Частотная и фазовая характеристика согласованного фильтра. Согласованный фильтр. Согласованный фильтр для прямоугольного радиоимпульса
Вместо использования набора из корреляторов для генерирования величин мы можем применить набор из линейных фильтров. Для конкретности предположим, что импульсная характеристика фильтров такова:
где базисных функций, и вне интервала . Выходы этих фильтров равны
Взяв отсчёт выхода в точке , получим
Следовательно, отсчёт фильтров в точке точно определяет ансамбль величин , полученных на выходе линейных корреляторов. Фильтр, импульсная характеристика которого , где предполагается заключенным в интервале , называется согласованным фильтром для сигнала .
Пример сигнала и импульсной характеристики согласованного с ним фильтра показан на рис. 5.1.5.
Рис. 5.1.5. Сигнал (a) и импульсная характеристика фильтра, согласованного с (b)
Отклик фильтра на сигнал равен
(5.1.17)
что по определению является временной автокорреляционной функцией сигнала . Рисунок 5.1.6 иллюстрирует для треугольного импульса, показанного на рис. 5.1.5, а.
Заметим, что автокорреляционная функция является чётной функцией и имеет пик в точке .
Рис. 5.1.6. Отклик согласованного фильтра определяет автокорреляционную функцию
В случае демодулятора, описанного выше, согласованных фильтров согласованы с базисными функциями . Рис. 5.1.7 иллюстрирует демодулятор па согласованных фильтрах, который выдает наблюдаемые величины
Рис. 5.1.7. Демодулятор на основе согласованных фильтров.
Свойства согласованного фильтра. Согласованный фильтр имеет ряд интересных свойств. Докажем наиболее существенное свойство, которое состоит в следующем: если сигнал подвергается воздействию АБГШ, то фильтр, согласованный с сигналом , максимизирует на выходе отношение сигнал/шум (ОСШ).
Чтобы доказать это свойство, предположим, что принимаемый сигнал состоит из сигнала и АБГШ с нулевым средним и спектральной плотностью мощности Вт/Гц. Предположим, что сигнал прошёл через фильтр с импульсной характеристикой и берётся отсчёт на выходе в точке . Отклик фильтра на сигнальную и шумовую компоненту равен
В точке отсчёта сигнальная и шумовая компоненты равны
где представляет сигнальную компоненту, а - шумовую компоненту. Задача сводится к выбору импульсной характеристики фильтра, который максимизирует на выходе отношение сигнал/шум (ОСШ), определяемое так:
(5.1.20)
Знаменатель в (5.1.20) определяет дисперсию шумовой компоненты на выходе фильтра. Определим , т.е. дисперсию выходного шума. Имеем
(5.1.20)
Заметим, что эта дисперсия зависит от спектральной плотности шума на входе и энергии импульсной характеристики . Подставив и в (5.1.21), получим для ОСШ на выходе фильтра выражение
(5.1.22)
Так как знаменатель в зависит от энергии , максимум по можно получить максимизацией числителя в предположении, что знаменатель фиксирован. Максимизация числителя выполняется легко использованием неравенства Коши-Шварца, которое в общем гласит, что если и - сигналы с ограниченной энергией, то
с равенством, когда 
- произвольная константа.
Если положим и
, то
ясно, что ОСШ максимизируется, когда 
т.е. согласовано с сигналом . Константа не входит в ОСШ,
так как она одновременно присутствует в числителе и знаменателе. Выходное
(максимальное) ОСШ, получаемое при помощи согласованного фильтра,
равно
(5.1.24)
Заметим, что выходное ОСШ у согласованного фильтра зависит только от энергии сигнала , но не от детальных характеристик . Это другое интересное свойство согласованного фильтра.
Интерпретация согласованного фильтра в частотной области. Согласованный фильтр имеет интересную интерпретацию в частотной области. Поскольку преобразование Фурье такого сигнала
Видим, что согласованный фильтр имеет частотную характеристику,
которая комплексно сопряжена с частотной характеристикой сигнала, и множитель который
определяет задержку сигнала на . Другими словами, 
так что
амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра идентична
амплитудно-частотной характеристике сигнала. С другой стороны, фазовая характеристика
противоположна
по отношению к фазочастотной характеристике сигнала .
