Преобразование детерминированного сигнала в линейных системах. Системы преобразования сигналов. Цифровая обработка сигналов

Для облегчения изучения многомерных систем необходимо ограничиться определенными классами операторов, обладающих общими свойствами. Линейные инвариантные к сдвигу дискретные системы (ЛИС-системы) - это наиболее часто изучаемый класс систем для обработки дискретных сигналов любой размерности. Эти системы отличаются простотой как при разработке, так и при анализе, но в то же время они обладают достаточными возможностями для решения многих практических задач. Поведение этих систем во многих случаях можно изучать безотносительно к конкретным характеристикам входного сигнала. Класс линейных инвариантных к сдвигу систем, безусловно, не является наиболее общим классом изучаемых систем, однако он может служить хорошей отправной точкой.

Ранее мы получили выражение (1.29) для выходной последовательности линейной системы при входном сигнале . Если система еще и инварианта к сдвигу, можно сделать дальнейшие упрощения. Импульсный отклик на произвольно расположенный входной импульс описывается выражением

Для частного случая имеем

Используя принцип инвариантности к сдвигу, описываемый равенством (1.30), получим

Импульсный отклик на произвольно расположенный входной импульс равен сдвинутому импульсному отклику на входной импульс, расположенный в начале координат. Введя обозначение , можно выразить выходную последовательность следующим образом:

. (1.36)

Это соотношение известно под названием двумерной дискретной свертки. В сущности здесь выполняется разложение входной последовательности на взвешенную сумму сдвинутых импульсов в соответствии с равенством (1.25). ЛИС-система преобразует каждый импульс в сдвинутую копию импульсного отклика . Суперпозиция этих взвешенных и сдвинутых импульсных откликов образует выходную последовательность, причем весовыми коэффициентами являются значения отсчетов входной последовательности . Равенство (1.36) записано в предположении, что ЛИС-система полностью характеризуется своим импульсным откликом .

Выполнив замену переменных и , равенство (1.36) можно записать в другой форме:

. (1.37)

Отсюда видно, что свертка - это коммутативная операция. Будем использовать двойную звездочку для обозначения двумерной свертки [одиночная звездочка будет обозначать одномерную свертку]. Тогда уравнения (1.36) и (1.37) примут вид

. (1.38)

С помощью векторных обозначений выходную последовательность -мерной ЛИС-системы можно представить как -мерную свертку выходной последовательности и импульсного отклика

. (1.39)

Двумерная свертка принципиально не отличается от ее одномерного аналога. Как и в одномерном случае, возможна следующая вычислительная интерпретация операции свертки. Будем рассматривать и как функции и . Чтобы из последовательности образовать последовательность , сначала выполняем отражение относительно обеих осей и , а затем сдвигаем последовательность так, чтобы отсчет попал в точку , как показано на рис. 1.11. Последовательность-произведение образована; для нахождения значения выходного отсчета складываем ненулевые значения отсчетов последовательности-произведения. При изменении значений и последовательность сдвигается по плоскости , давая другие последовательности-произведения и соответственно другие значения выходных отсчетов. Если используется другая возможная форма записи дискретной свертки [выражение (1.37)], в приведенном описании вычислений и меняются местами.

Рис. 1.11. a - последовательность ; б - последовательность при , .

Пример 1

Рассмотрим двумерную дискретную ЛИС-систему, выходной отсчет которой в точке характеризует вклад значений входных отсчетов, расположенных в точках ниже и левее точки . Грубо говоря, система представляет собой один из видов двумерного цифрового интегратора; ее импульсный отклик - это двумерная единичная ступенчатая последовательность , описанная в разд. 1.1.1.

В качестве входной последовательности выберем двумерную последовательность конечной протяженности, значения отсчетов которой равны 1 внутри прямоугольной области , и 0 вне ее.

Для вычисления значения выходного отсчета с помощью выражения (1.36) образуем последовательность-произведение . В зависимости от конкретного значения ненулевые области последовательностей и перекрываются в различной степени. Можно выделить пять случаев, представленных на рис. 1.12, где ненулевые области каждой последовательности заштрихованы, а нулевые отсчеты просто не показаны.

Рис. 1.12. Свертка квадратного импульса с двумерной ступенчатой последовательностью.

Ненулевые области каждой последовательности отмечены одной штриховкой; последовательность-произведение отлична от нуля лишь в областях с двойной штриховкой.

Случай 1. или . Из рис. 1.12 видно, что для таких значений последовательности и не перекрываются. Поэтому их произведение, как и значения таких отсчетов свертки, равны нулю.

Случай 2. , . Имеет место частичное перекрытие. Вклад ненулевых значений отсчетов в последовательность-произведение имеет вид

. (1.40)

Случай 3. , . Здесь можно написать

. (1.41)

Случай 4. , . По аналогии со случаем 3 имеем

. (1.42)

Случай 5. , . В этом последнем случае отраженная сдвинутая ступенчатая последовательность полностью перекрывает импульс . Тогда

. (1.43)

В итоге полная свертка имеет вид

. (1.44)

Ее графическое изображение приведено на рис. 1.13.

Рис. 1.13. Свертка двух последовательностей, рассмотренная в примере 1.

Можно заметить, что в рассмотренном примере и , и представляют собой разделимые последовательности, поэтому их свертка также разделима, поскольку мы можем написать

Это свойство обладает общностью: свертка двух разделимых последовательностей всегда разделима (упр. 1.9).. На рис. 1.14,в показано перекрытие для точки и равны 1 в своих опорных областях (рис. 1.14, а и б).

В этом разделе мы рассмотрели два относительно простых примера выполнения двумерной свертки. Читатель, несомненно, заметил, что эти вычисления требуют определенных усилий. К счастью, такого рода вычисления редко приходится выполнять вручную. Однако знакомство с основными операциями необходимо для написания соответствующих машинных программ и для интерпретации результатов. Действительно, невозможно правильно выполнить операцию двумерной свертки, не определив предварительно все случаи, требующие рассмотрения. Это всегда должно быть первым шагом при выполнении свертки.

Система определяется математически как однозначное преобразование или оператор, отображающий входную последовательность (вход) в выходную (выход), что математически записывается в виде а графически часто изображается так, как показано на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Представление преобразования, отображающего входную последовательность в выходную последовательность

Классы дискретных систем определяются путем наложения ограничений на преобразование . В дальнейшем будет широко рассматриваться класс линейных инвариантных относительно сдвига систем, потому что они сравнительно просты в математическом отношении, а также потому, что они дают удобный вид обработки сигналов. В гл. 10 мы обсудим более общий класс систем, включающий как частный случай линейные системы.

