Как найти корреляцию двух синусоидальных сигналов звуковых. Корреляционно-спектральный анализ детерминированных сигналов. Автокорреляционная функция сигнала
На ранних этапах развития радиотехники вопрос о выборе наилучших сигналов для тех или иных конкретных применений не был очень острым. Это обусловливалось, с одной стороны, относительно простой структурой передаваемых сообщений (телеграфные посылки, радиовещание); с другой, практическая реализация сигналов сложной формы в комплексе с оборудованием для их кодирования, модуляции и обратного преобразования в сообщение оказывалась трудно осуществимой.
В настоящее время ситуация в корне изменилась. В современных радиоэлектронных комплексах выбор сигналов диктуется прежде всего не техническими удобствами их генерирования, преобразования и приема, а возможностью оптимального решения задач, предусмотренных при проектировании системы. Для того чтобы понять, как возникает потребность в сигналах со специально выбранными свойствами, рассмотрим следующий пример.
Сравнение сигналов, сдвинутых во времени.
Обратимся к упрощенной идее работы импульсного радиолокатора, предназначенного для измерения дальности до пели. Здесь информация об объекте измерения заложена в величине - задержке по времени между зондирующим и принятым сигналами. Формы зондирующего и и принятого и сигналов одинаковы при любых задержках.
Структурная схема устройства обработки радиолокационных сигналов, предназначенного для измерения дальности, может выглядеть так, как это изображено на рис. 3,3.
Система состоит из набора элементов, осуществляющих задержку «эталонного» передаваемого сигнала на некоторые фиксированные отрезки времени
Рис. 3.3. Устройство для измерения времени задержки сигналов
Задержанные сигналы вместе с принятым сигналом подаются на устройства сравнения, действующие в соответствии с принципом: сигнал на выходе появляется лишь при условии, что оба входных колебания являются «копиями» друг друга. Зная номер канала, в котором происходит указанное событие, можно измерить задержку, а значит, и дальность до цели.
Подобное устройство будет работать тем точнее, чем в большей степени разнятся друг от друга сигнал и его «копия», смещенная во времени.
Таким образом, мы получили качественное «представление о том, какие сигналы можно считать «хорошими» для данного применения.
Перейдем к точной математической формулировке поставленной проблемы и покажем, что этот круг вопросов имеет непосредственное отношение к теории энергетических спектров сигналов.
Автокорреляционная функция сигнала.
Для количественного определения степени отличия сигнала и и его смещенной во времени копии принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала , равную скалярному произведению сигнала и копии:
В дальнейшем будем предполагать, что исследуемый сигнал имеет локализованный во времени импульсный характер, так что интеграл вида (3.15) заведомо существует.
Непосредственно видно, что при автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала:
К числу простейших свойств АКФ можно отнести ее четность:
Действительно, если в интеграле (3.15) сделать замену переменных то
Наконец, важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига модуль АКФ не превосходит энергии сигнала:
Этот факт непосредственно вытекает из неравенства Коши - Буняковского (см. гл. 1):
Итак, АКФ представляется симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающий, так и колеблющийся характер.
Пример 3,3. Найти АКФ прямоугольного видеоимпульса.
На рис. 3.4,а изображен прямоугольный видеоимпульс с амплитудой U и длительностью Здесь же представлена его «копия», сдвинутая во времени в сторону запаздывания на . Интеграл (3.15) вычисляется в данном случае элементарно на основании графического построения. Действительно, произведение и и отлично от нуля лишь в пределах интервала времени, когда наблюдается наложение сигналов. Из рис. 3.4, о видно, что этот временной интервал равен если сдвиг не превышает длительности импульса. Таким образом, для рассматриваемого сигнала
График такой функции - треугольник, изображенный на рис. 3.4,б. Ширина основания треугольника в два раза больше длительности импульса.
Рис. 3.4. Нахождение АКФ прямоугольного видеоимпульса
Пример 3.4. Найти АКФ прямоугольного радиоимпульса.
Будем рассматривать радиосигнал вида
Зная заранее, что АКФ четна, вычислим интеграл (3.15), полагая . При этом
откуда легко получаем
Естественно, что при величина становится равной энергии этого импульса (см. пример 1.9). Формула (3.21) описывает АКФ прямоугольного радиоимпульса при всех сдвигах , лежащих в пределах Если абсолютное значение сдвига превышает длительность импульса, то автокорреляционная функция будет тождественно обращаться в нуль.
Пример 3.5. Определить АКФ последовательности прямоугольных видеоимпульсов.