Если сигнал со спектром проходит через согласованный фильтр,
то отклик фильтра на этот сигнал имеет спектр 
. Следовательно, сигнальная
составляющая на выходе фильтра
В точке имеем
причём последний шаг преобразования следует из соотношения Парсеваля.
Шум на выходе фильтра имеет спектральную плотность мощности
(5.1.28)
Следовательно, суммарная мощность шума на выходе согласованного фильтра
Выходное ОСШ равно отношению мощности сигнала
(5.1.30)
к мощности шума . Следовательно,
(5.1.31)
что совпадает с результатом (5.1.24).
Пример 5.1.2. Рассмотрим биортогональных сигналов для передачи информации по каналу с АБГШ. Два сигнала из этого ансамбля с положительной полярностью показаны на рис. 5.1.8, а. Считается, что шум имеет нулевое среднее и спектральную плотность мощности . Определим базисные функции для этого ансамбля сигналов, импульсную характеристику согласованного фильтра в качестве демодулятора и выходной сигнал согласованного фильтра-демодулятора, когда передан сигнал , равен
Существует большой класс задач, в которых требуется обнаружить сигнал, если форма его известна. К таким сигналам, в первую очередь, относятся дискретные двоичные сигналы. В этих случаях важным параметром, характеризующимкачество обнаружения, является отношение сигнала к помехе. Линейный фильтр, максимизирующий это отношение, называется оптимальным согласованным фильтром.
Пусть на входе
фильтра действует сумма сигнала
и помех
,
т. е. колебание:
Полезный сигнал
рассматривается не как случайный
процесс, а как функция известной формы
со спектральной плотностью:
где 
и 
- амплитудный и фазовый спектры сигнала.
Помеху будем считать стационарным
случайным процессом типа белого шума
со спектральной плотностью
Коэффициент передачи линейного фильтра запишем в виде:
Сигнал на выходе
фильтра, очевидно, равен сумме полезного
сигнала 
и
:
Полезный сигнал на выходе можно записать в виде:
Пиковая мощность
сигнала в некоторый момент 
будет равна:
мощность помехи:
Тогда превышение сигнала над помехой в момент времени t 0 будет определяться следующим выражением:
(8.14)
Необходимо найти, каким должен быть коэффициент передачи фильтра, чтобы отношение сигнала к помехе q на его выходе было максимальным. Неравенство Буняковского-Шварца имеет вид:
На основании этого
неравенства получаем, что при любой
характеристике фильтра 
отношение сигнала
к помехе не может превосходить
максимального значения:
(8.16)
Где Е - полная энергия сигнала. Указанная максимальная величина q достигается в том случае, когда коэффициент передачи фильтра имеет следующее выражение:
– функция,
комплексного сопряжённая со спектром
сигнала 
;
с
–
произвольная
постоянная.
Выражение (8.17) можно записать в виде двух равенств:
(8.18)
из которых следует, что амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудным спектром сигнала, а фазо-частотная характеристика определяется фазовым спектром сигнала φ(ω) и линейной функцией частоты ω t 0 . Таким образом, частотная характеристика оптимального фильтра полностью определяется спектром сигнала, "согласована" с ним. Отсюда и название - согласованный фильтр.
Фаза сигнала на выходе согласованного фильтра равна:
При 
,
т.е. в момент времени
,
все гармонические составляющие
сигнала имеют одинаковую фазу и
складываются арифметически, образуя в
этот момент пик сигнала на выходе
фильтра. Спектральные же составляющие
помехи на выходе
фильтра имеют случайную фазу. Этим и
объясняется доказанное
выше положение о том, что согласованный
фильтр максимизирует
отношение сигнала к помехе на выходе.
