Устройство для определения параметров экспоненциально косинусной корреляционной функции. Регрессионный анализ в Excel

РАССЕЯНИЕ НА СТАТИСТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ КОРРЕЛЯЦИОННЫМИ СВОЙСТВАМИ

В. В. Ахияров

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Аннотация. Р ассмотрено решение задачи рассеяния на статистически неровной поверхности методом Монте-Карло. Представлен алгоритм формирования ансамбля поверхностей с требуемыми корреляционными свойствами. Приведены индикатрисы рассеяния на поверхностях с гауссовой и экспоненциальной функциями корреляции, а также на многомасштабной поверхности.

Ключевые слова: рассеяние радиоволн, метод Монте-Карло.

Abstract. T he solution of scattering by a statistically rough surface using the Monte - Carlo method is considered . The formation technique of statistically rough surfaces with specified correlation function is presented. Scattering indicatrices for surfaces with Gaussian and exponential correlation functions , as well as for multiscale surface, are shown.

Keywords: radiowave scattering, Monte-Carlo simulation.

Как правило, задача рассеяния на статистически неровной поверхности решается методами статистической радиофизики (метод малых возмущений, метод касательной плоскости и т.д.). При этом полагается, что неровности являются гладкими и пологими, что соответствует гауссовой корреляционной функции рассеивающей поверхности . Такая идеализация является удобной, но не всегда оправданной, поскольку в реальных условиях характер неровностей может быть произвольным. Поэтому в настоящее время для решения задачи рассеяния широко используется м етод Монте-Карло, который заключается в численном решении задачи дифракции на ансамбле случайных поверхностей и статистической обработке полученных реализаций рассеянных волновых полей. По сравнению с методами статистической радиофизики такой подход является более универсальным, поскольку он не накладывает строгих ограничений на статистические характеристики рассеивающей поверхности.

В данной работе для простоты неровности поверхности считаются цилиндрическими с образующими, параллельными оси Y (см. рис.1). Статистическими характеристиками такой поверхности являются среднеквадратичное отклонение (СКО) s относительно среднего уровня , интервал корреляции l и корреляционная функция .

Рис.1. Геометрия задачи.

Каждую возможную реализацию рассеивающей поверхности можно рассматривать как процесс на выходе фильтра с импульсной характеристикой , которая связана с выражением :

. (1)

Если на вход фильтра подается белый шум с математическим ожиданием и СКО s , то функция случайных высот определяется интегралом свертки :

. (2)

В области пространственных частот свертка (2) соответствует произведению спектров импульсной характеристики и белого шума. Поэтому формирование функции удобно выполнять с использованием преобразования Фурье .

Рассмотрим алгоритм решения задачи дифракции на случайной идеально проводящей поверхности при горизонтальной поляризации падающего поля (ТЕ-поляризация). Для расчета поверхностной плотности тока используется скалярное интегральное уравнение Фредгольма первого рода [ , ]:

, (3)

где – искомая плотность поверхностного электрического тока, – падающее поле на рассеивающей поверхности, – функция Ганкеля второго рода нулевого порядка, x и x ¢ – точки наблюдения и интегрирования, – волновое сопротивление свободного пространства, – волновое число .

В дальней зоне рассеянное поле определяется выражением [ , ]:

, (4)

где q s – угол рассеяния (см. рис.1).

Для ограничения области расчетов на интервале интегрирования поле источника моделируется волновым пучком :

, (5)

где q i – угол падения (от вертикали),

, (6)

а параметр g выбирается в соответствии с условием:

, . (7)

Решение задачи дифракции для ансамбля рассеивающих поверхностей позволяет определить коэффициент рассеяния :

, (8)

а также коэффициенты когерентного и некогерентного рассеяния:

, (9.а)

. (9.б)

где * – комплексное сопряжение, – дисперсия флуктуаций рассеянного поля:

Рассмотрим результаты решения задачи рассеяния для ансамблей поверхностей с гауссовой

(10)

И экспоненциальной

(11)

корреляционными функциями.

Необходимо отметить, что использование кривой Гаусса (10) дает удовлетворительное согласие с экспериментом при вычислении рассеянного поля только вблизи зеркальных углов. Использование экспоненциальной корреляционной функции в ряде случаев позволяет получить лучшее соответствие экспериментальных и теоретических результатов .

Высоты неровностей рассеивающих поверхностей полагаются малыми (в масштабе длины волны), т.е. выполняется критерий Релея :

, (12)

где x – высота отдельной неровности.

На рис.2 представлены индикатрисы рассеяния на поверхности с гауссовой функцией корреляции для угла падения (направление облучения здесь и далее на всех рисунках показано стрелкой). Каждая поверхность размером была сформирована из значений случайных высот , СКО неровностей , интервал корреляции , усреднение проводилось по реализациям рассеянного поля (здесь и далее считаем, что единицей измерения D , s и l является длина электромагнитной волны).

Рис.2. Индикатрисы рассеяния на поверхности с гауссовой

Из представленного рисунка видно, что рассеяние в зеркальном направлении обусловлено когерентной составляющей , а форма индикатрисы некогерентного рассеяния близка к гауссовой.

Результаты расчетов для ансамбля поверхностей с экспоненциальной функцией корреляции представлены на рис.3. Исходные данные – те же, что и в предыдущем случае: , , , , . Сравнение результатов, представленных на рис.2 и рис.3, свидетельствует о том, амплитуда когерентной составляющей в обоих случаях остается примерно постоянной, а увеличение рассеяния в зеркальном направлении при экспоненциальной корреляции обусловлено вкладом некогерентного рассеяния.

Рис.3. Индикатрисы рассеяния на поверхности с экспоненциальной

функцией корреляции при и .

Сплошная линия – , пунктир – , точки – .

, (13)

где a - произвольное нечетное число, .

На рис.4 показаны результаты расчетов по формуле (13) при и на интервале . Видно, что увеличенный участок подобен всей функции, т.е. форма поверхности не изменяется от того, рассматриваем мы ее вблизи или издалека. Следует отметить, что данная функция является непрерывной и не дифференцируема ни в одной точке.