В радиолокации широко используются сигналы, представляющие собой пачки из одинаковых по форме импульсов, следующих друг за другом через одинаковый интервал времени. Для обнаружения такой пачки, а также для измерения ее параметров, например положения во времени, создают устройства, которые аппаратурным образом реализуют алгоритмы вычисления АКФ.
Рис. 3.5. АКФ пачки из трех одинаковых видеоимпульсов: а - пачка импульсов; б - график АКФ
На рис. 3.5, в изображена пачка, состоящая из трех одинаковых видеоимпульсов прямоугольной формы. Здесь же представлена ее автокорреляционная функция, вычисленная по формуле (3.15) (рис. 3.5, б).
Хорошо видно, что максимум АКФ достигается при Однако если задержка оказывается кратной периоду последовательности (при в нашем случае), наблюдаются побочные лепестки АКФ, сравнимые по высоте с главным лепестком. Поэтому можно говорить об известном несовершенстве корреляционной Структуры данного сигнала.
Автокорреляционная функция неограниченно протяженного сигнала.
Если требуется рассматривать неограниченно протяженные во времени периодические последовательности, то подход к изучению корреляционных свойств сигналов должен быть несколько видоизменен.
Будем считать, что такая последовательность получается из некоторого локализованного во времени, т. е. импульсного, сигнала, когда длительность последнего стремится к бесконечности. Для того чтобы избежать расходимости получаемых выражений, определим иовую АКФ как среднее значение скалярного произведения сигнала и его копии:
При таком подходе автокорреляционная функция становится равной средней взаимной мощности этих даух сигналов.
Например, желая найти АКФ для неограниченной во времени косинусоиды можно воспользоваться формулой (3.21), полученной для радиоимпульса длительностью а затем перейти к пределу при учитывая определение (3.22). В результате получим
Эта АКФ сама является периодической функцией; ее значение при равно
Связь между энергетическим спектром сигнала и его автокорреляционной функцией.
При изучении материала настоящей главы читатель может подумать, что методы корреляционного анализа выступают как некоторые особые приемы, не имеющие связи с принципами спектральных разложений. Однако это не так. Легко показать, что существует тесная связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала.
Действительно, в соответствии с формулой (3.15) АКФ есть скалярное произведение: Здесь символом обозначена смещенная во времени копия сигнала и ,
Обратившись к обобщенной формуле Рэлея (2.42), можно записать равенство
Спектральная плотность смещенного во времени сигнала
Таким образом, приходим к результату:
Квадрат модуля спектральной плотности, как известно, представляет собой энергетический спектр сигнала. Итак, энергетический спектр и автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье:
Ясно, что имеется и обратное соотношение:
Эти результаты принципиально важны по двум причинам. Во-первых, оказывается возможным оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии по спектру. Чем шире полоса частот сигнала, тем уже основной лепесток автокорреляционной функции и тем совершеннее сигнал с точней зрения возможности точного измерения момента его начала.
Во-вторых, формулы (3.24) и (3.26) указывают путь экспериментального определения энергетического спектра. Часто удобнее вначале получить автокорреляционную функцию, а затем, используя преобразование Фурье, найти энергетический спектр сигнала. Такой прием получил распространение при исследовании свойств сигналов с помощью быстродействующих ЭВМ в реальном масштабе времени.
Отсюда следует, что интервал корреляции
оказывается тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала.
Ограничения, накладываемые на вид автокорреляционной функции сигнала.
Найденная связь между автокорреляционной функцией и энергетическим спектром дает возможность установить интересный и на первый взгляд неочевидный критерий существования сигнала с заданными корреляционными свойствами. Дело в том, что энергетический спектр любого сигнале, по определению, должен быть положительным [см. формулу (3.25)]. Данное условие будет выполняться далеко не при любом выборе АКФ. Например, если взять
и вычислить соответствующее преобразование Фурье, то
Эта знакопеременная функция не может представлять собой энергетический спектр какого-либо сигнала.
Знаете ли Вы,
что такое мысленный эксперимент, gedanken experiment?
Это несуществующая практика, потусторонний опыт, воображение того, чего нет на самом деле. Мысленные эксперименты подобны снам наяву. Они рождают чудовищ. В отличие от физического эксперимента, который является опытной проверкой гипотез, "мысленный эксперимент" фокуснически подменяет экспериментальную проверку желаемыми, не проверенными на практике выводами, манипулируя логикообразными построениями, реально нарушающими саму логику путем использования недоказанных посылок в качестве доказанных, то есть путем подмены. Таким образом, основной задачей заявителей "мысленных экспериментов" является обман слушателя или читателя путем замены настоящего физического эксперимента его "куклой" - фиктивными рассуждениями под честное слово без самой физической проверки.