В качестве примера рассмотрим построение согласованного фильтра для прямоугольного видеоимпульса, заданного в виде:
Спектр такого импульса, как известно:
На основании (8.17) коэффициент передачи согласованного фильтра будет:
(8.19)
Известно, что
умножение на
в частотной
области соответствует интегрированию
в пределах от
до
t
во временной
области, а умножение на
соответствует
задержке сигнала на время Т
.
Следовательно, фильтр с коэффициентом передачи (8.19) состоит из интегратора И , линии задержки на время Т и вычитающего устройства В (рис. 8.7а).
Рис. 8.7. Согласованный фильтр для прямоугольного видеоимпульса (а),
сигнал на его входе (б) и выходе (в).
Сигнал на выходе
фильтра имеет форму равнобедренного
треугольника (рис. 8.7в) с основанием 2Т
и высотой, равной энергии сигнала
,
т. е.:
В ряде случаев согласованные фильтры оказываются практически труднореализуемыми. Поэтому часто применяют фильтры, которые согласованы с сигналом только по полосе (квазиоптимальные фильтры). Оптимальная полоса для различных импульсов различна и может быть вычислена без особых трудностей. Так, для фильтра с прямоугольной частотной характеристикой, на который воздействует радиоимпульс прямоугольной формы длительностью г 0 , оптимальная
Полоса равна
Можно показать,
что отношение сигнала
к помехе на выходе квазиоптимального
фильтра по сравнению
с согласованным фильтром уменьшается
на величину
порядка.
Поскольку согласованный фильтр должен выдавать на выходе сигнал, совпадающий по форме с корреляционной функцией входного сигнала, то алгоритм обработки сигнала в этом случае можно построить по схеме рис.14.
На вход блока дискретного преобразования Фурье подаются закодированные в цифровой код отсчеты комплексной огибающей дискретизированного радиосигнала . На его выходе образуется последовательность спектральных коэффициентов , которая вместе с набором коэффициентов комплексно-сопряженных известному сигналу поступает на набор перемножителей, осуществляющих перемножение каждого n-го числа.
На выходе блока обратного дискретного преобразования Фурье формируется последовательность отсчетов выходного сигнала, которые далее подвергаются обработке с целью выработки решения.
Достоинством цифровой согласованной фильтрации по сравнению с аналоговой является возможность реализации устройств с любыми характеристиками в пределах полосы частот, обеспечиваемой быстродействием АЦП и ЦАП. Все сводится к выбору весовых коэффициентов, при этом обеспечивается высокая точность и стабильность характеристик цифровых фильтров.
Теорема Шеннона.
Теорема Шеннона - Хартли в теории информации - применение теоремы кодирования канала с шумом к архетипичному случаю непрерывного временно́го аналогового канала коммуникаций, искажённого гауссовским шумом. Теорема устанавливает шенноновскую ёмкость канала, верхнюю границу максимального количества безошибочных цифровых данных (то есть, информации), которое может быть передано по такой связи коммуникации с указанной полосой пропускания в присутствии шумового вмешательства, согласно предположению, что мощность сигнала ограничена, и гауссовский шум характеризуется известной мощностью или мощностью спектральной плотности. Закон назван в честь Клода Шеннона и Ральфа Хартли.
Рассматривая все возможные многоуровневые и многофазные методы шифрования, теорема Шеннона - Хартли утверждает, что пропускная способность канала , означающая теоретическую верхнюю границу скорости передачи данных, которые можно передать с данной средней мощностью сигнала через аналоговый канал связи, подверженный аддитивному белому гауссовскому шуму мощности равна:
Пропускная способность канала, бит/с;
Полоса пропускания канала, Гц;
Полная мощность сигнала над полосой пропускания, Вт или В²;
Полная шумовая мощность над полосой пропускания, Вт или В²;
Частное от деления отношения сигнала к его шуму (SNR) на гауссовский шум, выраженное как отношение мощностей.
Циклические коды.