Класс линейных систем определяется принципом суперпозиции. Если - отклики на соответственно, то система линейна тогда и только тогда, когда

для произвольных постоянных Мы видели, что произвольная последовательность может быть представлена в виде задержанной и взвешенной суммы единичных импульсов (1.4). Это представление вместе с (1.5) предполагает, что линейная система может быть полностью охарактеризована откликом на единичный импульс - импульсной характеристикой. А именно, пусть - отклик системы на единичный импульс в момент

Тогда из . С учетом (1.5) можно записать

Таким образом, согласно (1.6) реакцию системы можно выразить через отклики на Если накладывается только одно условие - линейность, то будет зависеть как от так и от и в этом случае польза от выражения (1.6) для вычислений невелика. Более полезный результат получится, если мы наложим дополнительное ограничение, состоящее в инвариантности к сдвигу.

Класс инвариантных к сдвигу систем характеризуется следующим свойством: если - отклик на то будет откликом на где - положительное или отрицательное целое число. Когда индекс связывается со временем, свойству инвариантности к сдвигу соответствует свойство инвариантности во времени. Из свойства инвариантности к сдвигу следует, что если - отклик на то откликом на будет просто Поэтому (1.6) принимает вид

Значит, любая инвариантная к сдвигу система полностью характеризуется импульсной характеристикой

Выражение (1.7) обычно называется сверткой. Если - последовательность, значения которой связаны со значениям», двух последовательностей выражением (1.7), то мы говорим, что есть свертка и обозначаем Заменяя переменную в (1.7), получим другое выражение

Поэтому порядок, в котором две последовательности входят в свертку, не важен. Другими словами, линейная инвариантная к сдвигу система со входом и импульсной характеристикой будет иметь тот же выход, что и линейная инвариантная к сдвигу система со входом и импульсной характеристикой

Две линейные инвариантные к сдвигу системы, включенные каскадно, образуют линейную инвариантную к сдвигу систему с импульсной характеристикой, равной свертке импульсных характеристик исходных систем. Так как порядок в свертке не важен, то импульсная характеристика составной системы не зависит от

порядка, в котором включены исходные системы. Это свойство иллюстрируется рис. 1.5, где изображены три системы, имеющие одинаковые импульсные характеристики.

Рис. 1.6. Параллельное включение линейных инвариантных к сдвигу систем и эквивалентная система

Рис. 1.5. Три линейные инвариантные к сдвигу системы с одинаковыми импульсными характеристиками

Из (1.7) и (1.8) следует, что две инвариантные к сдвигу системы, включенные параллельно, эквивалентны одной системе с импульсной характеристикой, равной сумме импульсных характеристик исходных систем. Это свойство иллюстрируется рис. 1.6.

Хотя выражение свертки в виде суммы аналогично интегралу свертки в теории линейных аналоговых систем, следует подчеркнуть, что свертку в виде суммы нельзя понимать как приближение к интегралу свертки. В противоположность интегралу свертки, играющему в основном теоретическую роль в применении к аналоговым линейным системам, свертка в виде суммы, как мы увидим в дальнейшем, вдобавок к своей теоретической значимости может служить для реализации дискретной системы. Поэтому важно глубже понять свойства свертки и получить опыт в применении свертки для вычислений.

Пример. Рассмотрим систему с импульсной характеристикой Чтобы найти реакцию на входной сигнал заметим, что в силу (1.7) для получения значения выходной последовательности нужно сформировать произведение и просуммировать значения получившейся последовательности. Две составляющие последовательности показаны на рис. 1.7 как функции причем изображена для нескольких значений Как видно из рис. 1.7, при не имеют ненулевых

Чтобы преобразовать входной сигнал в удобную для хранения, воспроизведения и управления форму, необходимо обосновать требования к параметрам систем преобразования сигнала. Для этого надо математически описать связь между сигналами на входе, выходе системы и параметрами системы.

В общем случае система преобразования сигнала является нелинейной: при вхождении в нее гармонического сигнала на выходе системы возникают гармоники других частот. Параметры нелинейной системы преобразования зависят от параметров входного сигнала. Общей теории нелинейности не существует . Одним из способов описать связь между входным E вх (t ) и выходным E вых (t ) сигналами и параметром K нелинейности системы преобразования является следующий:

(1.19)

где t и t 1 – аргументы в пространстве выходного и входного сигналов соответственно.

Нелинейность системы преобразования определяется видом функции K .

Чтобы упростить анализ процесса преобразований сигнала, используют допущение о линейности систем преобразований. Это допущение применимо к нелинейным системам, если сигнал имеет малую амплитуду гармоник, либо когда систему можно рассматривать как совокупность линейного и нелинейного звеньев. Примером такой нелинейной системы являются светочувствительные материалы (подробный анализ их преобразующих свойств будет сделан ниже).

Рассмотрим преобразование сигнала в линейных системах. Система называется линейной , если ее реакция на одновременное воздействие нескольких сигналов равна сумме реакций, вызываемых каждым сигналом, действующим отдельно , т. е. выполняется принцип суперпозиции :

где t , t 1 – аргументы в пространстве выходного и входного сигналов соответственно;

E 0 (t , t 1) – импульсная реакция системы.

Импульсной реакцией системы называется выходной сигнал, если на вход подан сигнал, описываемый дельта-функцией Дирака. Эту функцию δ(x ) определяют тремя условиями:

	δ(t ) = 0 при t ≠ 0;	(1.22)
		(1.23)
	δ(t ) = δ(–t ).	(1.24)

Геометрически она совпадает с положительной частью вертикальной оси координат, т. е. имеет вид луча, выходящего вверх из начала координат. Физической реализацией дельта-функции Дирака в пространстве является точка с бесконечной яркостью, во времени – бесконечно короткий импульс бесконечно большой интенсивности, в спектральном пространстве – бесконечно сильное монохроматическое излучение.

Дельта-функция Дирака обладает следующими свойствами:

		(1.25)
		(1.26)

Если импульс происходит не на нулевом отсчете, а при значении аргумента t 1 , то такую "сдвинутую" на t 1 дельта-функцию можно описать как δ(t –t 1).

Чтобы упростить выражение (1.21), связывающее выходной и входной сигналы линейной системы, принимают допущение о нечувствительности (инвариантности) линейной системы к сдвигу. Линейная система называется нечувствительной к сдвигу , если при сдвиге импульса импульсная реакция изменяет только свое положение, но не изменяет своей формы , т. е. удовлетворяет равенству:

E 0 (t , t 1) = E 0 (t – t 1).

(1.27)

Рис. 1.6. Нечувствительность импульсной реакции систем

или фильтров к сдвигу

Оптические системы, являясь линейными, чувствительны к сдвигу (не инвариантны): распределение, освещенность и размер "кружка" (в общем случае не являющегося кругом) рассеяния зависят от координаты в плоскости изображения. Как правило, в центре поля зрения диаметр "кружка" меньше, а максимальное значение импульсной реакции больше, чем по краям (рис.1.7).