Рис.4. Функция Вейерштрасса.

Чтобы сформировать ансамбль реализаций многмасштабных поверхностей, требуется вычислить корреляционную функцию выражения (13). Для расчетов были выбраны следующие значения: , , и , при этом можно ограничиться четырьмя членами ряда в формуле (13).

На рис.5 представлена возможная реализация многомасштабной рассеивающей поверхности со значением СКО , на рис.6 – нормированная корреляционная функция (сплошная кривая – исходная функция, кружки – расчеты для ансамбля из реализаций). Видно, что исходная функция и результаты моделирования практически совпадают.

Рис.5. Возможная реализация рассеивающей поверхности.

Рис.6. Нормированная корреляционная функция.

Сплошная линия – исходные данные, кружки – результат моделирования.

Далее были выполнены расчеты коэффициентов рассеяния для ансамбля многомасштабных поверхностей при углах падения (рис.7.а) и (рис.7.б). Поскольку неровности являются малыми в масштабе длины волны, наблюдается интенсивное когерентное рассеяние в зеркальном направлении.

Рис.7. Индикатрисы рассеяния при и

и различных углах падения: а – ; б – .

Сплошная линия – , пунктир – , точки – .

Рис.8. Брэгговское рассеяние на многомасштабной поверхности.

Индикатрисы некогерентного рассеяния имеют характерную особенность в виде двух пиков, сдвинутых относительно зеркального направления (на рис.7 они отмечены цифрами 1 и 2). Известно, что механизм рассеяния на многомасштабной поверхности является брэгговским , а поскольку исходная функция Вейерштрасса (13) была получена суммированием периодических функций при различных значениях n , следует предположить, что интенсивному некогерентному рассеянию соответствует . На рис.8 представлена геометрия задачи с использованием следующих обозначений: g 1 , g 2 , K 1 и K 2 – отклонения от зеркального направления и соответствующие волновые векторы, K – волновой вектор в направлении зеркального рассеяния:

. (14)

Вектор определяется соотношением: , формула для определения его модуля приведена в : , тогда при получим . Далее с использованием (14) можно определить углы рассеяния g 1 и g 2 . Проще всего это сделать для случая : , что примерно соответствует представленным на рис.7.а результатам.

Помимо этого, при наблюдается еще один пик, отмеченный цифрой 3 на рис.7.б. Поскольку его амплитуда меньше, чем у пиков 1 и 2, можно предположить, он соответствует случаю , т.е. рассеянию более высокого порядка.

Следует отметить, что индикатрисы рассеяния, подобные представленным на рис.7.а, наблюдались экспериментально в оптическом диапазоне . Экспериментальные образцы рассеивающих поверхностей были созданы искусственно: стеклянная пластина покрывалась фоторезистом, засвечивалась лазером и далее на полученную спекл-структуру наносилось тонкое металлическое покрытие. В ходе экспериментов при угле падения были получены индикатрисы рассеяния с тремя пиками: центральным и двумя симметричными относительно направления обратного рассеяния. Симметричные пики имели меньшую амплитуду, а их отклонение от направления находились в пределах .

Представленные в данной работе результаты свидетельствуют о том, что метод Монте-Карло является эффективным инструментом для численного решения задачи рассеяния радиоволн и при его использовании практически не накладываются ограничения на статистические характеристики поверхности.

Литература

1. Басс Ф.Г., Фукс И.М. Рассеяние волн на статистически неровной поверхности. М.: Наука. 1972.

2. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая. М.: Сов. Радио . 1969.

3. Wagner R.I., Song J., Chew W.C. Monte Carlo Simulation of Electromagnetic Scattering from Tow-Dimentional Random Rough Surfaces //IEEE Trans. 1997. V . AP-45. No. 2. P. 235–245.

4. Axline R.M., Fung Adrian K. Numerical Computation of Scattering from a Perfectly Conducting Random Surface // IEEE Trans. 1978. V . AP-26. No. 3. P. 482–488.

5. Fung A.K., Chen M.F. Numerical Simulation of Scattering from Simple and Composite Random Surfaces // J. Opt. Soc. Am. A. 1985. V. 2. No. 12. P.2274– 2284.

6. Toporkov J.V., Awadallah R.S., Brown G.S. Issues Related to the Use of a Gaussian-Like Incident Field for Low-Grazing-Angle Scattering // J. Opt. Soc. Am. A. 1999. V. 16. No. 1. P. 176-187.

7. Dwight L. J., Sun X. Scattering from fractally corrugated surface // J. Opt. Soc. Am. A. 1990. V. 7. No. 6. P. 1131-1139.

8. O’Donnell K.A., Mendez E.R. Experimental Study of Scattering from Characterized Random Surfaces // J. Opt. Soc. Am. A. 1987. V. 4. No. 7. P. 1194-1205.

И корреляция

1.1. Понятие регрессии

Парной регрессией называется уравнение связи двух переменных у и х

вида y = f (x ),

где у – зависимая переменная (результативный признак); х – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия описывается уравнением: y = a + b × x +e .

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примеры регрессий, нелинейных по объясняющим переменным, но ли-

нейных по оцениваемым параметрам:

· полиномы разных степеней

· равносторонняя гипербола:

Примеры регрессий, нелинейных по оцениваемым параметрам:

· степенная

· показательная

· экспоненциальная

Наиболее часто применяются следующие модели регрессий:

– прямой

– гиперболы

– параболы

– показательной функции

– степенная функция

1.2. Построение уравнения регрессии

Постановка задачи. По имеющимся данным n наблюдений за совместным

изменением двух параметров x и y {(xi ,yi ), i=1,2,...,n} необходимо определить

аналитическую зависимость ŷ=f(x) , наилучшим образом описывающую данные наблюдений.

Построение уравнения регрессии осуществляется в два этапа (предполагает решение двух задач):

– спецификация модели (определение вида аналитической зависимости

ŷ=f(x) );

– оценка параметров выбранной модели.

1.2.1. Спецификация модели

Парная регрессия применяется, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной.

