знака двоеточия. Предположим, что в массиве w , соответствующем вектор-строке из семи элементов, требуется заменить нулями элементы со второго по шестой. Индексация при помощи двоеточия позволяет просто и наглядно решить поставленную задачу:

» w = ;
» w(2:6) = 0;
» w
w =
0.1000 0 0 0 0 0 9.8000

Присваивание w(2:6) = 0 эквивалентно последовательности команд
w(2) = 0; w(3)=0; w(4)=0; w(5)=0; w(6)=0.
Индексация при помощи двоеточия оказывается удобной при выделении части из большого объема данных в новый массив:

» w - ;
» wl = w(3:5)
wl =
3.3000 5.1000 2.6000

Составьте массив w2, содержащий элементы w кроме четвертого. В этом случае удобно использовать двоеточие и сцепление строк:

» w2 =
w2 =
0.1000 2.9000 3.3000 2.6000 7.1000 9.8000

Элементы массива могут входить в выражения. Нахождение, например среднего геометрического из элементов массива u , можно выполнить следующим образом:

» gm = (u(l)*u(2)*u(3))^(l/3)
gm =
17.4779

Конечно, этот способ не очень удобен для длинных массивов. Для того чтобы найти среднее геометрическое, необходимо набрать в формуле все элементы массива. В MatLab существует достаточно много специальных функций, облегчающих подобные вычисления.

Применение функций обработки данных к векторам

Перемножение элементов вектора-столбца или вектора-строки осуществляется при помощи функции prod:

» z = ;
» р = prod(z)
p = 720

Функция sum предназначена для суммирования элементов вектора. С ее помощью нетрудно вычислить среднее арифметическое элементов вектора z:

» sum(z)/length(z)
ans =
3.5000

В MatLab имеется и специальная функция mean для вычисления среднего арифметического:

» mean(z)
ans =
3.5000

Для определения минимального и максимального из элементов вектора служат встроенные функции min и max:

» m1 = max(z)
m1 =
6
» m2 = min(z)
m2 =
1

Часто необходимо знать не только значение минимального или максимального элемента в массиве, но и его индекс (порядковый номер). В этом случае встроенные функции min и max необходимо использовать с двумя выходными аргументами, например

» = min(z)
m =
1
k =
3

В результате переменной m будет присвоено значение минимального элемента массива z, а номер минимального элемента занесен в переменную k.
Для получения информации о различных способах использования функций следует набрать в командной строке help и имя функции. MatLab выведет в командное окно всевозможные способы обращения к функции с дополнительными пояснениями.
В число основных функций для работы с векторами входит функция упорядочения вектора по возрастанию его элементов sort.

» r = ;
» R = sort(r)
R =

Можно упорядочить вектор по убыванию, используя эту же функцию sort :

» R1 = -sort(-r)
R1 =
9.4000 7.1000 1.3000 0.8000 -2.3000 -5.2000

Упорядочение элементов в порядке возрастания их модулей производится с привлечением функции abs:

» R2 = sort(abs(r))
R2 =
0.8000 1.3000 2.3000 5.2000 7.1000 9.4000

Вызов sort с двумя выходными аргументами приводит к образованию массива индексов соответствия элементов упорядоченного и исходного массивов:

» = sort(r)
rs =
-5.2000 -2.3000 0.8000 1.3000 7.1000 9.4000
ind =
3 2 5 6 4 1

Применение массивов позволяет обращаться к нескольким ячейкам памяти, используя одно имя. Рассмотрим, как в системе MATLAB формируются и описываются одно-, двух- и многомерные массивы и покажем, как осуществлять вычисления с массивами.