Рис. 1.7. Чувствительность импульсной реакции к сдвигу

Для нечувствительных к сдвигу линейных систем выражение (1.21), связывающее входной и выходной сигналы, приобретает более простой вид:

Из определения свертки следует возможность представить выражение (1.28) в несколько ином виде:

что для рассматриваемых преобразований дает

(1.32)

Таким образом, зная сигнал на входе линейной и инвариантной к сдвигу системы, а также импульсную реакцию системы (отклик ее на единичный импульс), по формулам (1.28) и (1.30) можно математически определить сигнал на выходе системы, не реализуя физически саму систему.

К сожалению, из указанных выражений невозможно непосредственно найти одну из подынтегральных функций E вх (t ) или E 0 (t ) по второй и известному выходному сигналу.

Если линейная, нечувствительная к сдвигу система состоит из нескольких, последовательно пропускающих сигнал фильтрующих звеньев, то импульсная реакция системы представляет собой свертку импульсных реакций составляющих фильтров, что в сокращенном виде можно записать как

что соответствует сохранению неизменного значения постоянной составляющей сигнала при фильтрации (это станет очевидным при анализе фильтрации в частотной области).

Пример . Рассмотрим преобразование оптического сигнала при получении на светочувствительном материале миры с косинусоидальным распределением интенсивности. Мирой называется решетка или ее изображение, состоящие из группы полос определенной ширины. Распределение яркости в решетке обычно имеет прямоугольный или косинусоидальный характер. Миры необходимы для экспериментального изучения свойств фильтров оптических сигналов.

Схема устройства для записи косинусоидальной миры представлена на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Схема устройства для получения миры
с косинусоидальным распределением интенсивности

Равномерно перемещающуюся со скоростью v фотопленку 1 освещают через щель 2 шириной A. Изменение освещенности во времени производится по косинусоидальному закону. Это достигается за счет прохождения светового пучка через осветительную систему 3 и два поляроидных фильтра 4 и 5. Поляроидный фильтр 4 равномерно вращается, фильтр 5 неподвижен. Вращение оси подвижного поляризатора относительно неподвижного обеспечивает косинусоидальное изменение интенсивности проходящего светового пучка. Уравнение изменения освещенности E (t ) в плоскости щели имеет вид:

Фильтрами в рассматриваемой системе являются щель и фотопленка. Так как подробный анализ свойств светочувствительных материалов будет приведен ниже, то проанализируем только фильтрующее действие щели 2. Импульсную реакцию E 0 (х ) щели 2 шириной A можно представить в виде:

(1.41)

то окончательный вид уравнения сигнала на выходе щели следующий:

Сравнение Е вых (x ) и Е вх (x ) показывает, что они отличаются лишь наличием множителя в переменной части. График функции типа sinc представлен на рис. 1.5. Она характеризуется осциллирующим с постоянным периодом убыванием от 1 до 0.

Следовательно, при увеличении значения аргумента этой функции, т. е. при росте произведения w 1 A и уменьшении v , амплитуда переменной составляющей сигнала на выходе падает.

Кроме того, эта амплитуда будет обращаться в нуль, когда

Это имеет место при

Где n = ±1, ±2…

В таком случае вместо миры на пленке получится равномерное почернение.

Изменения постоянной составляющей сигнала а 0 не произошло, т. к. импульсная реакция щели здесь являлась нормированной в соответствии с условием (1.37).

Таким образом, регулируя параметры записи миры v , A , w 1 , можно подобрать оптимальную для данного светочувствительного материала амплитуду переменной составляющей освещенности, равную произведению a sinc ((w 1 A )/(2v )), и предотвратить брак.

Функция Кронекера. Для дискретных и цифровых систем разрешающая способность по аргументу сигнала определяется интервалом его дискретизации Dt. Это позволяет в качестве единичного импульса использовать дискретный интегральный аналог дельта-функции - функцию единичного отсчета d(kDt-nDt), которая равна 1 в координатной точке k = n, и нулю во всех остальных точках. Функция d(kDt-nDt) может быть определена для любых значений Dt = const, но только для целых значений координат k и n, поскольку других номеров отсчетов в дискретных функциях не существует.

Математические выражения d(t-t) и d(kDt-nDt) называют также импульсами Дирака и Кронекера. Однако, применяя такую терминологию, не будем забывать, что это не просто единичные импульсы в координатных точках t и nDt, а полномасштабные импульсные функции, определяющие как значения импульсов в определенных координатных точках, так и нулевые значения по всем остальным координатам, в пределе от -¥ до ¥.

1.3. Системы преобразования сигналов

Сигналы, в любой форме материального представления, содержат определенную полезную информацию. Если при преобразованиях сигналов происходит нарушение заключенной в них информации (частичная утрата, количественное изменение соотношения информационных составляющих или параметров, и т. п.), то такие изменения называются искажениями сигнала. Если полезная информация остается неизменной или адекватной содержанию во входном сигнале, то такие изменения называются преобразованиями сигнала.

Математические преобразования сигналов осуществляются для того, чтобы получить какую-то дополнительную информацию, недоступную в исходном сигнале, или выделить из входного сигнала полезную информацию и сделать ее более доступной для дальнейшей обработки, измерений каких-либо параметров, передаче по каналам связи, и пр. Преобразованный сигнал принято называть трансформантой исходного.

Любые изменения сигналов сопровождаются изменением их спектра, и по характеру этого изменения разделяются на два вида: линейные и нелинейные. К нелинейным относят изменения, при которых в составе спектра сигналов появляются (вводятся) новые гармонические составляющие, отсутствующие во входном сигнале. При линейных изменениях сигналов изменяются амплитуды и/или начальные фазы гармонических составляющих спектра (вплоть до полного подавления в сигнале определенных гармоник). И линейные, и нелинейные изменения сигналов могут происходить как с сохранением полезной информации, так и с ее искажением. Это зависит не только от характера изменения спектра сигналов, но и от спектрального состава самой полезной информации.

Общее понятие систем. Преобразование и обработка сигналов осуществляется в системах. Понятия сигнала и системы неразрывны, так как любой сигнал существует в пределах какой-либо системы. Система обработки сигналов может быть реализована как в материальной форме (специальное устройство, измерительный прибор, совокупность физических объектов с определенной структурой взаимодействия и т. п.), так и программно на ЭВМ или любом другом специализированном вычислительном устройстве. Форма реализации системы существенного значения не имеет, и определяет только ее возможности при анализе и обработке сигналов.