Применяется три основных метода выбора вида аналитической зависимости:

– графический (на основе анализа поля корреляций);

– аналитический, т. е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи;

– экспериментальный, т. е. путем сравнения величины остаточной дисперсии D ост или средней ошибки аппроксимации , рассчитанных для различных

моделей регрессии (метод перебора).

1.2.2. Оценка параметров модели

Для оценки параметров регрессий, линейных по этим параметрам, используется метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических значений ŷx при тех же значениях фактора x минимальна, т. е.

В случае линейной регрессии параметры а и b находятся из следующей

системы нормальных уравнений метода МНК:

(1.1)

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой

(1.2)

Для нелинейных уравнений регрессии, приводимых к линейным с помощью преобразования (x , y ) → (x’ , y’ ), система нормальных уравнений имеет

вид (1.1) в преобразованных переменных x’ , y’ .

Коэффициент b при факторной переменной x имеет следующую интерпретацию: он показывает, на сколько изменится в среднем величина y при изменении фактора x на 1 единицу измерения .

Гиперболическая регрессия :

x’ = 1/x ; y’ = y .

Уравнения (1.1) и формулы (1.2) принимают вид

Экспоненциальная регрессия:

Линеаризующее преобразование: x’ = x ; y’ = lny .

Модифицированная экспонента : , (0 < a 1 < 1).

Линеаризующее преобразование: x’ = x ; y’ = ln │y – К│.

Величина предела роста K выбирается предварительно на основе анализа

поля корреляций либо из качественных соображений. Параметр a 0 берется со

знаком «+», если y х > K и со знаком «–» в противном случае.

Степенная функция:

Линеаризующее преобразование: x’ = ln x ; y’ = ln y .

Показательная функция:

Линеаризующее преобразование: x’ = x ; y’ = lny .

https://pandia.ru/text/78/146/images/image026_7.jpg" width="459" height="64 src=">

Парабола второго порядка :

Парабола второго порядка имеет 3 параметра a 0, a 1, a 2, которые определяются из системы трех уравнений

1.3. Оценка тесноты связи

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент

парной корреляции rxy для линейной регрессии (–1 ≤ r xy ≤ 1)

и индекс корреляции ρxy для нелинейной регрессии

Имеет место соотношение

Долю дисперсии, объясняемую регрессией , в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент детерминации r2xy (для линейной регрессии) или индекс детерминации (для нелинейной регрессии).

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

Для оценки качества построенной модели регрессии можно использовать

показатель (коэффициент, индекс) детерминации R 2 либо среднюю ошибку аппроксимации.

Чем выше показатель детерминации или чем ниже средняя ошибка аппроксимации, тем лучше модель описывает исходные данные.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее относительное отклонение

расчетных значений от фактических

Построенное уравнение регрессии считается удовлетворительным, если

значение не превышает 10–12 %.

1.4. Оценка значимости уравнения регрессии, его коэффициентов,

коэффициента детерминации

Оценка значимости всего уравнения регрессии в целом осуществляется с

помощью F -критерия Фишера.

F- критерий Фишера заключается в проверке гипотезы Но о статистической незначимости уравнения регрессии. Для этого выполняется сравнение

фактического F факт и критического (табличного) F табл значений F- критерия

Фишера.

F факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной

дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы

где n – число единиц совокупности; m – число параметров при переменных.

Для линейной регрессии m = 1 .

Для нелинейной регрессии вместо r 2 xy используется R 2.

F табл – максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при степенях свободы k1 = m , k2 = n – m – 1 (для линейной регрессии m = 1) и уровне значимости α.

Уровень значимости α – вероятность отвергнуть правильную гипотезу

при условии, что она верна. Обычно величина α принимается равной 0,05 или

Если F табл < F факт, то Н0 -гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F табл > F факт, то гипотеза Но не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов линейной регрессии и линейного коэффициента парной корреляции применяется

t- критерий Стьюдента и рассчитываются доверительные интервалы каждого

из показателей.

Согласно t- критерию выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т. е. о незначимом их отличии от нуля. Далее рассчитываются фактические значения критерия t факт для оцениваемых коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции путем сопоставления их значений с величиной стандартной ошибки

Стандартные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента

корреляции определяются по формулам

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t- статистики

t табл и t факт принимают или отвергают гипотезу Но.

t табл – максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данной степени свободы k = n– 2 и уровне значимости α.

Связь между F- критерием Фишера (при k 1 = 1; m =1) и t- критерием Стьюдента выражается равенством

Если t табл < t факт, то Но отклоняется, т. е. a, b и не случайно отличаются

от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если t табл > t факт, то гипотеза Но не отклоняется и признается случайная природа формирования а, b или https://pandia.ru/text/78/146/images/image041_2.jpg" width="574" height="59">

F табл определяется из таблицы при степенях свободы k 1 = 1, k 2 = n –2 и при

заданном уровне значимости α. Если F табл < F факт, то признается статистическая значимость коэффициента детерминации. В формуле (1.6) величина m означает число параметров при переменных в соответствующем уравнении регрессии.

1.5. Расчет доверительных интервалов

Рассчитанные значения показателей (коэффициенты a , b , ) являются

приближенными, полученными на основе имеющихся выборочных данных.

Для оценки того, насколько точные значения показателей могут отличаться от рассчитанных, осуществляется построение доверительных интервалов.

Доверительные интервалы определяют пределы, в которых лежат точные значения определяемых показателей с заданной степенью уверенности, соответствующей заданному уровню значимости α.

Для расчета доверительных интервалов для параметров a и b уравнения линейной регрессии определяем предельную ошибку Δ для каждого показателя:

Величина t табл представляет собой табличное значение t- критерия Стьюдента под влиянием случайных факторов при степени свободы k = n –2 и заданном уровне значимости α.

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

https://pandia.ru/text/78/146/images/image045_3.jpg" width="188" height="62">

где t γ – значение случайной величины, подчиняющейся стандартному нормальному распределению, соответствующее вероятности γ = 1 – α/2 (α – уровень значимости);

z’ = Z (rxy) – значение Z- распределения Фишера, соответствующее полученному значению линейного коэффициента корреляции rxy .