Одномерные массивы. Часто бывает необходимо хранить в памяти компьютера большой набор данных, имеющих характеристики, такой, например, как множество оценок, полученных учениками на зачете. Создавая массив, вместо того, чтобы давать каждой ячейке памяти, используемой для хранения одного элемента данных, отдельное имя, всей последовательности ячеек дается одно имя. Конкретный элемент данных определяется по его расположению в последовательности. Для формирования такого массива используют операцию конкатенации, которая обозначается квадратными скобками. Например, операция

формирует массив чисел, который на экране отобразится следующим образом:

Числовые массивы являются элементами типа double. В качестве элементов массива могут использоваться любые переменные типа double, т.е. вещественные или комплексные числа, а также переменные, которые сами являются массивами. Для доступа к конкретному элементу или компоненте массива требуется некоторая дополнительная информация. Такая информация предоставляется индексным выражением массива. Для обращения к какому-либо элементу массива используется операция индексации, которая обозначается круглыми скобками:

Если требуется, например, присвоить второму элементу массива новое значение, то к нему надо применить одновременно операции индексации и присваивания.

Теперь массив a будет иметь следующий вид:

Выполнив функцию length (имя), можно узнать, из скольких элементов состоит массив с указанным именем. Например:

>> length(a)

Присвоив несуществующему четвертому элементу, значение типа double, получим массив, увеличившийся на один элемент:

Если же присвоить значение типа double, например, восьмому элементу, то все элементы с номерами в диапазоне от 4 до 8 будут иметь значения ноль.

>> a

a = 2 93 6 1 0 0 0 5

Рассмотрим другой способ создания массивов с помощью функций ones и zeros, которые сразу создают массив нужного размера, заполненный, соответственно, единицами (ones) или нулями (zeros). Например, для создания массива а, можно вначале вызвать функцию ones:

>> a=ones(1,3)

а затем с помощью операций индексации и присваивания постепенно создавать массив:

>> a(2)=93;

Наконец, последний способ создания одномерных масс основан на применении операции «:». Эта операция применяется в том случае, когда необходимо создать массив чисел, изменяющихся с заданным шагам по мере увеличения индекса. Например, необходимо создать массив чисел в интервале от 3 до 17 с шагом 0,7. Выражение будет иметь следующий вид:

>> b=3:0.7:17

b = Columns 1 through 7

3.0000 3.7000 4.4000 5.1000 5.8000 6.5000 7.2000

Columns 8 through 14

7.9000 8.6000 9.3000 10.0000 10.7000 11.4000 12.1000

Columns 15 through 21

12.8000 13.5000 14.2000 14.9000 15.6000 16.3000 17.0000

Двумерные массивы. Массивы такого типа подобны одномерным, за исключением того, что их элементы определяются не одним индексом, а двумя. В математике подобные массивы называют матрицами, состоящими из строк и столбцов. Любая строка (или столбец) в матрице является одномерным массивом, который принято называть вектор - строкой или вектор - столбцом соответственно. Формирование матрицы осуществляется операцией конкатенации, которая обозначается квадратными скобками. Ниже показано, как формируется двухмерный массив с помощью операции вертикальной конкатенации. При этом элементы каждой последующей строки массива отделяются от предыдущей точкой с запятой, в то время как элементы той же строки разделяются запятыми, либо пробелами:

>> c=

Эту же матрицу можно сформировать горизонтальной конкатенацией вектор - столбцов;

>> c=[,]

Элементы матрицы можно также задавать с помощью функции cat, аргументы которой заключаются в круглые скобки. Для вертикальной конкатенации ее первый аргумент равен 1:

>> c=cat(1,,,)

а для горизонтальной - равен 2:

>> c=cat(2,,)

Размер созданного массива можно узнать с помощью функции size:

Результатом этой функции является пара чисел, причем первое из них - количество строк, а второе-количество столбцов. Ниже приведен пример применения функции size к переменной, которая состоит из одного числа:

Отсюда видно, что в системе MATLAB все переменные типа double представляются в виде двухмерных массивов, а именно: векторы - в виде двухмерных массивов, размер которых по одному из направлений равен единице; матрицы - в виде двухмерных массивов размера m x n; скаляры - в виде двухмерных массивов размером 1x1.

