Унитарный оператор. Унитарные преобразования в физике

Унитарные преобразования являются частным случаем линейных преобразований, когда линейный оператор [см. (8.1.1)] точно обратим, а его ядро удовлетворяет условиям ортогональности . В результате прямого унитарного преобразования матрицы изображения размера образуется матрица преобразованного изображения того же размера, элементы которой по определению равны

, (10.1.1)

где - ядро прямого преобразования. Исходное изображение можно получить с помощью обратного преобразования, описываемого соотношением

, (10.1.2)

где - ядро обратного преобразования. Преобразование является унитарным, если выполняются следующие условия ортогональности:

Преобразование называют разделимым, если оба его ядра можно представить в следующей форме:

где через (или ) и (или ) обозначены соответственно одномерные операторы преобразования столбцов и строк. Результат воздействия оператора разделимого двумерного унитарного преобразования можно находить в два этапа. Сначала выполняется одномерное преобразование по всем столбцам матрицы изображения, причем образуется матрица с элементами

. (10.1.5)

Затем выполняется второе одномерное преобразование по всем строкам полученной матрицы, в результате которого образуется массив чисел вида

. (10.1.6)

Унитарные преобразования удобно записывать с помощью векторных обозначений . Допустим, что и - матричное и векторное представления массива отсчетов исходного изображения, а и - матричное и векторное представления преобразованного изображения. Тогда двумерное унитарное преобразование в векторной форме выражается соотношением

где - матрица прямого преобразования. Обратное преобразование записывается как

где - матрица обратного преобразования. Очевидно, что

Для унитарных преобразований обратная матрица удовлетворяет соотношению

В этом случае матрицу называют унитарной. Действительная унитарная матрица называется ортогональной матрицей, и для нее справедливо соотношение

Если ядра преобразования разделимы, так что

где и - унитарные матрицы преобразования по строкам и столбцам, то матрицу преобразованного изображения можно получить из матрицы исходного изображения с помощью равенства

Обратное преобразование определяется соотношением

Разделимые унитарные преобразования можно также представлять в виде взвешенной суммы матричных произведений вектор-столбцов, сформированных из элементов матриц. Пусть и обозначают -й и -й столбцы матриц и . Нетрудно показать, что

. (10.1.14а)

Аналогично

, (10.1.14б)

где и - -й и -й столбы матриц и соответственно. Матричные произведения векторов, входящие в суммы (10.1.14), образуют последовательности матриц, называемых базисными матрицами, на основе которых и производится разложение матрицы исходного изображения или преобразованного изображения .

Возможны различные интерпретации унитарных преобразований. Преобразование изображения можно рассматривать как разложение исходного изображения в обобщенный двумерный спектр . Каждая спектральная составляющая характеризует вклад соответствующей спектральной (базисной) функции в энергию исходного изображения. При такой трактовке понятие частоты можно обобщить так, чтобы оно было применимо не только к синусам и косинусам, но и к другим функциям, на которых основываются преобразования. Подобный обобщенный спектральный анализ полезен для изучения тех конкретных разложений, которые в наибольшей мере подходят для данного класса изображений. Наглядное представление о преобразованиях изображений можно получить и по-другому, рассматривая преобразование как поворот многомерной системы координат. Одним из главных свойств унитарного преобразования является сохранение метрики. Например, евклидово расстояние между двумя изображениями равно евклидову расстоянию между их образами. Третья возможность интерпретации преобразований заключается в том, что равенство (10.1.2) можно рассматривать как способ составления изображения из набора двумерных функций , каждая из которых соответствует определенной точке плоскости обобщенных частот. В подобной интерпретации ядро называют двумерной базисной функцией, а коэффициент указывает «вес» этой базисной функции, необходимый для получения рассматриваемого изображения.

а обратное преобразование - как

U : H → H на гильбертовом пространстве H , который удовлетворяет соотношению

где U ∗ - эрмитово сопряжённый к U оператор, и I : H → H единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:

Чтобы увидеть это, заметим, что U изометричен (а поэтому является ограниченным линейным оператором). Это следует из того, что U сохраняет скалярное произведение. Образ U - плотное множество . Очевидно, что U −1 = U ∗ .

Унитарный элемент это обобщение понятия унитарного оператора. В *-алгебре элемент U алгебры называется унитарным элементом, если

U ∗ U = U U ∗ = I {\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}

где I единичный элемент.