Граничные значения доверительного интервала (r– , r+ ) для rxy получаются

из граничных значений доверительного интервала (z– , z+ ) для z с помощью

функции, обратной Z- распределению Фишера

1.6. Точечный и интервальный прогноз по уравнению линейной

регрессии

Точечный прогноз заключается в получении прогнозного значения уp , которое определяется путем подстановки в уравнение регрессии

соответствующего (прогнозного
) значения x p

Интервальный прогноз заключается в построении доверительного интервала прогноза, т. е. нижней и верхней границ уpmin, уpmax интервала, содержащего точную величину для прогнозного значения https://pandia.ru/text/78/146/images/image050_2.jpg" width="37" height="44 src=">

и затем строится доверительный интервал прогноза , т. е. определяются нижняя и верхняя границы интервала прогноза

Контрольные вопросы:

1. Что понимается под парной регрессией?

2. Какие задачи решаются при построении уравнения регрессии?

3. Какие методы применяются для выбора вида модели регрессии?

4. Какие функции чаще всего используются для построения уравнения парной регрессии?

5. Какой вид имеет система нормальных уравнений метода наименьших квадратов в случае линейной регрессии?

6. Какой вид имеет система нормальных уравнений метода наименьших квадратов в случае гиперболической, показательной регрессии?

7. По какой формуле вычисляется линейный коэффициент парной корреляции r xy ?

8. Как строится доверительный интервал для линейного коэффициента парной корреляции?

9. Как вычисляется индекс корреляции?

10. Как вычисляется и что показывает индекс детерминации?

11. Как проверяется значимость уравнения регрессии и отдельных коэффициентов?

12. Как строится доверительный интервал прогноза в случае линейной регрессии?

Лабораторная работа № 1

Задание.1 На основании данных табл. П1 для соответствующего варианта (табл. 1.1):

1. Вычислить линейный коэффициент парной корреляции.

2. Проверить значимость коэффициента парной корреляции.

3. Построить доверительный интервал для линейного коэффициента парной корреляции.

Задание. 2 На основании данных табл. П1 для соответствующего варианта (табл. 1.1):

1. Построить предложенные уравнения регрессии, включая линейную регрессию.

2. Вычислить индексы парной корреляции для каждого уравнения.

3. Проверить значимость уравнений регрессии и отдельных коэффициентов линейного уравнения.

4. Определить лучшее уравнение регрессии на основе средней ошибки аппроксимации.

5. Построить интервальный прогноз для значения x = x max для линейного

уравнения регрессии.

Требования к оформлению результатов

Отчет о лабораторной работе должен содержать разделы:

1. Описание задания;

2. Описание решения лабораторной работы (по этапам);

3. Изложение полученных результатов.

Таблица П1

Исходные данные к лабораторным работам № 1, 2

Наличие предметов длительного пользования в домашних хозяйствах по регионам Российской Федерации (европейская часть территории без республик Северного Кавказа) (по материалам выборочного обследования бюджетов домашних хозяйств; на 100 домохозяйств; штук)

План лекции:

1.Детерминированные и случайные функции.

2.Основные вероятностные характеристики случайных процессов.

8.1. Детерминированные и случайные функции

До сих пор поведение САУ исследовалось при определенных, заданных во времени управляющих и возмущающих воздействиях (ступенчатая функция, импульсная функция, гармоническое воздействие и т.д.). При этих условиях состояние системы может быть точно предсказано для любого момента времени заранее. Система полностью определена и называется в этом смысле детерминированной.

Однако во многих случаях характер воздействия бывает таким, что его нельзя считать определенной функцией времени. Воздействие может принимать с течением времени самые разнообразные случайные значения. В таких случаях мы можем оценить только вероятность появления той или иной формы воздействия в тот или иной момент времени. Это происходит потому, что сама природа реального управляющего или возмущающего воздействия такова, что его величина в каждый момент времени и процесс его изменения с течением времени зависят от множества разнообразных величин, которые случайным образом могут комбинироваться друг с другом.

Строго оптимальное поведение системы при наличии случайных воздействий неосуществимо. Однако можно говорить о наиболее вероятном приближении к тому или иному оптимуму. Обычно при этом приходится идти на определенный компромисс.

Случайная функция отличается от регулярной тем, что мы не можем утверждать, что она в данный момент времени будет иметь определенное значение. Мы можем говорить лишь о вероятности того, что в данный момент t=t значение функции x(t) заключается между значениями x и x+x . Понятие случайной функции – это обобщенное понятие, и говорить о значении функции в данный момент мы, в сущности, не можем. Однако в конкретно наблюдаемой кривой случайного процесса эти значения существуют. Конкретно наблюдаемая кривая случайного процесса называется реализацией случайной функции. Реализации могут иметь и определенные значения, и определенные производные (рис.8.1). Множество различных реализаций и обобщается понятием “случайная функция”.

Рис. 8.1. Отдельные реализации случайной функции времени

Если график семейства реализаций случайной функции рассечь вертикальной линией, то получим случайную величину x(t i) для заданного момента времени t i .

8.2. Основные вероятностные характеристики

случайных процессов

8.2.1. функция распределения и плотность вероятности

Для характеристики случайной функции служат функции распределения вероятности и плотности вероятности.

Под функцией распределения вероятности , часто называемой интегральным законом распределения, понимают вероятность того, что случайная величина примет значение меньше некоторого фиксированного значения.

Производная от функции распределения вероятности носит название плотности вероятности или дифференциального закона распределения.

Одномерная функция распределения вероятности относится только к одному какому-либо сечению случайной функции:

Она показывает вероятность того, что текущее значение случайной функции x(t) в момент времени t=t 1 меньше заданной величины х 1 .

Соответственно, одномерная плотность вероятности p 1 (x 1 ,t 1) есть производная от интегрального распределения вероятности F 1 (x 1 ,t 1 ) и имеет вид:

. (8.2)

Величина выражает вероятность того, что случайная функция x(t) в момент времени t=t 1 находится в интервале от x до .