Безотносительно к назначению система всегда имеет вход , на который подается внешний входной сигнал, в общем случае многомерный, и выход , с которого снимается обработанный выходной сигнал. Собственно система представляет собой системный оператор (алгоритм) преобразования входного сигнала s(t) – воздействия или возбуждения , в сигнал на выходе системы y(t) – отклик или выходную реакцию системы. Символическое обозначение операции преобразования (трансформации сигнала): y(t) = T.

Системный оператор T - это набор правил преобразования (transformation) сигнала s(t) в сигнал y(t). Так, например, в самом простейшем случае таким правилом может быть таблица перекодировки входных сигналов в выходные.

Для детерминированных входных сигналов соотношение между выходными и входными сигналами всегда однозначно задается системным оператором. В случае реализации на входе системы случайного процесса происходит изменение статистических характеристик сигнала (математического ожидания, дисперсии, корреляционной функции и пр.), которое также определяется системным оператором.

Для полного определения системы необходимо задание характера, типа и области допустимых величин входных и выходных сигналов. По типу обработки входных сигналов они обычно подразделяются на системы непрерывного времени для обработки сигналов в процессе измерений, и цифровые системы для обработки данных, зарегистрированных на промежуточных носителях. Совокупность системного оператора Т и областей входных и выходных сигналов образует математическую модель системы.

Линейные и нелинейные системы составляют два основных класса систем обработки сигналов.

Термин линейности (linear) означает, что система преобразования сигналов должна иметь произвольную, но в обязательном порядке линейную связь между входным сигналом (возбуждением) и выходным сигналом (откликом) с определенным изменением спектрального состава входного сигнала (усиление или подавление определенных частотных составляющих сигнала). В нелинейных (nonlinear) системах связь между входным и выходным сигналом определяется произвольным нелинейным законом с дополнением частотного состава входного сигнала частотными составляющими, отсутствующими во входном сигнале.

Стационарные и нестационарные системы. Система считается стационарной и имеет постоянные параметры , если ее свойства (математический алгоритм оператора преобразования) в пределах заданной точности не зависят от входного и выходного сигналов и не изменяются ни во времени, ни от каких-либо других внешних факторов. В противном случае система является нестационарной, и называется параметрической или системой с переменными параметрами . Среди последних большое значение имеют так называемые адаптивные системы обработки данных. В этих системах производится, например, оценивание определенных параметров входных и выходных сигналов, по результатам сравнения которых осуществляется подстройка параметров преобразования (переходной характеристики системы) таким образом, чтобы обеспечить оптимальные по производительности условия обработки сигналов или минимизировать погрешность обработки.

Основные системные операции. К базовым линейным операциям, из которых могут быть сформированы любые линейные операторы преобразования, относятся операции скалярного умножения, сдвига и сложения сигналов:

y(t) = c ´ s(t), y(t) = s(t-Dt), y(t) = a(t)+b(t).

Для нелинейных систем выделим важный тип безинерционных операций нелинейной трансформации сигнала, результаты которой зависят только от его входных значений. К ним относятся, например, операции квадратирования и логарифмирования сигнала:

y(t) = 2, y(t) = log.

Линейные системы. Система считается линейной, если ее реакция на входные сигналы аддитивна (выполняется принцип суперпозиции сигналов) и однородна (выполняется принцип пропорционального подобия). Другими словами, отклик линейной системы на взвешенную сумму входных сигналов должен быть равен взвешенной сумме откликов на отдельные входные сигналы независимо от их количества и для любых весовых коэффициентов , в том числе комплексных.

При программной реализации линейных систем на ЭВМ особых затруднений с обеспечением линейности в разумных пределах значений входных и выходных сигналов, как правило, не возникает. При физической (аппаратной) реализации систем обработки данных диапазон входных и выходных сигналов, в котором обеспечивается линейность преобразования сигналов, всегда ограничен и должен быть специально оговорен.

Инвариантность систем к сдвигу. Система называется инвариантной к сдвигу, если сдвиг входного сигнала по аргументам (времени, координатам пространства и т. п.) вызывает соответствующий сдвиг выходного сигнала:

y(x, t) = T, T = y(x-Dx, t-Dt).

Это означает, что форма выходного сигнала зависит только от входного сигнала, и не зависит от времени поступления сигнала на вход системы. Инвариантность системы к сдвигу является одним из подтверждений постоянства ее параметров.

Линейные системы, инвариантные к сдвигу. Линейность и инвариантность к сдвигу являются независимыми свойствами систем и не определяют друг друга. Так, например, операция квадратирования сигнала инвариантна к сдвигу, но нелинейна.

В теории анализа и обработки данных основное место занимают системы, линейные и инвариантные к сдвигу (ЛИС - системы). Они обладают достаточно широкими практическими возможностями при относительной простоте математического аппарата. В дальнейшем, если это специально не оговаривается, будем иметь в виду именно такие системы.

Преимущество, которое отдается ЛИС - системам в методах обработки информации , базируется на возможности разложения входного сигнала любой, сколь угодно сложной формы, на составляющие простейших форм, отклик системы на которые известен и хорошо изучен, с последующим вычислением выходного сигнала в виде суммы откликов на все составляющие входного сигнала. В качестве простейших форм разложения сигналов используются, как правило, единичные импульсы и гармонические составляющие. Разложение по единичным импульсам применяется при динамическом представлении сигнала в зависимости от реальных физических аргументов (времени, координат и пр.) и использует операцию свертки. Разложение на гармонические составляющие использует спектральное (частотное) представление сигнала и преобразование Фурье.

Рис. 1.3.2 Соединения систем.

Соединения ЛИС - систем . При последовательном (каскадном) соединении систем выходной сигнал одной системы служит входным сигналом для второй и т. д. в зависимости от количества составляющих систем каскада. По отношению к общей системной операции преобразования порядок соединения входящих в нее систем значения не имеет. Так, для двух последовательно соединенных систем на рис. 1.3.2.

СИГНАЛЫ и ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Тема 13. МНОГОМЕРНЫЕ СИГНАЛЫ И СИСТЕМЫ.

Когда ты смотришь в бездну, бездна смотрит в тебя.

Фридрих Ницше. Немецкий философ-моралист, ХIХ в.

Человек и бездна – две бесконечномерных системы в разных функциональных пространствах с одной точкой пересечения. И лучше держаться от этой точки подальше.

Эрик Трубов. Русский геофизик-оптимист, ХХ в.

1. Двумерные и многомерные сигналы. Двумерный единичный импульс. Двумерный линейный импульс. Двумерная единичная ступенька. Экспоненциальная последовательность. Разделимые последовательности. Конечные последовательности. Периодические последовательности.

2. Двумерные системы. Базовые операции. Линейные системы. Инвариантность к сдвигу. Импульсный отклик. Двумерная свертка. Разделимые системы. Устойчивость систем. Специальные двумерные системы.

