НТВ плюс 

Модель прогнозирования ARIMAX: скользящее среднее

Плавкие предохранители. Сила тока в каком-либо участке цепи определяется по закону Ома сопротивлением участка и напряжением между его концами. При заданном напряжении она тем меньше, чем больше сопротивление данного участка. Так, например, сопротивление обычных лампочек накаливания сравнительно велико (сотни ом), и поэтому сила тока в них получается малой (несколько десятых долей ампера).

Если соединить провода помимо лампочки, то получится участок с очень малым сопротивлением и ток может сделаться весьма большим. Говорят, что в этом случае имеет место короткое замыкание. Коротким замыканием называют вообще всякое замыкание источника тока на очень малое сопротивление. Развивающиеся при коротком замыкании большие токи чрезвычайно опасны из-за раскаливания проводов, а также крайне вредны для источника тока.

Для предохранения проводов от короткого замыкания служат плавкие предохранители. Это – тонкие медные проволочки, или, еще лучше, проволочки из легкоплавкого металла (например, свинца), вводимые последовательно в цепь тока и рассчитанные таким образом, чтобы они плавились при силе тока, превышающей то значение, на которое данная цепь рассчитана. На рис. 99 показано действие предохранителей. При замыкании проводов электрической лампочки куском толстой медной проволоки 1 (короткое замыкание) предохранитель 2 мгновенно плавится и цепь размыкается.

Рис. 99. При коротком замыкании медным стержнем 1 плавкий предохранитель 2 расплавляется и размыкает цепь

Устройство наиболее употребительного «пробочного» предохранителя показано на рис. 100. Его название происходит от фарфоровой «пробки» 1, внутри которой помещается легкоплавкая проволока 2. Пробка, подобно цоколю лампочки, ввинчивается в патрон предохранителя 3 и после каждого короткого замыкания заменяется новой. Обычно предохранители или группы предохранителей ставятся при вводе тока в дома и, кроме того, при вводе в каждую квартиру; нередко предохранителями снабжены и отдельные штепсели. Устройство штепсельного предохранителя показано на рис. 101. Предохранитель отдельного штепселя должен плавиться при токе 3-5 А, предохранитель в квартире – при токе 15-20 А, а предохранитель в доме – при значительно больших токах, в несколько сот ампер.

Рис. 100. «Пробочный» предохранитель: 1 – фарфоровая «пробка», 2 – легкоплавкая проволока, 3 – патрон предохранителя

Рис. 101. Штепсельная розетка с предохранителем: а) вид сверху раскрытой штепсельной розетки; б) вид со стороны стены; в) крышка; 1 – гнезда для вилки, 2 – плавкий предохранитель, 3 – отверстия для шурупов, прикрепляющих штепсельную розетку к стене, 4 – приспособление для закрепления крышки

На рисунке 1 показана схема включения электрической лампы накаливания в электрическую сеть. Если сопротивление этой лампы r л = 240 Ом, а напряжение сети U = 120 В, то по закону Ома ток в цепи лампы будет:

Рисунок 1. Схема короткого замыкания на зажимах рубильника

Разберем случай, когда провода, идущие к лампе накаливания, оказались замкнутыми через очень малое сопротивление, например толстый металлический стержень с сопротивлением r = 0,01 Ом, случайно попавший на два провода. В этом случае ток сети, проходя к точке А , будет разветвляться по двум путям: одна большая его часть, пойдет по металлическому стержню – пути с малым сопротивлением, а другая, небольшая часть тока, будет проходить по пути с большим сопротивлением – лампе накаливания.

Аварийный режим работы сети, когда вследствие уменьшения ее сопротивления ток в ней резко увеличивается против нормального, называется коротким замыканием .

Определим какова сила тока короткого замыкания, текущего по металлическому стержню:

На самом деле в случае короткого замыкания напряжение сети будет меньше 120 В, так как большой ток создаст в сети большое падение напряжения и поэтому ток, протекающий по металлическому стержню, будет меньше 12 000 А. Но все же этот ток будет во много раз превышать ток, потреблявшийся ранее лампой накаливания.