Рассмотрим теперь всевозможные пары значений х, полученные в два разных момента времени: t 1 и t 2 . Двумерное распределение вероятности имеет вид:

Двумерное распределение вероятности относится к двум произвольным сечениям x(t 1), x(t 2) случайной функции и выражает вероятность того, что в момент времени t 1 случайная функция x(t) меньше х 1 , а в момент t 2 - меньше х 2 . Соответствующая двумерная плотность вероятности имеет вид

. (8.4)

Некоторые типы случайных процессов полностью характеризуются одномерными или двумерными плотностями вероятности. Например, так называемый чисто случайный процесс или «белый шум » полностью характеризуется одномерной плотностью вероятности.

Значения x(t) в этом процессе, взятые в различные моменты времени t 1 , t 2 , ..., совершенно независимы друг от друга. Вероятность совпадения событий, заключающихся в нахождении x(t) между х 1 и в момент t=t 1 и между x 2 и в момент t=t 2 равна произведению вероятностей каждого из этих событий. Поэтому

т. е. все плотности вероятности определяются одномерными плотностями.

Примером процесса, полностью характеризуемого двумерной плотностью вероятности, служит Марковский случайный процесс . Это такой процесс, для которого вероятность нахождения x(t) в заданном интервале (x n , x n +dx n) в момент t=t n , зависит только от состояния в предшествующий момент t n -1 и совершенно не зависит от состояния в другие моменты времени, т.е. от более глубокой предыстории.

Стационарный случайный процесс есть аналог установившегося процесса в детерминированной системе. Статистический характер стационарного процесса неизменен во времени.

В строгом смысле стационарным случайным процессом называют такой процесс, в котором функции распределения всех порядков не зависят от положения начала отсчета времени, т.е.

Из этих соотношений следует, что одномерные функция распределения и плотность вероятности стационарного процесса вообще не зависят от времени т.е.

(8.7)

Функции распределения и плотности вероятности второго порядка для стационарного случайного процесса при одинаковых x 1 и x 2 остаются неизменными, если разность рассматриваемых моментов времени постоянна:

(8.8)

Для оценки точности линейных САУ при решении многих прикладных задач достаточно знать первые два момента процесса: математическое ожидание и корреляционную функцию. Эти характеристики являются неслучайными функциями или величинами и представляют собой результат вероятностного усреднения различных функций случайных процессов.

Свойства стохастических процессов, определяемые двумя первыми моментами, изучаются с помощью корреляционной теории. Кроме корреляционного анализа, основанного на прямом рассмотрении случайных сигналов во времени, существует также метод, основанный на рассмотрении частотных составляющих случайных сигналов, спектральный анализ. Корреляционный и спектральный анализы широко используются в инженерной практике.

8.2.2. Математическое ожидание, дисперсия

и корреляционная функция случайного процесса

Зная одномерное распределение вероятности, можно определить математическое ожидание m(t) случайной функции x(t) или одномерный момент первого порядка:

(8.9)

где P 1 (x, t) - плотность вероятности, x(t) - случайная функция.

Математическим ожиданием или средним (по множеству) значением случайной функции x(t) называют среднеарифметическое значение бесконечного множества реализаций , т. е. это такая неслучайная функция m x (t) , вокруг которой группируются все реализации данного случайного процесса и которая полностью определяется одномерным законом распределения.

Разность называют центрированной случайной функцией.

Математическое ожидание центрированной случайной функции тождественно равно нулю:

В дальнейшем будем рассматривать только центрированные случайные функции и кружочек над х опускается.

Практически математическое ожидание может быть определено по реализациям. Для этого фиксируется значение аргумента t. Тогда при t=t 1 значение реализаций x 1 (t 1), x 2 (t 1),..., x N (t 1) представляет собой обычную случайную величину. Математическое ожидание случайной величины находим как среднеарифметическое значение:

(8.10)

где i = 1, 2,..., n – фиксированное значение времени; = 1, 2,…, N - номер реализации.

На основании подсчета, проведенного для различных t=t i , можно построить график m x (t i) .

Среднее значение не полностью характеризует случайный процесс. При равных средних значениях процессы могут иметь различные отклонения. Поэтому для характеристики случайного процесса вводится понятие дисперсии.

Дисперсией случайной функции x(t) называют неслучайную и неотрицательную функцию аргумента t, представляющую собой среднее значение квадрата разности между случайной функцией и ее средним значением, или среднее значение квадрата отклонения случайной функции от ее среднего значения.

Она характеризует интенсивность отклонений относительно среднего значения и, так же как математическое ожидание, определяется одномерным законом распределения. Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины. Дисперсия регулярной функции равна нулю.

Среднеквадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:

. (8.12)

Введенные понятия иллюстрируются рис. 8.2. Математическое ожидание случайного процесса x(t) представляет собой некоторую среднюю кривую, около которой располагаются все возможные отдельные реализации этого процесса, а дисперсия D x (t) или среднеквадратическое отклонение характеризует рассеяние отдельных возможных реализаций около этой средней кривой. В общем случае среднеквадратическое отклонение меняется с течением времени. Указанные характеристики m(t) и D(t) для каждого данного момента времени являются средними по множеству.

Рис. 8.2. Изменение среднего значения и отдельных реализаций

случайного процесса:

а - при сильной связи между значениями случайной функции;

б - при слабой связи

При обработке результатов испытаний дисперсия случайной функции рассчитывается по реализациям с помощью формулы

. (8.13)

Для случайной функции одномерное распределение вероятности и получаемые на ее основе характеристики (математическое ожидание и дисперсия) еще не являются достаточными для оценки случайного процесса во времени.

Необходимо установить связь между значениями случайного процесса в разные моменты времени. На рис. 8.2 приведены реализации двух случайных функций, которые имеют равные математические ожидания и дисперсии, но по характеру отличаются друг от друга. Если случайная функция (см. рис. 8.2, а) при некотором t приняла значение, лежащее выше m(t), то можно утверждать, что и ближайшее значение реализации случайной функции пройдет выше m(t). Во втором случае (рис. 8.2, б) этого может и не быть. Значит, разница между рассматриваемыми случайными функциями проявляется в характере связи между значениями случайной функции для различных аргументов t 1 и t 2 .