3. Частотные характеристики сигналов и систем. Частотный отклик системы. Импульсный отклик системы. Свойства двумерного преобразования Фурье.

4. Дискретизация двумерных сигналов. Прямоугольный растр дискретизации. Дискретные преобразования Фурье. Интерполяционный ряд восстановления двумерного сигнала. Произвольный растр дискретизации. Двумерное интегральное преобразование Фурье. Преобразование Фурье дискретного сигнала. Интерполяция дискретных сигналов. Прямоугольный и гексагональный растры дискретизации.

5. Частотный анализ многомерных сигналов. Периодические последовательности. Конечные последовательности. Многомерные последовательности.

Введение.

Обработка многомерных сигналов, используя в частных случаях методы обработки одномерных сигналов, имеет и существенные особенности. Это объясняется тремя факторами. Во-первых, математические методы описания многомерных систем далеки от совершенства и завершенности. Во-вторых, при решении многомерных задач используется значительно больший объем данных. И в третьих, многомерные системы обладают большим числом степеней свободы и, соответственно, значительно большей гибкостью. Так, например, при дискретизации информации в одномерном случае устанавливается только частота отсчетов, а в многомерном не только частота, но и форма растра дискретизации. С другой стороны, многомерные полиномы разлагаются на множители только в частном случае, а, следовательно, многие одномерные методы не обобщаются на случай многомерных задач.

Ниже будут рассматриваться сигналы и системы с размерностью два и более, при этом основное внимание будет уделяться двумерным задачам, имеющим широкое распространение в геофизической практике. Повышение размерности выше двух не приводит к качественным отличиям от двумерных случаев, кроме повышения сложности вычислений.

Многомерная информация в своем абсолютном большинстве, это дискретная информация в цифровой форме – многомерные массивы данных. Многомерные непрерывные функции используются только в чисто теоретических исследованиях. Даже двумерных данных, непрерывных (аналоговых) по обоим аргументам практически не существует. С учетом этого ниже рассматриваются, в основном, многомерные сигналы в дискретной форме.

13.1. Двумерные и многомерные сигналы .

Понятие многомерного сигнала. Многомерные сигналы представляют собой функции P независимых переменных при P>1. В общем случае, сигнал может быть непрерывным, дискретным или смешанным. Понятия непрерывности и дискретности аналогичны одномерным сигналам. Что касается смешанного сигнала, то это многомерный сигнал, который описывается функцией некоторого количества непрерывных и некоторого количества дискретных переменных. Пример смешанного двумерного сигнала: ансамбль непрерывных сигналов, изменяющихся во времени (t - вторая переменная), снимаемых с набора сейсмических приемников сейсмотрассы (номера датчиков - первая переменная).

В общем случае, двумерный непрерывный сигнал представляет собой функцию, значения которой зависят от двух независимых переменных (аргументов, координат):

s(x,y) = sin(x 2 +y 2), - (13.1.1)

График функции (в пределах одного периода) приведен на рис. 13.1.1.

Двумерный дискретный сигнал (цифровой массив) - это функция, определенная на совокупности пар числовых значений координат с определенным шагом дискретизации x и y. В общем случае, при различной физической размерности аргументов x и y, значения x и y не равны друг другу:

s n,m = s(nx,my), - . (13.1.1")

Элемент последовательности s n,m представляет собой отсчет двумерной функции s в координатной точке (x=nx,y=my), где значения x и y – независимые переменные (аргументы) функции. Для числовых массивов значения шага дискретизации по аргументам также могут приниматься равными 1 (независимо от размерности) и использоваться аргументация s(n,m)  s n,m . Результаты геофизических съемок какого-либо одного геофизического параметра по поверхности земли относятся к двумерным функциям: дискретным - если это отсчеты в отдельных точках по определенной координатной сети (x,y), или смешанным - если это непрерывная регистрация данных по профилям (например - мощности экспозиционной дозы гамма излучения горных пород при аэросъемке). Но в настоящее время геофизические съемки относятся даже не к двумерным, а к многомерным функциям, так как регистрируется, как правило, сразу несколько физических параметров геологических сред. Так, например, при спектрометрической съемке естественной радиоактивности горных пород регистрируется содержание в горных породах урана, тория и калия, в гравиразведке - трехкоординатный вектор силы тяжести, и т.п. Если на какой-либо площади проведена съемка нескольких видов геофизики, то их результаты также могут рассматриваться в совокупности, как многомерная функция физических параметров данной геологической среды.

По определениям (13.1.1) двумерные функции и сигналы, равно как и многомерные, имеют бесконечную протяженность по координатам. На практике мы всегда имеем дело с конечными координатами наших данных. Учитывая это, будем считать, что значения наших сигналов за пределами определенных координат равны нулю.

Отметим некоторые двумерные последовательности (функции, сигналы), имеющие специальные названия.

Двумерный единичный импульс (nx,my) =  n,m или единичный отсчет:

 n,m = 1, при n = m = 0.

0, при n 0, m 0.

 n,m =  n  m ,

где  n ,  m - одномерные единичные импульсы (импульсы Кронекера) по координатам n и m. Стилизованное графическое представление двумерного единичного импульса приведено на рис. 13.1.2.

Произвольное расположение двумерного единичного импульса по координатам n 1 , m 1 соответственно записывается в виде: ((n-n 1)x,(m-m 1)y) =  n-n1,m-m1 . Попутно напомним, что математическая запись импульса Кронекера обозначает не единичный отсчет, а функцию, определяющую место положения единичного отсчета и нулевые значения по остальным координатам (аргументам).

Двумерный линейный импульс представляет собой последовательность единичных отсчетов по одной координате: s(n,m) = (n) или s(n,m) = (m).

На рис. 13.1.3 приведены два двумерных линейных импульса, первый - по координате m = 0: s(n,m) = (m), и второй импульс по координате n = 2: s(n,m) = (n-2).

Очевидно, что для P-мерных случаев точно таким же образом могут быть определены P-мерные единичные импульсы, P-мерные линейные импульсы, P-мерные площадные импульсы и т.д., хотя понятие импульса, заимствованное из теории одномерных сигналов, здесь несколько не к месту.

Двумерная единичная ступенька u(n,m), представленная на рис. 13.1.4, определяется выражением:

u(n,m) = 1, при n 0 и m 0,

0, в остальных случаях.

u(n,m) = u(n) u(m),

где u(j) представляют собой единичные ступеньки соответственно по координатам n и m: u(j)=1 при j 0, u(j)=0 при j
Экспоненциальная последовательность : s(n,m) = a n b m , - , где а и b в общем случае комплексные числа. При а = exp(j 1), b = exp(j 2), |а|=1, |b|=1:

s(n,m) = exp(jn 1 +jm 2) = cos(n 1 +m 2)+jsin(n 1 +m 2).