Циклические коды являются частным случаем линейных и представляют собой наиболее разработанную часть последних. Основным их достоинством является простота технической реализации, благодаря чему они и обратили на себя внимание специалистов. Ценным свойством таких кодов является способность обнаруживать не только одиночные ошибки, но и пакеты ошибок. Пакетом ощибок длиной L называют число разрядов сообщения, искаженных подряд.
Свое название циклические коды получили из-за следующего свойства: если комбинация
a n-1 a n-2 ... a 1 a 0
относится к коду, то комбинация, полученная путем циклического сдвига элементов, т.е. комбинация
a n-2 ... a 1 a 0 a n-1 ,
также относится к коду. Направление сдвига не имеет значения. Один сдвиг в одном направлении эквивалентен n-1 сдвигам в другом направлении.
Математической основой построения циклических кодов является представление кодовых комбинаций в виде многочленов от некоторой переменной x с коэффициентами, равными элементам кодовых комбинаций, и операцией по mod2. Кодовая комбинация
a n-1 a n-2 ... a 1 a 0
представляется многочленом
a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0
Кодовый полином
Циклический код строится с помощью так называемого порождающего многочлена g(x) степени r. Признаком принадлежности n-разрядной комбинации данному коду является делимось соответствующего ей многочлена на порождающий. Если многочлен принятой комбинации делится на порождающий, то считается, что она совпадает с посланной. Если деление происходит с остатком, то принятая комбинация к коду не относится, т.е. произошло наложение ошибки. Вид остатка при достаточной избыточности позволяет указать место ошибки.
Похожая информация.
Основные принципы согласованной фильтрации были сформулированы в результате исследований, направленных на оптимизацию функционирования радиолокационных систем. По этим углубленным теоретическим представлениям необходимо было разработать схемы, которые могли бы быть реализованы инженерами-практиками. Метод согласованной фильтрации осуществляет оптимальную
линейную обработку радиолокационных сигналов. При такой обработке исходная радиолокационная информация, поступающая на вход приемника и искаженная согласно предположению белым гауссовым шумом, преобразуется к виду, удобному для вынесения оптимального решения об обнаружении (наличия или отсутствия цели) или для оценки параметров цели (дальности, скорости и т. д.) с минимальной среднеквадратичной ошибкой, или для обеспечения максимально возможного разрешения группы целей.
Характеристики согласованных фильтров могут быть описаны. с помощью частотной либо временной функции отклика, которые связаны между собой преобразованием Фурье. В пространстве частот переходная функция согласованного фильтра есть комплексно-сопряженная функция спектра сигнала, который должен быть обработан оптимальным образом. Таким образом в общем виде
где спектр входного сигнала постоянная задержка, нужная для физической реализации фильтра. Нормирующий коэффициент и постоянная задержка, как правило, опускаются при записи основных соотношений теории согласованной фильтрации, которые обычно формулируются в виде
Соответствующая зависимость во временной области между сигналом, который должен быть обработан, и характеристикой согласованного фильтра получается в результате обратного преобразования функции Фурье Это приводит к тому, что импульсный отклик фильтра представляет собой обращенную во времени копию известной временной функции, описывающей сигнал. Таким образом, если импульсный отклик согласованного фильтра есть то основное соотношение, эквивалентное равенству (1.2), имеет вид
Как и в предыдущем случае, произвольная задержка в записи основного соотношения может быть опущена:
Считается, что свойства оптимального приемника в зависимости от параметров спектра сигнала для случая белого гауссового шума [уравнение (1.2)] первым определил Норе 151. Поэтому согласованные фильтры называют также фильтрами Норса; однако Ван Флек и
Миддлтон были, очевидно, первыми, кто использовал термин «согласованный фильтр» по отношению к фильтрам, оптимизирующим отношение сигнал/шум для импульсных сигналов. Вывод требований, которым должен удовлетворять согласованный фильтр, рассматривается в гл. 2 для законченности изложения, а также с тем, чтобы помочь заинтересованному читателю глубже понять сущность систем с согласованными фильтрами. На рис. 1.2 иллюстрируются соотношения, определяемые равенствами (1.3) и (1.5).
Рис. 1.2. Связь между характеристиками сигнала и согласованного фильтра.