Зная двумерную функцию распределения p 2 (x 1 ,t 1 ;x 2 ,t 2), можно определить не только математическое ожидание m x (t) и дисперсию D(t), но и момент второго порядка, характеризующий связь между значениями случайной функции в различные моменты времени.

Математическое ожидание произведения значений центрированной случайной функции, взятых при двух моментах времени t 1 и t 2 называют корреляционной или автокорреляционной функцией:

В этом выражении P 2 (x 1 ,t 1 ;x 2 ,t 2) определяет вероятность того, что в момент времени t 1 значение случайного процесса находится в пределах , а в момент времени t 2 -в пределах .

Если аргументы корреляционной функции равны между собой (t 1 =t 2 =t), то

(8.15)

т. е. корреляционная функция для одного и того же сечения равна математическому ожиданию квадрата случайной функции. Для центрированной функции x(t) при t 1 =t 2 =t будем иметь

т. е. корреляционная функция равна дисперсии случайной функции.

Для характеристики статистической взаимосвязи различных случайных функций, действующих на одну и ту же систему, пользуются понятиями совместного распределения вероятности и взаимной корреляционной функции. Для функций f(t) и совместная функция распределения вероятности имеет вид

и означает вероятность того, что в момент времени t=t 1 значение f(t 1) меньше f, а в момент времени t=t 2 значение меньше . Совместная плотность вероятности

. (8.17)

Соответственно взаимной корреляционной функцией двух случайных центрированных функций f и называется математическое ожидание произведения этих функций, взятых при различном времени:

Случайные функции называют коррелированными, если их взаимная корреляционная функция не равна тождественно нулю, и некоррелированными при равенстве ее нулю.

8.3. Стационарные случайные процессы.

Эргодическая гипотеза

План лекции:

1. Стационарные случайные процессы.

2. Эргодические случайные процессы.

8.3.1. Стационарные случайные процессы

Различные случайные процессы по степени зависимости их статистических характеристик от времени делят на стационарные и нестационарные.

Наиболее просто осуществляется анализ случайных процессов, статистические характеристики которых не зависят от текущего времени. Такие процессы называют стационарными.

Реальные физические процессы в большей или меньшей степени приближаются к стационарным процессам. Многие из них, например тепловые шумы, можно с большой точностью считать стационарными. К стационарным относятся также колебания самолета относительно установившегося горизонтального полета, шумы в радиоэлектронной аппаратуре, качка корабля и др.

Ко многим нестационарным процессам применяют результаты, полученные при исследовании стационарных процессов. Практически анализу подвергаются только обладающие конечной длительностью отрезки реализаций, и если на этих отрезках времени исследуемые процессы мало отличаются от стационарных, то к ним можно применять теорию стационарных процессов.

Различают стационарность в узком и широком смысле.

Стационарным в узком смысле называют процесс x(t), если его n -мерная плотность вероятности при любом n зависит только от величины интервалов t 2 - t 1 ,...,t n - t 1 и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента t.

Стационарным в широком смысле называют процесс x(t), математическое ожидание которого постоянно:

а корреляционная функция R x (t 1 ,t 2 ) зависит только от разности ; при этом корреляционную функцию обозначают

Регрессионный и корреляционный анализ – статистические методы исследования. Это наиболее распространенные способы показать зависимость какого-либо параметра от одной или нескольких независимых переменных.

Ниже на конкретных практических примерах рассмотрим эти два очень популярные в среде экономистов анализа. А также приведем пример получения результатов при их объединении.

Регрессионный анализ в Excel

Показывает влияние одних значений (самостоятельных, независимых) на зависимую переменную. К примеру, как зависит количество экономически активного населения от числа предприятий, величины заработной платы и др. параметров. Или: как влияют иностранные инвестиции, цены на энергоресурсы и др. на уровень ВВП.

Результат анализа позволяет выделять приоритеты. И основываясь на главных факторах, прогнозировать, планировать развитие приоритетных направлений, принимать управленческие решения.

Регрессия бывает:

линейной (у = а + bx);
параболической (y = a + bx + cx 2);
экспоненциальной (y = a * exp(bx));
степенной (y = a*x^b);
гиперболической (y = b/x + a);
логарифмической (y = b * 1n(x) + a);
показательной (y = a * b^x).

Рассмотрим на примере построение регрессионной модели в Excel и интерпретацию результатов. Возьмем линейный тип регрессии.

Задача. На 6 предприятиях была проанализирована среднемесячная заработная плата и количество уволившихся сотрудников. Необходимо определить зависимость числа уволившихся сотрудников от средней зарплаты.

Модель линейной регрессии имеет следующий вид:

У = а 0 + а 1 х 1 +…+а к х к.

Где а – коэффициенты регрессии, х – влияющие переменные, к – число факторов.

В нашем примере в качестве У выступает показатель уволившихся работников. Влияющий фактор – заработная плата (х).

В Excel существуют встроенные функции, с помощью которых можно рассчитать параметры модели линейной регрессии. Но быстрее это сделает надстройка «Пакет анализа».

Активируем мощный аналитический инструмент:

После активации надстройка будет доступна на вкладке «Данные».

Теперь займемся непосредственно регрессионным анализом.

В первую очередь обращаем внимание на R-квадрат и коэффициенты.

R-квадрат – коэффициент детерминации. В нашем примере – 0,755, или 75,5%. Это означает, что расчетные параметры модели на 75,5% объясняют зависимость между изучаемыми параметрами. Чем выше коэффициент детерминации, тем качественнее модель. Хорошо – выше 0,8. Плохо – меньше 0,5 (такой анализ вряд ли можно считать резонным). В нашем примере – «неплохо».

Коэффициент 64,1428 показывает, каким будет Y, если все переменные в рассматриваемой модели будут равны 0. То есть на значение анализируемого параметра влияют и другие факторы, не описанные в модели.

Коэффициент -0,16285 показывает весомость переменной Х на Y. То есть среднемесячная заработная плата в пределах данной модели влияет на количество уволившихся с весом -0,16285 (это небольшая степень влияния). Знак «-» указывает на отрицательное влияние: чем больше зарплата, тем меньше уволившихся. Что справедливо.