Экспоненциальные последовательности, как и в одномерном случае, являются собственными функциями двумерных линейных систем, инвариантных к сдвигу.

Разделимые последовательности. Разделимой называют последовательность, которую можно представить в виде произведения одномерных последовательностей. Так, для двумерной разделимой последовательности:

s(n,m) = s(n) s(m).

Разделение возможно для немногих практических сигналов. Однако любое двумерное множество с конечным числом ненулевых отсчетов разлагается на конечную сумму разделимых последовательностей:

s(n,m) = s i  n (n) s i  m (m),

где N- число ненулевых строк или столбцов массива. В крайнем случае, для этого достаточно выразить s(n,m) в виде суммы отдельных строк:

s(n,m) = s(n,i) (m-i). (13.1.2)

Конечные последовательности. Важным классом сигналов являются последовательности конечной протяженности, для которых сигнал равен нулю вне определенной области, называемой опорной областью сигнала. На рис.13.1.5 условно представлена двумерная последовательность конечной протяженности, значения которой отличны от нулевых только внутри ограниченной прямоугольной области -3 n 2, -2 m . Опорная область сигнала может быть произвольной формы и выходить за пределы сигнала, частично включая нулевые отсчеты. Отсчеты за пределами опорной области считаются равными нулю.

Периодические последовательности. Двумерные последовательности могут быть периодическими, регулярно повторяющимися в пространстве. Последовательность, удовлетворяющая условиям:

s(n,m+M) = s(n,m),

s(n+N,m) = s(n,m), (13.1.3)

обладает периодичностью в двух направлениях, по n и по m. Значения М и N называют интервалами периодичности сигнала соответственно по координатам m и n (горизонтальными и вертикальными интервалами периодичности). Прямоугольная форма области периода (пример на рис.13.1.6) наиболее удобна при обработке данных, но не является единственно возможной.

Для двумерных последовательностей условия (13.1.3) могут рассматриваться как частный случай общих условий периодичности:

s(n+N 1 , m+M 1) = s(n,m), (13.1.4)

s(n+N 2 , m+M 2) = s(n,m),

D = N 1 M 2 - N 2 M 1 0.

Упорядоченные пары (N 1 ,M 1) и (N 2 ,M 2) представляют собой смещения от отсчетов одного периода к соответствующим отсчетам других периодов и могут рассматриваться как векторы N и M , которые образуют области периодов в форме параллелограмма. Линейная независимость векторов обеспечивается при ненулевом определителе D, а количество отсчетов в пределах периода равно |D|. Пример периодической последовательности с векторами (4,4) и (3,-5) приведен на рис. 13.1.7.

Понятие периодичности можно обобщить на многомерные сигналы. P-мерный сигнал s( ) будет представлять собой P-мерную периодическую последовательность, если существует P линейно независимых P-мерных целочисленных N -векторов периодичности, с которыми выполняется условие:

s() = s(+ ), i = 1,2,3, ... ,P.

Столбцы векторов N i образуют матрицу периодичности N размером P х P. Векторы периодичности матрицы линейно независимы при наличии у матрицы ненулевого определителя. Абсолютное значение определителя равно числу отсчетов в периоде. Последовательность s( ) прямоугольно периодична для случаев диагональной матрицы N . Если функция s( ) периодична с матрицей периодичности N , то для любого целочисленного вектора Р имеет место s(+ ) = s(), и матрица PN также будет матрицей периодичности для s( ) . Отсюда следует, что любая многомерная периодическая последовательность имеет не единственную матрицу периодичности.

13.2. Двумерные системы.

Системы осуществляют преобразование сигналов. Формализованная система - это оператор (операция) отображения входного сигнала на выходной: z(x,y) = Т.

Базовыми операциями в системах, комбинациями которых осуществляются преобразования, являются операции скалярного умножения, сдвига и сложения:

z(n,m) = c s(n,m),

z(n,m) = s(n-N,m-M),

z(n,m) = s(n,m)+u(n,m).

Используя базовые операции, любую двумерную последовательность можно разложить на сумму взвешенных двумерных единичных импульсов:

s(n,m) = s(i,j) (n-i,m-j). (13.2.1)

Обобщением скалярного умножения является пространственное маскирование:

z(n,m) = c n,m s(n,m). (13.2.2)

Правая часть равенства (13.2.2) представляет собой поэлементное произведение входного сигнала на совокупность чисел с n,m .

Кроме линейных операций в системах используются также безынерционные нелинейные преобразования с независимым нелинейным воздействием на значения отсчетов входной последовательности. Пример операции - возведение в квадрат:

z n,m = (s n,m) 2 .

Линейные системы. Система считается линейной при выполнении двух условий:

1. Пропорциональное изменение входного сигнала вызывает пропорциональное изменение выходного сигнала.

2. Суммарный сигнал двух входных последовательностей дает суммарный сигнал двух соответствующих выходных последовательностей.

Другими словами, если оператор Т описывает линейную систему и имеет место z(x,y) = Т, q(x,y) = Т, то Т = az(x,y)+bq(x,y). Линейные системы подчиняются принципу суперпозиции сигналов.

В выражении (13.2.1) значения s(i,j) можно рассматривать как скалярные множители для соответствующих единичных импульсов. Применяя оператор преобразования Т[.] к левой и правой части (13.2.1), получаем:

Т = у(n,m) = s(i,j) T[n-i,m-j)],

z(n,m) = s(i,j) h ij (n,m), (13.2.3)

где h ij (n,m) - отклик системы в точке (n,m) на единичный импульс в точке (i,j). Если импульсный отклик h ij (n,m) определен для всех точек (i,j), то отклик системы на произвольный многомерный сигнал, как и для одномерных систем, находится с помощью суперпозиции.

Инвариантность к сдвигу. Система инвариантна к сдвигу, если сдвиг входной последовательности приводит к такому же сдвигу выходной последовательности:

Т = z(n-N,m-M).

Линейность и инвариантность к сдвигу являются независимыми свойствами системы. Так, пространственное маскирование линейно, но не инвариантно к сдвигу, а безынерционные операторы нелинейны, но инвариантны к сдвигу.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением только систем, широко распространенных при решении практических задач - линейных и инвариантных к сдвигу (ЛИС-системы).

Импульсный отклик на произвольно расположенный входной импульс, как следует из выражения (13.2.3), описывается выражением:

h ij (n,m) = T[(n-n i ,m-m j)].

Для частного случая i = j = 0 имеем:

h o (n,m) = T[(n,m)].