Мощность короткого замыкания при токе I кз = 12 000 А составит:

P кз = U × I кз = 120 ×12 000 = 1 440 000 Вт = 1 440 кВт.

Ток, проходя по проводнику, выделяет тепло, и проводник нагревается. В нашем примере сечение проводов электрической цепи было рассчитано на небольшой ток – 0,5 А. При замыкании проводов по цепи будет протекать очень большой ток – 12 000 А. Такой ток вызовет выделение громадного количества тепла, что безусловно приведет к обугливанию и сгоранию изоляции проводов, расплавлению материала проводов, порче электроизмерительных приборов, оплавлению контактов выключателей, ножей рубильников и так далее. Источник электрической энергии, питающий такую цепь, также может быть поврежден. Перегрев проводов может вызвать пожар.

Каждая электрическая сеть рассчитывается на свой, нормальный для нее ток.

Ввиду опасных, разрушительных, а иногда и непоправимых последствий короткого замыкания необходимо соблюдать определенные условия при монтаже и эксплуатации электрических установок, чтобы исключить причины короткого замыкания. Основные из них следующие:
1) изоляция проводов должна соответствовать своему назначению (напряжению сети и условиям ее работы);
2) сечение проводов должно быть таково, чтобы нагревание их при существующих условиях работы не достигало опасной величины;
3) проложенные провода должны быть надежно защищены от механических повреждений;
4) места соединений и ответвлений должны быть так же надежно изолированы, как и сами провода;
5) скрещивание проводов должно быть выполнено так, чтобы провода не касались друг друга;
6) через стены, потолки и полы провода должны быть проложены так, чтобы они были защищены от сырости, механических и химических повреждений и хорошо изолированы.

Защита от токов короткого замыкания

Чтобы избежать внезапного, опасного увеличения тока в электрической цепи при ее коротком замыкании, цепь защищают плавкими предохранителями или автоматическими выключателями.

Плавкие предохранители представляют собой легкоплавкую проволочку, включенную последовательно в сеть. При увеличении тока сверх определенной величины проволочка предохранителя нагревается и плавится, в результате чего электрическая цепь автоматически разрывается и ток в ней прекращается.

Автоматический выключатель более сложный и дорогостоящий аппарат защиты нежели плавкий предохранитель. Однако в отличии от плавкого предохранителя он рассчитан на многократные срабатывания при защите цепей при аварийных режимах работы. Конструктивно автоматический выключатель выполнен в диэлектрическом корпусе со встроенным внутрь механизмом расцепления. Механизм расцепления имеет неподвижный и подвижный контакты. Подвижный контакт подпружинен, пружина обеспечивает усилие для быстрого расцепления контактов. Механизм расцепления приводится в действие одним из двух расцепителей: тепловым или магнитным.

Тепловой расцепитель представляет собой биметаллическую пластину, нагреваемую протекающим током. При протекании тока выше допустимого значения биметаллическая пластина изгибается и приводит в действие механизм расцепления. Время срабатывания зависит от тока (времятоковая характеристика) и может изменяться от секунд до часа. В отличие от плавкого предохранителя, автоматический выключатель готов к следующему использованию после остывания пластины.

Электромагнитный расцепитель – расцепитель мгновенного действия, представляет собой соленоид (катушку выполненную из медного проводника), подвижный сердечник которого также может приводить в действие механизм расцепления. Ток, проходящий через выключатель, течет по обмотке соленоида и вызывает втягивание сердечника при превышении заданного порога тока. Мгновенный расцепитель, в отличие от теплового, срабатывает очень быстро (доли секунды), но при значительно большем превышении тока: в 2 ÷ 14 раз от номинального тока.

Видео 1. Короткое замыкание

Условия обратимости . Процесс скользящего среднего второго порядка определен как

и стационарен для всех значений и . Однако он обратим только тогда, когда корни характеристического уравнения

(3.3.9)

лежат вне единичного круга, т. е.