Существует также пустой массив, обозначаемый квадратными скобками , между которыми: ничего нет. Такой массив трактуется как матрица размером 0x0. Обычно пустой массив используют для того, чтобы удалять строки или столбцы матриц. Например:

>> A=

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

>> A(3,:)=

Информацию обо всех созданных массивах в текущем рабочем пространстве можно получить, выполнив команду whos, например:

Name Size Bytes Class

A 2x3 48 double array

a 1x4 32 double array

ans 1x2 16 double array

b 1x21 168 double array

c 3x2 48 double array

d 1x1 8 double array

В системе MATLAB существует операция транспонирования, которая обозначается знаком «"» (апостроф). Ниже приведен пример транспонирования заданной матрицы А:

>> A=

A =1 2 34 5 67 8 9

ans =1 4 7 2 5 8 3 6 9

В результате применения операции транспонирования к вектор - строке получается вектор-столбец, и наоборот. В представленном ниже примере эти действия наглядно проиллюстрированы:

>> a=

Многомерные числовые массивы. Многомерными называются массивы с размерностью больше двух. Для вызова элемента такого массива требуются три или более индексов, указывающих расположение требуемого элемента в нескольких направлениях.

Формирование многомерных массивов осуществляется аналогично работе с одно- и двухмерными массивами при помощи функций ones, zeros или cat. Таким образом, сначала формируется массив нулей или единиц заданного размера, затем с помощью операций индексации и присваивания можно получить нужный числовой массив.

Следующий пример наглядно иллюстрирует использование этих функций для создания многомерного числового массива.

Рисунок - Схематическое изображение трехмерного массива

Пусть в некотором городе в течение десяти лет каждый месяц ежедневно измеряется дневная температура, и все результаты за один год заносятся в прямоугольную таблицу. Тогда по истечении десяти лет получится десять двухмерных таблиц. Для того чтобы упорядочить все эти данные, удобно расположить таблицы в одном направлении и пронумеровать их. Таким образом получился трехмерный массив Т1.

Для его формирования в системе MATLAB необходимо сначала выполнить функцию ones или zeros:

>> T1=ones(M,N,L)

где М,N,L - размеры трехмерного массива по трем направлениям.

В данном примере М=12 (количество месяцев в году), N=31 (максимальное количество дней в месяце), L=10 (количество лет, в течение которых производятся: измерения). Т.е. функция будет иметь вид:

>> T1=ones(12,31,10)

>> T1=zeros(12,31,10);

Затем с помощью операций индексации и присваивания можно задать значение каждого элемента

>> T1(1,1,1)=-5;T1(2,1,1)=-20;...T1(12,31,10)=-9;

Необходимо отметить, что при помощи функций ones и zeros можно формировать только одно-, двух- и трехмерные массивы.

Пусть в трехмерном массиве Т2 собраны данные такого же типа, что и в Т1, но для другого города. После объединения данных обоих массивов в одно целое можно получить четырехмерный массив Т. Для его создания следует использовать второй способ выполнения операции конкатенации - с помощью функции cat:

T=cat (4, T1, T2)

где число 4 - номер направления, вдоль которого осуществляется конкатенация.

Для конкатенации вдоль пятого направления (измерения), например, если собраны данные по городам из разных стран, надо сначала создать четырехмерный массив C (для городов из другой страны), а затем объединить его с массивом Т:

Такая операция возможна, если размерности массивов Т и C совпадают. В противном случае программа выдаст на экран сообщение об ошибке. Созданный массив A можно изменять при помощи функций, представленных ниже.

reshape (X,m,n) - формирует матрицу размера m x n из элементов объекта X. Пример.

>> X=

X = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

>> B=reshape(X,3,4)

B = 1 10 8 6 4 2 11 9 7 5 3 122

rref (X) - приводит матрицу X к треугольной форме методом Гаусса. Пример.

>> X=;

>> R=rref(X)

R = 1 0 -1 0 1 2 0 0 0 0 0 0

Операция двоеточие

В предыдущем разделе эта операция использовалась для создания массива с заданным шагом:

<НЗМ>:<Шаг>:<КЗМ>

где <НЗМ> - начальное значение массива; <КЗМ> - конечное значение массива.

При таком задании массивов действуют следующие правила:

Если шаг не задан, то он принимается равным 1 либо -1, в соответствии с указанными правилами. Например:

>> 1:7

ans = 1 2 3 4 5 6 7

>> 11:-3:2

ans = 11 8 5 2

Выражения с оператором «;» могут также использоваться в качестве аргументов функций для получения множества значений этих функций. Например, в приведенном ниже примере вычислены функции Бесселя порядка от 0 до 3 со значением аргумента х=0.5.