Используя принцип инвариантности к сдвигу, получим:

h ij (n,m) = h o (n-i,m-j) = h(n-i,m-j), (13.2.4)

т.e. импульсный отклик на произвольно расположенный входной импульс равен сдвинутому импульсному отклику на входной импульс, расположенный в начале координат.

Двумерная свертка. Подставляя (13.2.4) в выражение (13.2.3), получаем:

z(n,m) =  i  j s(i,j) h(n-i,m-j). (13.2.5)

Двумерная дискретная свертка (13.2.5), является аналогом одномерной дискретной свертки. При замене переменных n-i = k, m-j = l, получим:

z(n,m) =  k  l h(k,l) s(n-k,m-l), (13.2.5")

т.е. двумерная свертка коммутативна, как и одномерная. В такой же мере она обладает свойством ассоциативности по отношению к последовательности операций свертки нескольких функций (результат не зависит от порядка свертки) и свойством дистрибутивности по отношению к операции свертки с суммой функций (результат аналогичен сумме сверток с каждой функцией). Эти свойства определяют и основное свойство двумерных (и многомерных) линейных систем при их параллельном и/или последовательном соединении – результирующая система также является линейной.

Для упрощения символьного аппарата двумерную свертку обозначают индексом (**):

z(n,m) = h(k,l) ** s(n-k,m-l).

При обобщении этого выражения на многомерные системы, в векторной форме:

z()= h() ** s(-).

Разделимые системы. Если импульсный отклик системы может быть разделен:

h(k,l) = h(k) h(l), (13.2.6)

то выражение (13.2.5") принимает вид:

z(n,m) =  k h(k)  l h(l) s(n-k,m-l), (13.2.7)

или: z(n,m) =  k h(k) g(n-k,m), g(n-k,m) =  l h(l) s(n,m-l).

Массив g(n,m) вычисляется одномерной сверткой столбцов массива s(n,m) при n = const (сечения массива по координатам n) с откликом h(l), с последующим вычислением выходного массива z(n,m) одномерной сверткой строк g(n,m) при m = const с откликом h(k). Результат не изменится, если сначала выполнять свертку по строкам, а затем по столбцам. Система с откликом вида (13.2.6) называется разделимой. Отметим, что в разделимой системе входной и выходной сигнал не обязаны быть разделимыми.

Аналогичные разделимые системы могут существовать и в многомерном варианте.

Устойчивость систем. Интерес для практики представляют только устойчивые системы, обеспечивающие определенный конечный результат системной операции на конечные входные сигналы. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является абсолютная суммируемость ее импульсного отклика:  k  l |h(k,l)| .

Специальные двумерные системы. На практике используются также системы с несколькими входами и/или выходами.

Допустим, система имеет i-входы и j-выходы, линейна и инвариантна к сдвигу по переменной t. Если на i-вход системы поступает одномерный единичный импульс  i (t) при нулевых сигналах на остальных входах, то j-выходные сигналы будут импульсным откликом системы h ij (t). При известном полном ансамбле значений h ij для всех i-входов, для произвольной комбинации входных сигналов s i (t) сигнал на j-выходе будет определяться выражением:

z j (t) =  i  k h ij (k) s i (t-k). (13.2.8)

13.3. Частотные характеристики сигналов и систем.

Частотный отклик системы. Допустим, что двумерная ЛИС-система имеет импульсный отклик h(kx,ly). Подадим на вход системы сигнал вида комплексной синусоиды:

s(n,m) = exp(jnx x +jmy y),

где  x и  y – значения частоты сигнала соответственно по координатам x и y. Принимая x = 1, y = 1 и выполняя двумерную свертку (13.2.5), получаем:

z(n,m) = h(k,l) exp =

Exp(jn x +jm y) h(k,l) exp(-jk x -jl y) = H( x , y) exp(jn x +jm y).

H( x , y) = h(k,l) exp(-jk x -jl y). (13.3.1)

Таким образом, выходной сигнал представляет собой комплексную синусоиду с теми же значениями частоты, что и у входного сигнала, с изменением амплитуды и фазы за счет комплексного множителя H( x , y), который носит название частотного отклика (частотной характеристики) системы. Для дискретных сигналов частотный отклик периодичен с периодом 2 по обеим частотным переменным:

H( x +2k, y +2l) = H( x , y).

Пример расчета частотного отклика системы.

Определить частотную характеристику системы с импульсным откликом:

h(0,0) = 0.25, h(0, 1) = 0.125, h( 1,0) = 0.125, h( 1, 1) = 0.0625.

Частотный отклик:

H( x , y) = h(n,m)exp(-jn x -jm y) = 0.25+0.125+

0.0625 = 0.25(1+cos  x)(1+cos  y).

Система является примером двумерного фильтра нижних частот. Частотный отклик системы на плоскости ( x , y), приведенный на рис. 13.3.1, имеет осевую симметрию с коэффициентом передачи 1 в центре ( x =0,  y =0) со спадом до нуля при  x =  и  y = .

Рис. 13.3.1. Частотная характеристика ФНЧ.

При разделимости импульсного отклика частотный отклик многомерных систем также является разделимой функцией:

h(k,l)= q(k)g(l) Q( x)G( y)= H( x , y)

Q( x) =  k q(k) exp(-jk x).

G( y) =  l g(l) exp(-jl y).

Импульсный отклик системы. Выражение (13.3.1) описывает разложение функции Н( x , y) в двумерный рад Фурье с коэффициентами разложения в виде отсчетов импульсного отклика h(k,l), т.е. прямое преобразование Фурье. Очевидно, что обратным преобразованием Фурье с интегрированием в пределах одного периода из частотного отклика H( x , y) можно получить импульсный отклик системы:

h(k,l) = H( x , y) exp(jk x +jl y) d x d y . (13.3.2)

Пример расчета импульсного отклика фильтра.

Определить импульсный отклик идеального фильтра низких частот с прямоугольной частотной характеристикой вида: H( x , y) = 1 при | x | a b

Импульсный отклик: h(k,l) = exp(jk x +jl y) d x d y .

Система разделима: h(k,l)= exp(jk x) d x exp(jl y) d y =  .

Пример расчета неразделимого импульсного отклика.

Определить импульсный отклик идеального кругового фильтра нижних частот:

H( x , y) = 1 при  x 2 + y 2

Вычисления по круговой области целесообразно выполнять в полярных координатах: = ,

arctg( y / x), = arctg(m/n), при этом выражение 13.3.2 перепишется в следующем виде:

h(n,m) = exp dd=

= J o () d= (R/2 J 1 (R) / ,

где J o (…), J 1 (…)- функции Бесселя 1-го рода 0-го и 1-го порядков соответственно.

На рис. 13.3.2 приведена пространственная форма импульсного отклика фильтра, расчет которой проведен при R = 1 с ограничением по N = 10 и M = 10, и сечения отклика по координате m.