Корреляционный анализ в Excel

Корреляционный анализ помогает установить, есть ли между показателями в одной или двух выборках связь. Например, между временем работы станка и стоимостью ремонта, ценой техники и продолжительностью эксплуатации, ростом и весом детей и т.д.

Если связь имеется, то влечет ли увеличение одного параметра повышение (положительная корреляция) либо уменьшение (отрицательная) другого. Корреляционный анализ помогает аналитику определиться, можно ли по величине одного показателя предсказать возможное значение другого.

Коэффициент корреляции обозначается r. Варьируется в пределах от +1 до -1. Классификация корреляционных связей для разных сфер будет отличаться. При значении коэффициента 0 линейной зависимости между выборками не существует.

Рассмотрим, как с помощью средств Excel найти коэффициент корреляции.

Для нахождения парных коэффициентов применяется функция КОРРЕЛ.

Задача: Определить, есть ли взаимосвязь между временем работы токарного станка и стоимостью его обслуживания.

Ставим курсор в любую ячейку и нажимаем кнопку fx.

В категории «Статистические» выбираем функцию КОРРЕЛ.
Аргумент «Массив 1» - первый диапазон значений – время работы станка: А2:А14.
Аргумент «Массив 2» - второй диапазон значений – стоимость ремонта: В2:В14. Жмем ОК.

Чтобы определить тип связи, нужно посмотреть абсолютное число коэффициента (для каждой сферы деятельности есть своя шкала).

Для корреляционного анализа нескольких параметров (более 2) удобнее применять «Анализ данных» (надстройка «Пакет анализа»). В списке нужно выбрать корреляцию и обозначить массив. Все.

Полученные коэффициенты отобразятся в корреляционной матрице. Наподобие такой:

Корреляционно-регрессионный анализ

На практике эти две методики часто применяются вместе.

Пример:

Теперь стали видны и данные регрессионного анализа.

союз советскихсаэащишпаиРЕСПУБЛИК госуддрств-:ннцй компо дк пдм изот:ткн ет сси открыт ПИСАНИЕ ИЗОБРЕТЕНИ и тво СССР 1977.(54) УСТРОЙСТВО ДЛЯ ОПР МЕТРОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ (57) Изобретение относ вычислительной техники использовано при иссле чайных процессов в зад ДЕЛЕНИЯ ПАРОСИНУСНОЙ ся к облас может быт ванин слуах автомат С:.80;,3 дшш 4 006 6 ческого управления, идентификациии т,д. Цель изобретения - расширениефункциональных возможностей за счетопределения последовательности некоррелированных дискретных значений исследуемого случайного процесса. Цельдостигается введением в известное устройство генератора синхроимпульсов,аналого-цифрового и цифроаналоговогопреобразователей, первого и второгоключей, счетчика и блока сравнения,Новые блоки и соответствующие функциональные связи позволяют определить некоррелированные дискретныезначения исследуемого процесса, т.е.синтезировать последовательность некоррелированных случайных величин,1 ил, 4 Изобретение относится к области вычислительной техники и может бытьиспользовано при исследовании слу-.чайных процессов в задачах автоматического управления идентификациии т.д,Цель изобретения - расширениефункциональных вазможностей за счетопределения последовательности некоррелированных дискретных значенийисследуемого случайного процесса,На чертеже представлена структур ная схема устройства,Устройство содержит усилительограничитель 1, блок 2 среднего числа пересечений, блок 3 экспоненциального сглаживания, оцноканальныйкоррелятор 4, вычислительный блок 5блок б возведения в степень, блок 7умножения, блок 8 деления, блок 9сравнения, цифроаналоговый преобра-.зователь 10, счетчик 11, первыйкл 1 оч 12, аналого-цифровой преобразователь 13, второй ключ 14, генератор 15 синхроимпульсав, выход 1 б некоррелированного значения случайного процесса.Устройство работает следующим Образом,Усилитель-ограничитель 1 преобразует исследуемьп случайный процесс в знаковый сигнал, В блоке 2 среднего числа пересечений измеряется среднее число пересечений нулевого уровня которое с точнастно до коэффициента пропорциональности совпадает с параметром ь затухания: экспоненци ально-косинусной корреляционной функ" ции (ЭККФ), аппроксимирующей знако вую корреляционную функцию исследуемого случайного процесса. Знаковый сигнал подвергается экспоненциапьному сглаживанию в блоке. 3, а коррелятор 4 определяет корреляционный момент сигналов на выходе блока 3 экспоненциального сглаживания, Известначто вьгхаднаи сиг нал ко 1)релятора р включенного таким образом, пропорционален первому коэффициенту разложения корреляционной функции в ряд Лагерра от аргументас, гдепараметр затухания экспоненциального сглаживающего фильтра. В вычислительном блохе 5 по сигналу с блока 2 и коррелятора 4 оценивается коэффициент, определяющий частоту колебательнасти корреляционной функции по формуле:Нараме:р " поступает с выхода вычислительного блока 5 на вход бло - г:а б возведения в степень, где осуон шести,еяется вычисление величины /пугем возведения 9 в степень 0,05. Отот сигнал подается на первый вход блока 1 умножения, на второй вход которого поступает оценка параметра Ф с выхода блока 2 среднего числа пересечений. В блоке 7 умножения выО,1числя е тс я з нач сние М, к о то ро е по цае тс я на вход блока 8 деления, где ос ущсс тпл я е тс я деление по с то яннай в еличины, равной 0 , б 1 , в с о отв ета 1 сгвии с формулой с = О,б 1/К/3 . Быггислепнсе значение интервала корреляции оц ЗК 1 М поступает на первый вход блока 9 сравнения. С информационного входа устройства исследуемь.й случайный процесс через аналогоцифровой преобразователь 13 поступает на упраезляющий вход первого ключа 12, При этом аналоговое напряжение, соответствующее значениюс выхода блока 8 деления поступает на первый вход блока 9 сравнения. На второй вход блока 9 сравнения поступает с выхода цифроаналогового преобразователя 1 О аналоговое напряжение, соответствующее текущему времени случяйнага п 1 эацесса т, . При этом счет текущего" времени т., осуществляеся н счетчике 11 который осуществляет считывание периодической по следовательносги синхроимпульсов. настпа 1 опих па его счетный вход саьехода зторого ключа 14, Синхроимнульсы езырабатываются генератором 15 сннхроимпульсов и поступают на входсчет 1 пгка.только при открытом втором клоче 14. Ключ 14 открывается таль.,са при наличии на входе устраи ства исследуемого случайного процесЛри наличии на первом входе кзпо-.а 1, напряжения, соответствующего случайному процессу, он открывается и сипхроимпульсы, поступающие на его второй вход, приходят на вход счетчика 11. Так как период следования импульсе:з постоянен и известен, количество считанных импульсов даетинформацию о текущем времени случайного процесса. Выход счетчика 11 соединен с входом цифроаналогового преобразователя, с выхода которого ана20 тель Е. ЕфимоваМ.Хаданич СостРедактор С. Патрушева Техр орректар А. Тясодписное 73/52 Тираж 671 ВНИИПИ Государственного по делам изобретений и 113035, Москва, Ж, РаушсЗаказ мнтета СС открытииая наб., д. 4/5 роизводственно-полиграфическое предприятие, г. Ужгород, ул. Проектная, 4 логовое напряжение, соответствующеетекущему времени, поступает на второй вход блока 9 сравнения и сравнивается с аналоговым значением,При выполнении условия= 1, сигнал с выхода равенства блока сравнения открывает первый ключ 12 и текущее некоррелированное значение случайного процесса в цифровой формепоступает на выход 16 устройства иодновременно на вход установки нулясчетчика 11 для его обнуления. Формула и з обретения5 Устройство для определения параметров экспоненциально-косинусной корреляционной Функции по авт.св.9 696487, о т л и ч а ю щ е е с я тем, что, с целью расширения функциональных возможностей за счет определения последовательности некоррелированных дискретных значений исследуемого случайного процесса, в него дополнительно введены генератор сиихроимпульсов, аналого-цифровойпреобразователь, цифроаналоговый преобразователь, первый ключ, второйключ, счетчик и блок сравнения, выход равенства которого соединен с управляющим входом первого ключа, информационный вход которого соединенс выходом аналого-цифрового преобразователя, вход которого является чнформационным входом устройства и соединен с управляющим входом второгоключа, информационный вход которогосоединен с выходом генератора синхраимпульсов, выход второго ключасоединен со счетным входом счетчика,выход которого подключен к входу цифроаналогового преобразователя, выходкоторого соединен с первым информационным входам блока сравнения, второй информационный вход которого соединен с выходом блока деления, выход первого ключа соединен с входамустановки нуля счетчика и являетсявыходом некоррелированного значенияслучайного процесса устройства.г