Заполнение физики воображаемыми, "мысленными экспериментами" привело к возникновению абсурдной сюрреалистической, спутанно-запутанной картины мира. Настоящий исследователь должен отличать такие "фантики" от настоящих ценностей.
Релятивисты и позитивисты утверждают, что "мысленный эксперимент" весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении.
Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: "Если факт не соответствует теории - измените факт" (В другом варианте " - Факт не соответствует теории? - Тем хуже для факта").
Максимально, на что может претендовать "мысленный эксперимент" - это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте.
Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем.
Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом.
Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов (correlation function, CF). Применительно к детерминированным сигналам с конечной энергией АКФ является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, и представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время t:
B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.25)
Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига t. Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при t = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала:
B s (0) =s(t) 2 dt = E s .
Функция АКФ является непрерывной и четной. В последнем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-t в выражении (2.25):
B s (t) =s(t-t) s(t) dt = s(t) s(t-t) dt = B s (-t). (2.25")
С учетом четности, графическое представление АКФ производится только для положительных значений t. На практике сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т. Знак +t в выражении (2.25) означает, что при увеличении значений t копия сигнала s(t+t) сдвигается влево по оси t и уходит за 0, что требует соответствующего продления сигнала в область отрицательных значений аргумента. А так как при вычислениях интервал задания t, как правило, много меньше интервала задания сигнала, то более практичным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (2.25) функции s(t-t) вместо s(t+t).
По мере увеличения значения величины сдвига t для финитных сигналов временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается и скалярное произведение стремятся к нулю.
Пример. На интервале (0,Т) задан прямоугольный импульс с амплитудным значением, равным А. Вычислить автокорреляционную функцию импульса.
При сдвиге копии импульса по оси t вправо, при 0≤t≤T сигналы перекрываются на интервале от t до Т. Скалярное произведение:
B s (t) =A 2 dt = A 2 (T-t).
При сдвиге копии импульса влево, при -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:
B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).
При |t| > T сигнал и его копия не имеют точек пересечения и скалярное произведение сигналов равно нулю (сигнал и его сдвинутая копия становятся ортогональными).
Обобщая вычисления, можем записать:
B s (t) = 
.
В случае периодических сигналов АКФ вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения и его сдвинутой копии в пределах периода:
B s (t) = (1/Т)s(t) s(t-t) dt.
При t=0 значение АКФ в этом случае равно не энергии, а средней мощности сигналов в пределах интервала Т. АКФ периодических сигналов также является периодической функцией с тем же периодом Т. Для однотонального гармонического сигнала это очевидно. Первое максимальное значение АКФ будет соответствовать t=0. При сдвиге копии сигнала на четверть периода относительно оригинала подынтегральные функции становятся ортогональными друг другу (cos w o (t-t) = cos (w o t-p/2) º sin w o t) и дают нулевое значение АКФ. При сдвиге на t=T/2 копия сигнала по направлению становится противоположной самому сигналу и скалярное произведение достигает минимального значения. При дальнейшем увеличении сдвига начинается обратный процесс увеличения значений скалярного произведения с пересечением нуля при t=3T/2 и повторением максимального значения при t=T=2p/w o (cos w o t-2p копии º cos w o t сигнала). Аналогичный процесс имеет место и для периодических сигналов произвольной формы (рис. 2.11).
Отметим, что полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств АКФ.
Для сигналов, заданных на определенном интервале , вычисление АКФ производится с нормировкой на длину интервала :
B s (t) =s(t) s(t+t) dt. (2.26)
Автокорреляция сигнала может оцениваться и функцией автокорреляционных коэффициентов, вычисление которых производится по формуле (по центрированным сигналам):
r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2 .
Взаимная корреляционная функция (ВКФ) сигналов (cross-correlation function, CCF) показывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной), для чего используется та же формула (2.25), что и для АКФ, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых сдвинут на время t:
B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (2.27)
При замене переменной t = t-t в формуле (2.4.3), получаем:
B 12 (t) =s 1 (t-t) s 2 (t) dt =s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)
Рис. 2.12. Сигналы и ВКФ
Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, а значения ВКФ не обязаны иметь максимум при t = 0. Это можно наглядно видеть на рис. 2.12, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (2.27) с постепенным увеличением значений t означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+t)).
При t=0 сигналы ортогональны и значение B 12 (t)=0. Максимум В 12 (t) будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение t=1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+t). При вычислении значений B 21 (-t) аналогичный процесс выполняется последовательным сдвигом сигнала s1(t) вправо по временной оси с постепенным увеличением отрицательных значений t, а соответственно значения B 21 (-t) являются зеркальным (относительно оси t=0) отображением значений B 12 (t), и наоборот. На рис. 2.13 это можно видеть наглядно.