Рис. 13.3.2. Круговой низкочастотный фильтр (справа - сечения по координате m).

Свойства двумерного преобразования Фурье. Вышеприведенные преобразования импульсного отклика в частотный отклик и наоборот представляют собой двумерные дискретные преобразования Фурье с прямоугольным растром дискретизации информации, эквивалентные одномерным преобразованиям. На двумерные преобразования с прямоугольным растром переносятся и другие свойства одномерных систем. В частности:

1. Фурье-преобразования сигналов.

S( x , y) =  n  m s(n,m) exp(-jn x -jm y). (13.3.3)

s(n,m) = S( x , y) exp(jn x +jm y) d x d y . (13.3.4)

2. Теорема о свертке.

z(n,m) = h(n,m) ** s(n,m)  H( x , y) S( x , y) = Z( x , y).

z(n,m) = c(n,m) s(n,m)  C( x , y) ** S( x , y) = Z( x , y).

3. Основные свойства Фурье-преобразования.

1) Линейность (в том числе для любых комплексных чисел a и b):

аs(n,m)+bz(n,m)  aS( x , y)+bZ( x , y).

2) Пространственный сдвиг:

s(n-N,m-M)  S( x , y) exp(-jN x -jM y).

3) Дифференцирование:

dS( x , y)/d x  -jn s(n,m),

dS( x , y)/d y  -jm s(n,m),

d 2 S( x , y)/(d x d y)  -nm s(n,m).

4) Комплексное сопряжение:

х*(n,m)  S*(- x ,- y).

Вещественная и мнимая части Фурье-образов последовательностей s(n,m):

S( x , y) = S*(- x ,- y).

Re = Re .

Im = -Im .

5) Теорема Парсеваля:

 n  m s(n,m) s*(n,m) = S( x , y) S*( x , y) d x d y .

В частности, при s(n,m) = s(n,m):

 n  m |s(n,m)| 2 = |S( x , y)| 2 d x d y ,

где левая часть уравнения представляет собой полную энергию дискретного сигнала s(n,m), a функция |S( n , m)| 2 - спектральную плотность энергии сигнала.

13.4. Дискретизация двумерных сигналов .

Прямоугольный растр дискретизации. Из способов обобщения одномерной периодической дискретизации на двумерный случай наиболее простым является периодическая дискретизация в прямоугольных координатах:

s(n,m) = s a (nx,my),

где x и y - горизонтальный и вертикальный интервалы дискретизации двумерного непрерывного сигнала s a (x,y) с непрерывными координатами x и y. Ниже значения x и y, как и в одномерном случае, принимаются равными 1.

Дискретизация двумерного, а в общем случае и многомерного сигнала, также приводит к периодизации его спектра и наоборот. Сохраняется также и условие информационной равноценности координатного и частотного представлений дискретного сигнала при равном количестве точек дискретизации в главных диапазонах сигнала. Для прямоугольной дискретизации связь фурье-преобразований непрерывного и дискретного сигналов устанавливается аналогично одномерной дискретизации.

Интегральные преобразования Фурье аналоговых сигналов в непрерывной шкале частот  x и  y:

S a ( x , y) = s a (x,y) exp(-j x x-j y y) dxdy. (13.4.1)

s a (x,y) = S a ( x , y) exp(j x x+j y y) d x d y . (13.4.2)

Дискретные преобразования Фурье:

S(k,l) = s(n,m) exp(-jnk/N-jm2l/M), (13.4.3)

S(k,l) = exp(-jn2k/N) s(n,m) exp(-jm2l/M), (13.4.3")

s(n,m) = S(k,l) exp(-jn2k/N-jm2l/M). (13.4.4)

s(n,m) = exp(-jn2k/N) S(k,l) exp(-jm2l/M). (13.4.4")

Выражения (13.4.3") и (13.4.4") показывают, что двумерное ДПФ по прямоугольному растру дискретизации данных может вычисляться с помощью одномерных последовательных ДПФ. Вторые суммы выражений являются одномерными ДПФ сечений функций s(n,m) и S(k,l) по линиям n и k соответственно, а первые - одномерными ДПФ вычисленных функций в сечениях по m и l. Другими словами, исходные матрицы значений s(n,m) и S(k,l) пересчитываются сначала в промежуточные матрицы с ДПФ по строкам (или по столбцам), а промежуточные - в окончательные с ДПФ по столбцам (или соответственно по строкам).

Интерполяционный ряд восстановления двумерного сигнала. Если непрерывный сигнал s a (x,y) является сигналом с ограниченным спектром, а периоды дискретизации выбраны достаточно малыми и спектры соседних периодов не перекрываются:

S a ( x , y) = 0 при | x | /x, | y | /x,

то, как и в одномерном случае, сигнал s a (x,y) может быть восстановлен по дискретному сигналу с использованием двумерного аналога ряда Котельникова-Шеннона:

s a (x,y) =  n  m s(n,m) . (13.4.5)

Сигнал с неограниченным спектром также может быть дискретизирован, однако в этом случае имеет место наложение спектров в смежных периодах, при этом высокие частоты, большие частоты Найквиста, будут "маскироваться", как и в одномерном случае, под низкие частоты главного периода. Эффект "отражения" от границ периода дает еще более сложную картину вследствие интерференции частот, отраженных по разным координатам.

Произвольный растр дискретизации. Понятие прямоугольной дискретизации обобщается на произвольный растр дискретизации с линейно независимыми векторами v 1 = (v 11 ,v 21) T и v 2 = (v 12 ,v 22) T , где T - индекс транспонирования (рис. 13.4.1). Координаты двумерного периодического множества отсчетов на плоскости (x,y):

x = v 11 n + v 12 m,

y = v 21 n + v 22 m.

С использованием векторных обозначений:

где = (x,y) T , =(n,m) T , =(v 1 |v 2 )- матрица дискретизации. Определитель матрицы не равен нулю, если вектора v 1 и v 2 линейно независимы. При дискретизации непрерывного сигнала s a (x,y) матрицей формируется дискретный сигнал:

s()  s a ( ).

Двумерное интегральное преобразование Фурье непрерывного сигнала по непрерывному вектору = ( 1 , 2) T:

S a () = s a () exp(-j T ) d , (13.4.6)

s a () = S a () exp(j T ) d , (13.4.7)

Данные интегралы являются двойными, поскольку дифференциалы d и d являются векторами.

Преобразование Фурье дискретного сигнала:

S() =  n s() exp(-j T ), (13.4.8)

s() = S() exp(j T ) d . (13.4.9)

где: = ( х, у) T .

Выражение s() может быть получено дискретизацией выражения s a () (13.4.7):

s() = s a ( ) = S a () exp(j T ) d .