Эти условия аналогичны условиям (3.2.18) стационарности процесса АР(2)

Автокорреляционная функция . Из (3.3.3) следует, что дисперсия процесса равна

и из (3.3.4) - что автокорреляционная функция равна

(3.3.11)

Таким образом, автокорреляционная функция обрывается после задержки 2.

Из (3.3.10) и (3.3.11) вытекает, что первые две автокорреляции обратимого процесса СС(2) должны лежать внутри площади, ограниченной отрезками кривых

(3.3.12)

Область обратимости (3.3.10) для параметров процесса показана на рис. 3.8,а, и соответствующая область (3.3.12) значений автокорреляций - на рис. 3.8,б. Последний рисунок позволяет оценить, согласуется ли данная пара значений с гипотезой, что модель - процесс СС(2). Если согласие имеется, значения и можно найти, решив нелинейные уравнения (3.3.11). Для облегчения такого расчета можно использовать диаграмму в конце книги; она позволяет прямо находить значения и по данным и .

Спектр . Из (3.3.5) находим спектр

(3.3.13)

Заметим, что это спектр с точностью до постоянного множителя обратен спектру (3.2.29) процесса авторегрессии простого порядка.

Частная автокорреляционная функция. Точное выражение для функции частной автокорреляции процесса СС(2) оказывается сложным, но главную роль в нем играет либо сумма двух экспоненциальных членов [если корни характеристического уравнения (3.3.9) действительны], либо затухающая синусоида [если корни (3.3.9) комплексны]. Таким образом, эта функция ведет себя так же как, как автокорреляция процесса АР(2).

Рис. 3.8. Допустимые области значений для обратимого процесса СС(2)

Рис 3.9. Автокорреляционная и частная автокорреляционная функции для различных моделей СС(2)

На рис. 3.9 (заимствованном из ) показаны автокорреляционные функции (кривые слева) и частные автокорреляционные функции(кривые справа) для различных значений параметров из области обратимости. Сравнение с рис. 3.2, на котором приведены соответствующие автокорреляции и частные автокорреляции, иллюстрирует взаимность процессов СС(2) и АР(2).

Среди моделей для стационарных временных рядов широкое распространение имеют модели скользящей средней.

Для стационарного ряда моделируемый уровень временно­го ряда можно представить как линейную функцию прошлых ошибок, т.е. разностей между прошлыми фактическими и те­оретическими уровнями:

где -константа;- белый шум в текущий и пре­дыдущий период времени:

Термин «скользящая средняя», используемый здесь, не си­ноним скользящей средней как методу сглаживания уровней динамического ряда.

В модели (5.62) уровень динамического ряда рассматрива­ется как сумма константы и скользящей средней между те­кущими и предыдущими значениями белого шума (случай­ных отклонений).

Обозначим скользящую среднюю модели (5.62) через x t :

*

Уравнение (5.64) принято называть процессом скользя­щего среднего порядка q и обозначать какМА (q ) от англий­скогоMovingAverage . Порядок скользящей средней определя­ется числом учитываемых в модели предыдущих значений случайных отклонений. Так,МА (2) можно записать кака модель уровня динамического ряда с использованиемМА (2) будет иметь вид

Соответственно модель уровня ряда с использованием MA(1) примет вид

При q = 0 и= 0 получаем процесс белого шума.

Временные ряды с использованием процесса скользящего среднего могут иметь место, когда уровни динамического ряда характеризуются случайной колеблемостью.

Модели arma

(ARM А - отанглийскогоAuto Regressive - Moving Average):

В модели (7) в качестве объясняющих переменных рас­сматриваются лаговые значения зависимой переменной с р ин­тервалами сдвига и скользящие средние порядкаq для остат­ков авторегрессии. Иными словами, модель включает в себяAR (р ) иМА (q ). Ее принято обозначатьARMA (р, q ). Например,ARMA (3, 2) имеет вид

При практической реализации моделей ARMA наиболее сложным является выбор числа лаговр иq .