Исходные соображения для вывода условий, определяющих оптимальное обнаружение сигнала, поясняются на рис. 1.3, где дана упрощенная схема приемной системы. Выходной сигнал в точке представляет собой смесь сигнала с шумом. Целью разработчика системы являетсй оптимизация вероятности обнаружения сигнала на некотором интервале наблюдения, который может представлять собой строб дальности. В других случаях этот интервал явно не указан, мы просто фиксируем факт, что внимание наблюдателя должно быть направлено на некоторую особую точку случайно либо вследствие наличия априорных данных. Порог наблюдения может быть четко зафиксированным, например, в автоматических сигнализаторах тревоги, или устанавливаться подсознательно человеком-оператором, который по своим физиологическим свойствам способен не учитывать даже сравнительно большие шумовые выбросы, не являющиеся истинными сигналами. Статистические характеристики, используемые в процессе обнаружения, будут зависеть от многих факторов, например от уровня порога и наличия априорной информации относительно расположения сигнала.
Однако даже без учета существенных факторов из рассмотрения рис. 1.3 мы можем заметить, что для. оптимизации процедуры обнаружения, как подсказывает логика, следует попытаться максимизировать пиковое значение сигнала по отношению к шуму. Так как сигнал, по всей вероятности, присутствует редко (непрерывный сигнал по определению не может переносить полезной информации), то при непрерывном наблюдении случайных флюктуаций шумового сигнала мы будем концентрировать внимание на кратковременных отклонениях от усредненного за длительный период или среднеквадратичного значения шума.
Рис. 1.3. Критерий обнаружения сигнала.
С этой точки зрения логично сделать вывод, что получение максимального пикового значения сигнала по отношению к среднеквадратичному значению шума будет приводить к нужной нам оптимизации, т. е.
Читатель, которого интересует определение условий максимизации отношения, задаваемого равенством (1.6), может найти этот вывод в гл. 2, где рассматривается также статистический подход к оптимизации характеристик систем обнаружения. Оба эти подхода приводят к целесообразности использования согласованной фильтрации, которая характеризуется равенствами (1.3) и (1.5). Найдено, что в случае применения согласованного фильтра, который задается этими выражениями, максимальное значение отношения сигнал/шум на выходе фильтра при наличии белого гауссова шума определяется соотношением
Равенство (1.7) для простого импульсного радиолокационного сигнала может быть получено эвристическим путем при
рассмотреции параметров, показанных на рис. 1.4. Энергия принимаемого сигнала равна
Этот результат означает для разработчика радиолокатора, что «поскольку согласованный фильтр используется в додетекторных
каскадах приемной системы, то ее способность к обнаружению зависит только от содержащейся в сигнале энергии и никоим образом не связана с формой сигнала, в которой он поступает на вход приемника. Для того чтобы получить оптимальное отношение сигнал/шум на выходе, фильтр должен быть согласован с сигналом. Однако теория показывает, что если построение строго согласованного фильтра окажется практически невыгодным или невозможным, то обычно можно использовать разумную аппроксимацию, причем это весьма слабо скажется на способности радиолокационной системы к обнаружению сигнала.
До сих пор на помеху n(t) не налагалось никаких ограничений, кроме стационарности в широком смысле. Рассмотрим теперь помеху в виде гауссовского белого шума. Линейный фильтр, на выходе которого получается максимально возможное пиковое значение отношения сигнал/помеха при приеме полностью известного сигнала на фоне гауссовского белого шума, называется согласованным фильтром. Найдем выражение для комплексной частотной характеристики согласованного фильтра. Для этого положим Тогда выражения (2.7) и (2.8) примут соответственно вид:
(2.9)
где k – постоянная, характеризующая коэффициент передачи фильтра; E s – энергия сигнала:
Запишем спектр входного сигнала и комплексную частотную характеристику фильтра в виде
Здесь s – фазовый спектр сигнала,– фазо-частотная характеристика фильтра.