Рис. 2.13. Сигналы и ВКФ
Таким образом, для вычисления полной формы ВКФ числовая ось t должна включать отрицательные значения, а изменение знака t в формуле (2.27) равносильно перестановке сигналов.
Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода систем при изучении характеристик систем.
Функция коэффициентов взаимной корреляции двух сигналов вычисляется по формуле (по центрированным сигналам):
r sv (t) = cos j(t) = ás(t), v(t+t)ñ /||s(t)|| ||v(t)||. (2.28)
Значение коэффициентов взаимной корреляции может изменяться от -1 до 1.
Понятие “корреляция” отражает степень сходства некоторых объектов или явлений. Применительно к сигналам корреляционная функция есть количественная мера сходства двух копий сигнала сдвинутых друг относительно друга по времени на некоторую величину t - чем больше значение корреляционной функции, тем больше похожи сигналы друг на друга.
Корреляционная функция задается следующим выражением:
∞
R ss (t) = ∫ s(t) s(t - t)dt (1.24)
- ∞
Здесь индекс R ss означает, что вычисляется автокорреляционная функция (АКФ) корреляция сигнала s(t) с его сдвинутой копией.
Корреляционная функция (АКФ) сигнала обладает следующими свойствами:
1. Значение АКФ при t = 0 равно энергии сигнала:
∞
R ss (0) = ∫ s(t) 2 dt. (1.25)
2. АКФ является четной и невозрастающей функцией
R ss (t) = R ss (-t), R ss (t) ≤ R ss (0). (1.26)
3. АКФ сигнала с конечной энергией при t → ∞ стримится к нулю.
4. АКФ периодического сигнала периодична с периодом, равным периоду самого сигнала.
Если АКФ показывает степень сходства между сдвинутыми копиями одного и того же сигнала, то аналогичная ей взаимная корреляционная функция (ВКФ) позволяет оценить степень подобия двух различных сигналов
R 12 (t) = ∫ s 1 (t) s 2 (t - t)dt (1.27)
Вычисление АКФ и ВКФ сигналов является одними из основных алгоритмов обработки сигналов при их приеме на фоне помех. В связи с этим понимание физического смысла “корреляции ” и знание свойств корреляционных функций различных сигналов является важным элементом образования специалиста в области передачи информации и связи.
Целью данной работы является изучение простейших радиотехнических сигналов, разложение их в ряд Фурье, создание в среде программирования Matlab соответствующих программ.
Ход работы:
1 . Создать программу построения следующих простейших радиотехнических сигналов и представить их графики:
1.1. прямоугольный импульс;
1.2. сумма синусов;
1.3. радиоимпульс с прямоугольной огибающей;
1.5. радиоимпульс с гауссовской огибающей;
1.6. последовательность импульсов типа «меандр»;
1.7. фазоманипулированная последовательность;
1.8. радиоимпульс с экспоненциальной огибающей.
2 . Создать подпрограмму разложения сигнала в ряд Фурье.
3. Определить автокорреляционную функцию Rxx(k) для сформированных моделей сигналов.
5. Оценить коэффициент корреляции исходного сигнала и его разложения в ряд Фурье.
Отчет о выполненной работе должен содержать:
Краткое описание цели работы;
Тексты *.mat программ моделирования;
Графическое представление сформированных полезных сигналов;
Выводы о проделанной работе.
1. Что такое “детерминированный сигнал”? Приведите примеры.
2. Что такое “система ортогональных функций”. Как определяются коэффициенты ряда Фурье.
3. Что такое “спектр сигнала”?
4. Запишите выражения для ряда Фурье на основе тригонометрических и комплексных экспоненциальных функций.
5. Что такое “преобразование Фурье”?
6. Запишите выражения для прямого и обратного преобразований Фурье.
7. Как выглядит спектр одиночного прямоугольного импульса?
8. Как выглядит спектр функции вида sin(x)/x?
9. Как изменится форма спектра прямоугольного (гауссовского) импульса при изменении (увеличении, уменьшении) его длительности?
Литература: [Л.1], с 77-83
[Л.2], с 22-26
[Л.3], с 39-43
Во многих радиотехнических задачах часто возникает необходимость сравнения сигнала и его копии, сдвинутой на некоторое время
При снятии АКФ на один из входов перемножителя поступает сигнал , а на второй – этот же сигнал, но задержанный на время . Сигнал, пропорциональный произведению 
, подвергается операции интегрирования. На выходе интегратора формируется напряжение, пропорциональное значению АКФ при фиксированном . Изменяя время задержки, можно построить АКФ сигнала.