>> B=bessel(0:3,x)

0.9385 0.2423 0.0306 0.0026

В следующем примере показано, как создать матрицу размером 2x3, используя оператор «;».

>> A=

Этот оператор можно использовать также для индексации элементов имеющегося массива, например:

Таким образом, операция «;» является очень удобным средством для задания последовательности чисел и индексации массивов.

мы изменим третий элемент массива. Или, после введения:

» al(2)=(al(1)+al(3))/2;

второй элемент массива станет равным среднему арифметическому первого и третьего элементов. Запись несуществующего элемента вполне допустима – она означает добавление нового элемента к уже существующему массиву:

Применяя после выполнения этой операции к массиву а1 функцию length, находим, что количество элементов в массиве возросло до четырех:

» length(al) ans = 4

Тоже самое действие – «удлинение массива а1» - можно выполнить и с помощью операции конкатенации:

Можно задать массив, прописывая все его элементы по отдельности:

» a3(1)=67; a3(2)=7.8; a3(3)=0.017;

Однако этот способ создания не является эффективным.

Еще один способ создания одномерного массива основан на применении специальной функции, обозначаемой двоеточием (операция формирования диапазона числовых значений). Через двоеточие следует набрать первое число диапазона, шаг (приращение) и конечное число диапазона. Например:

» diap=3.7:0.3:8.974;

Если не нужно выводить на экран весь получившийся массив, то в конце набора (после конечного числа диапазона) следует набрать точку с запятой. Чтобы узнать, сколько элементов в массиве, следует вызвать функцию length (имя массива).

Для создания двумерного массива (матрицы) также можно использовать операцию конкатенацию. Элементы массива набираются один за другим со-

12 гласно их расположению в строках, в качестве разделителя строк используется точка с запятой.

Введите с клавиатуры:

» a=

Нажмите ENTER, получим:

Полученную матрицу а размером 3x2 (первым указывается число строк, вторым – число столбцов) можно сформировать также вертикальной конкатенацией вектор-строк:

» a=[;;];

или горизонтальной конкатенацией вектор-столбцов:

» a=[,];

Структуру созданных массивов можно узнать с помощью команды whos(имя массива), размерность массива – функцией ndims, а размер массива – size.

Двумерные массивы можно задать также с помощью операции индексации, прописывая по отдельности его элементы. Номер строки и столбца, на пересечении которых находится задаваемый элемент массива, указываются через запятую в круглых скобках. Например:

» a(1,1)=1; a(1,2)=2; a(2,1)=3;

» a(2,2)=4; a(3,1)=5; a(3,2)=6;

Однако будет намного эффективнее, если до начала прописывания элементов массива, создать массив нужного размера функциями ones (m,n) или zeros(m,n), заполненный единицами или нулями (m – число строк, n – число столбцов). При вызове этих функций предварительно выделяется память под заданный размер массива, после этого постепенное прописывание элементов нужными

13 значениями не требует перестройки структуры памяти, отведенной под массив.

Использование этих функций возможно и при задании массивов других размерностей.

Если после формирования массива Х потребуется, не изменяя элементов массива, изменить его размеры, можно воспользоваться функцией reshape (Х, М, N), где M и N – новые размеры массива Х

Объяснить работу этой функции можно, только исходя из способа, каким система MATLAB хранит элементы массивов в памяти компьютера. Она хранит их в непрерывной области памяти упорядоченно по столбцам: сначала располагаются элементы первого столбца, вслед за ними расположены элементы второго столбца и т.д. Помимо собственно данных (элементов массива) в памяти компьютера хранится также управляющая информация: тип массива (например, double), размерность и размер массива, другая служебная информация. Этой информации достаточно для определения границ столбцов. Отсюда следует, что для переформирования матрицы функцией reshape достаточно изменить только служебную информацию и не трогать собственные данные.

Поменять местами строки матрицы с ее столбцам можно операцией транспортирования, которая обозначается знаком." (точка и апостроф). Например,

» A=;

» B=A."

Операция " (апостроф) выполняет транспонирование для вещественных матриц и транспонирование с одновременным комплексным сопряжением для комплексных матриц.