Инструментом идентификации модели ARMA является изуче­ние частной автокорреляционной функции по моделям с раз­ным числом лагов.Частная автокорреляционная функция ( PACF -PartialAutocorrelationFunction ) представляет собой серию частных коэффициентов автокорреляции (РАС), кото­рые измеряют связь между текущим уровнем динамического рядаи предыдущими значениямив усло­виях, когда влияние других промежуточных временных ла­гов устранено. Так, частный коэффициент автокорреляции при лагеk будет представлять собой корреляциюи,очищенную от влияния.

Обозначим частный коэффициент автокорреляции с ла­гом k через ρ(k). Приk = 0 ρ(0) = 1 (уровни ряда коррелиру­ют сами с собой); приk= 1, где- коэффици­ент автокорреляции первого порядка. Это равенство связано с тем, что при расчете ρ(1) отсутствуют промежуточные лаги. Вычисление ρболее высокого порядка можно производить по формулам

Для авторегрессионного процесса порядка ρ частная авто­корреляционная функция отлична от нуля при k ≤ ρ и равна нулю приk> ρ. Это и позволяет определять порядок ρ про­цессаAR. Так, для моделиAR (1):ρ(2) близ­ко к нулю.

Для модели типа МА (q) порядокqопределяется по поведе­нию автокорреляционной функции: приkр r а стремится к нулю. Для моделиARMA (р, q ) автокорреляционная функция характеризуется убыванием, начинающимся с лагаq , а час­тная автокорреляционная функция убывает, начиная с лага ρ. Так, для моделиARMA (1,1) при> 0ACF наблюдает экс­поненциальное затухание с лага 1,aPACF - осциллирующее убывание с лага 1. При<0ACF для моделиARMA (1,1) на­блюдает осциллирующее убывание с лага 1,aPACF - экспо­ненциальное затухание с лага 1.

Модели случайных процессов, имеющих место в системах передачи информации, зачастую могут быть представлены в виде временных рядов. В частности частотно-селективные и временные селективные замирания могут быть представлены посредством моделей авторегрессии. При этом повышение порядка модели позволяет повысить степень ее адекватности реальному случайному процессу. В лабораторной работе рассмотрены два типа временных рядов - авторегрессионные последовательности и процессы со скользящим средним.

Цель работы: изучение авторегрессионных моделей, а также моделей скользящего среднего, позволяющих имитировать случайные процессы с заданным спектром и корреляционной функцией; анализ статистических характеристик имитируемых случайных процессов.

где - независимые отсчеты гауссовой случайной величины с нулевым средним и единичной дисперсией, .

Автокорреляционная функция:

Нормированная автокорреляционная функция: , .

Дисперсия: , где - дисперсия белого шума.

Автокорреляционная функция:

Дисперсия: .

Спектр:

3. Модель скользящего среднего первого порядка

где - независимые гауссовы случайные величины, .

Автокорреляционная функция: , .

Дисперсия: .

Спектр: , .

4. Модель скользящего среднего второго порядка

Автокорреляционная функция:

Дисперсия: .

Спектр:

Порядок выполнения работы:

1. Загрузить пакет SciLab_4_1 и выбрать опцию Editor. Перенести соответствующие Script-файлы в программное окно.

2. Получить графики временных реализаций (Time Realization), корреляционных функций (Correlation Function) и спектров (Spectrum) для соответствующих моделей временных рядов: авторегрессии 1-го порядка (AR_1), авторегрессии 2-го порядка (AR_2), скользящего среднего 1-го порядка (МА_1), скользящего среднего 2-го порядка (МА_2) в соответствии с вариантом задания (таблица 1). При этом в программном окне коэффициентам авторегрессионного уравнения и соответствуют обозначения G1 и G2; коэффициентам корреляции и уравнений авторегрессии соответствуют обозначения p 1 и p 2; коэффициентам и уравнений скользящего среднего - обозначения J 1 и J 2, соответственно. В отчете должно быть представлено 12 графиков.