Тогда выражения для амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик согласованного фильтра будут иметь вид
Видно, что амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованного фильтра пропорциональна амплитудному спектру входного сигнала (АЧХ фильтра «согласована» со спектром сигнала), а фазочастотная характеристика (ФЧХ) равна сумме фазочастотного спектра сигнала, взятого с обратным знаком, и фазового спектра задержки (– t 0).
Совпадение формы АЧХ фильтра с амплитудным спектром сигнала обеспечивает наилучшее выделение наиболее интенсивных участков спектра сигнала. Фильтр ослабляет участки спектра с относительно низким уровнем спектральных составляющих; в противном случае наряду с ними проходили бы интенсивные шумы. При этом форма сигнала на выходе фильтра искажается. Однако это не имеет существенного значения, так как задача фильтра в данном случае состоит не в точном воспроизведении входного сигнала, а в формировании наибольшего пика выходного сигнала на фоне шума. Существенную роль в этом отношении играет фазочастотная характеристика фильтра ().
Подставив в формулу (2.1) выражение (2.9), получим выражение для полезного сигнала на выходе согласованного фильтра:
Отсюда видно, что сигнал на выходе фильтра определяется только амплитудным спектром входного сигнала и не зависит от его фазового спектра. Последнее обусловлено тем, что взаимные фазовые сдвиги спектральных составляющих входного сигнала s () компенсируются ФЧХ фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момент времени t = t 0 и, складываясь, дают пик выходного сигнала:
Если бы ФЧХ фильтра не компенсировала фазовых сдвигов спектральных составляющих входного сигнала, то максимумы гармонических составляющих не совпадали бы по времени, что привело бы к уменьшению или раздроблению пика выходного сигнала.
Следует отметить, что согласованным фильтром (2.9) можно пользоваться и при приеме полностью известного сигнала на фоне стационарной помехи с произвольной спектральной плотностью S n (). Для этого формально достаточно пропустить принимаемое колебание x(t) через дополнительный линейный фильтр, который преобразует помеху n(t) в белый шум. ФЧХ фильтра может быть любой, а АЧХ такого дополнительного “обеляющего” фильтра должна иметь вид
(2.10)
где
– постоянная.
На
выходе обеляющего фильтра помеха
превратится в белый шум с постоянной
спектральной плотностью
а комплексный спектр сигнала будет
После этого можно воспользоваться полученными ранее формулами. В соответствии с выражением (2.9) комплексная частотная характеристика соответствующего согласованного фильтра
Оптимальный
фильтр представляет собой последовательное
соединение двух фильтров: обеляющего
и
согласованного
.
Его комплексная частотная характеристика
естественно совпадает с соотношением
(2.8).
Пользуясь допустимой свободой выбора фазовой характеристики обеляющего фильтра, можно попытаться выбрать ее так, чтобы оптимальный фильтр был физически реализуем. Если спектральную плотность помехи S n () можно аппроксимировать рациональной функцией частоты (что на практике не ограничивает общности), то для получения физически реализуемого оптимального линейного фильтра используют разложение S n () на комплексно-сопряженные сомножители. Рассмотрим пример.
Пусть помехой является гауссовский шум, имеющий спектральную плотность S n () = 2D /( 2 + 2), где D – дисперсия шума. Тогда согласно формуле (2.10) имеем
Таким образом, получаем два равноценных варианта обеляющих фильтров:
Найдем импульсную характеристику согласованного фильтра:
Учитывая выражение для входного сигнала
,
получаем
.
(2.11)
Следовательно, импульсная характеристика согласованного фильтра целиком определяется формой сигнала («согласована» с сигналом). На рис. 2.1 изображен импульсный сигнал s(t) длительностью t и, появившийся в момент времени t = t 0 .
Очевидно, что функция s(t 0 +t) появляется на время t 0 раньше, чем сигнал s(t) . Функция же s(t 0 –t) является зеркальным отображением функции s(t 0 +t) относительно оси ординат. Умножив функцию s(t 0 –t) на коэффициент k , получаем импульсную характеристику согласованного фильтра.