Для экспериментального построения ВКФ сигнал подается на один из входов перемножителя, а сигнал – на устройство задержки (входящие цепи показаны пунктиром). В остальном, устройство работает аналогичным образом. Отметим, что описанное устройство называется коррелятором и широко используется в различных радиотехнических системах для приема и обработки сигналов.
До сих пор мы проводили корреляционный анализ непериодических сигналов, обладающих конечной энергией. Вместе с тем, необходимость подобного анализа часто возникает и для периодических сигналов, которые теоретически обладают бесконечной энергией, но конечной средней мощностью. В этом случае АКФ и ВКФ вычисляются усреднением по периоду и имеют смысл средней мощности (собственной или взаимной соответственно). Таким образом, АКФ периодического сигнала:
, (2.66)
а взаимная корреляционная функция двух периодических сигналов с кратными периодами:
, (2.67)
где – наибольшее значение периода.
Найдем автокорреляционную функцию гармонического сигнала
,
где – круговая частота, – начальная фаза.
Подставляя это выражение в (2.66) и вычисляя интеграл с использованием известного тригонометрического соотношения:
.
Из рассмотренного примера можно сделать следующие выводы, справедливые для любого периодического сигнала.
1. АКФ периодического сигнала является периодической функцией с тем же периодом.
2. АКФ периодического сигнала является четной функцией аргумента .
3. При значение представляет собой среднюю мощность, которая выделяется на сопротивлении в 1 Ом и имеет размеренность .
4. АКФ периодического сигнала не содержит информации о начальной фазе сигнала.
Следует также отметить, что интервал корреляции периодического сигнала .
А теперь вычислим взаимную корреляционную функцию двух гармонических сигналов одинаковой частоты, но отличающихся амплитудами и начальными фазами
и .
Воспользовавшись (2.67) и проводя несложные вычисления, получим
,
где 
– разность начальных фаз сигналов и .
Таким образом, взаимная корреляционная функция двух рассматриваемых сигналов содержит информацию о разности начальных фаз. Это важное свойство широко используется при построении различных радиотехнических устройств, в частности, устройств синхронизации некоторых систем радиоавтоматики и других.
В заключение установим связь между АКФ непериодического сигнала и его энергетическим спектром, определение которого [см. (2.51)] было дано выше. Для этого воспользуемся (2.49) при . Тогда получим соотношение
где – функция, комплексно сопряженная с .
Положим теперь 
и 
. В соответствии с (2.45) преобразование Фурье имеет вид
С другой стороны
.
Подставляя эти выражения в (2.68), получим
.
Но в соответствие с (2.51) есть энергетический спектр. Тогда окончательно
. (2.69)
Применяя к прямое преобразование Фурье, приходим к соотношению
. (2.70)
Таким образом, АКФ и энергетический спектр сигнала связаны парой преобразований Фурье.
Так как и – вещественные и четные функции, выражения (2.69) и (2.70) можно записать соответственно в виде
, (2.71)
. (2.72)
Рассмотренный корреляционно-спектральный анализ позволяет дать еще одну трактовку эффективной ширины спектра. Если известен энергетический спектр, то эффективная ширина спектра определяется так:
. (2.73)
Иными словами представляет собой сторону прямоугольника по площади равного площади под кривой одностороннего спектра, вторая сторона которого равна (рис.2.13). Очевидно, произведение эффективной ширины энергетического спектра на величину интервала корреляции есть величина постоянная
.
Таким образом, и в этом случае мы сталкиваемся с проявлением принципа неопределенности: чем больше интервал корреляции, тем меньше ширина энергетического спектра, и наоборот.
Контрольные вопросы к главе 2
1. Что такое система базисных тригонометрических функций?
2. Как можно записать тригонометрический ряд Фурье?
3. Дайте определение амплитудного и фазового спектра периодического сигнала.
4. Какой характер носит спектр последовательности прямоугольных импульсов?
5. Чем отличается спектр одиночного импульса от спектра периодической последовательности импульсов?
6. Запишите прямое и обратное преобразование Фурье.
7. Как найти эффективную длительность и эффективную ширину спектра прямоугольного сигнала?
8. Что представляет собой спектр сигнала в виде дельта-функции?
9. Дайте определение автокорреляционной функции детерминированного сигнала.
10. Что такое взаимная корреляционная функция двух сигналов?
11. Как найти коэффициент взаимной корреляции?
12. Какими свойствами обладает автокорреляционная функция периодического сигнала?