Объекты, с которыми работает MATLAB, являются массивами. Даже одно заданное число во внутреннем представлении MATLAB является массивом,

состоящим из одного элемента. MATLAB позволяет делать вычисления с огромными массивами чисел также легко как и с одиночными числами, и это является одним из самых заметных и важных преимуществ системы MATLAB над другими программными пакетами, ориентированными на вычисления и программирование. Помимо памяти, необходимой для хранения числовых элементов (по 8 байт на каждый в случае вещественных чисел и по 16 байт в случае комплексных чисел), MATLAB автоматически при создании массивов выделяет еще и память для управляющей информации.

Вычисления с массивами

В традиционных языках программирования вычисления с массивами осуществляются поэлементно в том смысле, что нужно запрограммировать каждую отдельную операцию над отдельным элементом массива. В М-языке системы MATLAB допускаются мощные групповые операции над всем массивом сразу. Именно групповые операции системы MATLAB позволяют чрезвычайно компактно задавать выражения, при вычислении которых реально выполняется гигантский объем работы.

Операции сложения и вычитания матриц (знакомые вам из линейной алгебры) обозначаются стандартными знаками + и -.

Задайте матрицы А и В и выполните операцию сложения матриц:

» A=; B=;

» A+B

Если используются операнды разных размеров, выдается сообщение об ошибке, за исключением случая, когда один из операндов является скаляром. При выполнении операции А + скаляр (А – матрица) система расширит скаляр до массива размера А, который и складывается далее поэлементно с А.

15 Для поэлементного перемножения и поэлементного деления массивов

одинаковых размеров, а также поэлементного возведения в степень массивов, применяются операции, обозначаемые комбинациями двух символов: .* , ./, и

.^. Использование комбинаций символов объясняется тем, что символами * и / обозначены специальные операции линейной алгебры над векторами и матрицами.

Кроме операции./, называемой операцией правого поэлементного деления, есть еще операция левого поэлементного деления.\. Объясним разницу между

этими операциями. Выражение А./ В приводит к матрице с элементами А (k, m) /В (k, m), а выражение А.\ В приводит к матрице с элементами В (k, m) /А (k, m).

Знак * закреплен за перемножением матриц и векторов в смысле линейной алгебры.

Знак \ закреплен в системе MATLAB за решением довольно сложной задачи линейной алгебры – нахождением корней системы линейных уравнений. Например, если требуется решить систему линейных уравнений

где А – заданная квадратная матрица размера N x N, b – заданный векторстолбец длины N, то для нахождения неизвестного вектор-столбца у достаточно вычислить выражение А \ b (это равносильно операции:A −1 B ).

Типичные задачи аналитической геометрии в пространстве, связанные с нахождением длин векторов и углов между ними, с вычислением скалярного и векторного произведений, легко решаются разнообразными средствами системы MATLAB. Например, для нахождения векторного произведения векторов предназначена специальная функция cross, например:

» u=; v=;

» cross(u,v)

16 Скалярное произведение векторов можно вычислить с помощью функции

общего назначения sum, вычисляющей сумму всех элементов векторов (для матриц эта функция вычисляет суммы для всех столбцов). Скалярное произведение, как известно, равно сумме произведений соответствующих координат (элементов) векторов. Таким образом, выражение:

вычисляет скалярное произведение двух векторов u и v. Скалярное произведение можно также вычислить как: u*v′.

Длина вектора вычисляется с помощью скалярного произведения и функции извлечения квадратного корня, например:

» sqrt(sum(u.*u))

Ранее рассмотренные для скаляров операции отношения и логические операции выполняются в случае массивов поэлементно. Оба операнда должны быть одинаковых размеров, при этом операция возвращает результат такого же размера. В случае, когда один из операндов скаляр, производится его предварительное расширение, смысл которого уже был пояснен на примере арифметических операций.

Среди функций, генерирующих матрицы с заданными свойствами, упомянем здесь функцию eye, производящую единичные квадратные матрицы, а также широко применяемую на практике функцию rand, генерирующую массив со случайными элементами, равномерно распределенными на интервале от 0 до1. Например, выражение

порождает массив случайных чисел размером 3х3 с элементами, равномерно распределенными на интервале от 0 до 1.