  • 3. Вычислить дисперсию случайного процесса для каждой модели временного ряда (значение в окне Variance в режиме Time Realization - VarZ).
  • 4. Вычислить значения и для модели авторегрессии второго порядка.

5. Вычислить значения и для моделей скользящего среднего.

Таблица 1. Варианты заданий

Номер варианта
  • 1. Название работы, ФИО студентов, цель работы.
  • 2. Необходимые теоретические сведения.
  • 3. Графики временных реализаций, корреляционных функций и спектров для соответствующих моделей временных рядов: авторегрессии 1-го и 2-го порядка, скользящего среднего 1-го и 2-го порядка.
  • 4. Вычисленные значения дисперсии, а также соответствующих коэффициентов корреляции.
  • 5. Выводы по работе.

Контрольные вопросы:

Откуда произошло название «скользящее среднее»?

Дайте определение понятия «корреляция».

Что характеризует корреляционная функция случайного процесса?

Что характеризует спектр сигнала?

Как вычислить энергию сигнала, зная спектральную плотность мощности?

Существуют ли неустойчивые процессы со скользящим средним?

Каково условие стационарности для процесса авторегрессии 2-го порядка?

Как влияет изменение знака перед коэффициентом на форму спектра процесса авторегрессии 1-го порядка?

Можно ли назвать процесс со скользящим средним коррелированным?

Script-файлы:

Коэффициенты G1 и G2 нужно вычислить самостоятельно по формулам, исходя из заданных (в варианте задания) нормированных коэффициентов корреляции p1 и p2 .

q=grand(1,N,"nor",0,1)

p=0.9; z(1)=grand(1,1,"nor",0,1);

z(i)=p*z(i-1)+q(i);

S=2./(1+p^2-2*p*cos(2*3.1415926*w));

G1=0.75; G2=-0.5;

q=grand(1,N,"nor",0,1);

z(1)=grand(1,1,"nor",0,1); z(2)=grand(1,1,"nor",0,1);

z(i)=G1*z(i-1)+G2*z(i-2)+q(i);

G1=0.75; G2=-0.5; p(1)=G1./(1-G2); p(2)=G1*p(1)+G2;

p(i)=G1*p(i-1)+G2*p(i-2);

set("figure_style","new")

a=get("current_axes");

a.data_bounds=;

G1=0.75; G2=-0.5;

varZ=(1./((1-G2).^2-(G1)^2)).*((1-G2)/(1+G2));

S=2./(1+(G1)^2+(G2)^2-2*G1.*(1-G2).*cos(2*3.1415926*w)-2*G2*cos(4*3.1415926*w));

J=0.5; q=grand(1,N,"nor",0,1);

z(i)=q(i+1)-J*q(i);

S=2./(1+J^2-2*J*cos(2*3.1415926*w));

J1=0.7; J2=-0.3; q=grand(1,N,"nor",0,1);

z(i)=q(i+2)-J1*q(i+1)-J2*q(i);

J1=-0.7; J2=-0.7;

varZ=(1+J1^2+J2^2);

S=2.*(1+(J1)^2+(J2)^2-2*J1.*(1-J2).*cos(2*3.1415926*w)-2*J2*cos(4*3.1415926*w));

Библиографический список

  • 1. Бокс, Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. В 2 вып. Вып. 1 / Дж. Бокс, Г. Дженкинс; пер. с англ. А. Л. Левшина, под ред. В. Ф. Писаренко. - М. : Мир, 1974. - 406 с.
  • 2. Васильев, К. К. Методы обработки сигналов: учебное пособие / К. К. Васильев. - Ульяновск: УлГТУ, 2001. - 80 с. (имеется электронная версия)
  • 3. Васильев, К.К. Математическое моделирование систем связи: учебное пособие / К. К. Васильев, М. Н. Служивый. - Ульяновск: УлГТУ, 2008. - 168 с.