Свойства унитарных преобразований:

Примеры [ | ]

Тождественный оператор - тривиальный пример унитарного оператора.
Вращения в R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} - это простейший нетривиальный пример унитарного оператора. Вращения не изменяют длины векторов и угол между двумя векторами. Этот пример также может быть обобщён на R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} .
В векторном пространстве комплексных чисел умножение на число с модулем 1 {\displaystyle 1} , то есть число вида e i θ {\displaystyle e^{i\theta }} для θ ∈ R {\displaystyle \theta \in \mathbb {R} } , является унитарным оператором. называется фазой. Можно заметить, что значение θ {\displaystyle \theta } , кратное 2 π {\displaystyle 2\pi } , не влияет на результат, поэтому множество независимых унитарных операторов в C {\displaystyle \mathbb {C} } топологически эквивалентно окружности.

Свойства [ | ]

Унитарные преобразования в физике [ | ]

В квантовой механике состояние квантовой системы описывается вектором в гильбертовом пространстве . Норма вектора состояния изолированной квантовой системы описывает вероятность найти систему хоть в каком-либо состоянии, а значит, она обязана равняться единице. Соответственно, эволюция квантовой системы во времени - это некоторый оператор, зависящий от времени , и, из-за требования сохранения нормы, он является унитарным. Неунитарные операторы эволюции (или, что то же самое, неэрмитовые гамильтонианы) для изолированной квантовой системы запрещены в квантовой механике.

Называется унитарным , если оно сохраняет норму вектора.

Свойства унитарных преобразований:

Примеры

вращение вектора в n-мерном евклидовом пространстве

Унитарные преобразования в физике

Wikimedia Foundation . 2010 .

Слегка недостаточные числа
Зиллион

Смотреть что такое "Унитарное преобразование" в других словарях:

унитарное преобразование - unitarinė transformacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. unitary transformation vok. unitäre Transformation, f rus. унитарное преобразование, n pranc. transformation unitaire, f … Fizikos terminų žodynas

УНИТАРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ - линейное преобразование Аунитарного пространства L, сохраняющее скалярное произведение векторов, т. е. такое, что для любых векторов хи. из Lимеет место равенство (Ах, Ау) =(х, у). У. п. сохраняет, в частности, длину вектора. Обратно, если… … Математическая энциклопедия

Унитарное преобразование - Линейное преобразование x’i = ui1x1 + ui2x2 +... + uinxn (i = 1, 2,..., n) с комплексными коэффициентами, сохраняющее неизменной сумму квадратов модулей преобразуемых величин У. п. представляет собой… … Большая советская энциклопедия

УНИТАРНОЕ ГОСУДАРСТВО - простое по составу, единое цельное государственное образование, состоящее из административно территориальных единиц (департаменты, провинции, округа, области, кантоны и т.д.), не имеющих каких либо суверенных прав и подчиненных центральным… … Юридическая энциклопедия

УНИТАРНОЕ ГОСУДАРСТВО - простое по составу, единое цельное государственное образование, состоящее из административно территориальных единиц (департаменты, провинции, округа, области, кантоны и т.д.), не имеющих каких либо суверенных прав и подчиненное центральным… … Энциклопедический словарь экономики и права

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХОЗЯЙСТВЕННЫХ ТОВАРИЩЕСТВ И ОБЩЕСТВ - в соответствии со ст. 65 ГК хозяйственные товарищества и общества одного вида могут преобразовываться в хозяйственные товарищества и общества другого вида или в производственные кооперативы по решению общего собрания участников в случаях и… … Юридический словарь современного гражданского права

ПЕРРОНА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ - ортогональное (унитарное) преобразование (1) гладко зависящее от tи преобразующее линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (2) в систему треугольного вида (3) Введено О. Перроном . Справедлива теорема Перрона: для всякой… … Математическая энциклопедия

Квантовый вентиль - (квантовый логический элемент) это базовый элемент квантового компьютера, преобразующий входные состояния кубитов на выходные по определённому закону. Отличается от обычных логических вентилей тем, что работает с кубитами, а следовательно… … Википедия

Квантовое сверхплотное кодирование - Для улучшения этой статьи желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Квантовое сверхплотное кодирование … Википедия

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ - оператора, действующего в функциональном пространстве, ненулевые ф ции, переводящиеся оператором А в пропорциональные им: Комплексное либо вещественное число наз. собственным значением оператора А. В гильбертовомпространстве ф цийиа множестве … Физическая энциклопедия

Называется унитарным , если оно сохраняет норму вектора.

Свойства унитарных преобразований:

Примеры

вращение вектора в n-мерном евклидовом пространстве

Унитарные преобразования в физике

Wikimedia Foundation . 2010 .

Слегка недостаточные числа
Зиллион

Смотреть что такое "Унитарное преобразование" в других словарях:

УНИТАРНОЕ ГОСУДАРСТВО - простое по составу, единое цельное государственное образование, состоящее из административно территориальных единиц (департаменты, провинции, округа, области, кантоны и т.д.), не имеющих каких либо суверенных прав и подчиненное центральным… … Энциклопедический словарь экономики и права