Заявка

3853239, 24.10.1984

ВОЕННО-ВОЗДУШНАЯ ИНЖЕНЕРНАЯ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ КРАСНОЗНАМЕННАЯ АКАДЕМИЯ ИМ. ПРОФ. Н. Е. ЖУКОВСКОГО

БУРБА АЛЕКСАНДР АЛЕКСЕЕВИЧ, МОНСИК ВЛАДИСЛАВ БОРИСОВИЧ, ОПАРЫШЕВ ВАЛЕРИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

МПК / Метки

Код ссылки

Устройство для определения параметров экспоненциально косинусной корреляционной функции

Похожие патенты

С атмосферой, а в глухой камере установлена пружина.На фиг. 1 изображен пневматический блок сравнения; на фиг. 2 - схема блока при выполнении узла ограничения в виде дросселя; 20 на фиг. 3 - схема блока при выполнении узла ограничения в виде соединения одномембранного элемента с дросселем; на фиг. 4 - узел ограничения в виде одномембранного элемента с обратным клапаном, 25Пневматический блок сравнения (фиг. 11 содержит входной одномембранный элемент 1, камеры которого соединены с входными каналами Р, и Р, а сопло через узел 2,ограничения и дроссель 3 - с атмосферой и с глухой 30 4. Проточная камера эле ссель б соединена с источ епосредственно с выхюдньтх257874 ние Р,м, до величины давления питания. Если Рг)Р 2, то мембрана элемента 1...

Задатчика 9 расходамОНОмера, прямой к инверсный ныхОдывторого триггера 42 соедццэнь 1 соответственно с у-, ранляющимц входамиключей 35 и 36 входы которых саедкнены и являются пятым входам блокасравнения, который соединен с выходом второго регулятора 1 концентрации мономера в шцхте, а выходы ключей 35 ц 36 соэдпнены соотне 1 стненно с пернымц вхадамк третьего 39 цчетвертого 40 элементов сравнения,вторые входы которых соединены к являются шестым входам блока сравнения,который соединен с входом задатчкка22 расхода вознратного растворителя, 5 Оиннерсный выход третьего триггера 43является выходом блока сравнения цсоединен с нхадами первого 1 и второго 2 ключей ц входом второго элемента ИЛИ 28. 55Основным элементам устройстваавтоматического...

Подводимое к зджн,)у 1, поступает через схему 2 (ири наличии нд сс втором входе разрешаюцго потенциала) в линейный аналого-цифровой прсобразовд Гель 3 и непосредственно - в аналого-цифроиои квадратор 11, При каждом запуск, производимом Выходным иъ 1 пуль(Ом схсм 1 Я ср 113 нсни 51, преобразователь 3 прсоб)разуе Напряжение в пропорциондлы)ос число и 1 пу 1013 (кОэфициент пронорципальности К). д нд выходе квадратора 11 появляются и)янульсы, ч ло КОТОРЫХ ПРОПОРЦИОНЯЛЩО КБДДРДТ) НсНР 5 Же 1131 я Унеслед) см 010 сл) Яйного процесс.С выхода преобразователя 3 импульсы подаются на схему 4, а с выхода квадр пора 11 - на схему 12 и могут проходить через эти схемы только тогда, когда триггер 16 н 1 ходится в единичном положении. 11 сходнос...