Если вызвать эту функцию с двумя аргументами, например R=rand(2,3),то получится матрица R случайных элементов размером 2x3. При вызове функции rand с тремя и более скалярными аргументами производятся многомерные массивы случайных чисел.

Определитель квадратной матрицы вычисляется с помощью функции det. Среди функций, производящих простейшие вычисления над массивами,

помимо рассмотренной выше функции sum, упомянем еще функцию prod, которая во всем аналогична функции sum, только вычисляет она не сумму элементов, а их произведение. Функции max и min ищут соответственно максимальный и минимальный элементы массивов. Для векторов они возвращают единственное числовое значение, а для матриц они порождают набор экстремальных элементов, вычисленных для каждого столбца. Функция sort сортирует в возрастающем порядке элементы одномерных массивов, а для матриц она производит такую сортировку для каждого столбца отдельно.

Наконец, рассмотрим уникальную возможность М-языка системы MATLAB производить групповые вычисления над массивами, используя обычные математические функции, которые в традиционных языках программирования работают только со скалярными аргументами. В результате с помощью крайне компактных записей, удобных для ввода с клавиатуры в интерактивном режиме работы с командным окном системы MATLAB, удается произвести большой объем вычислений. Например, всего два коротких выражения

» x=0:0.01:pi/2; y=sin(x);

вычисляют значения функции sin сразу в 158 точках, формируя два вектора x и у со 158 элементами каждый.

Построение графиков функци

Графические возможности системы MATLAB являются мощными и разнообразными. Изучим наиболее простые в использовании возможности (высокоуровневую графику).

Сформируйте два вектора х и y:

» x=0:0.01:2; y=sin(x);

Вызовите функцию:

» plot(x,y)

и вы получите на экране график функции (рис. 1).

Рис. 1. График функции y=sin(x)

MATLAB показывает графические объекты в специальных графических окнах, имеющих в заголовке слово Figure.

Не убирая с экрана дисплея первое графическое окно, введите с клавиатуры выражения

» z=cos(x);

» plot(x,z)

и получите новый график функции в том же самом графическом окне (при этом старые оси координат и график пропадают – этого также можно добиться командой clf, командой cla удаляют только график с приведением осей координат к их стандартным диапазонам от 0 до 1).

Если нужно второй график провести «поверх первого графика», то перед вторичным вызовом графической функции plot нужно выполнить команду hold on, которая предназначена для удержания текущего графического окна:

» x=0:0.01:2; y=sin(x);

» plot(x,y)

» z=cos(x);

» hold on

» plot(x,z)

Практически тоже самое получится (рис. 2), если набрать:

» x=0:0.01:2; y=sin(x); z=cos(x);

» plot(x,y,x,z)

Рис. 2. Графики функций y=sin(x), z=cos(x), построенные в одном графическом окне

Если нужно одновременно визуализировать несколько графиков так, чтобы они не мешали друг другу, то это можно сделать двумя способами. Первым решением является построение их в разных графических окнах. Для этого перед вторичным вызовом функции plot следует набрать команду figure, которая создает новое графическое окно и заставляет все последующие за ней функции построения графиков выводить их туда.

Вторым решением показа нескольких графиков без конфликта диапазонов осей координат является использование функции subplot. Эта функция позволя-

20 ет разбить область вывода графической информации на несколько подобластей,

в каждую из которых можно вывести графики различных функций.

Например, для ранее выполненных вычислений с функциями sin и cos постройте графики этих двух функций в первой подобласти, а график функции exp(х) – во второй подобласти одного и того же графического окна (рис. 3):

» w=exp(x);

» subplot(1,2,1); plot(x,y,x,z)

» subplot(1,2,2); plot(x,w)

Рис. 3. Графики функций y=sin(x), z=cos(x) и w=exp(x), построенные в двух подобластях одного графического окна

Диапазоны изменения переменных на осях координат этих подобластей независимы друг от друга. Функция subplot принимает три числовых аргумента, первый из которых равен числу рядов подобластей, второй равен числу колонок подобластей, а третий аргумент – номеру подобласти (номер отсчитывается